tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2000-2010全国高中数学联赛试题


2010 年全国高中数学联合竞赛一试试卷 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1.函数 f ? x ? ? x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是 .

2 x? ? 3 sin x的 最 小 值 为 ?3 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 2 . 已 知 函 数 y ? ? ac o s

/>是



3.双曲线 x2 ? y 2 ? 1的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点 (纵横坐标均为整数的点)的个数是 . 4.已知 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, ?bn ? 是等比数列,其中 a1 ? 3 , b1 ? 1 ,

a2 ? b2 , 3a5 ? b3 , 且 存 在 常 数 ? , ? 使 得 对 每 一 个 正 整 数 n 都 有 an ? l o g ? bn ? ? ,则 ? ? ? ?


5.函数 f ? x ? ? a2 x ? 3a x ? 2 ( a ? 0 , a ? 1 )在区间 x ???1,1? 上的最大值为 8, 则它在这个区间上的最小值是 . 6.两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者 为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
P 是 CC1 的 中 点 , 二 面 角 7 . 正 三 棱 柱 ABC? A 1 B 1 C 1的 9 条 棱 长 都 相 等 ,

B ? A1P ? B1 ? ? ,则 sin ? ?

. .

8. 方程 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解 ( x ,y ,z ) 的个数是

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 9. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d( a ? 0 ) , 当 0 ? x ? 1 时,
f ' ? x ? ? 1 ,试求 a 的最大值.

10. (本小题满分 20 分) 已知抛物线 y 2 ? 6 x 上的两个动点 A( x1 ,y1 ) 和 B ( x2 , , 其中 x1 ? x2 且 x1 ? x2 ? 4 . 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C , 求 ?ABC y2 ) 面积的最大值. 11. (本小题满分 20 分)证明:方程 2 x3 ? 5 x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在

唯一的严格递增正整数数列 ?an ? ,使得

2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5

2010 年全国高中数学联合竞赛加试试卷(A 卷) (考试时间:10 月 17 日上午 9∶40—12∶10) 一、 (本题满分 40 分) 如图, 锐角三角形 ABC 的外心为 O ,K 是边 BC 上一点 (不 是边 BC 的中点) , D 是线段 AK 延长线上一点,直线 BD 与 AC A 交于点 N ,直线 CD 与 AB 交于点 M .求证:若 OK ? MN ,则 A , B , D , C 四点共圆.

O

B

K D

C

N M

1 二、 (本题满分 40 分)设 k 是给定的正整数,r ? k ? .记 f ?1? ?r ? ? f r ? 2

r ??

r? ? ? ?,

f ?l ? ? r ? ? f f ?l ?1? ? r ? ,l ? 2 .证明:存在正整数 m ,使得 f ? m? ? r ? 为一个整数.这

?

?

?1? 里? ? x? ? 表示不小于实数 x 的最小整数,例如: ? 2 ? ? 1 , ? ?1? ? ? 1. ? ?

三、 (本题满分 50 分) 给定整数 n ? 2 , 设正实数 a1 ,a2 , ?,an 满足 ak ? 1 ,k ? 1 ,
2, ?,n , 记 Ak ?
n n a1 ? a2 ? ? ? ak n ?1 ,k ? 1 ,2 , ?,n . 求证:? ak ? ? Ak ? . k 2 k ?1 k ?1

四、 (本题满分 50 分) 一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A1 A2 ? An 的每个顶点 处赋值 0 和 1 两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使 得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多 少种不同的密码设置?

2009 年全国高中数学联合竞赛一试题 一、填空(共 8 小题,每小题 7 分,共 56 分)
1. 若函数 f ? x ? ?
x 1 ? x2
?99? f ? f ? x ?? 且 f (n) ? x ? ? f ? ?? ?? ?f ? ? ,则 f ?1? ? ??? ???? ?
n



2. 已知直线 L : x ? y ? 9 ? 0 和圆 M : 2 x ? 2 y ? 8x ? 8 y ? 1 ? 0 ,点 A 在直线 L 上,
2 2

B , C 为圆 M 上两点,在 ?ABC 中, ?BAC ? 45? , AB 过圆心 M ,则点 A 横坐标范

围为



?y?0 ? 3. 在坐标平面上有两个区域 M 和 N ,M 为 ? y ? x ,N 是随 t 变化的区域, ?y ?2 ? x ? 它由不等式 t ? x ? t ? 1 所确定,t 的取值范围是 0 ? t ? 1 ,则 M 和 N 的公共面积是

函数 f ? t ? ?


1 1 1 1 ? ??? ? a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最小 n ?1 n ? 2 2n ? 1 3

4. 使不等式

正整数 a 的值为
5. 椭圆
2 2



x y ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 上任意两点 P ,Q ,若 OP ?OQ ,则乘积 OP ? OQ 2 a b

的最小值为 . 6. 若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是



7. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩

上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排 成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示) ∶ 00 ~ 9 ∶ 00 , 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站,但到站的时 8. 某车站每天 8 刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为 到站时刻 概率
8 ∶ 10 9∶ 10 8 ∶30 9∶30 8 ∶50 9∶50

1 6

1 2

1 3

一旅客 8∶20 到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分) . 二、解答题 1. (本小题满分 14 分)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m 为整数)与椭圆
x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 交于不同两点 A , B ,与双曲线 ? ? 1 交于不同两点 C , D ,问是否 16 12 4 12 ???? ??? ? 存在直线 l ,使得向量 AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存

在,请说明理由. 2. (本小题 15 分)已知 p , q ? q ? 0? 是实数,方程 x2 ? px ? q ? 0 有两个实根
4, ?? ? , ? ,数列 ?an ? 满足 a1 ? p , a2 ? p2 ? q , an ? pan?1 ? qan?2 ? n ? 3 ,

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式(用 ? , ? 表示) ; (Ⅱ)若 p ? 1 , q ? ,求 ?an ? 的前 n 项和.
3. (本小题满分 15 分)求函数 y ? x ? 27 ? 13 ? x ? x 的最大和最小值.

1 4

2009 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准(A 卷) 一、如图, M , N 分别为锐角三角形 ?ABC ( ?A ? ?B )的外接圆 ? 上弧⌒ BC 、⌒ AC 的中点.过点 C 作 PC ∥ MN 交圆 ? 于 P 点, I 为 ?ABC 的内心,连接 PI 并延长交 圆 ? 于T . ⑴求证: MP ? MT ? NP ? NT ; ⑵在弧⌒ AB(不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A ,T , B ) ,记 ?AQC ,△QCB 的 内心分别为 I1 , I 2 ,
P N I T A Q C M

B

求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆. 二、求证不等式: ?1 ? ? ?
? k ? 1 ? ln n ? , n ? 1 ,2,? ? 2 ? k ?1 k ? 1 ?
n 2

l 三、设 k , l 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数 m ? k ,使得 Ck m 与 互素. 四、在非负数构成的 3 ? 9 数表

? x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 ? ? ? P ? ? x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27 x28 x29 ? ?x x x x x x x x x ? ? 31 32 33 34 35 36 37 38 39 ?

中每行的数互不相同,前 6 列中每列的三数之和为 1, x17 ? x28 ? x39 ? 0 , x27 , x37 , x18 , x38 , x19 , x29 均大于.如果 P 的前三列构成的数表
? x11 x12 x13 ? ? ? S ? ? x21 x22 x23 ? ?x x x ? ? 31 32 33 ?

? x1k ? ? ? 满足下面的性质 (O ) :对于数表 P 中的任意一列 ? x2 k ? ( k ? 1 ,2,?,9)均 ?x ? ? 3k ? 3? 使得 存在某个 i ??1,2 ,

⑶ xik ? ui ? min ?xi1 ,xi 2 ,xi3 ? . 求证: (ⅰ)最小值 ui ? min ?xi1 ,xi 2 ,xi3? , i ? 1 ,2,3 一定自数表 S 的不同列.

? x1k* ? ? ? (ⅱ)存在数表 P 中唯一的一列 ? x2k* ? , k * ≠ 1 ,2,3 使得 3 ? 3 数表 ? ?x ? ? ? 3k * ? ? x11 x12 x1k* ? ? ? S ? ? ? x21 x22 x2k* ? ? ? x31 x32 x ? ? 3k * ? ? 仍然具有性质 (O ) .

2008 全国高中数学联合竞赛一试试题 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.函数 f ( x) ? 5 ? 4 x ? x 在 (??, 2) 上的最小值是
2

2? x

( )

A.0 B.1 C.2 D.3 2 2 ,4) ,B ? {x x ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围为( ) 2.设 A ? [? A. [?1, 2) B. [?1, 2] C. [0,3] D. [0,3) 3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进 行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 2 ,乙
3

在每局中获胜的概率为 1 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ? 的期
3

望 E? 为
81



) B. 266
81

A. 241

C. 274
81

D. 670

243

4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm2,则 这 三 个 正 方 体 的 体 积 之 和 为 ( ) A. 764 cm3 或 586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3 或 564 cm3 D. 586 cm3 5.方程组 ? ? xyz ? z ? 0, A. 1
? x ? y ? z ? 0,

的有理数解 ( x, y, z) 的个数为





? xy ? yz ? xz ? y ? 0 ?

B.

2

C.

3

D.

4

6.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则 sin A cot C ? cos A 的
sin B cot C ? cos B

取 (

值 ) A. (0, ??)

范 B. (0, 5 ? 1)
2

围 C. ( 5 ? 1 , 5 ? 1)
2 2

是 D.

(

5 ?1 , ??) 2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7. 设 f ( x) ? ax ? b , 其中 a , b 为实数,f1 ( x) ? f ( x) ,fn?1 ( x) ? f ( fn ( x)) , n ? 1, 2,3,? , 若 f7 ( x) ? 128x ? 381 ,则 a ? b ? . 8.设 f ( x) ? cos 2 x ? 2a(1 ? cos x) 的最小值为 ? 1 ,则 a ?
2



9.将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校,则每校至少有一个名额且各校名额 互不相同的分配方法共有 种. 10.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? an ? n ? 1 , n ? 1, 2,? ,则通项
n(n ? 1)
an =



11.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ? R ,满足 . )= f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2x , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2x ,则 f (2008 12. 一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个 方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的 容器内壁的面积是 .

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13 .已知函数 f ( x) ?| sin x | 的图像与直线
答 12 图 1

y ? kx (k ? 0) 有且仅有三个

交点,交点的横坐标的最大 值为 ? ,求证:
cos ? 1? ? 2 . ? sin ? ? sin 3? 4?
答 13 图

14









式: log2 ( x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ?1) ? 1 ? log2 ( x4 ?1) . 15.如题 15 图, P 是抛物线 y 2 ? 2x 上的动点, 上,圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 内切于 ?PBC ,求 ?PBC 面积的最 点 B,C 在 y 轴 小值.

答 15 图

2008 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷) 一、 (本题满分 50 分) 如题一图,给定凸四边形 ABCD , ?B ? ?D ? 180? , P 是平面上的动点,令 f ( P) ? PA ? BC ? PD ? CA ? PC ? AB . (Ⅰ)求证:当 f ( P ) 达到最小值时, P,A,B,C 四点共圆;
AE 3 (Ⅱ)设 E 是 ?ABC 外接圆 O 的 ? , BC ? 3 ? 1 , AB 上一点,满足: ? AB 2
EC
?ECB ? 1 ?ECA ,又 DA, DC 是 ? O 的切线, AC ? 2 ,求 f ( P ) 的最小值. 2

二、 (本题满分 50 分) 设 f ( x) 是周期函数, T 和 1 是 f ( x) 的周期且 0 ? T ? 1 .证明: 答一图 1 1 (Ⅰ)若 T 为有理数,则存在素数 p ,使 是 f ( x) 的周期; p (Ⅱ) 若 T 为无理数, 则存在各项均为无理数的数列 {an } 满足1 ? an ? an?1 ? 0
(n ? 1, 2, ???) ,且每个 an

(n ? 1, 2, ???) 都是 f ( x) 的周期.

三、 (本题满分 50 分) 设 ak ? 0 , k ? 1, 2,?, 2008 .证明:当且仅当 ? ak ? 1 时,存在数列 {xn } 满足以
k ?1 2008

下条件: (ⅰ) 0 ? x0 ? xn ? xn?1 , n ? 1, 2,3,? ; (ⅱ) lim xn 存在;
n ??

(ⅲ) xn ? xn?1 ? ? ak xn?k ? ? ak ?1 xn? k , n ? 1, 2,3,? .
k ?1 k ?0

2008

2007

2007 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
P

D

M C B

A

1. 如图,在正四棱锥 P?ABCD 中,∠APC=60°,则二面角 A?PB?C 的平面角 的余弦值为( ) 1 1 1 1 A. B. ? C. D. ? 7 7 2 2 2. 设实数 a 使得不等式|2x?a|+|3x?2a|?a2 对任意实数 x 恒成立,则满足 条件的 a 所组成的集合是( ) A. [? , ]
1 1 3 3

B. [? , ]

1 1 2 2

C. [? , ]

1 1 4 3

D. [?3,3]

3. 将号码分别为 1、2、?、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码 不同,其余完全相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为 a,放回后,乙从此袋中 再摸出一个球,其号码为 b。则使不等式 a?2b+10>0 成立的事件发生的概率等于 ( ) A.
52 81

B.

59 81

C.

60 81

D.

61 81

4. 设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x?c)=1 对 b cos c 任意实数 x 恒成立,则 的值等于( ) a A. ?
1 2

B.

1 2

C. ?1

D. 1

5. 设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆,动圆 P 与这两个定圆都相切,则圆 P 的圆心 轨迹不可能是( )

6. 已知 A 与 B 是集合{1,2,3,?,100}的两个子集,满足:A 与 B 的元 素个数相同,且为 A∩B 空集。若 n∈A 时总有 2n+2∈B,则集合 A∪B 的元素个 数最多为( ) A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7. 在平面直角坐标系内,有四个定点 A(?3,0),B(1,?1), C(0,3),D(?1,3)及一个动点 P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为 。 8. 在△ABC 和△AEF 中,B 是 EF 的中点,AB=EF=1,BC=6,CA ? 33 ,若
AB ? AE ? AC ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于


2 3 为半径作 3

9. 已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1,以顶点 A 为球心,

一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 。 10. 已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的 正有理数。若 a1=d,b1=d2,且 11. 已知函数 f (x ) ?
2 2 2 a1 ? a2 ? a3

b1 ? b2 ? b3

是正整数,则 q 等于

。 。

sin(?x ) ? cos(?x ) ? 2 1 5 ( ? x ? ) ,则 f(x)的最小值为 x 4 4

12. 将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方 格内,每个小方格内至多填 1 个字母,若使相同字母既不同行也

不同列,则不同的填法共有 种(用数字作答)。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) n 1 13. 设 an ? ? ,求证:当正整数 n?2 时,an+1<an。 k ?1 k ( n ? 1 ? k ) 14. 已知过点(0,1)的直线 l 与曲线 C: y ? x ? (x ? 0) 交于两个不同点 M 和 N。求曲线 C 在点 M、N 处切线的交点轨迹。 15. 设函数 f(x)对所有的实数 x 都满足 f(x+2π )=f(x),求证:存在 4 个函 数 fi(x)(i=1,2,3,4)满足:(1)对 i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任 意 的 实 数 x , 有 fi(x+π )=fi(x) ; ( 2 ) 对 任 意 的 实 数 x , 有 f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。 2007 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案 一、 (本题满分 50 分)如图,在锐角△ABC A 中,AB<AC,AD 是边 BC 上的高,P 是线段 AD 内一 E 点。过 P 作 PE⊥AC,垂足为 E,作 PF⊥AB,垂足 F P 为 F。O1、O2 分别是△BDF、△CDE 的外心。求证: O1、O2、E、F 四点共圆的充要条件为 P 是△ABC O2 的垂心。 O
1

1 x

B

D

B'

C

二、 (本题满分 50 分)如图,在 7×8 的长方形棋盘的每个小方格的中心点 各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共 顶点,那么称这两个棋子相连。现从这 56 个棋子中取 出一些,使得棋盘上剩下的棋子,没有五个在一条直 线(横、竖、斜方向)上依次相连。问最少取出多少 个棋子才可能满足要求?并说明理由。

三、 (本题满分 50 分)设集合 P={1,2,3,4,5},对任意 k∈P 和正整数 m, 记

f(m,k)= ? ?m
i ?1

5

? ?

k ? 1? ? ,其中[a]表示不大于 a 的最大整数。求证:对任意 i ?1?

正整数 n,存在 k∈P 和正整数 m,使得 f(m,k)=n。

一、

2006 年全国高中数学联赛试题 第一试 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)

1. 已知△ABC,若对任意 t ? R , BA ? t BC ? AC ,则△ABC 一定为 A .锐角三角形 【答】 ( ) B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定

2. 设 log x (2x2 ? x ?1) ? log x 2 ?1 ,则 x 的取值范围为 A. ( 3.
1 ? x ?1 2 ) 1 B. x ? , 且 x ? 1 2

C. x ? 1

D. 0 ? x ? 1

【答】

已 知 集 合 A ? ?x 5x ? a ? 0? , B ? ?x 6x ? b ? 0? , a, b ? N , 且

?a, b ? 的个数为 A? B ? N ?, ? 3,则整数对 , 4 ?2
A. 20 【答】 ( ) B. 25 C. 30 D. 42

4. 在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,?BAC ?

?
2

,AB ? AC ? AA1 ? 1 . 已知G与E分

别为 A1B1 和 CC1 的中点,D与F分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端 点). 若 GD ? EF ,则线段 DF 的长度的取值范围为 A.

? 1 ? ? , 1? ? 5 ?


?1 ? B. ? , 2 ? ?5 ?

C.

?1, ?

2

?

D.

? 1 ? , ? 5

? 2? ?

【答】 (

5. 设 f ( x) ? x3 ? log2 x ? x2 ? 1 , 则对任意实数 a , b ,a ? b ? 0 是 f (a) ? f (b) ? 0 的 A. 充分必要条件 C. 必要而不充分条件 ( ) 6. 为
1 1 102006 ? 82006 D. 102006 ? 82006 【答】 A. (102006 ? 82006 ) B. (102006 ? 82006 ) C. 2 2 ( ) 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

?

?

B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答】

数码 a1 , a2 , a3 ,?, a2006 中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 2a1a2a3 ?a2006 的个数

7. 设 f ( x) ? sin 4 x ? sin x cos x ? cos4 x ,则 f ( x) 的值域是



8. 若对一切 ? ? R,复数 z ? (a ? cos? ) ? (2a ? sin ? )i 的模不超过 2,则实数 a 的取

值范围为 . 9. 已 知 椭 圆
x2 y 2 ? ? 1 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 与 F2 , 点 P 在 直 线 l : 16 4

x ? 3 y ? 8 ? 2 3 ? 0 上. 当 ?F1PF2 取最大值时,比
10. 底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为

PF1 PF2

的值为

.

1 cm 的实心铁球,四个球 2 两两相切, 其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水,使水面恰好浸 没所有铁球,则需要注水 cm3.

11. 方程 ( x2006 ? 1)(1 ? x2 ? x4 ? ? ? x2004 ) ? 2006x2005 的实数解的个数为

.

12. 袋内有 8 个白球和 2 个红球, 每次从中随机取出一个球, 然后放回 1 个白球, 则第 4 次恰好取完所有红球的概率为 . 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 给定整数 n ? 2 ,设 M 0 ( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 ? nx ? 1 与直线 y ? x 的一个交点.
m m 试 证 明 对 于 任 意 正 整 数 m , 必 存 在 整 数 k ? 2 , 使 ( x0 , y0 ) 为 抛 物 线

y 2 ? kx ? 1与直线 y ? x 的一个交点.

14. 将 2006 表示成 5 个正整数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 之和. 记 S ? (1)当 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 取何值时,S 取到最大值;

1?i ? j ?5

?

xi x j . 问:

( 2 )进一步地,对任意 1 ? i, j ? 5 有 xi ? x j ? 2 ,当 x1 , x2 , x3 , x4 , x5取何值时, S 取到最小值. 说明理由.

15. 设 f ( x) ? x2 ? a . 记 f 1 ( x) ? f ( x) , f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ,n ? 2,3,? ,
1? ? M ? a ? R 对所有正整数 n, f n (0) ? 2 . 证明: M ? ?? 2, ? . 4? ?

?

?

一试参考答案 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.【答】 ( C ) 【解】令 ?ABC ? ? ,过 A 作 AD ? BC 于 D。由 BA ? t BC ? AC ,

推出

??? ? ??? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ?2 BA?BC BA ? 2tBA?BC ? t BC ? AC , 令 t ? ??? ?2 , 代 入 上 式 , 得 BC
??? ?2 ???? 2 BA sin 2 ? ? AC , 也 即

??? ?2 ??? ?2 ??? ? 2 ??? ?2 BA ? 2 BA cos2 ? ? cos2 ? BA ? AC , 即

??? ? ???? ???? ???? ? BA sin ? ? AC 。从而有 AD ? AC 。由此可得 ?ACB ? 。 2

2. 【 答 】 (

? x ? 0, x ? 1 B ) 【解】因为 ? 2 ,解得 ?2 x ? x ? 1 ? 0

1 x ? ,x ?1 . 2



log x (2x2 ? x ?1) ? log x 2 ?1
0 ? x ? 1 ;或

? log x (2x3 ? x2 ? x) ? log x 2

? 0 ? x ?1 ?? 3 2 ?2 x ? x ? x ? 2

解得

x ?1 ? ? 3 2 ?2 x ? x ? x ? 2

解得

x ? 1 ,所以 x 的取值范围为

1 x ? , 且 x ?1. 2

3. 【 答 】 ( C ) 【解】

5x ? a ? 0 ? x ?

a b ; 6x ? b ? 0 ? x ? 。 要 使 5 6

? b 1? ? 2 ? ? 6 , 则 ,即 A? B ? N ? 4 ?2 , 3, ? ? a ?4 ? ? 5 ? 5 ?
1 1 C6 C5 ? 30 。

? 6?b? 12 。 所 以 数 对 ?a, b ? 共 有 ? 2 0 ? a ? 2 5 ?

4.【答】 ( A ) 【解】建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC 1 1 ,1 , 0 ( ) 为y轴,AA1为z轴,则 F (t1,0,0)( 0 ? t1 ? 1 ) ,E ,G ( , 0,1) ,D(0, t2 ,0) 2 2 ??? ? ???? 1 1 ( 0 ? t2 ? 1 ) 。所以 EF ? (t1 , ?1, ? ) , GD ? (? , t2 , ?1) 。因为 GD ? EF ,所以 2 2 ???? 1 0 ? t2 ? 。 又 DF ? (t1, ?t2 ,0) , t1 ? 2t2 ? 1 , 由 此 推 出 2
???? 2 1 DF ? t12 ? t2 2 ? 5t2 2 ? 4t2 ? 1 ? 5(t2 ? )2 ? ,从而有 5 5

1 ???? ? DF ? 1 。 5

5.【答】 ( A ) 【解】显然 f ( x) ? x3 ? log2 x ? x2 ? 1 为奇函数,且单调 递增。于是
a) ? f ( b? ) , a) ? ? f( b) 若a ? b ? 0, 则 a ? ?b , 有 f( 即 f(

?

?

, 从而有 f (a) ? f (b) ? 0 .

反之,若 f (a) ? f (b) ? 0 ,则 f (a) ? ? f (b) ? f (?b) ,推出 a ? ?b ,即 a ? b ? 0 。

6.

【 答 】(
1 2 0 0 5 2 0 0 6

B )【 解 】 出 现 奇 数 个 9 的 十 进 制 数 个 数 有
3 2 0 0 3 2 0 0 6

A? C 9

? C 9

? ?

2006 k 2 0 0 5 ? ? C2006 92006?k 以 及 ? C 9。 2 0又 0 6 由 于 (9 ? 1) k ?0

2006

k (9 ? 1)2006 ? ? C2006 (?1)k 92006?k ,从而得 k ?0

2006

1 3 2005 A ? C2006 92005 ? C2006 92003 ? ? ? C2006 9?

1 2006 2006 (10 ? 8 ) 。 2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.【解】 则
1 1 9 1 1 9 1 9 f ( x) ? g (t ) ? 1 ? t ? t 2 ? ? (t ? ) 2 。因此 min g (t ) ? g (1) ? ? ? ? 0, ? 1 ? t ? 1 2 2 8 2 2 8 2 4 1 9 1 9 9 max g (t ) ? g (? ) ? ? ?0 ? 。 即得 0 ? f ( x) ? 。 ?1?t ?1 2 8 2 8 8 1 1 f ( x) ? sin 4 x ? sin x cos x ? cos 4 x ? 1 ? sin 2 x ? sin 2 2 x 。令 t ? sin2 x , 2 2

8. 【解】依题意,得 z ? 2 ? (a ? cos? )2 ? (2a ? sin ? )2 ? 4

? 2a(cos? ? 2sin ? ) ? 3 ? 5a2 ? ?2 5a sin(? ? ? ) ? 3 ? 5a2

( ? ? arcsin

1 ) (对 5

任意实数 ? 成立) ?2 5a ? 3 ? 5 a2
? 5 , ?? ? 5 5? ?。 5 ?

?a?

5 . 故 a 的取值范围为 5

9. 【解】 由平面几何知,要使 ?F1PF2 最大,则过 F1 , F2 ,P 三点的圆必定和直 线 l 相切于 P 点。设直线 l 交 x 轴于 A (?8 ? 2 3,0) ,则 ?APF1 ? ?AF2 P ,即

?APF1 ? ?AF2 P ,即
2

PF1 PF2

?

AP AF2

(1) ,

又由圆幂定理,AP ? AF1 ? AF2 (2) , 而 F1 (?2 3,0) , A (?8 ? 2 3,0) , F2 (2 3,0) , 从 而 有
PF1 ? PF2

AF1 ? 8 ,

AF2 ? 8 ? 4 3 。 代 入 ( 1 ) , ( 2 ) 得

AF1 8 ? ? 4 ? 2 3 ? 3 ?1 。 AF2 8? 4 3

10. 【解】 设四个实心铁球的球心为 O1 , O2 , O3 , O4 , 其中 O1 , O2 为下层两球的球心,

A, B, C , D 分别为四个球心在底面的射影。则 ABCD 是一个边长为
3

2 的正方形。 2

2 1 2 2 4 ?1? 所以注水高为 1 ? 。故应注水 ? (1 ? )? 。 ) ? 4? ? ? ? = ( ? 2 3 2 2 3 ?2?

11.【解】 ( x 2006 ? 1)(1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2004 ) ? 2006x 2005
? (x ? 1 x
2005

)(1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2004 ) ? 2006 1 x
2005

? x ? x3 ? x5 ? ? ? x 2005 ? ? 2006 ? x ?

?

1 x
2003

?

1
2001

1 1 ? x3 ? 3 ? ? ? x 2005 ? 2005 ? 2? 1003 ? 2006 x x x 1 1 1 要使等号成立,必须 x ? , x3 ? 3 ,? , x 2005 ? 2005 ,即 x ? ?1 。 x x x 但是 x ? 0 时,不满足原方程。所以 x ? 1 是原方程的全部解。因此原方程的 实数解个数为 1 。 12. 【解】第 4 次恰好取完所有红球的概率为

x 1

???

1 ? 2006 x

2 ?9? 1 8 2 9 1 ?8? 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =0.0434. 10 ? 10 ? 10 10 10 10 10 ? 10 ? 10 10
三. 解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.
x0 ?

2

2

【证明】 因为 y 2 ? nx ? 1 与 y ? x 的交点为 x0 ? y0 ?
1 ? n 。?(5 分) x0

n ? n2 ? 4 . 显然有 2

m m 若 ( x0 , y0 ) 为 抛 物 线 y 2 ? kx ? 1 与 直 线 y ? x 的 一 个 交 点 , 则

k ? x0 m ?

1 . x0 m

?(10 分)
1 ) ? km? ?1 nkm ? km? , 1 x0

记 km ? x0 m ? (13.1)

1 , 则 x0 m

km?1 ? km ( x 0 ?

(m ? 2)

由于 k1 ? n 是整数, k2 ? x0 2 ?

1 1 ? ( x0 ? )2 ? 2 ? n2 ? 2 也是整数,所以根据数学 2 x0 x0 1 是正整数. 现 x0 m

归纳法,通过(13.1)式可证明对于一切正整数 m ,km ? x0 m ?

在 对 于 任 意 正 整 数 m , 取 k ? x0 m ?

1 , 使 得 y 2 ? kx ? 1 与 y ? x 的 交 点 为 m x0

( x0 , y0 ) .
14.

m

m

???????

(20 分)

【解】 (1) 首先这样的 S 的值是有界集,故必存在最大值与最小值。

若 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 2006 , 且使 S ?
xi ? x j ? 1,

1?i ? j ?5

?

xi x j 取到最大值,则必有
???(5 分) (*)

(1 ? i, j ? 5)

? ? x1 ?1 , 事 实 上 , 假 设 ( * ) 不 成 立 , 不 妨 假 设 x1 ? x2 ? 2 。 则 令 x1
? ? x2 ? 1, xi? ? xi ( i ? 3, 4,5 ) x2 ? ? x2 ? ? x1 ? x2 , x1 ? ? x2 ? ? x1 x2 ? x1 ? x2 ?1 ? x1x2 。将 S 改写成 有 x1

S?
同 时 有

1?i ? j ?5

?

xi x j ? x1x2 ? ? x1 ? x2 ?? x3 ? x4 ? x5 ? ? x3 x4 ? x3 x5 ? x4 x5

?x2 ? ? ( x1 ? ? x2 ? ) ? x3 ? x4 ? x5 ? ? x3 x4 ? x3 x5 ? x4 x5 。 于 是 有 S? ? x1
1

S ? ? S ?1 ? x2 ? x ?
xi ? x j ? 1,

。这与 S 在 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 时取到最大值矛盾。所以必有 0x 2 ?x

到最大 (1 ? i, j ? 5) . 因 此 当 x1 ? 4 0 2 x ,2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 4 取 01 ????????(10 分)

值。

(2)当 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 2006 且 xi ? x j ? 2 时,只有 (I) (II) (III) 402, 402, 402, 400, 400; 402, 402, 401, 401, 400; 402, 401, 401, 401, 401; 三种情形满足要求。 (15 分)

????????

而后面两种情形是在第一组情形下作 xi? ? xi ?1 , x?j ? x j ? 1 调整下得到的。 根据上一小题的证明可以知道,每调整一次,和式 S ?

1?i ? j ?5

?

xi x j 变大。 所以在
到 最 小

x1 ? x2 ? x3 ? 402, x4 ? x5 ? 400
值。 15.







???????(20 分) 【 证 明 】 ( 1 ) 如 果 a ? ?2 , 则
f 1 ( 0? )a ? | | , 2

?????????(5 分) 1 (2)如果 ?2 ? a ? ,由题意 f 1 (0) ? a , f n (0) ? ( f n?1 (0))2 ? a , n ? 2,3,? . 则 4 1 1 1 ① 当 0 ? a ? 时, f n (0) ? ( ?n ? 1 ) . 事实上, 当 n ? 1 时, f 1 (0) ? a ? , 4 2 2 设 n ? k ?1 时 成 立 ( k ? 2 为 某 整 数 ) , 则 对 n ? k ,
2 ?1? 1 1 f k (0) ? f k ?1 (0) ? a ? ? ? ? ? . ?2? 4 2 2

a?M 。

② 当 ?2 ? a ? 0 时, f n (0) ? a ( ?n ? 1 ) .事实上, 当 n ? 1 时, f 1 (0) ? a , 设 n ? k ?1 时 成 立 ( k ? 2 为 某 整 数 ) , 则 对 n ? k , 有
? | a |? a ? f k (0) ? ? f k ?1 (0) ? ? a ? a 2 ? a .注意到 当 ?2 ? a ? 0 时,总有 a 2 ? ?2a ,
2



a2 ? a ? ?a ?| a | .

从 而 有

f k ( 0 ? )a

|. 由 | 归 纳 法 , 推 出

? 1? ?2, ? ? M 。 ? 4? ?

?????(15 分)
1 1 时 , 记 an ? f n ( 0 ) , 则 对 于 任 意 n ? 1 , an ? a ? 且 4 4

( 3 ) 当 a?

2 an?1 ? f n?1 (0) ? f ( f n (0)) ? f (an ) ? an ?a











n ?1



1 1 1 1 2 an ?1 ? an ? an ? an ? a ? (an ? ) 2 ? a ? ? a ? , 则 an ?1 ? an ? a ? 。 所 以 , 2 4 4 4 1 1 2?a an ?1 ? a ? an ?1 ? a1 ? n(a ? ) 。当 n ? 时,an ?1 ? n(a ? ) ? a ? 2 ? a ? a ? 2 ,即 1 4 4 a? 4

f n?1 (0) ?2 。 因 此 a ? M 。 综 合 ( 1 )( 2 )( 3 ), 我 们 有
1? ? M ? ?? 2, ? 。 4? ?

??????????(20 分)

2006 年全国高中数学联合竞赛加试试卷 (考试时间:上午 10:00—12:00) 一、以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与△AB0B1 的边 ABi 交于 Ci(i=0,1) 。在 AB0 的延长线上任取点 P0, 以 B0 为圆心, B0P0 为半径作圆弧 P0Q0 交 C1B0 的延 长线于 Q0;以 C1 为圆心,C1Q0 为半径作圆弧 Q0P1 交 B1A 的延长线于 P1;以 B1 为圆心,B1P1 为半径

作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1;以 C0 为圆心,C0Q1 为半径作圆弧 Q1P′0 ,交 AB0 的延长线于 P′0。试证: (1)点 P′0 与点 P0 重合,且圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相内切于 P0; (2)四点 P0、Q0、Q1、P1 共圆。 二、已知无穷数列{an}满足 a0=x,a1=y, an ?1 ?
an an ?1 ? 1 ,n=1、2、?。 an ? an ?1

(1)对于怎样的实数 x 与 y,总存在正整数 n0,使当 n0?n 时 an 恒为常数? (2)求数列{an}的通项公式。

?x ? y ? z ? w ? 2 ? 2 2 2 2 ?x ? y ? z ? w ? 6 三、解方程组 ? 3 。 3 3 3 x ? y ? z ? w ? 20 ? ? x 4 ? y 4 ? z 4 ? w4 ? 66 ?

2006 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案 一、 (本题满分 50 分) 以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与△AB0B1 的边 ABi 交于 C( 1) 。 i i=0, 在 AB0 的延长线上任取点 P0,以 B0 为圆心,B0P0 为半径作圆弧 P0Q0 交 C1B0 的延长 线于 Q0; 以 C1 为圆心, C1Q0 为半径 作圆弧 Q0P1 交 B1A 的延长线于 P1; 以 B1 为圆心,B1P1 为半径作圆弧
A P1 S1

P1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1;以 C0
C0 Q1 Q0 P0 R1

T

为 圆 心 , C0Q1 为 半 径 作 圆 弧

C1 B1 B0

Q1P′0 ,交 AB0 的延长线于 P′0。
试证:

(1)点 P′0 与点 P0 重合,且圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相内切于 P0; (2)四点 P0、Q0、Q1、P1 共圆。 证明: (1)显然 B0P0=B0Q0,并由圆弧 P0Q0 和 Q0P1 ,Q0P1 和 P1Q1 ,P1Q1 和 Q1P′0 分别 相内切于点 Q0、P1、Q1,得 C1B0+B0Q0=C1P1,B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1 以及 C0Q1=C0B0+B0P′0。 四式相加, 利用 B1C1+C1B0=B1C0+C0B0 以及 P′0 在 B0P0 或其延长线上, 有 B0P0=B0P′0。 从而可知点 P′0 与点 P0 重合。由于圆弧 Q1P0 的圆心 C0、圆弧 P0Q0 的圆心 B0 以及

P0 在同一直线上,所以圆弧 Q1P0 和 P0Q0 相内切于点 P0。
(2) 现在分别过点 P0 和 P1 引上述相应相切圆弧的公切线 P0T 和 P1T 交于点 T。 又 过点 Q1 引相应相切圆弧的公切线 R1S1,分别交 P0T 和 P1T 于点 R1 和 S1。连接 P0Q1 和 P1Q1,得等腰三角形 P0Q1R1 和 P1Q1S1。基于此,我们可由 ∠P0Q1P1=π ? ∠P0Q1R1? ∠P1Q1S1=π ? (∠P1P0T? ∠Q1P0P1)? (∠P0P1T? ∠Q1P1P0) 而π? ∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0,代入上式后,即得 1 1 ?P0Q1 P (?P (?P 1 ?? ? 1P 0T ? ?P 0P 1T ) ,同理可得 ?P 0 Q0 P 1 ?? ? 1P 0T ? ?P 0P 1T ) 。 2 2 所以四点 P0、Q0、Q1、P1 共圆。 二、 (本题满分 50 分)已知无穷数列{an}满足 a0=x,a1=y, an ?1 ?
an an ?1 ? 1 ,n=1、 an ? an ?1

2、?。 (1)对于怎样的实数 x 与 y,总存在正整数 n0,使当 n0?n 时 an 恒为常数? (2)求数列{an}的通项公式。 解: (1)我们有 an ? an?1 ? an ?

an an?1 ? 1 a2 ?1 ,n=1、2、?。 ? n an ? an?1 an ? an?1

(2.1)

所以,如果对某个正整数 n,有 an+1=an,则必有(an)2=1,且 an+an?1≠0。 如果该 n=1,我们得|y|=1 且 x≠? y。 (2.2) 如果该 n>1,我们有 an ? 1 ?
an?1an?2 ? 1 (a ? 1)(an?2 ? 1) ,n?2, ? 1 ? n?1 an?1 ? an?2 an?1 ? an?2

(2.3)

和 an ? 1 ?

an?1an?2 ? 1 (a ? 1)(an?2 ? 1) ,n?2。 ? 1 ? n?1 an?1 ? an?2 an?1 ? an?2

(2.4)

2 将 式 ( 2.3 ) 和 ( 2.4 ) 两 端 相 乘 , 得 an ?1 ?

2 an a2 ?1 ?1 ? 1 , n?2 。 ? n?2 an?1 ? an?2 an?1 ? an?2

(2.5) 由(2.5)递推,必有(2.2)或|x|=1 且 y≠? x。 (2.6) 反之,如果条件(2.2)或(2.6)满足,则当 n?2 时,必有 an=常数,且常数是 1 或-1。 (2)由(2.3)和(2.4) ,我们得到
an ? 1 ,则当 n?2 时, an ? 1 an ? 1 an ?1 ? 1 an ?2 ? 1 ,n?2。 ? ? an ? 1 an?1 ? 1 an ?2 ? 1

(2.7)

记 bn ?

2 2 3 2 bn ? bn?1bn?2 ? (bn?2bn?3 )bn?2 ? bn ?2bn?3 ? (bn?3bn?4 ) bn?3 ? bn?3bn?4 ? ?

由此递推,我们得到

an ? 1 y ? 1 Fn?1 x ? 1 Fn?2 ?( ) ?( ) ,n?2, an ? 1 y ?1 x ?1

(2.8) (2.9)

这里 Fn=Fn?1+Fn?2,n?2,F0=F1=1。 由 ( 2.9 ) 解 得

Fn ?

1 1 ? 5 n?1 1 ? 5 n?1 [( ) ?( ) ] 2 2 5



( 2.10 ) 上式中的 n 还可以向负向延伸,例如 F?1=0,F?2=1。 这样一来,式(2.8)对所有的 n?0 都成立。由(2.8)解得

( x ? 1) Fn?2 ( y ? 1) Fn?1 ? ( x ? 1) Fn?1 ( y ? 1) Fn?2 an ? ( x ? 1) Fn?2 ( y ? 1) Fn?1 ? ( x ? 1) Fn?1 ( y ? 1) Fn?2
) 式(2.11)中的 F?1、F?2 由(2.10)确定。



n?0

。 ( 2.11

?x ? y ? z ? w ? 2 ? 2 2 2 2 ?x ? y ? z ? w ? 6 三、 (本题满分 50 分)解方程组 ? 3 。 3 3 3 ? x ? y ? z ? w ? 20 ? x 4 ? y 4 ? z 4 ? w4 ? 66 ?
解:令 p=x+z、q=xz,我们有 p =x +z +2q,p =x +z +3pq,p =x +z +4p q? 2q 。同 2 2 2 3 3 3 4 4 4 2 2 样,令 s=y+w、t=yw,有 s =y +w +2t,s =y +w +3st,s =y +w +4s t? 2t 。 在此记号系统下,原方程组的第一个方程为 p=s+2。 (3.1) 2 2 3 3 2 4 4 3 2 于是 p =s +4s+4 ,p =s +6s +12s+8,p =s +8s +24s +32s+16。现在将上面准备的 p2 、 p3 、 p4 和 s2 、 s3 、 s4 的 表 达 式 代 入 , 得 x2+z2+2q=y2+w2+2t+4s+4 , x3+z3+3pq=y3+w3+3st+6s2+12s+8,x4+z4+4p2q?2q2=y4+w4+4s2t?2t2+8s3+24s2+32s+16。 利用原方程组的第二至四式化简,得 q=t+2s? 1, (3.2) 2 pq=st+2s +4s?4, (3.3) 2 2 2 2 3 2 2p q? q =2s t?t +4s +12s +16s?25。 (3.4) s 将(3.1)和(3.2)代入(3.3) ,得 t ? ? 1 , (3.5) 2 5s 将(3.5)代入(3.2) ,得 q ? ? 2 , (3.6) 2 将(3.1) (3.5) (3.6)代入(3.4) ,得 s=2。所以有 t=0,p=4,q=3。 这样一来,x、z 和 y、w 分别是方程 X 2 ? 4 X ? 3 ? 0 和 Y 2 ? 2Y ? 0 的两根,即
2 2 2 3 3 3 4 4 4 2 2

?x ? 3 ?x ? 1 ?y ? 2 ?y ? 0 或? ,且 ? 或? 。详言之,方程组有如下四组解:x=3,y=2, ? ?z ? 1 ?z ? 3 ?w ? 0 ?w ? 2

z=1,w=0;或 x=3,y=0,z=1,w=2;或 x=1,y=2,z=3,w=0;或 x=1,y=0,z=3,

w=2。
注:如果只得到一组解,或者不完整,最多得 40 分。

2006 年全国高中数学联赛加试试题的另解 杜伟杰 (广东仲元中学 2006 年全国高中数学联赛加试第一题

511400)

以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与 ?AB0 B1 的边 ABi 交于 Ci (i ? 0,1) 。 在 AB0 的延

? Q 交 C B 的延长线于 长线上任取点 P0 ,以 B0 为圆心, B0 P0 为半径作圆弧 P 0 0 1 0
? P 交 B A 的延长线于 P ;以 B 为圆 Q0 ;以 C1 为圆心, C1Q0 为半径作圆弧 Q 0 1 1 1 1

P1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1 ;以 C0 为圆心, C0Q1 为半 心, B1 P1 为半径作圆弧 ?
径作圆弧 Q1 P0' ,交 AB0 的延长线于 P0' 。 试证: (1) (2)

?

? Q 相切于点 P ; ?Q 与P 点 P0' 与点 P0 重合,且圆弧 P 0 1 0 0 0
四点 P0 、 Q0 、 Q1 、 P1 共圆。 (原题图略) 第(1)问的证明略,下面着重讨论第 2 问的另一种证明方法: 构思:证明四点共圆,如果能找(或猜测)到该圆的圆心,转而证明圆心到 四点距离相等,也是一个常用的方法,那么圆心究竟在哪里? 试验:由题意可以知道: C1 B0 ? C1 B1 ? C0 B1 ? C0 B0 =常数(大于 B0 B1 ) 。 利用《几何画板》制作如图 1 所示的试验场景,其中圆 O 为四边形 P0Q0Q1P 1 的外 接圆。

C1B0 = C1B1 = C0B1 = C0B0 =

4.07852 厘米 1.87466 厘米 4.61694 厘米 1.33625 厘米
A

C1B0+C1B1 = 5.95318 厘米 C0B1+C0B0 = 5.95318 厘米
P1

O C1 C0

Q1

B1

B0

Q0 P0

拖动点 A观察圆心 O的位置变化

图1 拖动点 A ,观察圆心 O 位置的变化,猜测点 O 可能是 ?AC1B0 的内心与 。利用《几何画板》中的测 ?AC0 B1 的内心(这两个三角形的内心可能是重合的) 量工具测得相关角的度数,可以验证这个猜想是正确的! 所以我们就有了下面的另解: 证明:首先证明 ?AC1B0 的内心与 ?AC0 B1 的内心重合: 假设这两个三角形的内心不重合,并设 O 为 ?AC1B0 的内心, M 、 N 、 F 分 别为切点。则可从点 B1 引圆 O 的切线与圆 O 切于点 E 、与线段 AB0 交于点 D , 而且点 D 与点 C0 不重合,如图 2。 由切线性质,可以得到:
A

B1 E ? B1M , DE ? DN ???????.①

C1 F ? C1M , B0 F ? B0 N ??????..②
分别将①、②中的等式相加,得到:
C1

M N O F E D C0 B1 B0

B1 D ? B1M ? DN ?????????..③

C1 B0 ? C1M ? B0 N ????????. ④

③-④: B1 D ? C1 B0 ? B1M ? C1M ? ( B0 N ? DN ) ∴ DB1 ? DB0 ? C1 B1 ? C1 B0 又因为

图2

C0 B1 ? C0 B0 ? C1 B1 ? C1 B0 DB1 ? DB0 ? C0 B1 ? C0 B0




P1 A

∴ DB1 ? DC0 ? C0 B1 ,这与点 D 与点 C0 不重合矛盾,所以假设不成立,因此:

?AC1B0 的内心与 ?AC0 B1 的内心重合。
设 ?AC1B0 、 如图 3。 ?AC0 B1 的内心为 O ,
B1

O Q1 C1 C0

B0 Q0

由 于 直 线 OC0 平 分 ?AC0 B1 , 又

C0Q1 ? C0 P0' ,∴直线 OC0 垂直平分线段 P0'Q1 ,∴ OP0' ? OQ1
同理: 直线 OB0 垂直平分线段 P0 Q0 ,∴ OP 0 ? OQ0 直线 C1O 垂直平分线段 P ∴ OP 1 ? OQ0 1Q0 , 3 直线 B1O 垂直平分线段 P 1Q1 ,∴ OP 1 ? OQ 1
' ∴ OQ1 ? OQ0 ,∴ OP 0 ? OP 0

P0



? Q 相切 ?Q 与P 又点 P 、 P0' 都在 AB0 的延长线上,∴点 P0 、 P0' 重合,且圆弧 P 0 1 0 0
于点 P0 。 ∴ OP 1 ? OP 0 ? OQ 1 ? OQ0 所以四点 P0 、 Q0 、 P1 、 Q1 共圆

二〇〇五年高中数学联赛试卷

一、选择题 1. 使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是 A.

6? 3

B.

3

C.

6? 3

D.

6

2. 空间四点 A、 B、 C、 D, 满足 | AB |? 3 、 则 AC ? BD | CD |? 11、 | DA |? 9 , | BC |? 4 、 的取值 A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有 无 穷 多 D' 个 3. △ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线交此圆于 A1、B1、C1 A' A B C AA ? BB1 ? cos ? CC1 ? cos D 1 ? cos 2 2 2 的值是 三点,则 A sin A ? sin B ? sin C A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图,ABCD-A'B'C'D'为正方体,任作平面 α 与对角线 AC'垂直,使 α 与 正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为 S,周长为 l, 则 A. S 是定值,l 不是定值 B. S 不是定值,l 是定值 C. S、l 均是定值 D. S、l 均不是定值

C' B' C B

x2 y2 5. 方程 ? ? 1 表示的曲线是 sin 2 ? sin 3 cos 2 ? cos 3
A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的椭圆 B. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线

? a a a3 a4 ? 6. 记集合 T ? ?0,1,2,3,4,5,6} , M ? ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ai ? T , i ? 1,2,3,4? ,将 M 中的 2 ?7 7 7 7 ?
元素按从大到小顺序排列,则第 2005 个数是 5 5 6 3 5 5 6 2 A. ? 2 ? 3 ? 4 B. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 7 7 7 7 1 1 0 4 1 1 0 3 ? 2? 3? 4 D. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 7 7 7 7 二、填空题 7. 将多项式 f ( x) ? 1 ? x ? x 2 ? x3 ? ?? x19 ? x 20 表示为关于 y 的多项式 g ( y ) ? C.

a0 ? a1 y ? a2 y2 ? ? ? a19 y19 ? a20 y20 ,且 y ? x ? 4 ,则 a0 ? a1 ? ? ? a20 =__________。
8. f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若 f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 4a ? 1) 成立,则 实数 a 的取值范围是_____________。

9. 设

α 、 β 、 γ

满 足 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? , 若 对 任 意 x ? R ,

cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? 0 成立,则 ? ? ? =_____。

10. 如图,四面体 DABC 的体积为

1 AC ? 2 ,则 ,∠ACB=45°, AD ? BC ? 6 2

CD=_________。
11. 正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上,另外两顶点在 y ? x 2 上, 则正方形面积的最小值为_____________。 12. 若自然数 a 的各位数字之和为 7,则称 a 是“吉祥数” 。将所有“吉 祥数”从小到大排成一列:a1、a2、a3?,若 an=2005,则 a5n=______。 三、解答题
2 7an ? 45an ? 36 13. 数列{an} 满足 a0=1 , an?1 ? , n ? N ,证明:(1) 对于任意 2

D C A B

n ? N ,a 为整数;(2)对于任意 n ? N , an an?1 ? 1为完全平方数。

14. 将编号为 1、2、3、?9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个 等分点上各一个小球,设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 S,求值 S 达到最小值的方法的 概率 (若某种方法, 经旋转或镜面反射可与另一种方法重合, 则认为是相同方法) 。 2 15. 过抛物线 y=x 一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D,交 y 轴于 B,C 在抛 AE BF ? ?1 ,F 在线段 BC 上, ? ?2 ,且 λ 1+λ 2=1,线 物线上,E 在线段 AC 上, EC FC 段 CD 与 EF 交于 P,当 C 在抛物线上移动时,求 P 的轨迹方程。

二○○五年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准

说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只 设 9 分和 0 分两档; 其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给 分,不要再增加其它中间档次。 2. 如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时 可参考本评分标准适当划分档次评分,5 分为一个档次,不要再增加其他中间档

次。 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是 正确的。 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。 每小题选对得 6 分; 不选、 选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1.使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是( A. 6 ? 3 解 : B. 3 令 C. 6 ? 3 D. 6 )

y?

3

x?

6

?

x ,则

?

3 x

y2 ? ( x ? 3) ? (6 ? x) ? 2 ( x ? 3)(6 ? x) ? 2[( x ? 3)
?(6 ? x)] ? 6. ?0 ? y ? 6,?实数k 的最大值为 6 。选 D。

2.空间四点 A、B、C、D 满足 | AB |? 3, | BC |? 7, | CD |? 11, | DA |? 9, 则

AC ? BD 的取值(
A.只有一个 个

) B.有二个 C.有四个 D.有无穷多

? 解 : 注 意 到 32 ? 112 ? 1 1 3 ?0 7 2 ? 9 2 , 由 于 AB ? BC ? CD ? DA ? 0, 则
DA2 ? DA =
2

( AB ? BC ? CD) 2 ? AB2 ? BC2 ? CD 2 ? 2( AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB) ? AB2 ?

BC 2 ? CD 2 ? 2( BC ? AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB) ? AB2 ? BC 2 ? CD 2 ? 2( AB ?
BC) ? (BC ? CD), 即 2 AC ? BD ? AD2 ? BC2 ? AB2 ? CD 2 ? 0,? AC ? BD 只有一个值
得 0,故选 A。 3. ?ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线延长 后 分 别 交 此 圆 于

2

A1



B1



C1

。 则

A B C ? BB1 ? cos ? CC1 ? cos 2 2 2 的值为( ) sin A ? sin B ? sin C A.2 B.4 C.6 D.8 A A? B ?C B C ) ? 2sin( ? ? ) 解:如图,连 BA 1 ? 2sin( B ? 1 ,则 AA 2 2 2 2 AA1 ? cos

? 2 cos(

B C ? ). 2 2

? AA1 cos

A B C A A? B ?C A?C ? B ? ? ? 2 cos( ? ) cos ? cos ? cos ? cos( ? C ) ? cos( ? B) 2 2 2 2 2 2 2 2 B C A ? sin C ? sin B,同理BB1 cos ? sin A ? sin C , CC1 cos ? sin A ? sin B,? AA1 cos ? BB1 ? 2 2 2 B C 2(sin A ? sin B ? sin C ) cos ? CC1 cos ? 2(sin A ? sin B ? sin C ),? 原式 ? ? 2.选A. 2 2 sin A ? sin B ? sin C

4. 如图,ABCD ? A?B ?C ?D ? 为正方体。 任作平面 ? 与对角线 AC ? 垂直,使得 ? 与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多 边形的面积为 S,周长为 l .则( ) A.S 为定值, l 不为定值 B.S 不为定值,l 为定值 C.S 与 l 均为定值 D.S 与 l 均不为定值 解:将正方体切去两个正三棱锥 A ? A?BD与 C ? ? D?B?C 后,得到 一个以平行平面 A?BD与D?B?C 为上、下底面的 几何体 V,V 的每个侧面都是等腰直角三角形, 截面多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的 一条边平行,将 V 的侧面沿棱 A?B ? 剪开,展平 在一张平面上,得到一个

A?B ?B1 A1 ,而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 A?A1 平行的线段(如图中
,显然 E ?E1 ? A?A1 ,故 l 为定值。 E ?E1 ) 当 E ? 位于 A?B ? 中点时,多边形 W 为正六边形,而当 E ? 移至 A? 处时,W 为正 三角形,易知周长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为 S 不为定值。选 B。 5.方程

3 2 3 2 l 与 l ,故 24 36

x2 sin 2 ? sin 3

?

y2 cos 2 ? cos 3

? 1 表示的曲线是(



A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆
? 2 ? 3 ? ? ,? 0 ? 解:

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线
2 ? 2 ? 3?

?

?
2

?

?
2

,? cos(

?
2

? 2 ) ? cos( 3 ?

?
2

), 即

sin 2 ? sin 3.
又0? 2 ?

? ?

, ? 3 ? ? ,? cos 2 ? 0, cos 3 ? 0,? cos 2 ? cos 3 ? 0, 方 程 2 2

表示的曲线是椭圆。
? (sin 2 ? sin 3 ) ? (cos 2 ? cos 3 ) ? 2 2 sin 2? 3 2? 3 ? sin( ? ) ??(?) 2 2 4

2? 3 2? 3 ? ? 0,? sin ? 0, ? 2 2 2 2 2? 3 ? ? sin( ? ) ? 0,? (?)式 ? 0. 2 4 ? ?

?

2 ? 3 3? 3? ? ,? ? 2 4 4

2? 3 ? ? ? ?. 2 4

即 sin 2 ? sin 3 ? cos 2 ? cos 3.?曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆,选 C。 6.记集合 T ? {0,1,2,3,4,5,6}, M ? {
a1 a 2 a3 a 4 ? ? ? | ai ? T , i ? 1,2,3,4}, 将 M 中 7 7 2 73 7 4

的元素按从大到小的顺序排列,则第 2005 个数是( 5 5 6 3 5 5 6 2 A. ? 2 ? 3 ? 4 B. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 7 7 7 7 1 1 0 4 1 1 0 3 C. ? 2 ? 3 ? 4 D. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 7 7 7 7



解:用 [a1a2 ?ak ] p 表示 k 位 p 进制数,将集合 M 中的每个数乘以 7 4 ,得

M ? ? {a1 ? 73 ? a2 ? 72 ? a3 ? 7 ? a4 | ai ?T , i ? 1, 2,3, 4} ? {[a1a2a3a4 ]7 | ai ?T , i ? 1, 2,3, 4}.
M?

中的最大数为 [6666 ]7 ? [2400 ]10 。

在 十 进 制 数 中 , 从 2400 起 从 大 到 小 顺 序 排 列 的 第 2005 个 数 是 2400-2004=396。而 [396]10 ?
1 1 0 4 [1104 ]7 将此数除以 7 4 ,便得 M 中的数 ? 2 ? 3 ? 4 . 故选 C。 7 7 7 7 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。

7. 将关于 x 的多项式 f ( x) ? 1 ? x ? x 2 ? x 3 ? ? ? x19 ? x 20 表为关于 y 的多项 式 g ( y) ?

a0 ? a1 y ? a2 y 2 ? ? ? a19 y19 ? a20 y 20 , 其中 y ? x ? 4. 则 a0 ? a1 ? ? ? a20 ?

5 21 ? 1 . 6

解:由题设知, f ( x) 和式中的各项构成首项为 1,公比为 ? x 的等比数列,

由 等 比 数 列 的 求 和 公 式 , 得 : f ( x) ?

(? x) 21 ? 1 x 21 ? 1 ? . 令 x ? y ? 4, 得 ? x ?1 x ?1

g ( y) ?

( y ? 4) 21 ? 1 , 取 y ? 1, y?5
5 21 ? 1 . 6

有 a0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 20 ? g (1) ?

8.已知 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的减函数,若 f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 4a ? 1)
1 成立,则 a 的取值范围是 0 ? a ? 或1 ? a ? 5. 3





? f ( x)



(0,??)











1 7 2a 2 ? a ? 1 ? 2(a ? ) 2 ? ? 0;3a 2 ? 4a ? 1 ? (3a ? 1) 4 8 1 ? (a ? 1), 仅当 a ? 1 或 a ? 时, 3a 2 ? 4a ? 1 ? 0.(?) 3

? f ( x)



(0,??)












1 或 3

? 2a 2 ? a ? 1 ? 3a 2 ? 4a ? 1, ? a 2 ? 5a ? 0,? 0 ? a ? 5, 结 合 ( * ) 知 0 ? a ?
1 ? a ? 5.

9. 设 ? 、 ? 、 ?
x ? R, c o x s ?? () ? c ox s ?? ()? cos(x ? ? ) ? 0, 则 ? ? ? ?
4? . 3

满 足 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? , 若 对 于 任 意

解:设 f ( x) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ), 由 x ? R , f ( x) ? 0 知,
f (?? ) ? 0, f (?? ) ? 0, f (? ? ) ? 0, 即 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?1, cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?1, cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?1. ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?
1 2? 4? ? . ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,? ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? { , }, 2 3 3



? ? ? ? ? ? ?,? ? ? ?

? ? ? . 只有 ? ? ? ? ? ? ? ?

2? 4? .?? ? ? ? . 3 3 2? 2? 4? , 有 ? ?? ? ,? ? ? ? , ?x ? R, 记 另 一 方 面 , 当 ? ?? ? ? ? ? ? 3 3 3 x ?? ?? , 由 于 三 点 2? 2? 4? 4? (cos ? , sin ? ), (cos( ? ? ), sin(? ? )), (cos( ? ? ), sin(? ? )) 构 成 单 位 圆 3 3 3 3

x2 ? y2 ? 1 上 正 三 角 形 的 三 个 顶 点 . 其 中 心 位 于 原 点 , 显 然 有
c o? s?c o ? s( ? 2? 4? )?c o ? s( ? ) ? 0. 3 3

即 cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? 0. 10. 如 图 , 四 面 体 DABC 的 体 积 为
?ACB ? 45?, AD ? BC ? AC 2
1 ,且满足 6

? 3, 则 CD ? 3 .

1 1 1 解:? AD ? ( ? BC ? AC ? sin 45?) ? VDABC ? , 3 2 6

即 AD ? BC ?

AC 2

? 1. 又 3 ? AD ? BC ? AC 2

AC 2

? 3 AD ? BC ?

AC 2

? 3,

等 号 当 且 仅 当 AD ? BC ?

? 1 时 成 立 , 这 时 AB ? 1, AD ? 面 ABC ,

? DC ? 3 .
11.若正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上,另外两个顶点在抛物线

y ? x 2 上.则该正方形面积的最小值为

80

.

解:设正方形的边 AB 在直线 y ? 2 x ? 17 上,而位于抛物线上的两个顶点坐 标为 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 CD 所在直线 l 的方程 y ? 2 x ? b, 将直线 l 的方程与 抛物线方程联立,得 x 2 ? 2 x ? b ? x1, 2 ? 1 ? b ? 1. 令正方形边长为 a, 则 a 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 5( x1 ? x2 ) 2 ? 20(b ? 1). ① 在 y ? 2 x ? 17 上 任 取 一 点 ( 6 , ,5 ) , 它 到 直 线 y ? 2x ? b 的 距 离 为

a,? a ?

| 17 ? b | 5

②.

2 ①、②联立解得 b1 ? 3, b2 ? 63.?a 2 ? 80, 或 a 2 ? 1280 . ? amin ? 80.

12.如果自然数 a 的各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数”.将所有“吉 祥数”从小到大排成一列 a1 , a2 , a3 ,?, 若 an ? 2005 , 则 a5 n ? 5200.
m 解 : ∵ 方 程 x1 ? x2 ? ? ? xk ? m 的 非 负 整 数 解 的 个 数 为 Cm ? k ?1 . 而 使 m?1 m ? 7 ,可知, k 位“吉祥数”的 x1 ? 1, xi ? 0(i ? 2) 的整数解个数为 Cm ? k ?2 .现取

个数为 P(k ) ? Ck6?5 .
6 6 ∵2005 是形如 2abc 的数中最小的一个“吉祥数” ,且 P(1) ? C6 ? 1, P(2) ? C7 ? 7, 6 P(3) ? C8 ? 28, 对于四位“吉祥数”1abc,其个数为满足 a ? b ? c ? 6 的非负整数 6 解个数,即 C6 ?3?1 ? 28 个。

∵2005 是第 1+7+28+28+1=65 个“吉祥数” ,即 a65 ? 2005 . 从而 n ? 65,5n ? 325.
6 6 又 P(4) ? C9 ? 84, P(5) ? C10 ? 210, 而 ? P(k ) ? 330.
k ?1 5

∴ 从 大 到 小 最 后 六 个 五 位 “ 吉 祥 数 ” 依 次 是 : 70000 , 61000,60100,60010,60001,52000.∴第 325 个 “吉祥数” 是 52000, 即 a5n ? 5 2 0 0 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.数列 {an } 满足: a0 ? 1, an?1 ?
2 7an ? 45an ? 36

.

2

, n ? N.

证明: (1)对任意 n ? N , an 为正整数;(2)对任意 n ? N , an an?1 ? 1 为完全平方数。 证明: ( 1 ) 由 题 设 得 a1 ? 5, 且 {an } 严 格 单 调 递 增 . 将 条 件 式 变 形 得
2 2 2 2a n ?1 ? 7a n ? 45a n ? 36 , 两边平方整理得 an ?1 ? 7an an?1 ? an ? 9 ? 0



2 2 ? an ? 7an?1an ? an ?1 ? 9 ? 0



①-②得 (an?1 ? an?1 )(an?1 ? an?1 ? 7an ) ? 0,? an?1 ? an ,?an?1 ? an?1 ? 7an ? 0 ?

an?1 ? 7an ? ab?1 .



由③式及 a0 ? 1, a1 ? 5 可知, 对任意 n ? N , an 为正整数.??????????10 分 (2)将①两边配方,得 (a n ?1 ? a n ) 2 ? 9(a n a n ?1 ? 1),? a n a n ?1 ? 1 ? ( 由③ an?1 ? an ? 9an ? (an?1 ? an ) ≡ ?(an ? an?1 ) ? mod3? ∴ an?1 ? an ≡ (?1)n ? a1 ? a0 ? ≡0(mod3)∴ ④式成立.
an ?1 ? an 为正整数 3

a n ?1 a n 2 ) .④ 3

? an an?1 ? 1











数.????????????????????????20 分 14.将编号为 1,2,?,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个 等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S. 求使 S 达到最小值的放法的概率.(注:如果某种放法,经旋转或镜面反射后可 与另一种放法重合,则认为是相同的放法) 解:九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上,每点放一个,相当于九 个不同元素在圆周上的一个圆形排列,故共有 8!种放法,考虑到翻转因素,则本质不 8! 同的放法有 种. ?5 分 2 下求使 S 达到最小值的放法数:在圆周上,从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径,对 其中任一条路径,设 x1 , x2 ,?, xk 是依次排列于这段弧上的小球号码,则

| 1 ? x1 | ? | x1 ? x2 | ??? || xk ? 9 |?| (1 ? x1 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ? ? ( xk ? 9) |?| 1 ? 9 |? 8.
上式取等号当且仅当 1 ? x1 ? x2 ? ? ? xk ? 9 ,即每一弧段上的小球编号都是由 1 到 9 递增排列. 因 此

S 最小 ? 2 ? 8 ? 16.?????????????????????????10 分
由上知,当每个弧段上的球号 {1, x1 , x2 ,? xk ,9} 确定之后,达到最小值的排序 方案便唯一确定. 在 1,2,?,9 中,除 1 与 9 外,剩下 7 个球号 2,3,?,8,将它们分为两
0 1 2 3 个子集,元素较少的一个子集共有 C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? 26 种情况,每种情况对应

着圆周上使 S 值达到最小的唯一排法,即有利事件总数是 2 6 种,故所求概率

P?

26 1 ? . ?????20 分 8! 315 2

15.过抛物线 y ? x 2 上的一点 A(1,1)作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D, 交 y 轴于 B.点 C 在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足 上,满足
AE ? ?1 ;点 F 在线段 BC EC

BF ? ? 2 ,且 ?1 ? ?2 ? 1 ,线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移 FC 动时,求点 P 的轨迹方程.

解一:过抛物线上点 A 的切线斜率为: y? ? 2x | x?1 ? 2,?切线 AB 的方程为
1 y ? 2 x ? 1. ? B、D 的 坐 标 为 B (0,?1), D ( ,0),? D 是 线 段 AB 2 点. ??????5 分 AE 2 ? ?1 知, 设 P( x, y) 、 C( x0 , x0 ) 、 E ( x1 , y1 ) 、 F ( x2 , y2 ) ,则由 EC
2 1 ? ?1 x0 1 ? ?1 x0 x1 ? , y1 ? ; 1 ? ?1 1 ? ?1 2 ? 2 x0 ? 1 ? ? 2 x0 x2 ? , y2 ? . 1 ? ?2 1 ? ?2

的 中

BE ? ?2 , FC





EF
2 1 0







线









1? ? x 1 ? ?1 x0 x? 1 ? ?1 1 ? ?1 ? , 2 2 ? 1 ? ? 2 x0 1 ? ?1 x0 ? 2 x0 1 ? ?1 x0 ? ? 1 ? ?2 1 ? ?1 1 ? ?2 1 ? ?1 y?
2 2 化简得 [(?2 ? ?1 ) x0 ? (1 ? ?2 )]y ? [(?2 ? ?1 ) x0 ? 3]x ? 1 ? x0 ? ?2 x0 . ?①???? 10

分 当 x0 ?
2 2 x 2 x ? x0 1 时,直线 CD 的方程为: y ? 0 ?② 2 2 x0 ? 1

x ?1 ? x? 0 ? ? 3 联立①、②解得 ? , 消 去 x0 , 得 P 点 轨 迹 方 程 为 : 2 ? y ? x0 ? 3 ?
1 y ? (3 x ? 1) 2 . ???15 分 3

当 x0 ?

1 3 1 1 3 1 时, EF 方程为: ? y ? ( ? 2 ? ?1 ? 3) x ? ? ? 2 , CD 方程为: 2 2 4 4 2 4

1 ? ? x? , ? ? 1 2 ? 2 ? x? , 联立解得 ? ∴ x0 ? 1,? x ? . ? 也在 P 点轨迹上.因 C 与 A 不能重合, 2 3 ? y ? 1 .? ? ? 12 ? ?

∴ 所 求 轨 迹 方 程 为 1 2 y ? (3 x ? 1) 2 ( x ? ). ??????????????????20 分 3 3 1 解二:由解一知,AB 的方程为 y ? 2 x ? 1, B(0,?1), D( ,0), 故 D 是 AB 的中 2 点. ??5 分 CD CA CB , t1 ? ? 1 ? ?1 , t 2 ? ? 1 ? ? 2 , 则 t1 ? t 2 ? 3. 因为 CD 为 ?ABC 的中线, 令? ? CP CE CF

? S ?CAB ? 2S ?CAD ? 2S ?CBD .


S S t ?t 1 CE ? CF S ?CEF 1 1 1 3 3 ? ? ? ?CEP ? ?CFP ? ( ? )? 1 2 ? ,?? ? , t1t 2 CA ? CB S ?CAB 2S ?CAD 2S ?CBD 2 t1? t 2? 2t1t 2? 2t1t 2? 2
?P ?ABC 是 的 心. ???????????????????????????10 分
2 设 P( x, y),C( x0 , x0 ), 因点 C 异于 A,则 x0 ? 1, 故重心 P 的坐标为
2 0 ? 1 ? x0 1 ? x0 ? 1 ? 1 ? x0 x2 1 2 ? , ( x ? ), y ? ? 0 , 消去 x0 , 得 y ? (3 x ? 1) 2 . 3 3 3 3 3 3



x?

















1 2 y ? (3 x ? 1) 2 ( x ? ). ??????????????????20 分 3 3

2005 年全国高中数学联赛试题(二) 一、 (本题满分 50 分) 如图,在△ABC 中,设 AB>AC,过 A 作△ABC 的外接圆的切线 l,又以 A 为圆 心,AC 为半径作圆分别交线段 AB 于 D;交直线 l 于 E、F。 证明:直线 DE、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

(注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆, 旁切圆的圆心称为旁心。 ) 证明: (1)先证 DE 过△ABC 的内心。 如图,连 DE、DC,作∠BAC 的平分线分别交 DC 于 G、DE 于 I,连 IC,则由 AD=AC, 得,AG⊥DC,ID=IC. 又 D、C、E 在⊙A 上, 1 ∴∠IAC= ∠DAC=∠IEC,∴A、I、C、E 四点共圆, 2 ∴∠CIE=∠CAE=∠ABC,而∠CIE=2∠ICD, 1 ∴∠ICD= ∠ABC. 2 1 1 ∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+ ∠ABC,∴∠ACI= ∠ACB,∴I 为△ABC 的内 2 2 心。 (2)再证 DF 过△ABC 的一个旁心. 连 FD 并延长交∠ABC 的外角平分线于 I1,连 II1、B I1、B I,由(1)知,I 为内心, ∴∠IBI1=90°=∠EDI1,∴D、B、l1、I 四点共圆, ∵∠BI l1 =∠BDI1=90°-∠ADI1 1 1 =( ∠BAC+∠ADG)-∠ADI= ∠BAC+∠IDG,∴A、I、I1 共线. 2 2 I1 是△ABC 的 BC 边外的旁心 二、 (本题满分 50 分) 设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy ? bz ? a, az ? cx ? b; bx ? ay ? c. 求函数 f ( x, y, z ) ?

x2 y2 z2 的最小值. ? ? 1? x 1? y 1? z

解:由条件得, b(az ? cx ? b) ? c(bx ? ay ? c) ? a(cy ? bz ? a) ? 0 , 即 2bcx ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 0 ,
b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 ,z ? . ?x ? ,同理,得 y ? 2ac 2ab 2bc

? a、b、c、x、y、z 为正数,据以上三式知,
b2 ? c 2 ? a 2 , a 2 ? c2 ? b2 , a 2 ? b2 ? c 2 ,
故以 a、b、c 为边长,可构成一个锐角三角形 ABC,
? x ? cos A, y ? cos B, z ? cosC ,问题转化为:在锐角△ABC 中,

求函数 f (cos A 、 cos B 、 cos C )=

cos2 A cos2 B cos2 C ? ? 的最小值. 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cosC

令 u ? cot A, v ? cot B, w ? cot C, 则 u, v, w ? R ? , uv ? vw ? wu ? 1, 且 u 2 ? 1 ? (u ? v)(u ? w), v 2 ? 1 ? (u ? v)(v ? w), w2 ? 1 ? (u ? w)(v ? w).
u2 u2 ?1 u u2 ?1

cos A ? ? 1 ? cos A

2

?

u2 u 2 ? 1( u 2 ? 1 ? u )

?

u 2 ( u 2 ? 1 ? u) u2 ?1

1?

? u2 ?

u3 u2 ?1

u2 ?

u3 (u ? v)(u ? w)

? u2 ?

u3 1 1 ( ? ), 2 u?v u?w

同理,

cos2 B v3 1 1 cos2 C w3 1 1 ? v2 ? ( ? ), ? w2 ? ( ? ). 1 ? cos B 2 u ? v u ? w 1 ? cosC 2 u?w v?w

1 u 3 ? v 3 v 3 ? w3 u 3 ? w3 1 ? f ? u 2 ? v 2 ? w2 ? ( ? ? ) ? u 2 ? v 2 ? w 2 ? [(u 2 ? uv ? v 2 ) 2 u?v v?w u?w 2

1 1 (uv ? vw ? uw) ? . ( 取 等 号 当 且 仅 当 2 2 1 1 u ? v ? w ,此时, a ? b ? c, x ? y ? z ? ), [ f ( x, y, z )] min ? . 2 2 三、 (本题满分 50 分)

+ (v 2 ? vw ? w 2 ) ? (u 2 ? uw ? w 2 )] ?

当n为平方数, ?0 ? 对每个正整数 n,定义函数 f (n) ? ? 1 . ?[{ n }]当n不为平方数 ?

(其中[x]表示不超过 x 的最大整数, {x} ? x ? [ x]). 试求: ? f (k ) 的值.
k ?1

240

解: 对任意 a, k ? N * , 若 k 2 ? a ? (k ? 1) 2 , 则 1 ? a ? k 2 ? 2k , 设 a ? k ? ? ,0 ? ? ? 1, 则
1 ? 1 ? 1 a ?k ? a ? k 2k ? ? 2k 1 2k ? ? ? 1,?[ ]?[ ]. 2 2 2 a?k a?k a?k a ?k2 { a}

{ a} ?

让 a 跑遍区间 (k 2 , (k ? 1) 2 )中的所有整数,则
( n ?1) 2 n 2k

k 2 ? a ?( k ?1) 2

?

[

2k 1 2k ] ? ?[ ], {a} i i ?1

于是

?
a ?1

f (a) ? ?? [
i ?1 i ?1

2k ??① ] i

下面计算 ? [
i ?1

2k

2k ], 画一张 2k×2k 的表,第 i 行中,凡是 i 行中的位数处填写 i
2k 2k 2k ] 个,全表的“*”号共 ? [ ] 个;另一方面, i i i ?1

“*”号,则这行的“*”号共 [

按列收集“*”号数,第 j 列中,若 j 有 T(j)个正因数,则该列使有 T(j)个 “*”号,故全表的“*”号个数共

?T ( j) 个,因此 ?[ i
j ?1
i ?1

2k

2k

2k

] = ?T ( j) .
j ?1

2k

示例如下: j i 1 2 3 4 5 6 则
n n 2k

1 *

2 * *

3 * *

4 * * *

5 *

6 * * *

*

? f (a) ? ??T ( j) ? n[T (1) ? T (2)] ? (n ? 1)[T (3) ? T (4)] ?? ? [T (2n ? 1) ? T (2n)]
i ?1 i ?1 j ?1

??② 由此, ? f (k ) ?? (16 ? k )[T (2k ? 1) ? T (k )] ??③
k ?1 k ?1 256 15

记 ak ? T (2k ? 1) ? T (2k ), k ? 1,2,?,15, 易得 ak 的取值情况如下:

k
ak

1 3

2 5
16 n

3 6

4 6
15

5 7

6 8

7 6

8 9

9 8

10 8

11 8

12 10

13 7

14 10

15 10

因此, ? f (k ) ?? (16 ? k )ak ? 783??④
k ?1 k ?1

据定义 f (256) ? f (162 ) ? 0 , 又当 k ?{241 ,242,?,255 }, 设k ? 152 ? r

(16 ? r ? 30) ,
?

k ? 15 ? 152 ? r ? 15 ?

r r r ? ? , 2 15 ? r ? 15 31 15 ? r ? 15 30
2

r

1?

1 30 1 31 ] ? 1, k ? {241 ,242,?,255 } ??⑤ ? ? ? 2 ,则 [ r { 152 ? r } r { k}
240 i ?1 256 i ?1

从则 ? f (k ) ? 783? ? f (k ) ? 783? 15 ? 768.

2004 年全国高中数学联合竞赛试题第一试 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、设锐角θ 使关于 x 的方程 x2+4xcosθ +cotθ =0 有重根,则θ 的弧度数为() A.π /6 B.π /12 或 5π /12 C.π /6 或 5π /12 D.π /12 2、已知 M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}。若对所有 m∈R 均有 M∩N 不是 空集,则 b 的取值范围是() A.[-√6/6,√6/6] B.(-√6/6,√6/6) C.(-2√3/3,2√3/3]D.[-2√3/3,2√3/3] 3、不等式 √(log2x - 1) + (1/2)(log1/2x3 + 2) > 0 的解集为() A.[2,3) B.(2,3] C.[2,4) D.(2,4] 4、设 O 点在三角形 ABC 内部,且有(0→A)+2(0→B)+3(O→C)=(0→0),则三角形 ABC 和三角形 A0C 的面积与的面积的比为() [ 注释:(0→X)表示从 O 到 X 的向量,特别地(0→0)表示零向量 ] A.2 B.3/2 C.3 D.5/3 5、设三位数 n 的百位、十位、个位数字依次为 a、b、c,若以 a,b,c 为三条 边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数 n 有() A.45 个 B.81 个 C.165 个 D.216 个 6、顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面 圆内的点,O 为底面圆的圆心,AB 垂直于 OB,垂足为 B,OH 垂直于 PB,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则当三棱锥 O-HPC 的体积最大时,OB 的长是() A.√5/3 B.2√5/3 C.√6/3 D.2√6/3 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7、在平面直角坐标系 xoy 中,函数 f(x) = a×sin ax + cos ax (a>0)在一个 最小正周期长的区间上的图像与函数 g(x) = √(a2+1) 的图像所围成的封闭图 形的面积是_____。 8 、 设 函 数 f : R → R , 满 足 f(0)=1 且 对 任 意 实 数 x,y 都 有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则 f(y)=_____。 9、正方体中 ABCD-A1B1C1D1,二面角 A-BD1-A1 的度数是_____。 10、 设 p 是给定的奇质数, 正整数 k 使得√(k2-pk)也是一个正整数, 则 k=_____。 11、 已知数列 a0,a1,a2,?,an 满足关系式(3-an-1)(6+an)=18, 且 a0=3。 设 Xi=1/ai 则 X0+X1+X2+?+Xn 的值是_____。 12、在平面直角坐标系 XOY 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4),点 P 在 X 轴上移 动,当∠MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为_____。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛

掷所出现的点数之和大于 2 ,则算过关。 问: (Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关? (Ⅱ)他连过前三关的概率是多少?(注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3, 4, 5, 6 点数的均匀正方体。 抛掷骰子落地静止后, 向上一面的点数为出现点数。 ) 14、在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点 A(0,3/4),B(-1,0),C(1,0),点 P 到直 线 BC 的距离是该点到直线 AB,AC 距离的等比中项。 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ) 若直线 L 经过△ABC 的内心 (设为 D) , 且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点, 求 L 的斜率 k 的取值范围。 15 、 已 知 α , β 是 方 程 4x2-4tx-1=0 (t ∈ R) 的 两 个 不 等 实 根 , 函 数 f(x)=(2x-t)/(x2+1)的定义域为[α ,β ]。 (Ⅰ)求 g(t) = max f(x) - min f(x); (Ⅱ)证明:对于 ui∈(0,π /2) (i=1,2,3),G(x)=1/g(tan x)。若 sin u1 + sin u2 + sin u3 = 1,则 G(u1)+G(u2)+G(u2)<3√6/4。

n

2004 年全国高中数学联合竞赛试题(1 试) 第 一 试 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、 设锐角 ? 使关于 x 的方程 x2 ? 4 x cos? ? cot ? ? 0 有重根, 则 ? 的弧度数为 ( A. )

? 6

B.

?
12

or

5? 12

C.

?
6

or

5? 12

D.

? 12

2、已知 M ? {( x, y) | x2 ? 2 y 2 ? 3}, N ? {( x, y) | y ? mx ? b} 。若对所有

m ? R, 均有 M ? N ? ? ,则 b 的取值范围是(
? 6 6? , A. ? ? ? ? 2 2 ? ? 6 6? B. ? ?? 2 , 2 ? ? ? ?


2 3 2 3 , ] 3 3
? 2 3 2 3? , D. ? ? ? 3 ? ? 3

C. (?

1 3、不等式 log 2 x ? 1 ? log 1 x3 ? 2 ? 0 的解集为( 2 2

) D. (2, 4]

A. [2,3)

B. (2,3]

C. [2, 4)

??? ? ??? ? ??? ? ? 4、设 O 点在 ?ABC 内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积与 ?AOC 的
面积的比为( A. 2 ) B.
3 2 5 3

C. 3

D.

5、设三位数 n ? abc ,若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边) 三角形,则这样的三位数 n 有( )

A. 45 个 B. 81 个 C. 165 个 D. 216 个 6、顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面 圆内的点,O 为底面圆的圆心, AB ? OB ,垂足为 B, OH ? PB ,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则当三棱锥 O-HPC 的体积最大时,OB 的长是( ) A.
5 3

B.

2 5 3

C.

6 3

D.

2 6 3

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7、在平面直角坐标系 xoy 中,函数 f ( x) ? a sin ax ? cos ax (a ? 0) 在一个最小正 周期长的区间上的图像与函数 g ( x) ? a2 ? 1 的图像所围成的封闭图形的面积是 ________________。 8、设函数 f : R ? R, 满足f (0) ? 1 ,且对任意 x, y ? R, 都有
f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2 ,则 f ( x) =_____________________ 。 D1
C1

9、如图、正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 二面角 A ? BD1 ? A1 的度数是____________。

A1 F E D

B1

10、设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k 2 ? pk 也 是一个正整数,则 k=____________。
A

C

B

11、已知数列 a0 , a1 , a2 ,..., an ,..., 满足关系式 (3 ? an?1 )(6 ? an ) ? 18, 且a0 ? 3 ,则 ?
i ?o

n

1 ai

的值是_________________________。 12、在平面直角坐标系 XOY 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4) ,点 P 在 X 轴上移动,当 ?MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为___________________。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛 掷所出现的点数之和大于 2n ,则算过关。问: (Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关? (Ⅱ)他连过前三关的概率是多少? (注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体。抛掷 骰子落地静止后,向上一面的点数为出现点数。 )
4 14、在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点 A(0, ), B(?1, 0), C (1, 0) ,点 P 到直线 BC 3

的距离是该点到直线 AB,AC 距离的等比中项。 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ) 若直线 L 经过 ?ABC 的内心 (设为 D) , 且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点, 求 L 的斜率 k 的取值范围。 2x ? t 15、 已知 ? , ? 是方程 4x2 ? 4tx ?1 ? 0 (t ? R) 的两个不等实根, 函数 f ( x) ? 2 的 x ?1 定义域为 ?? , ? ? 。 (Ⅰ)求 g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ;

? (Ⅱ)证明:对于 ui ? (0, )(i ? 1, 2,3) ,若 sin u1 ? sin u2 ? sin u3 ? 1, 2
则 1 1 1 3 ? ? ? 6。 g (tan u 1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 4

二○○四年全国高中数学联合竞赛试题 参考答案及评分标准 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、解:因方程 x2 ? 4 x cos? ? cot ? ? 0 有重根,故 ? ? 16cos2 ? ? 4cot ? ? 0
?0 ? ? ? ? 2? ?

?
2

, ? 4 cot ? (2sin 2? ? 1) ? 0

得 sin 2? ?

?
6

或 2? ?

5? ? 5? 或 ,于是 ? ? 。 6 12 12

1 2

故选 B。

2 、 解 : M ? N ? ? 相 当 于 点 ( 0 , b ) 在 椭 圆 x2 ? 2 y 2 ? 3 上 或 它 的 内 部
? 2b 2 6 6 。 ? 1, ?? ?b? 3 2 2

故选 A。

3 3 1 ? ? log 2 x ? 1 ? log 2 x ? ? ? 0 3、解:原不等式等价于 ? 2 2 2 ? log x ? 1 ? 0 ? 2
? 3 2 1 ?t ? t ? ? 0 设 log 2 x ? 1 ? t , 则有 ? 2 2 ? ?t ? 0

解得 0 ? t ? 1 。

即 0 ? log2 x ?1 ? 1, ?2 ? x ? 4 。

故选 C。
A

4、解:如图,设 D,E 分别是 AC,BC 边的中点,

D

O

??? ? ???? ???? OA ? OC ? 2OD (1) 则 ??? ? ???? ???? ? 2(OB ? OC ) ? 4OE (2)

由(1) (2)得, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? OA ? 2OB ? 3OC ? 2(OD ? 2OE) ? 0 ,

???? ??? ? 即 OD与OE 共线,
???? ??? ? 且 | OD |? 2 | OE | ? S?AEC 3 S 3? 2 ? , ? ?ABC ? ? 3 , 故选 C。 S?AOC 2 S?AOC 2

5、解:a,b,c 要能构成三角形的边长,显然均不为 0。即 a, b, c ?{1, 2,...,9} (1)若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为 n1 ,由于三位数中三个数码
1 都相同,所以, n1 ? C9 ? 9。

(2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为 n2 ,由于三位数 中只有 2 个不同数码。设为 a、b,注意到三角形腰与底可以置换,所以可取的
2 数码组(a,b)共有 2C9 。但当大数为底时,设 a>b,必须满足 b ? a ? 2b 。此时,

不能构成三角形的数码是 a 9 8 b 4,3 2,1 4,3 2,1

7 3,2 1

6 3,2 1

5 1,2

4 1,2

3 1

2 1

1

共 20 种情况。 同时,每个数码组(a,b)中的二个数码填上三个数位,有 C32 种情况。
2 2 2 故 n2 ? C3 (2C9 ? 20) ? 6(C9 ?10) ? 156 。 综上, n ? n1 ? n2 ? 165 。

6、解:? AB ? OB, AB ? OP, ? AB ? PB, 又OH ? PB

?面PAB ? 面POB, ?OH ? HC, OH ? PA 。C 是 PA 中点,? OC ? PA

?当HO ? HC时S?HOC 最大,
也即 VO? HPC ? VP?HCO 最大。 此时,

1 HO ? 2, 故HO= OP, ??HPO ? 300 2 , 2 6 ? OB ? OP ? tan 300 ? 3

故选 D。 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
1 2? 7、解: f ( x) ? a 2 ? 1sin(ax ? ? ), 其中? ? arctan ,它的最小正周期为 ,振幅 a a

为 a2 ?1 。由 f ( x) 的图像与 g ( x) 的图像围成的封闭图形的对称性,可将这图形 割补成长为
2? 2? 、宽为 a2 ?1 的长方形,故它的面积是 a a a2 ? 1 。

8、解:? 对?x, y ? R, 有f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2,

?有f ( xy ? 1) ? f ( y) f ( x) ? f ( x) ? y ? 2

? f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x ? 2 = f ( y ) f ( x) ? f ( x) ? y ? 2
即 f ( x) ? y ? f ( y) ? x, 令y ? 0, 得f ( x) ? x ? 1 。 9、解:连结 D1C, 作CE ? BD1 ,垂足为 E,延长 CE 交 A1B 于 F,则 FE ? BD1 ,连 结 AE,由对称性知 AE ? BD1 , ??FEA 是二面角 A ? BD1 ? A1 的平面角。
D1 C1

连结 AC,设 AB=1, 则 AC ? AD1 ? 2, BD1 ? 3.
A1 F E D C A B1

AB ? AD1 2 , 在Rt ?ABD1 中, AE ? ? BD1 3
4

?2 2 1 在 ?AEC中, cos ?AEC ? AE ? CE ? AC ? 2 AE ? AC ? 3 ?? 2
2 2 2 2

B

2 AE ? CE

2 AE

4 3

2

??AEC ? 1200 , 而?FEA是?AEC 的补角,??FEA ? 600 。

p ? p 2 ? 4n2 10、 解: 设 k ? pk ? n, n ? N , 则 k ? pk ? n ? 0, k ? , 从而 p 2 ? 4n2 2
2 * 2 2

是平方数,设为 m2 , m ? N * , 则 (m ? 2n)(m ? 2n) ? p2

? p2 ? 1 m? ? ? m ? 2n ? 1 ? 2 ? p是质数,且p ? 3, ? ? , 解得 ? 2 2 ? m ? 2n ? p ?n ? p ? 1 ? ? 4
?k ? p ? m 2 p ? ( p 2 ? 1) ( p ? 1)2 ? ,故k ? 。 (负值舍去) 2 4 4

11、解:设 bn ?

1 1 1 , n ? 0,1, 2,..., 则(3 ? )(6 ? ) ? 18, an bn?1 bn

1 1 1 即 3bn ?1 ? 6bn ? 1 ? 0. ? bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1 ? ? 2(bn ? ) 3 3 3 1 故数列 {bn ? } 是公比为 2 的等比数列, 3

1 1 1 1 1 1 bn ? ? 2n (b0 ? ) ? 2n ( ? ) ? ? 2n?1 ? bn ? (2n?1 ? 1) 。 3 3 a0 3 3 3
n n ? 1 1 1 i ?1 1 ? 2(2n?1 ? 1) ? b ? (2 ? 1) ? ? (n ? 1) ? ? ? 2n? 2 ? n ? 3? 。 ? ? ? i ? 3 ? 2 ?1 i ?o ai i ?0 i ?0 3 ? 3 n

12、解:经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3-x 上,设圆心 为 S(a,3-a) ,则圆 S 的方程为: ( x ? a)2 ? ( y ? 3 ? a)2 ? 2(1 ? a2 ) 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所 以,当 ?MPN 取最大值时,经过 M,N,P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P,即圆 S 的方程中的 a 值必须满足 2(1 ? a2 ) ? (a ? 3)2 , 解得 a=1 或 a=-7。

即对应的切点分别为 P(1,0)和P' (?7,0) ,而过点 M,N, p ' 的圆的半径大于过 点 M,N,P 的圆的半径,所以 ?MPN ? ?MP ' N ,故点 P(1,0)为所求,所以 点 P 的横坐标为 1。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、解:由于骰子是均匀的正方体,所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。 (Ⅰ)因骰子出现的点数最大为 6,而 6 ? 4 ? 24 , 6 ? 5 ? 25 ,因此,当 n ? 5 时,n 次出现的点数之和大于 2n 已不可能。即这是一个不可能事件,过关的概率为 0。 所以最多只能连过 4 关。 .......5 分 (Ⅱ)设事件 An 为“第 n 关过关失败” ,则对立事件 An 为“第 n 关过关成功” 。

第 n 关游戏中,基本事件总数为 6n 个。 第 1 关:事件 A1 所含基本事件数为 2(即出现点数为 1 和 2 这两种情况) ,

? 过此关的概率为: P ( A1 ) ? 1 ? P ( A1 ) ? 1 ?

2 2 ? 。 6 3

第 2 关:事件 A2 所含基本事件数为方程 x ? y ? a 当 a 分别取 2,3,4 时的正整数
1 1 1 解组数之和。即有 C1 。 ? C2 ? C3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 (个)

? 过此关的概率为: P( A2 ) ? 1 ? P( A2 ) ? 1 ?
........10 分

6 5 ? 。 62 6

第 3 关:事件 A3 所含基本事件为方程 x ? y ? z ? a 当 a 分别取 3,4,5,6,7,8 时的正整数解组数之和。即有
2 2 2 2 2 2 。 C2 ? C3 ? C4 ? C5 ? C6 ? C7 ? 1? 3 ? 6 ? 10 ? 15 ? 21 ? 56 (个)

? 过此关的概率为: P( A3 ) ? 1 ? P( A3 ) ? 1 ?
.........15 分

56 20 ? 。 63 27

2 5 20 100 ? 故连过前三关的概率为: P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? ? ? 。 3 6 27 243 ........20 分 (说明:第 2,3 关的基本事件数也可以列举出来) 4 4 14、解: (Ⅰ)直线 AB、AC、BC 的方程依次为 y ? ( x ? 1), y ? ? ( x ? 1), y ? 0 。 3 3

点 P( x, y) 到 AB、AC、BC 的距离依次为
d1 ? 1 1 | 4 x ? 3 y ? 4 |, d 2 ? | 4 x ? 3 y ? 4 |, d3 ?| y | 。依设, 5 5

2 d1d2 ? d3 , 得 |16x2 ? (3 y ? 4)2 |? 25 y2 ,即

化简得点 P 的轨迹方程为 16x2 ? (3 y ? 4)2 ? 25 y 2 ? 0, 或16 x2 ? (3 y ? 4)2 ? 25 y 2 ? 0 , 圆 S: 2x2 ? 2 y 2 ? 3 y ? 2 ? 0与双曲线T:8x2 ?17 y 2 ? 12 y ? 8 ? 0 (Ⅱ)由前知,点 P 的轨迹包含两部分 圆 S: 2x2 ? 2 y 2 ? 3 y ? 2 ? 0 与双曲线 T: 8x2 ?17 y 2 ? 12 y ? 8 ? 0 ① ② ......5 分

因为 B(-1,0)和 C(1,0)是适合题设条件的点,所以点 B 和点 C 在点 P 的

轨迹上,且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。
1 ?ABC 的内心 D 也是适合题设条件的点,由 d1 ? d2 ? d3 ,解得 D(0, ) ,且知它在 2 圆 S 上。直线 L 经过 D,且与点 P 的轨迹有 3 个公共点,所以,L 的斜率存在, 设 L 的方程为 1 y ? kx ? ③ 2 1 (i)当 k=0 时,L 与圆 S 相切,有唯一的公共点 D;此时,直线 y ? 平行于 x 2 轴,表明 L 与双曲线有不同于 D 的两个公共点,所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。......10 分 (ii)当 k ? 0 时,L 与圆 S 有两个不同的交点。这时,L 与点 P 的轨迹恰有 3 个 公共点只能有两种情况: 1 情况 1:直线 L 经过点 B 或点 C,此时 L 的斜率 k ? ? ,直线 L 的方程为 2 5 4 5 4 x ? ?(2 y ? 1) 。代入方程②得 y(3 y ? 4) ? 0 ,解得 E ( , )或F(- , )。表明直线 3 3 3 3 BD 与曲线 T 有 2 个交点 B、E;直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。 1 故当 k ? ? 时,L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 2 ......15 分 1 情况 2: 直线 L 不经过点 B 和 C (即 k ? ? ) , 因为 L 与 S 有两个不同的交点, 2

?8 x 2 ? 17 y 2 ? 12 y ? 8 ? 0 ? 所以 L 与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组 ? 有且 1 y ? kx ? ? ? 2
只有一组实数解,消去 y 并化简得 (8 ? 17 k 2 ) x 2 ? 5kx ? 该方程有唯一实数解的充要条件是 8 ? 17k 2 ? 0 或 (?5k ) 2 ? 4(8 ? 17 k 2 ) 解方程④得 k ? ?
25 ?0 4 25 ?0 4





2 2 34 ,解方程⑤得 k ? ? 。 2 17

1 2 34 2 ,? }。 综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集 {0, ? , ? 2 17 2

......20 分
2 15、解: (Ⅰ)设 ? ? x1 ? x2 ? ? , 则4x12 ? 4tx1 ?1 ? 0, 4x2 ? 4tx2 ?1 ? 0,

2 ? 4( x12 ? x2 ) ? 4t ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 0, ? 2 x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ?

1 ?0 2

则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

2 x2 ? t 2 x1 ? t ( x2 ? x1 ) ?t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2? ? ? 2 2 x2 ? 1 x12 ? 1 ( x2 ? 1)( x12 ? 1)
1 ? 0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 2

又 t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 故 f ( x) 在区间 ?? , ? ? 上是增函数。 分
1 ?? ? ? ? t , ?? ? ? , 4

.......5

? g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ? f ( ? ) ? f (? ) ?

( ? ? ? ) ?t (? ? ? ) ? 2?? ? 2?

? 2? 2 ?? 2 ? ? 2 ?1

5? ? t 2 ?1 ? t 2 ? ? 2 2 2 ? 8 t ? 1(2t ? 5) ? ? ? 25 16t 2 ? 25 t2 ? 16
(Ⅱ)证:
8 2 16 ( 2 ? 3) ? 24 cos ui cos ui cos ui cos ui g (tan ui ) ? ? 16 16 ? 9 cos 2 ui ? 9 cos 2 ui

......10 分

?

2 16 ? 24 16 6 ? (i ? 1, 2,3) 2 16 ? 9cos ui 16 ? 9cos 2 ui
3 3 1 1 3 1 ? (16 ? 9cos 2 ui ) ? (16 ? 3 ? 9 ? 3 ? 9)? sin 2 ui ) ....15 分 ? g (tan ui ) 16 6 i ?1 16 6 i ?1

??
i ?1
3

? ? sin ui ? 1, 且ui ? (0, ), i ? 1, 2,3 2 i ?1

?

?3? sin 2 ui ? (? sin ui ) 2 ? 1 ,而均值不等
i ?1 i ?1

3

3

式与柯西不等式中,等号不能同时成立,
? 1 1 1 1 1 3 ? ? ? (75 ? 9 ? ) ? 6 g (tan u 1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 16 6 3 4

......20

分 二○○四年全国高中数学联赛加试试卷 考生注意: 1、 本试卷共三大题,全卷满分 150 分.

2、 卷面的第 1 页、第 3 页、第 5 页印有试题,第 2 页、第 4 页、第 6 页是空白页,留作答 题用. 3、 用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 4、 解题书写不要超出装订线. 一. (本题满分 50 分) 在锐角三角形 ABC 中, AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H ,以 DE AC 于 F 、 G 两点, FG 与 AH 相交于点 K . 为直径的圆分别交 AB 、 已知 BC ? 25 , BD ? 20 , BE ? 7 ,求 AK 的长.
C

D G H K A F E B

二. (本题满分 50 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,y 轴正半轴上的点列 ? An ? 与曲线 y ? 2 x( x ? 0 ) 上的点列 ?Bn ? 满足 OAn ? OBn ? 坐标为 bn , n ? N * . (I)证明 an ? an?1 ? 4 , n ? N * . ( II ) 证 明 有
1 ,直线 An Bn 在 x 轴上的截距为 an ,点 Bn 的横 n

n0 ? N *

, 使 得 对

? n ? n0

, 都 有

b b b2 b3 ? ? ? ? n ? n?1 ? n ? 2004 . b1 b2 bn?1 bn

三. (本题满分 50 分) 对于整数 n ? 4 ,求出最小的整数 f ? n ? ,使得对于任何正整数 m ,集合

?m, m? 1,? ,m? n ? 1 ? 的任一个 f ? n ? 元子集,均有至少 3 个两两互素的元素.

2003 年全国高中数学联合竞赛试卷 一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)本题共有 6 小题, 评卷 每题均给出 A、 B、 C、 D 四个结论, 其中有且仅有一个是正确的, 得分 人 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括 号内) ,一律得 0 分)。 1.删去正整数数列 1,2,3,??中的所有完全平方数,得到一个新数列, 这个新数列的第 2003 项是 A.2046 B.2047 C.2048 D.2049 答 ( ) 2.设 a,b∈R,ab≠0,那么直线 ax-y+b=0 和曲线 bx2+ay2=ab 的图形 是

y x

y x

y x

y x

A
( )

B

C

D


3.过抛物线 y2=8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60o 的直线,若此直线与抛物 线交于 A、B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于

A.
( )

16 3

B.

8 3

C.

16 3 3

D. 8 3


4.若 x ? (?

A.

12 2 5

2? ? ? 5? ? , ? ) ,则 y ? tan(x ? ) ? tan(x ? ) ? cos(x ? ) 的最大值是 3 6 6 12 3 11 2 11 3 12 3 B. C. D. 6 6 5

答 ( 5.已知 x,y 都在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u ?
8 5 24 11 12 . 7



4 9 ? 的最小 2 4?x 9 ? y2

值是

A.

B.

C

D.


12 5





6.在四面体 ABCD 中,设 AB=1,CD= 3 ,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角 为
?
3

,则四面体 ABCD 的体积等于

A.
( 得 分 )

3 2

B.

1 2

C.

1 3

D.

3 3



评卷 人

二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题, 要求直接将答案写在横线上。 7 . 不 等 式 | x | 3 - 2x2 - 4| x | + 3 < 0 的 解 集 是 ____________________.
x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, P 是椭圆上的点,且|PF1| : |PF2| 9 4

8. 设 F1, F2 是椭圆

=2 : 1,则三角形 ? PF1F2 的面积等于______________. 9.已知 A={x|x2-4x+3<0,x∈R},B={x|21-x+a?0,x2-2(a+7)+

5?0,x∈R},若 A ? B,则实数 a 的取值范围是___________________. 10.已知 a,b,c,d 均为正整数,且 loga b ? , logc d ?
3 2 5 ,若 a-c=9,则 4

b-d =

. 11.将 8 个半径都为 1 的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相 邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于 ______________. 12.设 M n ={(十进制)n 位纯小数 0.a1a2 ? an |ai 只取 0 或 1(i=1,2,?,

n-1, an=1}, Tn 是 Mn 中元素的个数, Sn 是 Mn 中所有元素的和, 则 lim
得分 评 卷 人 三.解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13 . 设

n??

Sn =_______. Tn

3 ? x ? 5 , 证 明 不 等 式 2 2 x ? 1 ? 2x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 19 . 1 14.设 A,B,C 分别是复数 Z0=ai,Z1= +bi,Z2=1+ci(其中 a,b,c 2

都是实数)对应的不共线的三点,证明:曲线 Z=Z0cos4t+2Z1cos2t sin2t+Z2sin4t (t∈R) 与 ? ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点. 15. 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A,且 OA=a. 拆叠纸片, 使圆周上某一点 A/ 刚好与 A 点重合,这样的每一种拆法,都留下一条直线折痕, 当 A/取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合. 2003 年全国高中数学联合竞赛加试试卷 一. (本题满分 50 分)过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线,切点为 A,B 所作割线交圆于 C,D 两点,C 在 P,D 之间,在弦 CD 上取一点 Q,使∠ DAQ=∠PBC.求证:∠DBQ=∠PAC. 得分 评卷 人
P A C Q D B

得分

评卷 人

二. (本题满分 50 分)设三角形的三边分别是整数 l,m,n, 且 l>m>n,已知 {
3l 3m 3n } ? { } ? { } ,其中{x}=x-[x],而 104 104 104

[x]表示不超过 x 的最大整数.求这种三角形周长的最小值. 得分 评 卷 人 三. (本题满分 50 分)由 n 个点和这些点之间的 t 条连线段组 成一个空间图形,其中 n=q2+q+1,t?
1 q(q ? 1)2 ? 1 ,q?2, 2

q∈N,已知此图中任圆点不共面,每点至少有一条连线段,存 在一点至少有 q+2 条连线段,证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点 A, B,C,D 和四条连线段 AB,BC,CD,DA 组成的图形) .

2003 年全国高中数学联合竞赛试卷 试题参考答案及评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题 只设 9 分和 0 分两; 其它各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给 分,不要再增加其它中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷 时可参照本评分标准当划分档次评分,5 分为一个档次。不要再增加其它中间档 次. 一.选择题: 1. 注意到 452=2025, 462=2116, ∴2026=a2026—45=a1981, 2115=a2115—45=a2070. 而且在从第 1981 项到第 2070 项之间的 90 项中没有完全平方数. 又 1981+22=2003,∴a2003=a1981+22=2026+22=2048.故选(C).
x2 y2 ? 2 ? 1 ,则由观察可知应选(B). 2 a b 3.易知此抛物线焦点 F 与坐标原点重合,故直线 AB 的方程为 y ? 3 x ,因

2.题设方程可变形为 y=ax+b 和

此,A,B 两点的横坐标满足方程 3x2-8x-16=0,由此求得 AB 中点的横坐标
4 4 1 4 4 ?? ( x ? ) ,令 y ,纵坐标 y0 ? ,进而求得其中垂线方程为 y ? 3 3 3 3 3 16 16 =0,得 P 点的横坐标 x= ,即 PF= ,故选(A). 3 3 2? 2? ? 1 ? 4 . y ? tan( x ? ) ? cot( x ? ) ? cos( x ? ) ? ? cos( x ? ) 2? 2? 3 3 6 6 cos( x ? ) sin(x ? ) 3 3 2 ? ? ? cos( x ? ) 4? 6 sin(2 x ? ) 3

x0 ?

4? ? 2? ? ? ? 5? ? , ? ] , ∴ 2x ? ?[ , ] , x ? ?[? , ? ] , 因 此 3 2 3 6 4 6 12 3 2 ? 5? ? ? 与 cos( x ? ) 在 [? , ? ] 上同为增函数,故当 x ? ? 时,y 取最大 4? 6 12 3 3 s i n2(x ? ) 3 11 3 值 .故选(C) 6 35 1 1 1 5.由已知得 y ? ? ,故 u ? 1 ? ,而 x ? (?2 , ) ? ( , 2) ,故当 4 2 2 x 37 ? (9x2 ? 2 ) x 4 2 12 ,故选(D). 9x2 ? 2 ? x2 ? 时有最小值 3 5 x

因 为 x ∈ [?

6.如图,过 C 作 CE∥AB 且 CE=AB,以△CDE 为底面,BC 为侧棱作棱柱 ABF—ECD,则所求四面 体的体积 V1 等于上述棱柱体积 V2 的
1 . 而△CDE 的 3

面积 S= 故
V2 ?

1 CE×CD×sin∠ECD,AB 与 CD 的公垂线 MN 就是棱柱 ABF-ECD)的高, 2

1 3 1 1 MN ? CE ? CD ? s i ? n E C? D ,因此 V1 ? V2 ? ,故选(B). 2 2 3 2

二.填空题: 7.由原不等式分解可得(| x |-3)(x2+| x |-1)<0,由此得所求不等式 的解集为 (?3 , ?
5 ?1 5 ?1 )?( , 3) . 2 2

8.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为 2a、2b、2c,则由其方程知 a=3, b=2,c= 5 ,故,|PF1|+|PF2|=2a=6,又已知[PF1|:|PF2|=2:1,故可得 |PFl|=4, |PF2|=2. 在△PFlF2 中, 三边之长分别为 2, 4, 2 5, 而 22+42=(2 5 )2, 可见△PFlF2 是直角三角形,且两直角边的长为 2 和 4,故△PFlF2 的面积=4. 9.易得:A=(1,3),设 f (x) ? 21? x ? a , g(x) ? x2 ? 2(a ? 7)x ? 5 ,要使 A ? B , 只需 f (x)、g (x)在(1,3)上的图象均在 x 轴下方,其充要条件是 f (1)?0,f (3)?0,g (1)?0,g (3)?0,由此推出-4?a?-1. 10. 由已知可得:a 2 ? b , c 4 ? d ,从而 a ? ( )2 , c ? ( )4 ,因此 a|b, c|d.又
?b d2 ? 2 ?9 ? b d b d b d ? 由于 a-c=9,故 ( )2 ? ( )4 ? 9 ,即 ( ? 2 )( ? 2 ) ? 9 ,故得: ? a c 2 , a c a c a c ? b ? d ?1 ? ? a c2 ?a ? 25 , c ? 16 解得 ? .故 b-d=93. ?b ? 125 , d ? 32
2 2
3 5

b a

d c

11.如图,由已知,上下层四个球的球心 A/,B/,C/,D/ 和 A,B,C,D 分别是上下两个边长为 2 的正方形的顶点,且 以它们的外接圆⊙O/和⊙O 为上下底面构成圆柱,同时,A/在下 底面的射影必是弧 AB 的中点 M.在△A/AB 中,A/A=A/B=AB= 2.设 AB 的中点为 N,则 A/N= 3 . / 1 A M= 4 8 ,故所求 又 OM=OA= 2 ,ON=1,∴MN= 2- 原来圆柱的高为 4 8+2 . 12.∵Mn 中小数的小数点后均有 n 位,而除最后一位上的数字必为 1 外,其 余各位上的 数字均有两种选择(0 或 1)方法,故 Tn ? 2n?1 .又因在这 2n-1 个数 中, 小数点后第 n 位上的数字全是 1, 而其余各位上数字是 0 或 1, 各有一半. 故
1 n?1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ( ? 2 ? ? ? n?1 ) ? ? 2n?2 (1 ? n?1 ) ? 2n?1 ? n 2 10 10 9 10 10 10 Sn 1 1 1 1 ? lim[ (1 ? n ?1 ) ? n ] ? ∴ lim . n ?? T n ?? 18 18 10 10 n Sn ?

三.解答题: 13.解:∵(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ ac+ad+bc+bd+cd)?4(a2+b2+c2+d2) ∴ a ? b ? c ? d ? 2 a2 ? b2 ? c2 ? d 2 =c=d 时取等号) (当且仅当 a=b 5分

取 a ? b ? x ? 1 , c ? 2x ? 3 , d ? 15 ? 3x ,则
2 x ? 1 ? 2x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 (x ? 1) ? (x ? 1) ? (2x ? 3) ? (15 ? 3x) ? 2 x ? 14 ? 2 19

15 分 ∵ x ? 1 , 2x ? 3 , 15 ? 3x 不能同时相等 ∴ 2 x ? 1 ? 2x ? 3 ? 15 ? 3x<2 19 分 14.解:设 z=x+yi(x、y∈R),则
1 ? bi) cos2 t sin2 t ? (1 ? ci) sin4 t 2 ?x ? cos2 t sin2 t ? sin4 t ? sin2 t ∴? 2 2 ? y ? a(1 ? x) ? 2b(1 ? x) x ? cx x ? yi ? a cos4 t ? i ? 2(

20

∴y=(a+c-2b)x2+2(b-a)x+a,0?x?1 ① 又∵A、 B、 C 三点不共线, 故 a+c-2b≠0, 可见所给曲线是抛物线段(如图) 5分
1 a?b 3 b?c ),E( , ), 4 2 4 2 1 ∴直线 DE 的方程是 y ? (c ? a)x ? (3a ? 2b ? c) ② 4

AB、BC 的中点分别是 D( ,

10

分 由①②联立得: (a ? c ? 2b)( x ? )2 ? 0 分 ∵a+c-2b≠0,∴ ( x ? )2 ? 0 ? x ? 由于
1 2 1 2 1 2

15

1 1 3 ? ? ,∴抛物线与△ABC 中平行于 AC 的中位线有且仅有一个公共 4 2 4 1 a ? c ? 2b 1 a ? c ? 2b 点,此点的坐标为 ( , , 20 ) ,对应的复数为 z ? ? i 2 4 2 4

分 15.解:如图,以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则有 A(a,0).设折叠时, ⊙O 上点 A/( R cos ? , R sin? )与点 A 重合,而折痕 为直线 MN,则 MN 为线段 AA/的中垂线.设 P(x, y)为 MN 上任一点,则|PA/|=|PA| ∴ (x ? R cos? ) ? ( y ? R sin ) ? (x ? a) ? y 即 2R(x cos? ? y sin? ) ? R2 ? a2 ? 2ax 10 分
2 2 2 2

5分



x cos? ? y sin? x2 ? y 2

?

R2 ? a2 ? 2ax 2R x 2 ? y 2







sin(? ? ? ) ?

R2 ? a2 ? 2ax 2R x2 ? y 2

(sin? ?

x x2 ? y 2

, cos? ?

y x2 ? y 2

)

∴ 分

R 2 ? a 2 ? 2ax 2R x 2 ? y 2

?1

(此不等式也可直接由柯西不等式得到)

15

a 2 ) y2 2 ? 平方后可化为 ?1, R 2 R 2 a 2 ( ) ( ) ?( ) 2 2 2 a 2 (x ? ) y2 2 ? 即所求点的集合为椭圆圆 =1 外(含边界)的部分. R R a ( )2 ( )2 ? ( )2 2 2 2 (x ?

20 分 2003 年全国高中数学联合竞赛 加试试题参考答案及评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分. 2.如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷 时可参考本评分标准适当划分档次评分,10 分为一个档次,不要再增加其它中 间档次. 一.证明:联结 AB,在△ADQ 与△ABC 中,∠ADQ=∠ABC,∠DAQ=∠PBC=∠CAB 故△ADQ∽△ABC,而有 分 又由切割线关系知△PCA∽△PAD 得 同理由△PCB∽△PBD 得 分 又因 PA=PB,故 分 又由关于圆内接四边形 ACBD 的托勒密定理知 于是得:AB·CD=2AB·DQ,故 DQ= 分 在△CBQ 与△ABD 中, 分 二.解:由题设可知
3l 3l 3m 3m 3n 3n ? [ ] ? ? [ ] ? ? [ ] 104 104 104 104 104 104

BC DQ ,即 BC·AD=AB·DQ ? AB AD PC AC ; ? PA AD

10

PC BC ? PB BD

20

AC BC ,得 ? AD BD

AC·BD=BC·AD=AB·DQ

30

AC·BD+BC·AD=AB·CD
40

1 CD,即 CQ=DQ 2

AD DQ CQ ,∠BCQ=∠BAD,于是△CBQ∽△ABD, ? ? AB BC BC

故∠CBQ=∠ABD,即得∠DBQ=∠ABC∠PAC.

50

于是 3l≡3m≡3n(mod 104) ? ? 分

?3l ? 3m ? 3n (mod 24 ) l m n 5 ?3 ? 3 ? 3 (mod 2 )

① ②

10

由于(3,2)=(3,5)=1,∴由①可知 3l-n≡3m-n≡1 (mod 24). 设 u 是满足 3u≡1 (mod 24)的最小正整数,则对任意满足 3v≡1 (mod 24)的 正整数 v,我们有 u|v.事实上若 u 不整除 v,则由带余除法可知,存在非负整 数 a、 b, 使得 v=au+b, 其中 0<b?u-1, 从而可推出 3b≡3b+au≡3v≡1 (mod 24), 而这显然与 u 的定义矛盾. 注意到 3≡3 (mod 24),32≡9 (mod 24),33≡27≡11 (mod 24),34≡1 (mod 24),从而可设 m-n=4k,其中 k 为正整数 20 分 同理由②可推出 3m-n≡1 (mod 25),故 34k≡1 (mod 25) 现在我们求 34k≡1 (mod 25)满足的整数 k. ∵34=1+5×24,∴34k-1=(1+5×24)k-1≡0(mod 55) 30 分
k (k ? 1) k (k ? 1)(k ? 2) ? 52 ? 28 ? ? 53 ? 212 2 6 k (k ? 1)(k ? 2) ? 5k ? 52 k[3 ? (k ? 1) ? 27 ] ? ? 53 ? 211 ? 0( m 5 o4 )d 6 k (k ? 1)(k ? 2) 2 11 或 k ? 5k[3 ? (k ? 1) ? 27 ] ? ? 5 ? 2 ? 0(mod53) 3 即 5k ? 24 ?

即有 k=5t,并代入该式得 t+5t[3+(5t-1)×27]≡0(mod 52) 即 k=5t=53s,其中 s 为整数,故 m-n=500s,s 为正整数 同理可得 l-n=500r,r 为正整数 分

40

由于 l>m>n,∴r>s 这样三角形的三边为 500r+n、500s+n 和 n,由于两边之差小于第三边, 故 n>500(r-s), 因此当 s=1, r=2, n=501 时三角形的周长最小, 其值为 3003. 50 分 三.证:设这 n 个点的集合 V={A0,A1,A2,??,An-1}为全集,记 Ai 的所 有邻点(与 Ai 有连线段的点)的集合为 Bi,Bi 中点的个数记为|Bi|=bi,显然

? b ? 2l 且 b ?(n-1)
i
i

n ?1 i ?0

(i=0,1,2,??,n-1).


l ? (n ? 1) ? [





bi



n



1











n ?1 1 1 则图中必存在四边形, 因此 ] ? 1 ? (q ? 1)(n ? 1) ? 1 ? q(q ? 1)2 ? 1, 2 2 2

下面只讨论 bi<n-1(i=0,1,2,??,n-1)的情况. 10 分 不妨设 q+2?b0<n-1 用反证法若图中不存在四边形,则当 i≠j 时,Bi 与 Bj 无公共点对,即|Bi ∩Bj|?1(0?i<j?n-1) 因此 | Bi ? B0 | ? bi ? 1 (i=0,1,2,??,n-1)
2 故 V ? B0 中点对的个数= Cn ?b0 ? ? Bi ? B0 中点对的个数 i ?0 n ?1

20


2 = ? C|2 ? ? Cb B ?B | i ?1 i ?0
i 0

n ?1

n ?1 i ?0

2 (当 bi=1 或 2 时,令 Cb =0) i ?1

1 = 2

?

n ?1

bi )2 n ?1 1 (bi2 ? 3bi ? 2) ? [ i ?0 ? 3( bi ) ? 2(n ? 1)] 2 n ?1 i ?0 i ?0 (

?

n ?1

?

30


1 (2l ? b0 )2 1 [ ? 3(2l ? b0 ) ? 2(n ? 1)] ? (2l ? b0 ? n ? 1)(2l ? b0 ? 2n ? 2) 2 n ?1 2(n ? 1) 1 [(n ? 1)(q ? 1) ? 2 ? b0 ? n ? 1][( n ? 1)(q ? 1) ? 2 ? b0 ? 2n ? 2] ? 2(n ? 1) 1 (nq ? q ? 2 ? b0 )(nq ? q ? n ? 3 ? b0 ) = 2(n ? 1)



故(n-1)(n-b0)(n-b0-1)?(nq-q+2-b0)(nq-q-n+3-b0) q(q+1)(n-b0)(n-b0-1)?(nq-q+2-b0)(nq-q-n+3-b0) ① 40 分 但(nq -q- n+ 3- b0) -q(n- b0- 1)= (q - 1)b0- n +3? (q - 1)(q+ 2)-n +3=0 ② 及(nq-q+2-b0)-(q+1)(n-b0)=qb0-q-n+2?q(q+2)-q-n+2=1 >0 ③ 由②③及(n-b0) (q+1)、(n-b0-1) q 皆是正整数,得 (nq-q+2-b0) (nq-q-n+3-b0)>q (q+1) (n-b0) (n-b0-1) 这与①式相矛盾,故原命题成立. 50 分

二○○二年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题只设 6 分的 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档, 其它各题的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再啬其他中间档次。 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请 参照本评分标准适当档次评分,可以 5 分为一个档次,不要再增加其它中间档 次。 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、 函数 f(x)= log 1 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的单调递增区间是
2

(A) (-∞,-1) (B) (-∞,1) (C) (1,+∞) (D) (3, +∞) 解:由 x2-2x-3>0 ? x<-1 或 x>3,令 f(x)= log 1 u , u= x2-2x-3,故选 A
2

2、

若实数 x, y 满足(x+5) +(y?12) =14 ,则 x2+y2 的最小值为

2

2

2

(A) 2

(B) 1

(C)

3

(D)

2
解:B 3、
x x ? x 2 1? 2 (A) 是偶函数但不是奇函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 解:A

函数 f(x)=

(B) 是奇函数但不是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数

4、

直线

x y x2 y2 ? ? 1 椭圆 ? ? 1 相交于 A,B 两点,该圆上点 P,使得⊿PAB 面 4 3 16 9

积等于 3,这样的点 P 共有 (A) 1 个 (B) 2 个 个 解:设 P1(4cos?,3sin?) (0<?< 虑四边形 P1AOB 的面积 S。

(C) 3 个

(D) 4

? ),即点 P1 在第一象限的椭圆上,如图,考 2

1 1 ? S= S ?OAP1 ? S ?OBP1 = ? 4 ? 3 sin ? ? ? 3 ? 4 cos ? =6(sin?+cos?)= 6 2 sin(? ? ) 2 2 4

∴Smax=6 2 ∵S⊿OAB=6 ∴ ( S ?P1 AB ) max ? 6 2 ? 6 ∵ 6 2 ? 6 <3
B O

y P1 A x

∴点 P 不可能在直线 AB 的上方,显然在直线 AB 的下方有两个点 P,故选 B 5、 已知两个实数集合 A={a1, a2, ? , a100}与 B={b1, b2, ? , b50},若从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中的每一个元素都有原象,且 f(a1)?f(a2)???f(a100),则这 样的映射共有
50 (A) C100 50 (B) C 90 49 (C) C100 49 (D) C 99

解:不妨设 b1<b2<?<b50,将 A 中元素 a1, a2, ? , a100 按顺序分为非空的 50 组, 定义映射 f:A→B,使得第 i 组的元素在 f 之下的象都是 bi (i=1,2,?,50),易 知这样的 f 满足题设要求, 每个这样的分组都一一对应满足条件的映射,于是满 足题设要求的映射 f 的个数与 A 按足码顺序分为 50 组的分法数相等,而 A 的分
49 49 法数为 C 99 ,则这样的映射共有 C 99 ,故选 D。

6、

由曲线 x2=4y, x2= ?4y, x=4, x= ?4 围成图形绕 y 轴旋转一周所得为旋转 体的体积为 V1,满足 x2+y2?16, x2+(y-2)2?4, x2+(y+2)2?4 的点(x,y)组成的图

形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V2,则 1 2 (A) V1= V2 (B) V1= V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V2 2 3 解:如图,两图形绕 y 轴旋转所得的旋转 y y 4 体夹在两相距为 8 的平行平面之间,用任 4 意一个与 y 轴垂直的平面截这两个旋转 体, 设截面与原点距离为|y|, 则所得截面 面积 4 x -4 -4 o o 2 ∵S1=?(4 ?4|y|) , S2=?(42?y2)??[4?(2?|y|)2]=?(4 -4 2 -4 ?4|y|) ∴ S1=S2 由祖暅原理知,两个几何体体积相等。故远 C。 二、 填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7、 已知复数 Z1,Z2 满足|Z1|=2, |Z2|=3,若它们所对应向量的夹角为 60°,则
z1 ? z 2 = z1 ? z 2

4 x


z1 ? z 2 133 = z1 ? z 2 7

解:由余弦定理得|Z1+Z2|= 19 , |Z1?Z2|= 7 ,
1 2 x
4

8、

将二项式 ( x ?

) n 的展开式按 x 的降幂排列,若前三项系数成等差数列,

则该展开式中 x 的指数是整数的项共有 个。 1 1 解:不难求出前三项的系数分别是 1, n, n(n ? 1) , 2 8 1 1 ∵ 2 ? n ? 1 ? n(n ? 1) 2 8
r 1 r ∴当 n=8 时, Tr ?1 ? C n ( ) x 2 16 ?3r 4

P1 P2 P3 P10 P5 P8 P7 P9 P6

P4

(r=0,1,2,?,8)

∴r=0,4,8,即有 3 个 9、 如图, 点 P1,P2,?,P10 分别是四面体点或棱的中点, 那 么在同一平面上的四点组(P1, Pi, Pj, Pk)(1<i<j<k?10)有 个。 解:首先,在每个侧面上除 P1 点外尚有五个点,其中任意三点组添加点 P1 后组
3 3 成的四点组都在同一个平面,这样三点组有 C5 个,三个侧面共有 3 C5 个。

其次,含 P1 的每条棱上三点组添加底面与它异面的那条棱上的中点组成的 四点组也在一个平面上,这样的四点组有 3 个
3 ∴共有 3 C5 +3=33 个

10、

已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1 且对任意 x∈R 都有

f(x+5)?f(x)+5 f(x+1)?f(x)+1 若 g(x)=f(x)+1?x,则 g(2002)= 。 解:由 g(x)=f(x)+1?x 得 f(x)=g(x)+ x ?1 ∴g(x+5)+(x+5)?1?g(x)+(x?1)+5 g(x+1)+(x+1)?1?g(x)+(x?1)+5 ∴g(x+5)?g(x), g(x+1)?g(x) ∴g(x)?g(x+5)?g(x+4)?g(x+3)?g(x+2)?g(x+1)?g(x) ∴g(x+1)=g(x) ∴T=1 ∵g(1)=1 ∴g(2002)=1 11、 若 log4 ( x ? 2 y) ? log4 ( x ? 2 y) ? 1 ,则|x|?|y|的最小值是 。

?x ? 2 y ? 0 ? x ? 2 | y |? 0 ? ?? 2 解: ? x ? 2 y ? 0 2 ?( x ? 2 y )(x ? 2 y ) ? 4 ? x ? 4 y ? 4 ?

由对称性只考虑 y?0,因为 x>0,所以只须求 x?y 的最小值。 令 x?y=u 代入 x2?4y2=4 中有 3y2?2uy+(4?u2)=0 ∵y∈R ∴⊿?0 ? u ? 3 ∴当 x ?
4 3 时,u= 3 ,故|x|?|y|的最小值是 3 3, y ? 3 3

12、 使不等式 sin2x+acosx+a2?1+cosx 对一切 x∈R 恒成立的负数 a 的取值范围 是 。 2 解:∵sin x+acosx+a2?1+cosx ∴ (cos x ? ∵a<0, ∴当 cosx=1 时,函数 y ? (cos x ?
a ?1 2 a ?1 2 ) 有最大值 (1 ? ) 2 2

a ?1 2 (a ? 1) 2 ) ? a2 ? 2 4

a ?1 2 (a ? 1) 2 2 ) ?a ? ? a2+a-2?0 ? a?-2 或 a?1 ∴ (1 ? 2 4

∵a<0 ∴负数 a 的取值范围是(-∞,2] 三、 解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、 已知点 A(0,2)和抛物线 y=x2+4 上两点 B、C 使得 AB⊥BC,求点 C 的纵坐标 的取值范围。 解:设 B 点坐标为 B(y12?4,y1),C 点坐标为 C(y2?4,y)

显然 y12?4≠0,故 k AB ? 分 ∵AB⊥BC ∴KBC= ?(y1+2)

y1 ? 2 1 ? 2 y1 ? 4 y1 ? 2

????5

2 ? ? y ? y1 ? ?( y1 ? 2)[x ? ( y1 ? 4)] ∴? 2 ? ?y ? x ? 4

?(2+y1)(y+y1)+1=0 2 ???? ?y1 +(2+y)y1+(2y+1)=0 10 分 ∵y1∈R ∴⊿?0 ?y?0 或 y?4 ???? 15 分 ∴当 y=0 时,点 B 的坐标为(-3,-1);当 y=4 时,点 B 的坐标为(5,?3), 均满足题意。 故点 C 的纵坐标的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞) 14、 如图,有一列曲线 P0, P1, P2, ??,已知 P0 所围成的图形是面积为 1 的等 边三角形,Pk+1 是对 Pk 进行如下操作得到的:将 Pk 的每条边三等分,以每边中间 部分的线段为边, 向外作等边三角形, 再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,?), 记 Sn 为曲线 Pk 所围成图形面积。
①求数列{Sn}的通项公式;②求 lim S n 。
n??

P0 P1 P2

解:①对 P0 进行操作,容易看出 P0 的每条边变成 P1 的 4 条边,故 P1 的边数为 3 ×4;同样,对 P1 进行操作,P1 的每条边变成 P2 的 4 条边,故 P2 的边数为 3×42,从而不难得到 Pn 的边数为 3×4n ????5 分 已知 P0 的面积为 S0=1,比较 P1 与 P0,容易看出 P1 在 P0 的每条边上增加了一 1 1 1 个小等边三角形,其面积为 2 ,而 P0 有 3 条边,故 S1=S0+3× 2 =1+ 3 3 3 再比较 P2 与 P1,容易看出 P2 在 P1 的每条边上增加了一个小等边三角形,其 1 1 1 1 4 面积为 2 × 2 ,而 P1 有 3×4 条边,故 S2=S1+3×4× 4 =1+ + 3 3 3 3 3 3 类似地有: S3=S2+3×42×
1 1 4 42 =1+ + + 3 33 35 36

????

5分
1 4 42 4 n?1 ∴Sn= 1 ? ? 3 ? 5 ? ? ? 2 n?1 3 3 3 3

=1+ = (※)

3 n 4 k ?( ) 4 k ?1 9
8 3 4 n ? ?( ) 5 5 9

????10 分

下面用数学归纳法证明(※)式 当 n=1 时,由上面已知(※)式成立, 8 3 4 假设当 n=k 时,有 Sk= ? ? ( ) k 5 5 9 当 n=k+1 时,易知第 k+1 次操作后,比较 Pk+1 与 Pk,Pk+1 在 Pk 的每条边上增 1 加了一个小等边三角形,其面积为 2 ( k ?1) ,而 Pk 有 3×4k 条边。故 3 1 8 3 4 Sk+1=Sk+3×4k× 2 ( k ?1) = ? ? ( ) k ?1 5 5 9 3 综上所述,对任何 n∈N,(※)式成立。 8 3 4 8 ② lim S n ? lim[ ? ? ( ) n ] ? n ?? n ?? 5 5 9 5 2 15、 设二次函数 f(x)=ax +bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件: ① 当 x∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)?x; x ?1 2 ) ② 当 x∈(0,2)时,f(x)? ( 2 ③ f(x)在 R 上的最小值为 0。 求最大值 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)?x 解:∵f(x-4)=f(2-x) ∴函数的图象关于 x= -1 对称 b ? ?1 ∴ ? b=2a 2a 由③知当 x= ?1 时,y=0,即 a?b+c=0 由①得 f(1)?1,由②得 f(1)?1 ∴f(1)=1,即工+了+以=1,又 a?b+c=0 1 1 1 ∴a= b= c= 4 2 4 1 2 1 1 ∴f(x)= x ? x ? ????5 4 2 4 分 假设存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)?x 1 1 1 取 x=1 时,有 f(t+1)?1 ? (t+1)2+ (t+1)+ ?1 ? ?4?t?0 4 2 4

对固定的 t∈[-4,0],取 x=m,有 f(t ?m)?m 1 1 2 1 ? (t+m) + (t+m)+ ?m 4 2 4 2 2 ?m ??(1?t)m+(t +2t+1)?0

? 1 ? t ? ? 4t ?m? 1 ? t ? ? 4t
分 ∴m? 1 ? t

???? 10

? 4t ? 1 ? (?4) ? ? 4 ? (?4) =9

????15 分

当 t= -4 时,对任意的 x∈[1,9],恒有 1 2 1 f(x?4)?x= (x ?10x+9)= (x?1)(x?9)?0 4 4 ∴m 的最大值为 9。 ????20 分 另解:∵f(x-4)=f(2-x) ∴函数的图象关于 x= -1 对称 b ? ?1 ∴ ? b=2a 2a 由③知当 x= ?1 时,y=0,即 a?b+c=0 由①得 f(1)?1,由②得 f(1)?1 ∴f(1)=1,即工+了+以=1,又 a?b+c=0 1 1 1 ∴a= b= c= 4 2 4 ∴ 1 1 1 1 f(x)= x 2 ? x ? = (x+1)2 ????5 4 2 4 4 分 1 由 f(x+t)= (x+t+1)2?x 在 x∈[1,m]上恒成立 4 ∴4[f(x+t)-x]=x2+2(t-1)x+(t+1)2?0 当 x∈[1,m]时,恒成立 令 x=1 有 t2+4t?0 ? ?4?t?0 令 x=m 有 t2+2(m+1)t+(m-1)2 ? 0 当 t ∈ [-4,0] 时 , 恒 有 解 ????10 分 2 令 t= ?4 得, m ?10m+9?0 ? 1?m?9 ???? 15 分 即当 t= ?4 时,任取 x∈[1,9]恒有 1 1 f(x-4)-x= (x2?10x+9)= (x?1)(x?9)?0 4 4 ∴ mmin=9 ???? 20 分

二○○二年全国高中数学联合竞赛加试试题 参考答案及评分标准 说明: ① ② 评阅试卷时,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分; 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,评卷时 可参考本评分标准适当划分档次评分,可以 10 分为一个档次,不要再增加其它 中间档次。 一、 (本题满分 50 分) 如图,在⊿ABC 中,∠A=60°,AB>AC,点 O 是外心,两条高 BE、CF 交于 H MH ? NH 点, 点 M、 N 分别在线段 BH、 HF 上, 且满足 BM=CN, 求 A OH 的值。 F 解:在 BE 上取 BK=CH,连接 OB、OC、OK, N 由三角形外心的性质知 O H ∠BOC=2∠A=120° 由三角形垂心的性质知 K M ∠BHC=180°-∠A=120° B ∴∠BOC=∠BHC ∴B、C、HO 四点共圆 ????20 分 ∴∠OBH=∠OCH OB=OC BK=CH ∴⊿BOK≌⊿COH ????30 分 ∵BOK=∠BOC=120°,∠OKH=∠OHK=30° 观察⊿OKH KH OH ? ????40 分 ?KH= 3 OH sin 120 ? sin 30? 又∵BM=CN,BK=CH, ∴KM=NH ∴MH+NH=MH+KM=KH= 3 OH
MH ? NH = 3 ????50 分 OH 二、 (本题满分 50 分) 实数 a,b,c 和正数?使得 f(x)=x3+ax2+bx+c 有三个实根 x1,x2,x3,且满足 ① x2?x1=?,

E

C



② 求

x3>

1 (x1+x2) 2
3

2a 3 ? 27c ? 9ab

?

?

3 3 2

解:∵ f(x)=f(x)?f(x3)=(x?x3)[x2+(a+x3)x+x32+ax3+b] ∴ x1,x2 是方程 x2+(a+x3)x+x32+ax3+b 的两个根 ∵ x2?x1=? ∴ (a+x)2?4(x32+ax3+b)=??? 2 2 2 ?3x3 +2ax3+? +4b?a =0 1 ∵x3> (x1+x2) 2 1 ∴ x3 ? [?a ? 4a 2 ? 12b ? 3?2 ] (Ⅰ) 3 且 4a2?12b-3?2?0 (Ⅱ) 10 分 ∵ f(x)=x3+ax2+bx+c
a a2 a 2 3 1 a ? c ? ab = ( x ? ) 3 ? ( ? b)(x ? ) ? 3 3 3 27 3

????

????20 分

∵ f(x3)=0 ∴
1 2 a a2 a ab ? a 3 ? c ? ? ( x3 ? ) 3 ? ( ? b)(x3 ? ) 3 27 3 3 3

(Ⅲ)

a 1 2 3 a2 ?2 2 2 由(Ⅰ)得 x3 ? ? 4a ? 12b ? 3? ] ? ?b? 3 3 3 3 4
记 p=
a2 ?b 3

, 由 ( Ⅱ )

和 ( Ⅲ ) 可 知

p ?

?2 4



1 2 2 3 ab ? a 3 ? c? ? 3 27 9
令 y= p ? 分 ∵ y3 ?

p?

?2
4

( p ? ?2 )

?2

1 2 2 3 3 y ( y 2 ? ?2 ) ,则 y?0 且 ab ? a 3 ? c? ? 3 27 9 4 4

????30

3?2 ?2 3?2 ? 3?2 ? y? y ? ( )3 ? ? = y3 ? 4 4 4 2 4 2

? = ( y ? )2 ( y ? ?) 2 ?0

2a 3 ? 27c ? 9ab 3 3 1 2 3 3 3 ∴ ab ? ? a ?c ? ? ? ? 2 3 27 18 ?3

????40 分

∴取 a=2 3 ,b=2,c=0,?=2,则 f(x)=x3+ax2+bx+c 有根 ? 3 ? 1 , ? 3 ? 1 ,0 显然假设条件成立,且
2a 3 ? 27c ? 9ab

?

3

1 3 3 ? (48 3 ? 36 3 ) ? 8 2

综上所述

2a 3 ? 27c ? 9ab

?

3

的最大值是

3 3 2

????50

分 三、 (本题满分 50 分) 在世界杯足球赛前,F 国教练为了考察 A1,A2,?,A7 这七名,准备让他们在三 场训练比赛(每场 90 分钟)都上场,假设在比赛的任何时刻,这些中有且仅有一 人在场上,并且 A1,A2,A3,A4 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被 13 整除,如 果每场换人次数不限, 那么按每名队员上场的总时间计算,共有多少种不同的情 况。 解:设第 i 名队员上场的时间为 xi 分钟(i=1,2,3,?,7),问题即求不定方程 x1+x2+?+x7=270 ① 在条件 7|xi (1?i?4)且 13|xj (5?j?7)下的正整数解的级数。 若(x1,x2,?,x7)是满足条件①的一组正整数解,则应有

? xi =7m
i ?1

4

?x
j ?5

7

j

=13n

m,n∈N

∴m,n 是不定方程 7m+13n=270 在条件 m?4 且 n?3 下的一组正整数解。 分 ∵ 7(m-4)+13(n-3)=203 令 m′=m ?4 n′=n ?3 有 7m′+13n′=270 ③ ∴ 求②满足条件 m?4 且 n?3 的正整数解等价于求③的非负整数解。 ∵易观察到 7·2+13·(-1)=1 ∴ 7·406+13·(-203)=203 即 m0=406 n0= ?203 是③的整数解 ∴ ③的整数通解为 m′=406 ?13k n′= ?203+7k k∈Z 令 m′?0 n′?0,解得 29?k?31 ????20 分 取 k=29,30,31 得到③满足条件的三组非负整数解: ② ????10

?m? ? 29 ? ?n ? ? 0 ?m ? 33 ? ?n ? 3


?m? ? 16 ? ?n ? ? 7 ?m ? 20 ? ?n ? 10

?m? ? 3 ? ?n? ? 14 ?m ? 7 ? ?n ? 17

从而得到②满足条件的三组正整数解: ????30

1)在 m=33,n=3 时,显然 x5=x6=x7=13 仅有一种可能,
4?1 3 又设 xi=7yi (i=1,2,3,4), 于是由不定方程 y1+y2+y3+y4=33 有 C33 ?1 ? C32 ? 4960

组正整数解。
3 ∴此时①有满足条件的 C 32 =4960 组正整数解。

2)在 m=20,n=10 时,设 xi=7yi

(i=1,2,3,4),xj=13yj

(j=5,6,7)

3 由 y1+y2+y3+y4=20,有 C19 组正整数解;以及 y5+y6+y7=10,有 C92 组正整数解。 3 2 ∴此时①有满足条件的 C19 =34884 组正整数解。 ? C9

3) 在 m=7,n=17 时,设 xi=7yi

(i=1,2,3,4),xj=13yj

(j=5,6,7)

2 3 由 y1+y2+y3+y4=7 ,有 C6 组正整数解;以及 y5+y6+y7=17 ,有 C16 组正整数

解。????40 分 综上所述,①满足条件的正整数解的组数为
3 3 3 3 2 =4960+34884+2400=42244 C32 ? C19 ? C9 ? C6 ? C16

????50 分

二○○一年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题 只设 9 分和 0 分两档; 其它各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次 给分,不要再增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷 时请参照本评分标准适当划分档次评分,可以 5 分为一个档次,不要再增加其它 中间档次. 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 小题,每题均给出(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四个结论,其中有且仅 有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0

分. 1.已知 a 为给定的实数,那么集合 M={x| x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 不确定 【答】 ( C ) 2 2 2 【解】 方程 x -3x-a +2=0 的根的判别式Δ =1+4a >0, 方程有两个不相等的实 数根.由 M 有 2 个元素,得集合 M 有 22=4 个子集. 2. 命题 1 长方体中,必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2 长方体中,必存在到各棱距离相等的点; 命题 3 长方体中,必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有 (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个 【答】 ( B ) 【解】 只有命题 1 对. 3.在四个函数 y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以 ? 为周期、在 ? (0, )上单调递增的偶函数是 2 (A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| ( D ) y=lg|sinx| 【答】 ( D ) 【解】 y=sin|x|不是周期函数.y=cos|x|=cosx 以 2 ? 为周期.y=|ctgx|在 ? (0, )上单调递减.只有 y=lg|sinx|满足全部条件. 2 4.如果满足∠ABC=60°,AC=12, BC=k 的△ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围 是 (A) k= 8 3 (B)0<k?12 (C) k?12 (D) 0<k?12 或

k= 8 3
【答】 ( 【解】 根据题设, △ABC 有两类如图.
k
60° B A C
C

D

) 共

12
B

k
60°

12

A

易得 k= 8 3 或 0<k?12.本题也可用特殊值法,排除(A) 、 (B) 、 (C) . 5.若 (1 ? x ? x 2 )1000 的展开式为 a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ?? a2000 x 2000 , 则 a0 ? a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a1998 的值为 (A) 3 333 (B) 3 666 (C) 3 999 (D) 32001

【答】 ( 【解】 令 x=1 可得 31000 = a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? a2000 ; 令 x= ? 可得 0= a0 ? a1? ? a2? 2 ? a3? 3 ? ?? a2000? 2000 ; (其中 ? ? ? 1 ? 3 i ,则 ? 3 =1 且 ? 2 + ? +1=0)
2 2

C



令 x= ? 2 可得 0= a0 ? a1? 2 ? a2? 4 ? a3? 6 ? ?? a2000? 4000 . 以上三式相加可得 31000 =3( a0 ? a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a1998 ) . 所以 a0 ? a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a1998 = 3 999 . 6. 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨 的价格之和小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是() . (A)2 枝玫瑰价格高 (B)3 枝康乃馨价格高 (C)价格相同 ( D )不确 定 【答】 ( A ) 【解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为 x、y 元/枝. 则 6x+3y>24,4x+5y<22. 令 6x+3y=a>24,4x+5y=b<22, 解 出

x= 1 (5a ? 3b) ,y= 1 (3b ? 2a) .
18

9

所以 2x-3y= 1 (11a ? 12b) ? 1 (11 ? 24 ? 12 ? 22) =0,即 2x>3y.
9 9

也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究. 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上. 7.椭圆 ? ?
1 的短轴长等于 2 3 . 2 ? cos ? 3

【解】 ? (0) ? a ? c ? 1, ? (? ) ? a ? c ? 1 . 故 a ? 2 , c ? 1 ? b ? 3 .从而 2b ? 2 3 .
3

3

3

3

3

8.若复数 z1,z2 满足| z1|=2,| z2|=3,3z1-2z2= ? i ,则 z1·z2= ? 30 ? 72 i .
13 13

3 2

【解】

由 3z1-2z2= z 2 ? z 2 ? z1 ? z1 ? z1 ? z 2 = z1 z 2 (2 z 2 ? 3z1 )

1 3

1 2

1 6

3 ?i 6 ( 3 z ? 2 z ) 6 ( 3 z ? 2 z ) 30 72 本题也可设三角形式进 1 2 1 2 2 可得 z1 z 2 ? ? ? ?6 ? ? ? ? i. 3 13 13 2 z 2 ? 3z1 2 z 2 ? 3z1 ?i 2

行运算.

9.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是 【解】 作 正 方 体 的 截 面 BB1D1D , 则 A1C1 ⊥ 面 BB1D1D.设 A1C1 与 B1D1 交于点 O,在面 BB1D1D 内作 OH ⊥BD1,H 为垂足,则 OH 为 A1C1 与 BD1 的公垂线.显然

6 . 6
D H
1

A1 B1

O

C1

OH 等于直角三角形 BB1D1 斜边上高的一半, 即 OH=
1 3 ?2 ? l o 2 1 x g
2

6 . 6

A B

D C

10.

不 等 式
2 7

的 解 集 为

(0,1) ? (1,2 ) ? (4,??) .

【解】

1 3 1 3 1 3 ?2? 或 ?2?? . ? 2 ? 等价于 log 1 x 2 log 1 x 2 log1 x 2
2

2

2



1 7 1 1 ?? . ?? 或 log 1 x 2 log 1 x 2
2

2

此时 log 1 x ? ?2 或 log 1 x ? 0 或 ?
2 2

2 ? log 1 x ? 0 . 2 7
2

∴解为 x >4 或 0<x<1 或 1<x< 2 7 . 即解集为 (0,1) ? (1,2 7 ) ? (4,??) .
3 11.函数 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 的值域为 [1, ) ? [ 2,?? ) . 2
2

【解】

y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 ? x 2 ? 3x ? 2 ? y ? x ? 0 .
2

y2 ? 2 3 两边平方得 (2 y ? 3) x ? y ? 2 ,从而 y ? 且 x ? . 2 2y ? 3

由 y?x? y?

y2 ? 2 y 2 ? 3y ? 2 3 ?0 ? ? 0 ?1? y ? 或 y ? 2 . 2y ? 3 2y ? 3 2
y2 ? 2 ,易知 x ? 2 ,于是 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 且 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 . 2y ? 3

任取 y ? 2 ,令 x ?

任取 1 ? y ?

3 y2 ? 2 ,同样令 x ? ,易知 x ? 1 , 2 2y ? 3

于是 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 且 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 . 因此,所求函数的值域为 [1, 3 ) ? [ 2,?? ) .
2
A 12. 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 (如 F B 图) ,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同 植物.现有 4 种不同的植物可供选择,则有 732 E C D 栽种方案. 【解】 考虑 A 、 C 、 E 种同一种植物,此时共有 4×3×3×3=108 种方法. 考虑 A、C、E 种二种植物,此时共有 3×4×3×3×2×2=432 种方法. 考虑 A、C、E 种三种植物,此时共有 P43×2×2×2=192 种方法. 故总计有 108+432+192=732 种方法.

的 种

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且 b1=a12,b2=a22,b3=a32(a1<a2) , 又 lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ? 1 .试求{an}的首项与公差.
n???

【解】 设所求公差为 d,∵a1<a2,∴d>0.由此得 a12(a1+2d)2=(a1+d)4 化简得 2a12+4a1d+d2=0 解 得

d=(

?2? 2

)

a1.????????????????????????5 分
而 ? 2 ? 2 <0,故 a1<0. 若 d=( ? 2 ? 2 ) a1,则 q ?
2 a2 ? ( 2 ? 1) 2 ; a12
2

若 d=( ? 2 ? 2 )a1,则 q ? a2 ? ( 2 ? 1) 2 ;????????????????10 2
a1

分 但 lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ? 1 存在,故|q|<1.于是 q ? ( 2 ? 1) 2 不可能.
n ???

从而

a12 1 ? ( 2 ? 1) 2

? 2 ? 1 ? a12 ? (2 2 ? 2)( 2 ? 1) ? 2 .

所以 a1= ? 2 ,d=( ? 2 ? 2 ) a1=( ? 2 ? 2 )( ? 2 )= 2 2 ? 2 .???????? 20 分

14.设曲线 C1:

x2 ? y 2 ? 1 (a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m) 在 x 轴上方仅 2 a

有一个公共点 P. ⑴ 求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; ⑵ O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 积的最大值(用 a 表示) .
? x2 ? ? y 2 ? 1, ⑴ 【解】 由 ? a 2 消去 y 得,x2+2a2x+2a2m-a2=0. 2 ? ? y ? 2( x ? m)
1 时,试求Δ OAP 的面 2



设 f(x)= x2+2a2x+2a2m-a2,问题⑴转化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或 等根. 只须讨论以下三种情况:
2 1? Δ =0 得 m= a ? 1 .此时

2

xp= -a2,当且仅当-a<-a2<a,即 0<a<1 时适合;

2? f(a)·f(-a)<0 当且仅当–a<m<a; 3? f(-a)=0 得 m=a.此时 xp=a-2a2,当且仅当-a< a-2a2<a,即 0<a<1 时适 合.f(a)=0 得 m=-a,此时 xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,从而 m≠-a. 综上可知,当 0<a<1 时,m=
a2 ?1 或-a<m?a; 2

当 a?1 时, -a<m<a.????????????????????10 分
1 ⑵ 【解】 Δ OAP 的面积 S= ayp. 2

∵ 0<a<

1 , 故 -a<m ? a 时 , 0 ? ?a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2m ? a , 由 唯 一 性 得 2
x2 p a2

xp= ? a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2m .显然当 m=a 时,xp 取值最小.由于 xp>0,从而 y p ? 1 ?
取值最大,此时 yp=2 a ? a 2 ,∴S=a a ? a 2 . 当 m=
1 a2 ?1 时,xp=-a2,yp= 1 ? a 2 ,此时 S= a 1 ? a 2 . 2 2

1 下面比较 a a ? a 2 与 a 1 ? a 2 的大小: 2 1 1 令 a a ? a 2 = a 1 ? a 2 ,得 a= . 2 3 1 1 故当 0<a? 时 , a a(1 ? a) ? a 1 ? a 2 .此时 Smax= 1 a 1 ? a 2 . 3 2 2

1 1 1 当 <a< 时, a a (1 ? a ) ? a 1 ? a 2 .此时 Smax= a a ? a 2 .????? 20 2 2 3 分

15.用电阻值分别为 a1、 a2 、 a3 、 a4 、 a5 、 a6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的 电 阻 组 装成一个如图的组件,在组装 中应如何选取电阻,才能使该 组件总电阻值最小?证明你 的结论. 【解】 设 6 个电阻的组件(如图 3)的总电阻为 RFG.当 Ri=ai ,i=3,4,5, 6,R1,R2 是 a1,a2 的任意排列时,RFG 最小.???????????????? 5分 证明如下 1°设当两个电阻 R1,R2 并联时,所得组件阻值为 R:则 1 ? 1 ? 1 .故交换
R R1 R2

二电阻的位置,不改变 R 值,且当 R1 或 R2 变小时,R 也减小,因此不妨取 R1>R2. 2°设 3 个电阻的组件(如图 1)的总电阻为 RAB:
R AB ? R R ? R1 R3 ? R2 R3 R1R2 . ? R3 ? 1 2 A R1 ? R2 R1 ? R2
R1 R2
图1

R3
B

显然 R1+R2 越大, RAB 越小, 所以为使 RAB 最小必须取 R3 为所取三个电阻中阻 值最小的一个. 3°设 4 个电阻的组件(如图 2)的总 电阻为 RCD: C

R1 R3 R2 R4
图2

D

1 1 1 R1 R2 ? R1 R3 ? R1 R4 ? R2 R3 ? R2 R4 ? ? ? RCD R AB R4 R1 R2 R4 ? R1 R3 R4 ? R2 R3 R4

. 若记 S1 ?
1?i ? j ?4

?R R
i

j

, S2 ?

i 1?i ? j ?k ?4

?R R R
j

k

.则 S1、S2 为定值.

于是 RCD ?

S 2 ? R1 R2 R3 . S1 ? R3 R4

只有当 R3R4 最小,R1R2R3 最大时,RCD 最小,故应取 R4<R3,R3<R2,R3<R1,即得 总电阻的阻值最小. ?????????????????????????? 15 分 4°对于图 3,把由 R1、R2、R3 组成的组件用等效电阻 RAB 代替.要使 RFG 最小, 由 3°必需使 R6<R5;且由 1°,应使 RCE 最小.由 2°知要使 RCE 最小,必需使 R5< R4,且应使 RCD 最小. 而由 3°,要使 RCD 最小,应使 R4< R3 < R2 且 R4< R3 < R1. 这就说明, 要证结论成立?????????????????????20
E G


A C F R1 R2 R4 R6 图3 G R3 B D R5

E

二○○一年全国高中数学联合竞赛 加试参考答案及评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷 时请参照本评分标准适当划分档次评分,可以 10 分为一个档次,不要再增加其 它中间档次. 一.如图,△ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M, FD 和 AC 交于点 N. 求证: (1)OB⊥DF,OC⊥DE. A (2)OH⊥MN. 【证明】 (1)∵A,C,D,F 四点共圆, ∴∠BDF=∠BAC. 1 又∵∠ OBC= (180°- ∠ BOC)=90°- ∠ O 2 F BAC, E H ∴OB⊥DF. C 同理 OC⊥DE.????????? 10 B D 分 (2) ∵CF⊥MA, N ∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2.??① ∵BE⊥NA, 2 2 2 2 ∴NB -NH =AB -AH .??② ∵DA⊥BC, ∴BD 2-CD 2=BA 2-AC 2.??③ M ∵OB⊥DF, 2 2 2 2 ∴BN -BD =ON -OD .??④ ∵OC⊥DE, ∴CM 2-CD 2=OM 2-OD 2.??⑤?????????????????? 30 分 ①-②+③+④-⑤,得 NH 2-MH 2=ON 2-OM 2. MO 2-MH 2=NO 2-NH 2. 所以 OH⊥MN.???????????????????????????? 50 分 二.设 xi ? 0 (i=1,2,?,n) ,且 ? xi2 ? 2
i ?1 n

1?k ? j ?n

?

n k xk x j ? 1,求 ? xi 的最 j i ?1

大值与最小值. 【解】先求最小值,因为 (? xi ) 2 ? ? xi2 ? 2
i ?1 i ?1 n n

1? k ? j ? n

? xk x j ? 1 ? ? xi ?1,
i ?1

n

等号成立当且仅当存在 i 使得 xi =1,xj =0,j≠i. ∴ ? xi 的最小值为 1. ????????????????????????10
i ?1 n

分 再求最大值,令 xk ? k yk ,
2 ∴ ? kyk ?2 k ?1 n

1?k ? j ?n
n

? ky
k ?1

k

y j ? 1 .????①

设 M = ? xk = ? k yk .
k ?1

n

? y1 ? y 2 ? ? ? y n ? a1 , ? y2 ? ? ? yn ? a2 , ? 令? ? ? ? yn ? an . ?
2 2 则① ? a12 ? a2 ? ?? an ? 1 .?????????????????????30

分 令 an+1=0,则 M= ? k (ak ? ak ?1 )
k ?1 n

= ? k ak ? ? k ak ?1 ? ? k ak ? ? k ? 1ak ? ? ( k ? k ? 1)ak .
k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

n

n

n

n

n

由柯西不等式得

?n ?2 n 2 2 ? n ?2 M ? ?? ( k ? k ? 1) 2 ? (? ak ) ? ?? ( k ? k ? 1) 2 ? . ? k ?1 ? k ?1 ? k ?1 ?
等号成立 ?
2 2 ak an a12 ??? ??? 1 ( k ? k ? 1) 2 ( n ? n ? 1) 2 2 a12 ? a22 ? ? ? an 2 ak

1

1

1

?

1 ? ( 2 ? 1) 2 ? ? ? ( n ? n ? 1) 2
k ? k ?1 ? 2? ? ? ( k ? k ? 1) ? ? k ?1 ?
n
1 2

?

( k ? k ? 1) 2

? ak ?

. (k=1,2,?,n)

由于 a1 ? a2 ? ? ? an ,从而

yk ? ak ? ak ?1 ?

2 k ? ( k ? 1 ? k ? 1)
2 ? n 2? ( k ? k ? 1 ) ?? ? ? k ?1 ? 1

? 0 ,即 xk ? 0 .

?n ?2 所求最大值为 ?? ( k ? k ? 1) 2 ? .????????????????? ? k ?1 ? 50 分
三. 将边长为正整数 m, n 的矩形划分成若干 D 均为正整数的正方形. 每个正方形的边均平行于 的相应边.试求这些正方形边长之和的最小值.
C 边长 矩形 n

1

【解】记所求最小值为 f(m,n) ,可以证明 A m B f(m, n)=m+n-(m,n). (*) 其中(m,n)表示 m 和 n 的最大公约数.?????????????????? 10 分 事实上,不妨设 m?n. (1)关于 m 归纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之 和恰为 m+n-(m,n). 当 m=1 时,命题显然成立. 假设当 m?k 时,结论成立(k?1) .当 m=k+1 时,若 n= k+1,则命题显然成 立. 若 n< k+1, 从矩形 ABCD 中切去正方形 AA1D1D (如图) , 由归纳假设矩形 A1BCD1 有一种分法使得所得正方形边长之和恰为 m-n+n-(m-n,n)= m-(m,n). D1 C D

n m A1 A B 于是原矩形 ABCD 有一 种分法使得所得正方形边长之 和为 m+n- (m,n).????20 分 (2)关于 m 归纳可以证明(*)成立. 当 m=1 时,由于 n=1,显然 f (m,n)=1= m+n- (m,n). 假设当 m?k 时,对任意 1?n?m 有 f (m,n)= m+n- (m,n). 若 m=k+1,当 n= k+1 时显然 f(m,n)= k+1= m+n- (m,n). 当 1?n?k 时, 设矩形 ABCD 按要求分成了 p 个正方形, 其边长分别为 a1, a2, ?, ap,不妨设 a1?a2???ap. 显然 a1=n 或 a1<n. 若 a1<n,则在 AD 与 BC 之间的与 AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正 方形(或其边界) ,于是 a1+a2+?+ap 不小于 AB 与 CD 之和. 所以 a1+a2+?+ap?2m> m+n- (m,n). 若 a1=n,则一个边长分别为 m-n 和 n 的矩形可按题目要求分成边长分别为 a2,?,ap 的正方形,由归纳假设

a2+?+ap?m-n+n-(m-n,n)= m- (m,n). 从而 a1+a2+?+ap?m+n-(m,n). 于是当 m=k+1 时,f(m,n)?m+n- (m,n). 再由(1)可知 f (m, n)=m+n- (m, n). ???????????????????
50 分

2000 年全国高中数学联赛试题 第一试 (10 月 15 日上午 8:00?9:40) 一、 选择题 本题共有 6 小题,每题均给出(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四个结论,其中有且仅 有一个是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 设全集是实数,若 A={x| x ? 2 ?0},B={x| 10x (B) {?1}
?
3
2

1.

?2

= 10 x },则 A ? B 是 (D)
?
3

【答】
?

( ) (A) {2} 2.

(C)

{x|x?2}
?
3

设 sin? > 0,cos? < 0, 且 sin )
? ? ,2k?+ ), k?Z 3 6
5? 6 5?

> cos

,则

的取值范围是

【答】 (

(A) (2k?+ (C)(2k?+

(B)

(

2k? ? 2k? ? + , + ),k?Z 3 3 3 6

,2k?+?),k?Z

(D)(2k?+ ? ,2k?+ ? ) ? (2k?+ ,2k?+?),k?Z 4 3 6 2 2 3. 已知点 A 为双曲线 x ?y =1 的左顶点, 点 B 和点 C 在双曲线的右分支上, △ABC 是 等 边 三 角 形 , 则 △ ABC 的 面 积 是 【答】 ( ) (A)
3 3

(B)

3 3 2

(C) 3 3

(D)

6 3

4. 给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列, 则 一 元 二 次 方 程 bx2?2ax+c=0 【答】 ( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个 异号实根 5. 是 (A) (
34 170

平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y ? x ? 的距离中的最小值

5 3

4 5

(B)

34 85

(C)

1 20

(D)

1 【答】 30



6.

设 ? ? cos ? i sin ,则以?,?3,?7,?9 为根的方程是
5 5

?

?

【答】

( ) (A) x4+x3+x2+x+1=0 (C) x4?x3?x2+x+1=0

(B) x4?x3+x2?x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直接将答案 写在横线上。 7. arcsin(sin2000?)=__________. 8. 设 an 是 (3?
lim(

x )n 的 展 开 式 中

x 项 的 系 数 (n=2,3,4, ? ) , 则

n??

3 2 33 3n ? ??? )=________. a 2 a3 an
x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的 a2 b2 5 ?1 ,则∠ABF=_________. 2

9.

等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. 在椭圆

10.

端点为 B.若该椭圆的离心率是

11. 一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球 的体积是________. 12. 如果: (1)a,b,c,d 都属于 {1,2,3,4} ; (2)a?b,b?c,c?d,d?a ; (3)a 是

a,b,c,d 中的最小值,
_________.

那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 设 Sn=1+2+3+?+n,n?N,求 f(n)=
1 2
Sn 的最大值. (n ? 32) S n?1

14. [a,b].

若函数 f ( x) ? ? x 2 ?

13 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求 2

15.

已知 C0:x2+y2=1 和 C1:

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)。试问:当且仅当 a,b 满足什 a2 b2

么条件时,对 C1 上任意一点 P,均存在以 P 为项点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行 四边形?并证明你的结论。

【加试】 (10 月 15 日上午 10∶00-12∶00) 一. (本题满分 50 分) 如图,在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM ⊥AB,FN⊥AC(M、N 是垂足) ,延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D.证明:四边 形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等.
A

M N B E F C

二. (本题满分 50 分) 设数列{a n}和{b n }满足,且

D

?an?1 ? 7an ? 6bn ? 3 n ? 0,1,2,? ? ?bn?1 ? 8an ? 7bn ? 4
证明 a n(n=0,1,2,?)是完全平方数.

三. (本题满分 50 分) 有 n 个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意 n-2 个 人之间通电话的次数相等,都是 3 k 次,其中 k 是自然数,求 n 的所有可能值.

2000 年全国高中数学联合竞赛试题答案 1. 答案: D 由 x ? 2 ? 2 得 x=2, 故 A={2}; 由 10x
2

?2

? 10x 得 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,

故 B={-1,2}.所以 A ? B =φ . 2. 答案:D

? ? ? 由 sin ? ? 0 , cos ? ? 0 得 ? ? ? 2k? ? ,2k? ? ? ?, k ? Z 2 ? ?

从而有

? ? 2k? ? 2k? ? ? ∈? ? , ? ?, k ? Z 3 ? 3 6 3 3?

??????①

又因为 sin

?
3

? cos

?
3

,所以又有

? ? ? 5? ? ∈ ? 2k? ? ,2k? ? ?, k ? Z ????② 3 ? 4 4 ?

如上图所示,是①、②同时成立的公共部分为
5? ? ?? ? ? ? ,2k? ? ? ?, k ? Z . ? 2k? ? ,2k? ? ? ? ? 2k? ? 6 4 3? ? ? ?

3.答案:C

如图所示,设 BD=t,则 OD= 3 t-1,从而 B( 3 t-1,t)
2

满足方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,可以得到 t= 3 ,所以等边三角形, Δ ABC 的面积是 3 3 . 4. 答案: A
-2

B
1

2p ? q 由 题 意 知 pq=a2 , 2b=p+c,2c=q+b ? b ? , 3 第 3题 p ? 2q 2 p ? q p ? 2q c? ? 3 p 2 q ? 3 pq 2 =pq=a2 . ?bc= 3 3 3 2 因为 p≠q,故 bc> a ,方程的判别式Δ = 4a2 -4bc<0,因此,方程无实数根. 5. 答案:B 设整点坐标(m,n),则它到直线 25x-15y+12=0 的距离为
-1 -2

A

-1

O

1

2

D

C

d?

25m ? 15n ? 12 252 ? (?15) 2

?

5(5m ? 3n) ? 12 5 34

由于 m,n∈Z,故 5(5m-3n)是 5 的倍数,只有当 m=n=-1,时 5(5m-3n)=-10 与 12 的和的绝对值最小,其值为 2,从而所求的最小值为 6. 答案: B 由 ? ? cos
34 . 85

2? 2? ? i sin 知, 5 5 10 10 ω ,ω 2,ω 3,ω 4,ω 5,ω 6,ω 7,ω 8,ω 9,ω 10(=1)是 1 的 10 个 10 次方根. 从而有 (x- ω )(x- ω 2)(x- ω 3)(x- ω 4)(x- ω 5)(x- ω 6)(x- ω 7)(x- ω 8)(x- ω 9)(x- ω 10 )=x10-1???① 由因ω 2,ω 4,ω 6,ω 8,ω 10 是 1 的 5 个 5 次方根, 从而有 (x-ω 2)(x-ω 4)(x-ω 6)(x-ω 8)(x-ω 10)=x5-1 ???② 3 5 7 9 5 ①÷②得 (x-ω )(x-ω )(x-ω )(x-ω )(x-ω )=x +1 ???③ 5 ③的两边同除以(x-ω )=x+1,得 (x-ω )(x-ω 3) (x-ω 7)(x-ω 9)= x4-x3+x2-x+1. 所以ω ,ω 3,ω 7,ω 9 为根的方程是 x4-x3+x2-x+1=0. ? i sin ? cos

?

?

二、填空题(满分 54 分,每小题 9 分) 7. 答案:-20° sin2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20° 故 a rcsin(sin2000°)= a rcsin(-sin20°)= - a rcsin(sin20°)= -20° 8.答案:18
2 由二项式定理知, an ? Cn ? 3n?2 ,因此

3n 32 ? 2 1? ? 1 ? ? 18? ? ? an n(n ? 1) ? n ?1 n ?

lim
n ??

? 3 2 33 3n ? ? a ? a ??? a 3 n ? 2
1 3

? ? 1? ? ? = lim 18?1 ? n ? =18. ? ? n ?? ?

9.答案:

q?

a ? log4 3 a ? log8 3 log4 3 ? log8 3 1 = ? ? a ? log2 3 a ? log4 3 log2 3 ? log4 3 3
5

10 . 答 案 : 90 °
c 5 ?1 2 2 ? ?c +ac-a =0, a 2

如 图 所 示 , 由
B

?a cos?ABF ?

2

? b ? a ? ?c ? a ?
2 2

?

c
2
-5

b
O

a
5

F

A

2?a? a ? b
2

2

=0

第10题
-5

?则∠ABF=90°.
11. 答案:
2 3 ?a 24

A H O 0' E C 第11题 D

[解] 如图,设球心为 O,半径为 r,体积为 V,面 BCD 的中心 为 O1,棱 BC 的中心点为 E,

1 6 则 AO1= a 2 ? O1 B 2 = a 2 ? a 2 = a, 3 3
由 OB 2 =O1O 2 +O1B 2 = ?O1 B ? OB? +O1B 2 得
2

B

2 2 2 6 1 3 6 a ? a OB+ a 2 ? 0, 故 OB= a a, 3 3 3 2 6 4

于是 r = OE =

OB2 ? BE2 =

3 2 1 2 1 a. a ? a = 8 4 2 2

4 4 1 2 3 a2 = V= ? r 2 = ? ?a . 3 3 16 2 24

12.答案:28

abcd 中恰有 2 个不中数字时,能组成 C 2 4 = 6 个不中数字

1 1 1 1 abcd 中恰有 3 个不中数字时,能组成 C 1 3 C 2 C 2 + C 2 C 2 =12+4=16 个不中数字

abcd 中恰有 4 个不中数字时,能组成 P 3 3 =6 个不中数字
所以,符合要求的数字共有 6+16+6=28 个 1 13.答案: 50 解 由已知,对任何 n ? N, 有 f (n)=
n = n ? 34 n ? 64
2

Sn Sn = ?n ? 32?S N ?1 ?n ? 32??n ? 2?
64 64 +34 ? 2 n. +34=50, n n

=

1 n ? 34 ? 64 n 1

又因 n+

故对任何 n ? N, 有 f (n)=

n ? 34 ?
1 50

64 n

?

1 50

由于 f(8)=

1 ,故 f(n)的最大值为 50

14.答案:所求区间为[1,3]或[-2- 17

13 ]. 4

解 化三种情况讨论区间[a,b]. (1) 若 0 ? a<b, 则 f (x)在[ a, b ] 上单调递减,故 f(a) =2b, f(b)=2a 于是 有 1 2 13 ? ?2b ? ? 2 a ? 2 ,解之得[ a, b ] = [ 1, 3 ], ? 1 13 ?2 a ? ? b 2 ? 2 2 ? (2)若 a <0 <b, f (x)在[ a, b ] 上单调递增,在[0,b] 上单调递减,, 因此 f (x)在 x=0 处取最大值 2b 在 x=a 或 x=b 处取最小值 13 13 2a.故 2b= ,b= .由于 a<0, 2 4 1 13 2 13 39 ?0 又 f(b)=- ( ) + = 2 4 2 32 1 13 故 f(x)在 x=a 处取最小值 2a,即 2a= a 2 + , 2 2 13 解得 a=-2- 17 ;于是得 [a,b]=[-2- 17 , ]. 4 (2) 当 a<b ? 0 时,f(x)在[a,b] 上单调递增,故 f(a)=2a, f(b)=2b,

1 13 1 13 即 2a=- a 2 + ,2b=- a 2 + . 2 2 2 2 1 13 由于方程 x 2 +2x- =0 的两根异号,故满足 a ? b ? 0 的区间不存在. 2 2 13 综上所述,所求区间为[1,3]或[-2- 17 ]. 4 1 1 + 2 =1. 2 a b 证明:必要性:易知,圆外切平行四边形一定是菱形, 圆心即菱形中心. 假设论成立,则对点( a, 0 ), 有( a, 0 )为项点的菱形 与 C1 内接,与 Co 外切. ( a, 0 )的相对顶点为( - a, 0 ), 由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在 y 轴上 , 为 (0, b) 和 (0, -b) . 菱形一条边的方程为 x y + =1,即 bx+ay=ab.由于菱形与 CO 外切, a b

15. 答案:所求条件为

2

Q R
-2

P O
2

S 第15题(必要性)
2
-2

M

P

故必有

ab a 2 ? b2

=1,整理得

1 1 + 2 =1. 必要性得证. 2 a b

Q
-2

O S

2

1 1 充分性:设 2 + 2 =1,P 是 C1 上任意一点,过 P、O 作 C1 a b 的弦 PR,再过 O 作与 PR 垂直的弦 QS,则 PQRS 为与 C1 内接菱形 . 设 OP = r1, OQ =r2, 则点 O 的坐标为

R 第15题(充分性)
-2

(r1cos ? , r1sin ? ),点 Q 的坐标为(r2cos( ? + 得

? ? ),r2sin( ? + )),代入椭圆方程, 2 2

?r1 cos? ?
a
2

2

+

?r1 sin ? ?
b2

2

[r 2 cos(? ? )]2 [r 2 sin(? ? )]2 2 + 2 =1, =1, a2 b2 cos2 (? ? ) sin 2 (? ? ) 2 ] 2 + 2 2 b a

?

?

1 cos2 ? sin 2 ? 1 1 1 ? 于是, + = =( )+[ ? 2 OP 2 OQ 2 R12 R2 a2 b2

?

?

=

1 1 + 2 =1. 2 a b 1 1 1 = + =1,故得 h=1 2 h OP OQ 2

又在 Rt△POQ 中,设点 O 到 PQ 的距离为 h,则

同理,点 O 到 QR,RS,SP 的距离也为 1,故菱形 PQRS 与 C0 外切.充分性得证. [注]对于给出 a 2 ? b 2 ? a 2 b 2 ,

ab a2 ? b2

=1 等条件者,应同样给分.

2000 年全国高中数学联合竞赛试卷答案 加试 一、证明:连结 MN、BD, ∵FM⊥AB,FN⊥AC,∴A,M,F,N 四点共圆. ∴∠AMN=∠AFN , ∴∠AMN+∠BAE=∠AFN+∠CAF=90°,即 MN⊥AD. 1 ∴SAMDN= AD·MN 2 ∵∠CAF=∠DAB,∠ACF=∠ADB, ∴ △ AFC ∽ △ AF AC ? ? AB·AC=AD·AF . ABC ? AB AD 又 AF 是过 A、M、F、N 四点的圆的直经, MN ∴ =AF ? AF sin∠BAC=MN. sin ?BAC 1 ∴ S ? abc ? AB·AC·sin∠BAC 2 1 = AD·AF·sin∠BAC 2 1 = AD·M N 2 =SAMDN

A

M N E D F C

B

加试(一)

二. [证法一]:由假设得 a1=4, b1=4 且当 n ? 1 时 (2an+1-1)+ 3bn?1 =(14an+12bn-7)+ 3 (8an+7bn-4) =[(2an-1)+ 3bn ](7+4 3 ) 依次类推可得 (2an-1)+ 3bn = (7+ 4 3) n?1 (2a1 -1+ 3b1 )=(7+4 3 ) n 同理(2an-1+ )- 3bn =(7+4 3 ) n 从而 an=
1 1 1 (7+4 3 ) n + (7+4 3 ) n + . 2 4 4

由于 7 ? 4 3 =(2 ? 3 ) 2 , 所以 an =[
1 1 (2+ 3 ) n + (2- 3 ) n ] 2 2 2

由二项式展开得 c

n

=

1 1 2k 3k 2 n ? 2 k , (2+ 3 ) n + (2- 3 ) n = ? C n 2 2 0? 2 k ? n

显然 Cn 为整数,于是 an 为完全平方数. [证法二]:由已知得 an+1=7an+6bn-3=7an+6(8an-1+7bn-1-4)-3 =7an+48an-1+42bn-1-27 , 由 an=7an-1+6bn-1-3 ,得 42bn-1=7an-49an-1+21 , 从而 an+1=7an+48an-1+7an-49an-1+21-27 =14an-an-1-6 . 也就是 an+1=14an-an-1-6 . 设(an+1-kan+t)=p(an-kan-1+t) ??①②③④
? p ? k ? 14 ? 则有 ? pk ? 1 ?t (1 ? p ) ? 6 ?

?k ? 7 ? 4 3 ? 2 ? 3 2 ?k ? 7 ? 4 3 ? 2 ? 3 2 ? ? 2 2 ? ? 解得 ? p ? 7 ? 4 3 ? 2 ? 3 或 ? p ? 7 ? 4 3 ? 2 ? 3 ?t ? 3 ? 2 3 ?t ? 3 ? 2 3 ? ? ? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

分别代入①,根据数列{ an+1-kan+t }是以 a1-ka0+t 为首项、p 为公比的等 比数列,整理得

an?1 ? (7 ? 4 3)an ? (3 ? 2 3) ? ?2 3(7 ? 4 3) n ? ?2 3(2 ? 3) 2n an?1 ? (7 ? 4 3)an ? (3 ? 2 3) ? 2 3(7 ? 4 3) n ? 2 3(2 ? 3) 2n
③-②,整理得
n n? 1 ?1 an ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ?2 ?

?② ?③

?

?

?

?

2

由二项式展开得 c

n

=

1 1 2k 3k 2 n ? 2 k , (2+ 3 ) n + (2- 3 ) n = ? C n 2 2 0? 2 k ? n

显然 Cn 为整数,于是 an 为完全平方数. 三.解析:显然 n ? 5. 记 n 个人为 A1,A2, AN ,

设 A1 通话的次数为 m1, Ai 与 Aj 之间通话的数为 yij, l ? i, j ? n .则

m

i

+m

j

– y

i . j

=

1 n ? ms - 3k = c . 2 s ?1

(*)

其中 c 是常数 ,l ? i, j ? n .

根据(*)知, mi ? m j ? (mi ? m s ) ? (m j ? m s ) = y i.s ? y j .s ? 1 ,

l ? i, j ? n .

? mi ? m j ? 1 ,

l ? i, j ? n
j

设 mi =max{ms ,1 ? s ? n. } ,m 则 m i +m j ? 1. 若 m
i

= min{ms,1 ? s ? n.} , s ? i, j ,
I ,s

+m j=1 ,则对于任意
i

1?s?n ,
I ,s

都有(m = 1 故 y

+ms-y =1 ,

I ,s

)- (m

j

+ms-y

)=1-(y

–y

j ,s

)=0 ,



y

I ,s

– y

j ,s

I ,s

y

j ,s

= 0 .

s ? i, j ,

1?s?n ,

因此 mi ? n -2 , m j ? 1 . 于是 ,m i +m j ? n -3 ? 2 . 出现矛盾 ,故 m i +m j=0 ,即 ms(1 ? s ? n)恒为常数 。 根据 (*)知,y I ,j = 0 或 y I ,j = 1 。 若 y I ,j = 0 ,则 ms=0 , 1 ? s ? n 。与已知条件矛盾 。 因此 ,y I ,s =1 ? ms=n-1 , 1 ? s ? n . 所以 1 n(n-1)-(2n-3)= 3k , 即 (n-2)(n-3)=2 ? 3k . 2 设 n-2=2 ? 3k1 ,n-3= 3 k 2 ,k1 ? k2 ,
3 k 2( 2 ? 3k1 ?k2 -1) =1 , 得



2 ? 3k1 - 3 k 2 =1 ,于是 因此 k2=0 , k1=0 .

3 k 2 =1 , 2 ? 3k1 ?k2 -1=1 ,

这与 k ? 1 矛盾 . 设 是
3 k 2 ( 3 k1 ? k 2 -2)= 1 ,

n-2= 3 k1 ,

n-3=2 ? 3 k2 ,

,k1 ? k2+1

,

则 3 k1 -2 ? 3 k2 =1 ,





3 k 2 =1 , 3 k1 ? k 2 -2=1 ,因此 k2=0 ,

k1=1 ,

n=5 . 此时, 若 5 人中每两人之间都通话一次,则其中任意 3 个人之间通话的总次数为
31 次

综上所述,n=5 为 n 的所有可能值.


推荐相关:

2000-2010全国高中数学联赛试题

2000-2010全国高中数学联赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2010 年全国高中数学联合竞赛一试试卷 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把...


2000年全国高中数学联赛试题及答案

2010年全国高中数学联赛一... 9页 10财富值喜欢此文档的还喜欢 ...2000全国高中数学联赛试题第一试(10 月 15 日上午 8:009:40) 一、选择...


历年全国高中数学联赛试题及答案解析全集(1988-2015)_28年全国高中数学联赛试题汇编

全国高中数学联赛试题及答案解析 2000 全国高中数学联赛试题及答案解析 1099 全国...2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷一、填空题(每小题 8 分,共 64 分...


2001年全国高中数学联赛试卷及答案

2000年全国联赛试题及答... 2003年全国高中数学联赛... 2005年全国高中数学联合... 2008年全国高中数学联合... 2008年全国高中数学联合... 2010年普通高中学业...


1983年全国高中数学联赛试题及解答

1983年全国高中数学联赛试题及解答。2000至2009全国高中联赛试题与解答,每一份试卷均为WORD版,包括一试与二试,且每一题均有详细的解答,是今年联赛前的复习必备材料...


1989年全国高中数学联赛试题及解答

1989年全国高中数学联赛试题及解答。2000至2009全国高中联赛试题与解答,每一份试卷均为WORD版,包括一试与二试,且每一题均有详细的解答,是今年联赛前的复习必备...


1990年全国高中数学联赛试题及解答

举报文档 wzf6750贡献于2010-12-07 0.0分 (0人评价)暂无用户评价 我要评价...关键词:2000至2009全国高中联赛试题与解答 同系列文档 1989年全国高中数学联赛试...


1995年全国高中数学联赛试题及解答

举报文档 wzf6750贡献于2010-12-07 0.0分 (0人评价)暂无用户评价 我要评价...1995年全国高中数学联赛试题及解答 2000至2009全国高中联赛试题与解答,每一份试卷...


2006年全国高中数学联赛试题及解答

举报文档 wzf6750贡献于2010-12-07 0.0分 (0人评价)暂无用户评价 我要评价...关键词:2000至2009全国高中联赛试题与解答 同系列文档 2007年全国高中数学联赛试...


2007年全国高中数学联赛试题及解答

举报文档 wzf6750贡献于2010-12-07 0.0分 (0人评价)暂无用户评价 我要评价...关键词:2000至2009全国高中联赛试题与解答 同系列文档 2006年全国高中数学联赛试...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com