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3.1 直线的倾斜角与斜率 课件1


3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

人教A版高中数学必修二第三章

学习目标

理解并掌握两条直线平行与垂直的 条件,会运用条件判定两直线是否 平行或垂直.

创设情景,揭示课题
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,取x轴作为 基准,x轴正方向与直线l向上的方向所成的角叫做直线

l的倾 斜角. 倾斜角不是900的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线 的斜率,常用k来表示.

我们能否通过直线 l1、? l2的斜率 k1 k ? tan ? ? 90 ?、k2来判断两条 直线的位置关系呢?

?

?

经过两点P : 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式

y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

互动交流
1.两条直线平行的判定

研讨新知

问题1:初中平面几何中怎样判断两条直线平行?

1
3

4

2

y

l1
?1

l2
?2

o
l1

x

y l2

证明:若l // l ,则? ? ? ? tan ?1 ? tan ?2
1 2 1

2

? k1 ? k2

o

?1

?2

x
l1 l2

y

k ?k ? tan ? ? tan ? 又 ?? ,? ? [0 ,180 )
反之,若
1 2

1

2

0

0

1

2

?? ? ?

? l // l
1

1

2

2

o

x

设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2. y l1

l2

α1 O

α2 x

结论1:对于两条不重合的直线l1、l2,其斜率分别为k1、 k2,有 l1∥l2 k1=k2.

如果两条直线的斜率都不存在会是什么情况?

l1 y

l2

证明:若l ? x轴, l ? x轴,
1 2

则l // l .
1 2

o

x

两条直线平行的判定 两条直线
1

不重合, 且 l ,l l // l ? k ? k
1 2

均存在时,有 k ,k
1 2

2

1

2

注意:1.两条直线不重合;

2.两条直线斜率均存在。

另外,当k1,k2都不存在时也有l1∥l2

2.两条直线垂直的判定

设两条直线l1与l2的倾斜角分别为?1与? 2 ??1,? 2 ? 90 ? ,
o

思考: l1 ? l2时,k1与k2满足什么关系?

斜率分别为k1与k2 , 则
y

l2
?1
O

l1
?2
x

?2 ? ?1 ? 90

o
o

1 ? tan ? 2 ? tan ??1 ? 90 ? ? ? tan ?1

?k1k2 ? ?1

思考2、两条直线互相垂直,它们的斜率之积等于-1吗? 有可能一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在 y

l2

若一条直线的倾斜角为90°,

l1
o x

另一条直线的倾斜角为0°
则两直线互相垂直.

思考3、如果两条直线的斜率之积等于-1,它们垂直吗? 一定垂直

设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2( α1、 α2≠90°). y l2 l1

α1 O

α2 x

两条直线垂直的判定:如果两条直线l1、l2都有斜率 (两直线的斜率都不等于0),且分别为k1、k2,则有 l1⊥l2 k1k2=-1.

质疑答辩,排难解惑,发展思维
例1. 已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位 置关系,并证明你的结论.

Q P B

1 3?0 解: 直线BA的斜率kBA ? 2 ? (?4) ? 2 1 2 ?1 ? 直线PQ的斜率kPQ ? ?1 ? (?3) 2 A

? kBA ? kPQ ?直线BA // PQ.

例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状,并 给出证明。

1 1 解 : k AB ? ? kCD ? ? 2 2 3 3 k BC ? k DA ? 2 2 ? k AB ? kCD , k BC ? k DA
∥ ? AB∥ CD, BC DA

y D C A O B

x

因此四边形ABCD是平行四边形 .

例3 已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3), AB与PQ的位置关系.

Q(6,-6),判断直线

解 : k AB k PQ

6?3 2 ? ? 3 ? (?6) 3 ?6?3 3 ? ?? 6?0 2

? k AB ? kPQ ? -1 ? BA ? PQ

例4、已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3) 形状。

三点,试判断△ABC的

1 ? ( ?1) 1 解: ? k AB ? ?? 1? 5 2 3 ?1 k BC ? ?2 2 ?1 ? k AB ? k BC ? ?1 ? AB ? BC 即?ABC ? 90 因此?ABC是直角三角形 .
0

y

C

B O A x

巩固深化,反馈矫正
1.已知A(1,2),B(-1,0),C(3,4)三点,这三点是否在同 一条直线上,为什么? 分析:证明两直线斜率相等且有公共点.

0?2 解:直线AB的斜率k AB ? ? 1; ?1 ? 1 4?0 直线BC的斜率k BC ? ? 1. 3? (? 1 ) ? k AB ? k BC , 两直线有公共点B, ? 三点共线.

归纳整理,整体认识
1.判断两条不重合直线平行的方法:

(1)当
(2)当

k ,均存在,则 k
1 2 1 2

l // l ? k ? k
1 2 1

2

k ,均不存在,则两直线平行 k

2.判断两条不重合直线垂直的方法: (1)当两直线斜率均存在,两直线垂直等价 于 两直线斜率的积为负一 (2)当两直线的斜率中只有一个不存在,两直线垂 直等价于另一条直线的斜率为零

3.利用斜率相等,判断三点共线、证明平行四边形。
4.利用k1k2=-1,判断直角三角形。

布置作业:
P94 习题3.1 5. 8


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