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北京市第六十六中学2015届高三上学期第一次质量检测数学(理)试题word版含答案


北京市第六十六中学 2015 届高三上学期第一次质量检测数学 (理)试题
2014.10
试卷说明: 1.本试卷共 2.卷面满分 3 150 道大题,共 3 页。 80 分钟。

分,考试时间

3.试题答案一律在答题纸上作答,在试卷上作答无效。 —、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1、设集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | | x | ≤1} ,则集合 A A、 (0,1]
2

B ?(

) D、 [1, 2) )

B、 (0,1)

C、 (1, 2)

2、函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ? 1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,则 a 的取值范围是( A、a≥3 3、下列等于 1 的积分是 A.
1

B、a≤-3
1

C、a≤5
1

D、a≥-3 ( )

? xdx
0

B.

? ( x ? 1)dx
0
2

C. 1dx
0

?

D. (

?

4、定义在 ?1 ? a, 2? 上的偶函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2 在区间 ?1, 2? 上是 A、增函数 B、 减函数 C、 先增后减函数

1 dx 0 2
1

) D、先减后增函数

5、设函数 y=f(x)满足 f(x+1)=f(x)+1,则函数 y=f(x)与 y=x 图象交点的个数可能是( ) A、0 6、函数 y ? B、1 C、0 或无数个 ) D、无数个

2 x ? 1 ? 3 ? 4 x 的定义域为(

1 3 1 3 1 3 1 B、 [? , ] C、 (??, ] ? [ ,??) D、 (? ,0) ? (0,??) 2 4 2 4 2 4 2 2 ? ?x ,|x|≥1, 7、设 f(x)=? g(x)是二次函数,若 f[g(x)]的值域是[0,+∞),则 g(x)的值域是( ?x,|x|<1, ? A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞) C.[0,+∞) D.[1,+∞) 2 8、若函数 f ( x) ? x ,则对任意不相等的实数 x1 , x2 ,下列不等式总成立的是( )
A、 ( ? , )

)

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( )? 2 2
A. f (
3

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( )? 2 2
B. f ( )

9、若函数 f ( x) ? x ? 12 x在区间(k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围( A. k ? ?3或 ? 1 ? k ? 1或k ? 3 C. ? 2 ? k ? 2 10、已知函数 f ( x) ? ? B. ? 3 ? k ? ?1或1 ? k ? 3 D.不存在这样的实数 k ( )

? x ? 1, x ? 0
2 ?x , x ? 0

,则 f [ f ( ?2)] 的值为

A、1

B、2

C、4

D、5

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 11、已知 f ( x) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f (?1) 的值为
?x2-4x+6,x≥0 ? 12、设函数 f(x)=? ,则不等式 f(x)>f(1)的解集是________. ?x+6,x<0 ?

13、函数 f:{1, 2}→{1, 2}满足 f[f(x)]>1 的这样的函数个数有________个. 14、函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ? 1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f(5)=_______. f ? x? 15、定义在 R 上的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=x+1,则 f(x)的解析式为________. 16、已知函数 f (x ) ? x(x ? 1)(x? 2) 三、解答题(共 80 分) 17、 (1)已知 f ( x) ?

(x ? 6) ,则 f ’ (0)=

.

2 ? m 是奇函数,求常数m的值; 3 ?1
x

(2)画出函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程| 3 x ? 1 |=k无解?有一解?有
x

两解? 18、证明函数 y ?

1 在区间[2,6]上是减函数并求出它的最大值和最小值. x?2

19、已知函数 f ( x) ?

k ?1 (k ? 0) ,求使得 f ( x ? k ) ? 1 成立的 x 的集合. x

20、已知二次函数 f(x) = ax +bx+c(a≠0) ,其图象关于直线 x=1 对称,f(2)=0,且方程 f(x)=x 有等根. (1)求 a、b、c 的值; (2)是否存在实数 m,n(m<n=,使得函数 f(x)在定义域 [m,n] 上的值域为[3m,3n].如果存在, 求出 m,n 的值;如果不存在,请说明理由. 21、设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5, x ? R . (1)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围.
3

2

(3)已知当 x ? (1,??)时, f ( x) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围. 22、已知函数 f ( x) ? ( x ? a )e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,试确定函数 g ( x) ? f ( x ? a ) ? x 的零点个数,并说明理由.
2

北京市第六十六中学 2014—2015 学年第二次月考考试

高三年级数学学科答案及评分标准
2014.10
—、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 B 7 B 8 A 9 B 10 D

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 11、-2 16、720 三、解答题 17.(13分)解: (1)常数m=1。。。。。。。。。5分 (2)当k<0时,直线y=k与函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象无
x

12、(-3,1) ? (3, ??)

13、1

14、-5

15、 f (x ) ?

x
3

?1

交点,即方程无解;。。。。。。。。。8分 当k=0或k ? 1时, 直线y=k与函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象有唯一的交点,所以方程有一解;11分
x

当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象有两个不同交点,所以方程有两解。13 分
x

18、 (13分)解:设x1、x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则

2[( x 2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] 2( x 2 ? x1 ) 2 2 x ? 1 - x 2 ? 1 = ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) = ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) . 。 f(x1)-f (x2)= 1 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6分
由2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0, 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8分

2 于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以函数y= x ? 1 是区间[2,6]上的减函数. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
10分

2 因 此 , 函 数 y= x ? 1 在 区 间 的 两 个 端 点 上 分 别 取 得 最 大 值 与 最 小 值 , 即 当 x=2 时 ,ymax=2; 当 x=6 2 时,ymin= 5 . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。13分

19、 (13 分)解:

k ?1 ?1 ? 0 x?k 1? k ?0 x?k ( x ? 1)( x ? k ) ? 0

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 2分

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 (1)当k ? ?1时, {x | 1 ? x ? ?k} 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 (2)当0 ? k ? ?1时, {x | ?k ? x ? 1} 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。13 分

(3)当k ? ?1时, x ? ?

20、 (13 分) 解: (1) f(-x+5) = f(x-3)?图象的对称轴方程为 x=1. a= ? 5分 (2)f(x) = ?

1 , b=1, c=0. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 2

1 2 1 1 1 1 x ? x = ? ( x ? 1) 2 ? ≤ ? m<n≤ ?f(x)在[m,n]上为增函数 2 2 2 2 6

?f(m) = 3m,f(n) = 3n?m = -4,n=0(m=0,n = -4,不合,舍去) . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。13 分

22、 (14 分) (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? ( x ? a )e , x ? R ,
x

所以 f ?( x) ? ( x ? a ? 1)e .
x

……………… 2 分 ……………… 3 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? a ? 1 .

当 x 变化时, f ( x) 和 f ?( x) 的变化情况如下:

x
f ?( x)

(??, ? a ? 1)

?a ? 1 0

(?a ? 1, ? ?)

?


?
↗ ……………… 5 分

f ( x)

故 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? a ? 1) ;单调增区间为 (? a ? 1, ? ?) .………… 6 分 (Ⅱ)解:结论:函数 g ( x) 有且仅有一个零点. 理由如下: 由 g ( x) ? f ( x ? a ) ? x ? 0 ,得方程 xe x ? a ? x 2 ,
2

……………… 7 分

显然 x ? 0 为此方程的一个实数解. 所以 x ? 0 是函数 g ( x) 的一个零点. 当 x ? 0 时,方程可化简为 e x ? a ? x . 设函数 F ( x) ? e
x?a

……………… 9 分

? x ,则 F ?( x) ? e x ? a ? 1 ,

令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? a . 当 x 变化时, F ( x) 和 F ?( x) 的变化情况如下:

x
F ?( x) F ( x)

(??, a)

a
0

( a, ? ? )

?


?


即 F ( x) 的单调增区间为 (a, ? ?) ;单调减区间为 (??, a ) . 所以 F ( x) 的最小值 F ( x) min ? F (a ) ? 1 ? a . 因为 a ? 1 , 所以 F ( x) min ? F (a ) ? 1 ? a ? 0 , 所以对于任意 x ? R , F ( x) ? 0 , 因此方程 e x ? a ? x 无实数解. ………………12 分

所以当 x ? 0 时,函数 g ( x) 不存在零点. 综上,函数 g ( x) 有且仅有一个零点. ………………14 分



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