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江西省广丰一中2013届高三4月模拟考试理科数学试题


江西广丰一中 2013 届高三模拟考试试卷理科数学
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1 . 设 A 、 B 为 非 空 集 合 , 定 义 集 合 A*B 为 如 图 非 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 , 若

A

? {x | y ? 2 x ? x 2 }, B ? {y | y ? 3x , x ? 0}, 则A*B= (
A.(0,2) C.(1,2] 2.设复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 2 ? bi ,若 B.[0,1]∪[2,+∞) D.[0,1]∪(2,+∞)



z2 为纯虚数,则实数 b ? ( z1



A. 2 B. 1 C. ?1 D. ?2 3、下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若 x2 =1,则 x=1”的否命题为: “若 x2 =1,则 x≠1” B.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 C.命题“存在 x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是: “对任意 2 x∈R,均有 x +x+1<0 ” D. “x=―1”是“x2―5x―6=0”的必要不充分条件 4、从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体, 其三视图如右图,则该几何体的体积为 ( ) A.

7 8

B.

5 8

C.

5 6

D.

3 4

5 . 阅 读 右 面 程 序 框 图 , 任 意 输 入 一 次 x( 0? x ? 1 ) 与

y(0 ? y ? 1) ,则能输出数对 ( x, y ) 的概率为( )
A.

1 4

B.

2 3

C.

1 3

D.

3 4

6. 已知函数 f ( x) ? a x ? x ? b 的零点 x0 ? (n, n ? 1)(n ? Z ) , 其中常数 a,b 满足 2a ? 3 , 3b ? 2 ,则 n 等于( A.1 B.-2 C. -1 ) D.2

7 . 设 函 数 f ( x) ? x sin x( x ? R) 在 x ? x0 处 取 得 极 值 , 则
2 (1 ? x0 )(1 ? cos 2x0 ) 的值为

( C.



A. 2

B.

1 2
B.2

1 4
D.4

D.4

8.设∠POQ=60°在 OP、OQ 上分别有动点 A,B,若 OA ?OB =6, △OAB 的重心是 G,则| OG | 的 最小值是( ) A.1 C.3

9.设点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, I 为 ?PF1 F2 a2 b2


的内心,若 S ?IPF1 ? S ?IPF2 ? 2S ?IF1F2 ,则该椭圆的离心率是 (

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

1 4

10.已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ? 1( x ? 0) ,把函数 g(x)=f(x)-x+1 的零点按从小到大的顺序排列 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)

成一个数列,则该数列的前 n 项的和 S n ,则 S10 =( ) A. 2
10

?1

B. 2 ? 1
9

C.45

D.55

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填写答题卡中的横线上 11. 公差为 d , 各项均为正整数的等差数列中, a1 ? 1 , n ? 51, n ? d 的最小值等于 若 则 a 12.已知曲线 f ( x) ? a ln x ? bx ? 1 在点( 1, f (1) )处的切线斜率为-2,且 x ? 极值点,则 a-b= . .

2 是 y ? f (x) 的 3

13.已知 (1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x)3 ? ? ? (1 ? x) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ,且

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 126 ,那么 (3 x ?
14.如图,已知 F1、F2 是椭圆 C :

1 n ) 的展开式中的常数项为 x

.

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点, a 2 b2

点 P 在椭圆 C 上, 线段 PF2 与圆 x 2 ? y 2 ? b2 相切于点 Q, 且点 Q 为线段 PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为________. 4 15.(A)若不等式|x+1|-|x―4|≥a+ ,对任意的 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是 a
? x=a+2t π (B)已知直线 l∶? (t 为参数) ,圆 C∶?=2 2 cos(?― )(极轴与 x 轴的非负半轴 y=―1―t 4 ?

重合,且单位长度相同) ,若直线 l 被圆 C 截得弦长为 2,则 a= 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ??? ???? ? 16. (本小题满分 12 分)△ABC 中,角 A、B、C 对边分别是 a、b、c,满足 2 AB ? AC ? a2 ? (b ? c)2 . (Ⅰ )求角 A 的大小; C 4? (Ⅱ )求 2 3 cos2 ? sin( ? B) 的最大值,并求取得最大值时角 B、C 的大小. 2 3 17. (本小题满分 12 分)第七届城市运动会 2012 年 10 月 16 日在江西南昌举行 ,为了搞好接待 工作, 运动会组委会在某大学招募了 12 名男志愿者 和 18

名女志愿者。将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单位:cm) :若身高在 175cm 以上 (包括 175cm)定义为“高个子”, 身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“ 非高个子 ”,且 只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。 (I)如果用分层抽样的方法从“高个子”中和“非高个子”中提取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?(II)若从所有“高个子” 中选 3 名志愿者, X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数, 用 试写出 X 的分布列, 并求 X 的数学期望。 18. (本小题满分 12 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为 等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(Ⅰ)证明: BN ⊥平面 C1NB1 ; (Ⅱ)求平面 CNB1 与平面 C1NB1 所成角的余弦值;

C
4 正视图 4 4 俯视图 8 左视图

C1

B M A N

B1

19. (本小题满分 12 分)已知等差数列 (Ⅰ)求数列

?an ?( n ?N+)中, an ?1 ? an , a2a9 ? 232, a4 ? a7 ? 37 .

?an ?的通项公式; ?an ? 的项重新组合,得到新数列 ?bn ? ,具体方法如下:
b1 ? a1 , b2 ? a2 ? a3 ,

(Ⅱ)若将数列

b3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 , b4 ? a8 ? a9 ? a10 ? ? ? a15 ,…,依此类推,

?a ? n ?1 b 第 n 项 n 由相应的 n 中 2 项的和组成,求数列

{bn ?

1 n ?2 } T 4 的前 n 项和 n .

x2 y 2 20. (本小题满分 13 分) 已知双曲线 W: 2 ? 2 ?` a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 , 1( a b ???? ????? ? 点 N (0, b) ,右顶点是 M,且 MN ? MF2 ? ?1 , ?NMF2 ? 120? .(Ⅰ )求双曲线的方程; (Ⅱ )过点 Q(0, ?2) 的直线 l 交双曲线 W 的右支于 A、B 两个不同的点(B 在 A、Q 之间) ,若 点 H (7, 0) 在以线段 AB 为直径的圆的外部,试求△ AQH 与△ BQH 面积之比 λ 的取值范围. x 21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 1 ? e? x ,函数 g ( x) ? (其中 a ? R ,e 是自然对数的 ax ? 1 底数)(Ⅰ . )当 a ? 0 时,求函数 h( x) ? f ?( x) ? g ( x) 的极值; (Ⅱ )若 f ( x) ? g ( x) 在 [0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围;
(Ⅲ )设 n ? N ,求证: e
*

2n?

? k ?1
4
k ?1

n

? n! ? e

n ( n ?1) 2

(其中 e 是自然对数的底数) .

江西广丰一中 2013 届高三 4 月模拟考试试卷 理科数学参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 C 5 C 6 C 7 A 8 B 9 A 10 C

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题4分,共 28 分) 11. 16 12.10 13. ?540 14.
5 3

三、选做题: (请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分, 本题共 5 分 ) 15.(A)a≤-4 或-1≤a<0 (B)a=5± 5 四、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.解 (Ⅰ )由已知 2bc cos A ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc , ······························ 2 分 ······························ 1 由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 得 4bc cos A ? ?2bc ,∴ cos A ? ? , ·········· 分 ········· 4 2 2? ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? .················································ 分 ··············································· 6 3 2? ? ? (Ⅱ )∵ A ? ,∴ B ? ? C , 0 ? C ? . 3 3 3 4? 1 ? cos C ? ? 2 C ······ 8 2 3 cos ? sin( ? B) ? 2 3 ? ? sin( ? B) ? 3 ? 2sin(C ? ) . ······· 分 2 3 2 3 3 ? ? ? 2? ∵ 0 ? C ? ,∴ ? C ? ? , 3 3 3 3 ? ? C 4? ? ∴当 C ? ? , 2 3 cos2 ? sin( ? B) 取最大值 3 ? 2 ,解得 B ? C ? . ··· 12 分 ··· 3 2 2 3 6 17.解: (1)根据茎叶图,有“高个子”12 人,“非高个子”18 人,……1 分 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 所以选中的“高个子”有 12 ?

5 1 ? , 30 6

……2 分

1 1 ? 2 人,“非高个子”有 18 ? ? 3 人.3 分 6 6

用事件 A 表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件 A 表示 “没有一名“高个子”被选中”,则 P( A) ? 1 ?
2 3 7 C3 ? 1? ? .…5 分 2 10 10 C5

因此,至少有一人是“高个子”的概率是

7 . 6分 10
3 C8 14 P(? ? 0) ? 3 ? , C12 55 2 C1 C8 28 4 P(? ? 1) ? 3 ? C12 55

X (2) 依题意, 的取值为 0,1, 2, 3 .7 分

P(? ? 2) ?

C2C1 12 4 8 ? , 3 C12 55

P(? ? 3) ?

C3 1 4 . …9 分 ? 3 C12 55

因此, ? 的分布列如下:

?
p

0

1

2

3

14 55

28 55

12 55

1 55
……10 分

? E? ? 0 ?

14 28 12 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 1. 55 55 55 55

……12 分

18.解: (Ⅰ)证明:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴

BA, BC, BB1 两两垂直.
以 BA, BB1 , BC 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系如图.--------------2 分 则 B ? 0,0,0? , N ? 4, 4,0? , B1 ? 0,8,0? , C1 ? 0,8, 4? , C ? 0,0, 4? .

???? ???? ? ∴ BN ?NB1 ? ? 4, 4,0?? ?4, 4,0? ? ?16 ? 16 ? 0 , ?
???? ????? BN ?B1C1 ? ? 4, 4,0?? 0,0, 4? ? 0 .------------4 分 ?

z C C1

B

B1 N

y

∴ NB ? NB1 , BN ? B1C1 . 又 NB1 与 B1C1 相交于 B1 , ∴ BN ⊥平面 C1NB1 . -------------------6 分

M A x

(Ⅱ)∵ BN ⊥平面 C1NB1 ,
???? ?? ? ∴ BN 是平面 C1 B1 N 的一个法向量 n1 ? ? 4, 4,0 ? ,

------------8 分

设 n2 ? ? x, y, z ? 为平面 NCB1 的一个法向量,

?? ?

?? ???? ? ?n2 ? CN ? 0 ?? x, y, z ? ? ? 4, 4, ?4 ? ? 0 ? x ? y ? z ? 0 ? ? ?? ?? 则 ??? ???? , ? ? ?n2 ? NB1 ? 0 ?? x, y, z ? ? ? 4, ?4,0? ? 0 ? x ? y ? 0 ? ?
所以可取 n2 ? ?1,1, 2? .
?? ?

------------10 分

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? n1 ? n2 4?4 1 3 ? ? ? ? 则 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? . 3 | n1 | ? | n2 | 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4 3

∴所求二面角 C-NB1-C1 的余弦值为

3 . 3

------------12 分

19.解: (Ⅰ)由 a2 a9 ? 232与 a4 ? a7 ? a2 ? a9 ? 37 解得: ?

?a2 ? 8 ?a2 ? 29 或? (由于 an ?1 ? an ,舍去) ?a9 ? 29 ?a9 ? 8 ? a1 ? 5 ?a2 ? a1 ? d ? 8 ,解得 ? ?d ? 3 ?a9 ? a1 ? 8d ? 29

设公差为 d ,则 ?

所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 2(n ? N? ) ……………………………………4 分 (Ⅱ)由题意得:

bn ? a2n?1 ? a2n?1 ?1 ? a2n?1 ? 2 ? ? ? a2n?1 ? 2n?1 ?1
? (3 ? 2n ?1 ? 2) ? (3 ? 2n ?1 ? 5) ? (3 ? 2n ?1 ? 8) ? ? ? [3 ? 2n ?1 ? (3 ? 2n ?1 ? 1)]

? 2n ?1 ? 3 ? 2n ?1 ? [2 ? 5 ? 8 ? ? ? (3 ? 2n ?1 ? 4) ? (3 ? 2n ?1 ? 1)] …………………………6 分
而 2 ? 5 ? 8 ? ? ? (3 ? 2n ?1 ? 4) ? (3 ? 2n ?1 ? 1) 是首项为 2 ,公差为 3 的等差数列的前 2 所以 2 ? 5 ? 8 ? ? ? (3 ? 2n ?1 ? 4) ? (3 ? 2n ?1 ? 1)
n ?1

项的和,

? 2n ?1 ? 2 ?

2n ?1 (2n ?1 ? 1) 1 ? 3 ? 3 ? 22 n ? 3 ? ? 2n 2 4
4 8 4

所以 b ? 3 ? 2 2 n ? 2 ? 3 ? 2 2 n ? 3 ? 1 ? 2 n ? 9 ? 2 2 n ? 1 ? 2n ………………………………10 分 n 所以 b ? 1 ? 2n ? 9 ? 22 n n

4

8

所以 T ? 9 (4 ? 16 ? 64 ? ? ? 22 n ) ? 9 ? 4(1 ? 4 ) ? 3 (4n ? 1) ……………………12 分 n
n

8

8

1? 4

2

???? ????? ? 20.解(Ⅰ )由已知 M (a, 0) , N (0, b) , F2 (c,0) , MN ? MF2 ? (?a, b) ? (c ? a,0) ? a2 ? ac ? ?1 ,
∵ ?NMF2 ? 120? ,则 ?NMF1 ? 60? ,∴ b ? 3a ,∴ c ? a2 ? c2 ? 2a ,

y2 ?` . ·····················4 分 1 ···················· 3 (Ⅱ )直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l: y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,
解得 a ? 1 , b ? 3 ,∴双曲线的方程为 x2 ?
?3 ? k 2 ? 0, ? 2 2 ?? ? 16k ? 28(3 ? k ) ? 0, ? y ? kx ? 2, ? ? 由 ? 2 y2 得 (3 ? k 2 ) x2 ? 4kx ? 7 ? 0 ,则 ? x ? x ? 4k ? 0, 1 2 ?` 1 ?x ? k2 ? 3 ? 3 ? ? 7 ? x1 x2 ? 2 ? 0, k ?3 ?

解得 3 ? k ? 7 .

①··········································· 6 分 ··········································· ??? ??? ? ? ∵点 H (7, 0) 在以线段 AB 为直径的圆的外部,则 HA ? HB ? 0 , ??? ???? ? HA ? HB ? ( x1 ? 7, y1 ) ? ( x2 ? 7, y2 ) ? ( x1 ? 7) ? ( x2 ? 7) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (7 ? 2k )( x1 ? x2 ) ? 53

7 4k 7k 2 ? 7 ? 8k 2 ? 28k ? 53k 2 ? 159 ? (7 ? 2k ) ? 2 ? 53 ? ? 0 ,解得 k ? 2 . ② k2 ? 3 k ?3 k2 ? 3 由①、②得实数 k 的范围是 2 ? k ? 7 ,···································· 分 ··································· 8 ??? ? ??? ? S?AQH | AQ | 由已知 ? ? ,∵B 在 A、Q 之间,则 QA ? ?QB ,且 ? ? 1 , ? S?BQH | BQ | ? (1 ? k 2 ) ?
4k ? ?(1 ? ? ) x2 ? k 2 ? 3 , ? ∴ ( x1 , y1 ? 2) ? ? ( x2 , y2 ? 2) ,则 x1 ? ? x2 ,∴ ? ?? x 2 ? 7 , ? 2 k2 ? 3 ? 2 2 (1 ? ? ) 16 k 16 3 则 ································ ? ? 2 ? (1 ? 2 ) , ·································10 分 ? 7 k ?3 7 k ?3 (1 ? ? )2 64 1 ∵ 2 ? k ? 7 ,∴ 4 ? ,解得 ? ? ? 7 ,又 ? ? 1 ,∴ 1 ? ? ? 7 . ? 7 ? 7 故 λ 的取值范围是 (1,7) . ············································ 13 分 ············································

21.解 (Ⅰ f ?( x) ? ?e? x ? (? x)? ? e? x ,函数 h( x) ? f ?( x) ? g ( x) ? xe? x , h?( x) ? (1 ? x) ? e? x ,当 x ? 1 ) 时,h?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时,h?( x) ? 0 ,故该函数在 (??,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减.∴ 1 函数 h( x) 在 x ? 1 处取得极大值 h(1) ? .··································· 4 分 ··································· e x x x (Ⅱ )由题 1 ? e? x ? 在 [0, ??) 上恒成立,∵ ? 0 , 1 ? e? x ?[0,1) ,∴ ? 0, ax ? 1 ax ? 1 1 若 x ? 0 ,则 a ? R ,若 x ? 0 ,则 a ? ? 恒成立,则 a ? 0 . x x ?x 不等式 1 ? e ? 恒成立等价于 (ax ? 1)(1 ? e? x ) ? x ? 0 在 [0, ??) 上恒成立,··· 6 分 ··· ax ? 1 令 u( x) ? (ax ? 1)(1 ? e? x ) ? x ,则 u?( x) ? a(1 ? e? x ) ? (ax ? 1)e? x ? 1 ,
x 又令? ( x) ? a(1 ? e? x ) ? (ax ? 1)e? x ? 1 ,则? ?( x) ? e? x (2a ? ax ? 1) ,∵ ? 0 , a ? 0 .

? ①当 a ? 0 时,? ?( x) ? ?e? x ? 0 ,则? ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,∴ ( x) ? u ?( x) ? ? (0) ? 0 , u ∴ u ( x) 在 [0, ??) 上单减,∴ ( x) ? u (0) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) 在 [0, ??) 上恒成立; ·· 7 分 ·· 2a ? 1 ②当 a ? 0 时,? ?( x) ? ?a ? e? x ( x ? ). a 1 ⅰ ) 若 2a ? 1? 0, 即 0 ? a ? 时 , ? ?( x )? 0, 则 ? ( x) 在 [0, ??) 上 单 调 递 减 , 2 ? ∴ ( x) ? u ?( x) ? ? (0) ? 0 , u ( x) 在 [0, ??) 上单调递减, u ( x) ? u (0) ? 0 , ∴ ∴ 此时 f ( x) ? g ( x) 在 [0, ??)
上恒成立;································································· 分 ································································ 8 1 2a ? 1 2a ? 1 ⅱ)若 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,若 0 ? x ? 时,? ?( x) ? 0 ,则? ( x) 在 (0, ) 上单调递 a a 2 2a ? 1 ? u 增,∴ ( x) ? u?( x) ? ? (0) ? 0 ,∴ ( x) 在 (0, ) 上也单调递增, a u ∴ ( x) ? u(0) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ,不满足条件. ···························9 分 ·························· 1 综上,不等式 f ( x) ? g ( x) 在 [0, ??) 上恒成立时,实数 a 的取值范围是 [0, ] . · 10 分 · 2 x 2? x 1 ? e? x ? (Ⅲ )由(Ⅱ )知,当 a ? 时,则 1 ? e? x ? , 1 2? x 2 x ?1 2

2? x 2? x 2? x 2n ? 2 4 ,令 , ? x ? ln ? n ,则 x ? ?2? 2? x 2? x 2? x n ?1 n ?1 n n n 4 4 4 ∴ ln n ? 2 ? ,∴ ln(n !) ? 2n ? ? , ···12 分 ·· (n ? N* ) ,∴ ln k ? 2n ? ? ? n ?1 k ?1 k ?1 k ? 1 k ?1 k ? 1 1 1 又由(Ⅰ )得 h( x) ? h(1) ,即 xe? x ? ,当 x>0 时, ln( xe? x ) ? ln ? ?1 ,∴ ln x ? x ? 1 , e e n(n ? 1) , ln(n!) ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2
当 x ? [0, 2) 时, e? x ?
n ( n ?1) 2n?? 4 n2 ? n k ?1 ? ln(n !) ? 综上得 2n ? ? ,即 e k ?1 ? n! ? e 2 .···············14 分 ·············· 2 k ?1 k ? 1
n
n

4


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