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数列的求和的常用方法


数列的求和的常用方法
一、 公式法:
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(1)等差数列前 n 项和公式: S n ?

?na1 (q ? 1) ? (2)等比数列前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1 ? q ? 1 ? q

(q ? 1) ?

(3)重要公式 ① ? k ? 1+2+?+n=
k ?1 n n

1 n(n+1); 2 1 n(n+1)(2n+1); 6 1 1 n(n+1)]2= n2(n+1)2; 2 4

② ? k 2 ? 12+22+?+n2=
k ?1 n

③ ? k 3 ? 13+23+?+n3=(1+2+?+n)2=[
k ?1 n

④ ? 2k =2+4+6+?+2n=n(n+1)
k ?1 n

⑤ ? (2k ? 1) =1+3+5+?(2n-1)=n2
k ?1

二、

倒序相加法(利用等和性)
n(a1 ? a n ) 就是用倒序相加法推导出来的, 2

等差数列前 n 项和公式 S n ?

这种方法主要用于求数列{an},首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同 一个常数。 例 1.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和 为 390,则这个数列有( ) (A)13 项 (B)12 项 (C)11 项 (D)10 项 例 2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S6=36,Sn=324,Sn-6=144(n>6),则 n 为( ) (A)18 (B)17 (C)16 (D)15
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o 1 2 n 例 3.求和 S n ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? (n ? 1)Cn

例 4.已知 a,b 为不相等的两个正数,若在 a,b 之间插入 n 个正数,使它们构 成以 a 为首项,b 为末项的等比数列,求插入的这 n 个正数的积 Pn .

三、

乘 q 错位相减法

等比数列前 n 项和公式 S n ?

a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 就是用乘 q 错位相减法推导出来 1? q

的,这种方法主要用于求数列{an ? bn}的前 n 项和,其中{an},{bn}分别是等差 数列和等比数列 例 5.求数列{n ? 2n}的前 n 项和 Sn

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例 6.求和 S n ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? ? ? nxn?1 ( x ? 1)

例 7.求和 S n ?

1 3 5 2n ? 1 ? ? ??? 2 4 8 2n

例 8. 求数列 10,200,3000,40000, ?的前 n 项和 Sn

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四、 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,即 an=f(n+1)-f(n),在求和时中间的一些 项可以相互抵消,从而求得其和 , 一般情况下,若 {an}是等差数列,则
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ( ? ) ,用裂项法求和,需要掌握 a n a n ?1 d a n a n ?1 an ? an? 2 2d an an? 2

一些常见的裂项,如: ①
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - , ? ( ? ), ? ( ? ) n ? 1 n(n ? 2) 2 n n ? 2 n( n ? k ) k n n ? k n(n ? 1) n



1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 n ? n ?1 1 n ? n?k ? n ?1 ? n 1 1 1 ( n ? k ? n), ? ( a ? b) k a ? b a ?b







?

m m m m m m ⑦ Cn ?1 ? Cn?1 ? Cn ,或 Cn??1 ? Cn ? Cn?1 1



1 n 1 = - (n ? 1)! n! (n ? 1)!

⑨n·n!=(n+1)!-n! ⑩ an ?
1 1 1 1 ? ( ? )等 ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C 1 ,求前 n 项和 Sn (2n ? 1)(2n ? 1)

例 9.已知数列{an}的通项公式 an=

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例 10.已知数列{an}:1, 前 n 项和 Sn

1 1 1 , , ?, , ? 求它的 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

例 11.已知数列

1 1 1 1 , 2 , 2 , 2 , ? , 求它的前 n 项和 Sn 1 ? 2 2 ? 4 3 ?6 4 ?8
2

五、 分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成, 则求和时可 将这类数列适当拆开,分别求和而后相加减。 例 11.求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和 Sn

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例 12.数列{an}的通项 an=n2-n,求前 n 项和 Sn

1 1 1 例 13.求和: ( x ? ) ? ( x 2 ? 2 ) ? ? ? ( x n ? n )(x ? 1, y ? 1) y y y

3 9 25 65 例 14. 求数列 , , , , ? 的前 n 项和 Sn 2 4 8 16

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例 15. 求数列 9,99,999,9999, ?的前 n 项和 Sn

1 1 1 1 1 1 例 16.求和 S n ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ? ? ? n ?1 ) 2 2 4 2 4 2

例 17. 求数列 1,(1+2),(1+2+22),?,(1+2+22+?+2n-1), ?的前 n 项和 Sn

例 18. 求数列 11,103,1005,10007,?的前 n 项和 Sn

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六并项求和法 一个数列的前 n 项和中, 可两两结合求解, 则称之为并项求和。 形如 an=(-1)nf(n) 类型,可采用两项合并求解。 例 19.求 1-2+3-4+?+99-100 的值

例 20.求 1002-992+982-972+?+22-12 的值

例 21.求和:Sn=-12+22-32+42+?+(-1)n ? n2

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