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三角恒等变换


三角函数 三角恒等变换解题技巧

一、 基本公式
1、弧长公式: 2、特殊角的三角函数值: ;扇形面积公式: ;

?
sin ? cos ?

0

? 6

? 4

? 3

? 2

?

/>
3? 2

tan ?
cot ?
3、同角三角函数的关系 4、诱导公式

5 三角函数公式:
两角和与差的三角函数关系 sin( ? ? ? )=sin ? · cos ? ? cos ? · sin ? cos( ? ? ? )=cos ? · cos ? ? sin ? · sin ? 倍角公式 sin2 ? =2sin ? · cos ? 2 cos2 ? =cos ? -sin2 ? =2cos2 ? -1=1-2sin2 ?

tan( ? ? ?) ?
升幂公式

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

降幂公式
2

1+cos ? = 2 cos 1-cos ? = 2 sin 1±sin ? =( sin
2

?
2

?

?

2

1=sin2 ? + cos2 ? sin ? = 2 sin

2

? cos

?
2

1 ? cos 2? 2 1 ? cos 2? cos2 ? ? 2
sin2 ? ? )
2

sin2 ? + cos2 ? =1 sin ? · cos ? =

?
2

cos

?
2

1 sin 2? 2

6、配角公式

a sin ? ? b cos ? ?

= ; )



?? (其中 t a n

二、 三角恒等变换:
三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换, 提高三角变换能力, 要学会创设条件, 灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角 与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的 差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍;4? 是 2? 的二倍;? 是 二倍;

? ? ? ? 是 的二倍; ? 2? 是 ? ? 的二倍。 2 4 3 6
o o o o

3? ? ? ? 的二倍; 是 的二倍;3? 是 的 2 2 2 4

② 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ?
o

? 30o ? ; 问 : sin 12 2



cos

?
12

?



③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?(

?
4

??);

⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余 弦是基础,通常化切、割为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例 如常数“1”的代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sec 2 ? ? tan2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处 理的方法。常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对, 有 时 需 要 升 幂 , 如 对 无 理 式 1 ? cos? 常 用 升 幂 化 为 有 理 式 , 常 用 升 幂 公 式 有: ; ; (5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

1? t a n ? 1 ? tan ? ? ________ __ __ ___ ? __________ ____ ; ; 1? t a n ? 1 ? tan ?

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;
2 tan ? ?
; 1 ? tan ? ?
2



tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ? 1 ? cos ? ?
=

; ; ;

?? ;1 ? c o s

(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:切割化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理 化有理,和积互化,特殊值与特殊角的三角函数互化。

? 2? 4? cos cos cos ? 9 9 9




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