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2015年广东省理科高考真题数学卷word版(附答案)


绝密★启用前

试卷类型:A

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1、若集合 M ? x ? x ? 4 ?? x ? 1? ? 0 , N ? x ?

x ? 4 ?? x ? 1? ? 0 ,则 M A. ?1, 4? B. ??1, ?4? )
3 ? 2i C. 3 ? 2i D.

?

?

?

?

N ?(

) D.?

C. ?0?

2、若复数 z ? i ? 3 ? 2i ? ( i 是虚数单位) ,则 z ? (
2 ? 3i A. 2 ? 3i B.

3、下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A. y ? 1 ? x 2 B. y ? x ?
1 x


1 2x

C. y ? 2 x ?

D. y ? x ? e x

4、 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球, 其中有 10 个白球,5 个红球. 从袋中任取 2 个 球,所取的 2 个球中恰有 1 个白球, 1 个红球的概率为( A.
5 21 10 B. 21

) C.
11 21

D.1 )

5、平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与圆 x2 ? y 2 ? 5 相切的直线的方程是( A. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0

B. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 D. 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0 )
31 5

?4 x ? 5 y ? 8 ? 6、若变量 x , y 满足约束条件 ?1 ? x ? 3 ,则 z ? 3x ? 2 y 的最小值为( ?0 ? y ? 2 ?

A. 4 7、已知双曲线 C : 为(
2

B.

23 5

C. 6

D.

5 x2 y 2 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,且其右焦点为 F2 ?5,0? ,则双曲线 C 的方程 2 4 a b


x2 y 2 ?1 B. ? 9 16 x2 y 2 ?1 C. ? 16 9 x2 y 2 ?1 D. ? 3 4

x y2 ?1 A. ? 4 3

8、若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值( A. 至多等于 3 于5 B. 至多等于 4 C. 等于 5

) D. 大

二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题(11~13 题) 9、在 10、在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 25 ,则 a2 ? a8 ?

?

x ? 1 的展开式中, x 的系数为

?

4

. .
1 ? ,C ? , 2 6

11、设 ??? C 的内角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c .若 a ? 3 , sin ? ?

则b ? . 12、某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写 了 条毕业留言. (用数字作答) 13、已知随机变量 ? 服从二项分布 ? ? n, p ? ,若 ? ? ?? ? 30 ,D ? ?? ? 20 ,则 p ? . (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选作一题)

?? ? 14、 (坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的极坐标方程为 2 ? sin ? ? ? ? ? 2 ,点 ? 的 4? ?
7? ? ? 极坐标为 ? ? 2 2, . ? ,则点 ? 到直线 l 的距离为 4 ? ? 15、 (几何证明选讲选做题)如图 1 ,已知 ?? 是圆 ? 的直径, ?? ? 4 ,? C 是圆 ? 的切线,切点为 C ,? C ? 1 .过圆心 ? 作 ? C 的 平 行 线 , 分 别 交 ?C 和 ?C 于 点 D 和 点 ? , 则 ?D ? .
三、解答题 16.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m ? ( (1) 若 m ?

2 2 ? ,? ),n ? (sin x ,cos x ),x ? (0, ) 2 2 2

n ,求 tan x 的值;
? ,求 x 的值. 3

(2) 若 m 与 n 的夹角为

17. (本小题满分 12 分) 某工厂 36 名工人年龄数据如下表

(1) 用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄

数据为 44,列出样本的年龄数据; (2) 计算(1)中样本的均值 x 和方差 s ; (3) 36 名工人中年龄在 x ? 18.(本小题满分 14 分) 如 图 2 , 三 角 形 PDC 所 在 的 平 面 与 长 方 形 ABCD 所 在 的 平 面 垂 直 ,
2

s 和 x ? s 之间有多少人?所占百分比是多少(精确到 0.01%)?

PD ? PC ? 4,AB ? 6,BC ? 3 , 点 E 是 CD 的 中 点 , 点 F、G 分 别 在 线 段 A B、 B C 上 , 且
AF ? 2 FB, CG ? 2 GB .
(1) 证明: PE ? FG ; (2) 求二面角 P ? AD ? C 的正切值; (3) 求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.

19. (本小题满分 14 分) 设 a ? 1 ,函数 f(x ) ? (1 ? (1) 求 f (x )的单调区间; (2) 证明 f (x )在(??,??)上仅有一个零点; (3) 若曲线 y ? f(x )在点 P 处的切线与 x 轴平行,且在点 M(m,n) 处的切线与直线 OP 平行, (O 是 坐标原点) ,证明: m ?
3

x 2) ex ? a

a ?

2

e

? 1.

20. (本小题满分 14 分) 已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : (1) 求圆 C1 的圆心坐标; (2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3) 是否存在实数 k,使得直线 l : y ? k(x ? 4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范 围;若不存在,说明理由. 21. (本小题满分 14 分)

x 2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相交于不同的两点 A、B.

nan ? 3 ? 数列{an }满足: a1 ? 2a2 ? ......
(1) 求 a3 的值; (2) 求数列{an }的前 n 项和T n ; (3) 令 b1 ? a1 ,bn ?

n ?2
2
n ?1

,n ? N * .

Tn ?1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ...... ? ) a (n ? 2),证明:数列{bn }的前 n 项和 Sn n 2 3 n n

满足 S n ? 2 ? 2 ln n


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