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2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷


2013 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷
2013 年 9 月 14 日上午 9::0——11:30 一.填空题(每题 8 分,共 64 分) 1.函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ? x 的值域是
2

. . . .

2.方程 sin(2013? x) ? x2013 的实数根的个数为

3.化简 sin 12 sin 48 sin 54 =
?

?

?

(用数字作答) .

4.设数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 1 , an ? 3an?1 ? an?2 (n ? 3) ,则 a2013 ? 5.设 ?ABC 的外接圆圆心 P 满足 AP ? 6.设复数 z ? x ? yi 满足 为 7.设 1 ? x ? x .

2 ( AB ? AC ) ,则 cos ?BAC = 5

y z ?1 的实部与虚部之比为 3 ,其中 i 是虚数单位, x, y ? R ,则 的最大值 z?2 x
k

?

2 150

? =?c x
300 k ?0 k

,其中 c0 , c1 ,..., c300 是常数,则

?c
k ?0

100

3k

=

. .

8.随机选取正 11 边形的 3 个不同顶点,它们构成锐角三角形的概率为 二.解答题(第 9-10 每题 21 分,第 11-12 题每题 22 分,共 86 分) 9.设正三棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 2,求其体积和内切球半径.

10.求 所 有 函 数 f : R ? R , 使 得 对 任 意 x, y 都 有 f ( x ?

y )?

f ( x ) ?

f ( ?y ) 且 2 x y

x 2 ? x ? f ( x) ? x 2 ? x .

1 2

1 2

11.设 a, b, c 是不全为 0 的实数, 求F ? 最大值与最小值?

ab ? bc ? c 2 的取值范围,a, b, c 分别满足什么条件时,F 取 a 2 ? 2b 2 ? 3c 2

12.设数列{ an }满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an ?

2 ( 1 ? an?1) (n ? 3) . an?2

(1)求数列{ an }的通项公式; (2)求证:对任意的正整数 k , a2 k ?1 和

a2 k 都是整数. 2


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