tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中数学竞赛讲义


不等式 一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b ? a-b>0; (2)a>b, b>c ? a>c; (3)a>b ? a+c>b+c; (4)a>b, c>0 ? ac>bc; (5)a>b, c<0 ? ac<bc; (6)a>b>0, c>d>0 ? ac>

bd; (7)a>b>0, n∈ N+ ? an>bn; (8)a>b>0, n∈ N+ ? (9)a>0, |x|<a ? -a<x<a, |x|>a ? x>a 或 x<-a; (10)a, b∈ R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; (11)a, b∈ R,则(a-b)2≥0 ? a2+b2≥2ab; (12)x, y, z∈ R+,则 x+y≥2 n a ?n b; xy , x+y+z ? 33 xyz. 前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。 (6)因为 a>b>0, c>d>0,所以 ac>bc, bc>bd,所以 ac>bd;重复利用性质(6) ,可得性质(7) ;再证 性质(8) ,用反证法,若 n n n a ? n b ,由性质(7)得 (n a ) n ? (n b ) n ,即 a≤b,与 a>b 矛盾,所以假 设不成立,所以 a ? b ;由绝对值的意义知(9)成立;-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|;下面再证(10)的左边,因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立; (11) 显然成立;下证(12) ,因为 x+y-2 成立,再证另一不等式,令 3 3 xy ? ( x ? y ) 2 ≥0,所以 x+y≥ 2 xy ,当且仅当 x=y 时,等号 x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc 2 2 3 x ? a, 3 y ? b, 3 z ? c ,因为 =(a+b) +c -3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b) -(a+b)c+c ]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= 1 2 (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0,所以 a3+b3+c3≥3abc,即 x+y+z≥ 33 二、方法与例题 1.不等式证明的基本方法。 xyz ,等号当且仅当 x=y=z 时成立。 (1)比较法,在证明 A>B 或 A<B 时利用 A-B 与 0 比较大小,或把 后得出结论。 例 1 x2+y2+z2 ? c∈ R+ A (A,B>0)与 1 比较大小,最 B 意 实 数 x, y, z, 有 设 a, b, , 试 证 : 对 任 2 ? a?b abc b?c c?a ? ? xy ? yz ? xz ? ? ?. (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? c a b ? 左边-右边= x2+y2+z2 ? 2 【证明】 ab bc xy ? 2 yz (b ? c)(c ? a) (a ? b)(c ? a) ?2 2 ca b 2 ab a c xz ? x ?2 xy ? y2 ? y2 ? (a ? b)(b ? c) b?c (b ? c)(c ? a) c?a c?a bc b 2 a 2 ca c yz ? z ? z ?2 xz ? x2 ? (a ? b)(c ? a) a?b a?b (a ?

推荐相关:

高中数学竞赛讲义(免费)

高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部 2000 年《全日制普通高 级中学数学教学大纲》中所...


高中数学竞赛资料-数论部分

高中数学竞赛资料-数论部分_数学_高中教育_教育专区。初等数论简介绪言:在各种数学竞赛中大量出现数论题,题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1. 请看下面的例...


高中数学竞赛资料收集

高中数学竞赛资料收集_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学竞赛资料收集_学科竞赛_高中教育_教育专区。收集了许多人介绍推荐的...


高中数学竞赛讲义——格点问题

高中数学竞赛讲义——格点问题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。决赛的好帮手。格点问题 [赛点直击] 1.格点,是指方格纸上纵线和横线的交点,如果取一个格点...


高中数学竞赛讲义1

高中数学竞赛讲义( 高中数学竞赛讲义(八)──平面向量 平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示 ...


高中数学竞赛讲义01:集合与简易逻辑

高中数学竞赛讲义(一) 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示; 集合中的各个...


高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)

(Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2, 所以 x0= , 所以 , 高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导( 高中数学竞赛讲义+完美数学...


高中数学竞赛讲义十二

高中数学竞赛讲义(十二)──立体几何 一、基础知识 公理 1 记作:a a. 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内.则这条直线在这个平面内, 公理 2 两个...


高中数学竞赛培训讲义(word版43页)

高中数学竞赛培训讲义(word版43页)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 高中数学竞赛培训教材编者:全国特级教师 (一)集合与容斥原理 集合是一种基本数学语言、一种基...


高中数学竞赛专题讲义-高斯函数

高斯函数讲义---学生用 4页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 高中数学竞赛专题讲义-高斯函数 高二数学...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com