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必修2第三章直线与方程练习汇编


直线与方程练习汇编
一、选择题
1.若 A(?2,3) , B(3,?2) , C ( , m) 三点共线,则 m 的值为( A.

1 2



1 2

B. ?

1 2

C. ? 2

D. 2 )


2.已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 m : x ? 2 y ? 3=0 垂直,则 sin 2? ? ( A.

5 4

B.

4 5

C. ?

4 5

D. ?

5 4
) D. ?0, ? 4

3.直线 2mx? (m2 ? 1) y ? m ? 0 倾斜角的取值范围( A. ?0, ? ? B. ?0, ? ? ?

? ?? ? 4?

? 3? ? ? ? ? ?? ? , ? ? C. ?0, ? ? ? , ? ? ? 4 ? ? 4? ? 2 ?

? ?? ? ?

4.直线 3x﹣y=0 绕原点逆时针旋转 90°,再向右平移 1 个单位,所得到直线的方程为 ( ) A.x+3y﹣3=0 B.x+3y﹣1=0 C.3x﹣y﹣3=0 D.x﹣3y+3=0 5.设点 A? ?2,3? , B ? 3, 2? ,若直线 ax ? y ? 2 ? 0 与线段 AB 没有交点,则 a 的取值范 围是( )

A. ? ??, ? ? ? ? , ?? ? 2 3

? ?

5? ?

?4 ?

? ?

B. ? ?

? 4 5? ? 5 4? , ? C. ? ? , ? ? 3 2? ? 2 3?

D. ? ??, ? ? ? ? , ?? ? 3 2

? ?

4? ?

?5 ?

? ?

6.已知 f ( x) ? a sin x ? b cos x 若 f ( 斜角为( ) A.

?
4

? x) ? f (

?
4

? x) ,则直线 ax ? by ? c ? 0 的倾

? 4

B.

? 3

C.

2? 3

D.

3? 4

7 .已知直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m, l2 : 2 x ? (5 ? m) y ? 8 平行,则实数 m 的值为 ( ) B. ?1 C. ?1或 ?7 D.

A. ?7

13 3


8.已知直线 3x ? 2 y ? 3 ? 0 和 x ? my ? 1 ? 0 互相平行,则它们之间的距离是(

A.4

B.

6 13 13

C.

4 13 13

D.

2 13 13


10.如图,已知 A(4, 0), B(0, 4) ,从点 P (2, 0) 射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线

OB 上,最后经直线 OB 反射又回到 P 点,则光线所经过的路程是(

1

A. 2 10

B. 6

C. 3 3

D. 2 5

1 11.已知 A ? ?2,1? , B ?1, 2? ,点 C 为直线 y ? x 上的动点,则 AC ? BC 的最小值为 3

A. 2 2

B. 2 3

C. 2 5

D. 2 7

12.光线自点 M(2,3)射到 N(1,0)后被 x 轴反射,则反射光线所在的直线方程为 ( ) A. y ? 3x ? 3 B. y ? ?3x ? 3 C. y ? ?3x ? 3 D. y ? 3x ? 3

13.已知直线(1+k)x+y﹣k﹣2=0 恒过点 P,则点 P 关于直线 x﹣y﹣2=0 的对称点的坐 标是( ) A. (3,﹣2) B. (2,﹣3) C. (1,﹣3) D. (3,﹣1) 14.与直线 3x﹣4y+5=0 关于 y 轴对称的直线方程是( ) A.3x+4y﹣5=0 B.3x+4y+5=0 C.3x﹣4y+5=0 D.3x﹣4y﹣5=0 15. 直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 分别交 x 轴和 y 轴于 A、B 两点,P 是直线 y ? ? x 上的一点, 要使 PA ? PB 最小,则点 P 的坐标是( A. ( ? 1,1 ) B.(0,0)
2 2

) C. ( 1,?1 ) D.( ,? )

1 2

1 2

16.已知实数 x,y 满足方程 x +y =1,则 A. C. B. D.

的取值范围是( )

3 17.点 P 在曲线 y ? x ? x ?

2 上移动时,过点 P 的切线的倾斜角的取值范围是( 3
B. ? 0,



A. ? 0, ? ?

? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ,? ? ? 2 ? ?4 ? ? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ,? ? ? 2 ? ?4 ?

C. ?0,

? ? ? ?? 3 ? ? ?? , ? ? ? 2? ?2 4 ?

D. ?0,

二、填空题
18.如图所示,直线 l1 , l2 , l3 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,则 k1 , k2 , k3 的大小关系为 (按从大到小的顺序排列) .

2

19.若 a 、 b 、 c 是两两不等的三个实数,则经过 P(b, b ? c) 、 Q(a, c ? a) 两点的直线 的倾斜角为______. (用弧度制表示) 20.已知直线 2 x ? y ? 2 ? 0 和 m x ? y ? 1 ? 0 的夹角为

? ,则 m 的值为 4



21.方程

x 3

?

y 4

? 1 所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积为__________.


22.若直线 l : 5ax ? 5 y ? a ? 3 ? 0 不经过第二象限,则实数 a 的取值范围是

23.三条直线 l1 : x ? y ? 0 ; l 2 : x ? y ? 2 ? 0 ; l 3 : 5 x ? ky ? 15 ? 0 不能围成一个 三角形,则实数 k 的值为 .

24.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y ? 2a 与函数 y ?| x ? a | ?1 的图像只有一个交 点,则 a 的值为 . 25.已知直线 l 过点 P(2,1)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐标 原点,则三角形 OAB 面积的最小值为 _________ . 26 . 已 知 A(1 ? t ,1 ? t , t ), B(2, t , t ) , 则 A, B 两 点 间 的 距 离 的 最 小 值 是 _____________________. 27.若实数 a, b, c 成等差数列,点 P(?1,0) 在动直线 ax ? by ? c ? 0 上的射影为 M , 点 N (3,3) ,则线段 MN 的长度的最大值是 .

2 2 28 .已知 x , y 为实数,代数式 1 ? ( y ? 2) ? 9 ? (3 ? x ) ?

x 2 ? y 2 的最小 值



.

29.两直线 l1,l2 分别过 A? 6,2? , B(?3, ?1) ,各自绕 A, B 旋转,但仍保持平行,当它们 距离最大时方程 l1 为 ,方程 l2 为 .

30.在平面直角坐标系内,设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) 为不同的两点,直线 l 的方程为

ax ? by ? c ? 0 , 设

??

ax1 ? by1 ? c ax2 ? by2 ? c 有下列四个说法:

①存在实数 ? ,使点 N 在直线 l 上; ②若 ? ? 1 ,则过 M 、 N 两点的直线与直线 l 平行;

3

③若 ? ? ?1 ,则直线 l 经过线段 MN 的中点; ④若 ? ? 1 ,则点 M 、 N 在直线 l 的同侧,且直线 l 与线段 MN 的延长线相交 上述说法中,所有正确说法的序号是 三、解答题 31.如图,已知点 A(2,3),B(4,1),△ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形, 点 C 在直线 l:x-2y+2=0 上.

(1)求 AB 边上的高 CE 所在直线的方程; (2)求△ABC 的面积.

32.已知 y=2x 是△ABC 中∠C 的内角平分线所在直线的方程,若 A(﹣4,2) ,B(3,1) . (1)求点 A 关于 y=2x 的对称点 P 的坐标; (2)求直线 BC 的方程; (3)判断△ABC 的形状.

33.已知 O 为坐标原点,△AOB 中,边 OA 所在的直线方程是 y ? 3x ,边 AB 所在的直线 方程是 y ? ?

1 x ? 7 ,且顶点 B 的横坐标为 6。 2

(1)求△AOB 中,与边 AB 平行的中位线所在直线的方程; (2)求△AOB 的面积; (3)已知 OB 上有点 D,满足△AOD 与△ABD 的面积比为 2,求 AD 所在的直线方程。

34.有定点 P(6,4)及定直线 l:y=4x,Q 是 l 上在第一象限内的点.PQ 交 x 轴的正 半轴于 M 点,问点 Q 在什么位置时,△OMQ 的面积最小,并求出最小值.

4

35. (1) 过点 P ? 0,1? 作直线 l 使它被直线 l1 : 2x ? y ? 8 ? 0 和 l2 : x ? 3 y ? 10 ? 0 截得的 线段被点 P 平分,求直线 l 的方程; (2)光线沿直线 l1 : x ? 2 y ? 5 ? 0 射入,遇直线 l : 3x ? 2 y ? 7 ? 0 后反射,求反射光 线所在的直线方程.

36.已知动点

满足方程

. 距离的最小值; 之间的最短距离为 ,求满足条件的实数 的取值.

(1)求动点 P 到直线 (2)设定点 ,若点

37.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,平行于 x 轴且过点 A (3 3 ,2)的入射光线 l1 被

l:y?
直线

3 x 3 反射.反射光线 l 2 交 y 轴于 B 点,圆 C 过点 A 且与 l1 , l2 都相切。

(1)求 l 2 所在直线的方程和圆 C 的方程; (2)设 P, Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点,求 PB ? PQ 的最小值及此时点 P 的坐标.

5

参考答案 1.A【解析】由题知 AB ? ? 5, ?5? , BC ? ? ? , m ? 2 ? ,三点共线可得 AB / / BC ,由向量 的坐标运算可得 5 ? m ? 2 ? ? ? ?5? ? ? ? ? ,解得 m ?

??? ?

??? ?

? 5 ? 2

? ?

??? ?

??? ?

? 5? ? 2?

1 ,故本题答案应选 A. 2
1 5 2 5 ,所以 sin ? ? , , cos ? ? ? 5 5 2

2.C【解析】由题因为直线 l 与 m 垂直,所以 tan ? ? ?

所以 sin 2? = 2sin ? cos ? ? 2 ?

5 2 5 4 ? (? )?? 。 5 5 5

3.D【解析】试题分析:由已知可知 m ? 0 .直线的斜率

k?

2m m 2 ? 1 .当 m ? 0 时 k ? 0 ,当

k?

m ? 0 时,

2m 2 2 ? ? ?1 2 m ?1 m ? 1 1 2 m? m m ,由因为 m ? 0 ,所以 0 ? k ? 1 .综上可得直线
0 ?? ?

?
4.

的斜率 0 ? k ? 1 .设直线的倾斜角为 ? ,则 0 ? tan ? ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 4.B【解析】∵直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° ∴直线斜率互为负倒数 ∴直线 y=3x 变为 y=﹣ x, ∵向右平移 1 个单位 ∴y=﹣ (x﹣1) 即:x+3y﹣1=0,故选:B.

5 4 , k PB ? , 若 直 线 直 线 2 3 5 4 根据图象可知 k ? ? 或 k ? , 若直线 ax ? y ? 2 ? 0 与 ax ? y ? 2 ? 0 与线段 AB 有交点, 2 3 5 4 5 4 4 5 线段 AB 没有交点,则 ? ? k ? ,即 ? ? ? a ? ,解得: ? ? a ? ,选 B. 2 3 2 3 3 2
5 . B 【 解 析 】 直 线 ax ? y ? 2 ? 0 过 定 点 P ? 0, ?2? , k PA ? ? 6 . D 【解析】令 x ?

?

4 2 a 3? k ? ? ?1 ,其倾斜角为 ;故选 D. b 4

,则 f (0) ? f ( ) ,即 ? b ? a ,则直线 ax ? by ? c ? 0 的斜率为

?

7.A【解析】两条直线存在两种情况:一,两直线的斜率均不存在,且不重合,二,两直线 的斜率均存在且相等但不重合.当两直线斜率均存在时,由题可知无解,当两直线斜率均存

6

在时可知 ?

m?3 2 ?? ,可求得 m1 ? ?1, m2 ? ?7 ,当 m1 ? ?1时,两直线方程相同, 4 m?5

即两直线重合,当 m2 ? ?7 时,两直线方程为 ? 2 x ? 2 y ? 13 ? 0, x ? y ? 4 ? 0 ,两直线没 有重合,所以本题的正确选项为 A. 8 . B 【 解 析 】 因 为 直 线 3x ? 2y ? 3? 0和 x ? my ? 1 ? 0 互 相 平 行 , 所 以 m ? ?

2 , 3

x ? my ? 1 ? 0 化为 3x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则它们之间的距离是 d ?

3?3 3 ?2
2 2

?

6 13 ,故选 B. 13

9.A【解析】由题可设 P(2,5)关于直线的对称点 P1(x,y) ,可由对应点的连线与对称轴 垂直得,

kPP1( ? ?1 ) ? ?1, kPP1 ? 1 ,再由点斜式方程可得 P P1 直线方程; y ? 5 ? ( x ? 2), x ? y +3 ? 0
两直线方程联立 ?

? x ? y +3 ? 0 ,的中点坐标为(-1,2) ,可得 P1(-4,-1,) ? x+y-1 ? 0

10.A【解析】由题作出点 P 关于直线 AB 方程为; x ? y ? 4 ? 0 的对称点 P1 (4,2) ;P 关 于 y 轴的对称点

(4 ? 2) 2 ? 2 2 ? 2 10 , ,路程即为线段 P P2 (-2,0) 1P 2 ?

? y0 ? 2 ? ?3 ? 1 ? x0 ? 1 11.C【解析】设 B 关于直线 y ? x 的对称点,为 B ' ? x0 , y0 ? 则 ? ,解 3 ? y0 ? 2 ? 1 ? x0 ? 1 ? 3 2 ? 2


B ' ? 2, ?1?


2




2









AC ? BC













? B ' A? ? ? 2 ? 2? ? ? ?1 ?1?

? 2 5 ,故选 C.

? 2, ? 3) 12 . B 【解析】点 M 关于 x 轴的对称点 M( ,则反射光线即在直线 NM ? 上,由
y ? 0 x ?1 ? ,∴ y ? ?3x ? 3 ,故选 B. ?3 ? 0 2 ? 1
13.D【解析】由直线(1+k)x+y﹣k﹣2=0 化为 k(x﹣1)+(x+y﹣2)=0, 令 ,

解得



于是此直线恒过点 P(1,1) . 设点 P 关于直线 x﹣y﹣2=0 的对称点为 P′(m,n) ,

7





解得



∴P′(3,﹣1) . 故选:D. 14.A【解析】令 x=0,则 y= ,可得直线 3x﹣4y+5=0 与 y 轴的交点 令 y=0,可得 x=﹣ ,可得直线 3x﹣4y+5=0 与 x 轴的交点 对称点为 . , . . ,此点关于 y 轴的

∴与直线 3x﹣4y+5=0 关于 y 轴对称的直线经过两点: 其方程为: =1,化为:3x+4y﹣5=0.

故选:A. 15.B【解析】由直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 交点分别为; A(3, 0)、B(0, 2) 设直线 y ? ? x 上的 一点 P( x, ? x) 则: PA ? PB ?

( x ? 3) 2 ? x 2 ? x 2 ? ( x ? 2) 2



(0,0) P 的坐标是

解法 2:可利用点的对称性直接发现 P 的坐标是(0,0). 16.C【解析】 :如图, 设过 P(2,0)的直线的斜率为 k, 则直线方程为 y=k(x﹣2) ,即 kx﹣y﹣2=0, 由坐标原点 O(0,0)到直线 kx﹣y﹣2=0 的距离等于 1,得 ,解得:k= .



的取值范围是[

].

故选:C.

8

17 . D 【 解 析 】 由 题 意 得 , 设 点 P 处 的 切 线 的 倾 斜 角 为 ? , 因 为 y? ? 3x2 ?1 , 即

? ?? 时 ) , ? ? [ 0 , ), 当 t a n? ? ? [ 1, 0时 ), t an? ? 3 x2 ? 1 ?[ ? 1, ??, ) 当 t a n? ? [ 0, 2

? ?[

3? ? ? ? ?3 ? ,? ),所以过点 P 的切线的倾斜角的取值范围是 ?0, ? ? ? ? , ? ? ,故选 D. 4 ? 2 ? ?4 ?

18. 【解析】 由图形可知 k2 , k3 ? 0 k1 ? 0 , 所以 k 2 ? k3 ? k1 k 2 ? k3 ? k1 l2 比 l3 的倾斜角大,

? 【解析】设经过 P(b, b ? c) 、 Q(a, c ? a) 两点的直线的倾斜角为 ? , 由题意经过 4 b?c?c?a ? 1 ,即角 ? 正切值为 1, P( b, b ? c)、 Q(a, c ? a) 两点的直线的斜率为 k ? b?a ? ? 0 ? ? ? ? ,? ? ? 4 1 20 . ? 或 3 【解析】直线 2 x ? y ? 2 ? 0 和 m x ? y ? 1 ? 0 的斜率分别为 -2 、 m ,直线 3
19 .

2 x ? y ? 2 ? 0 和 m x ? y ? 1 ? 0 的夹角为
? 1 或3 . 3

? m ? (?2) ? | ,解得 m 的值为 , tan ? 1 ?| 4 4 1 ? m ? (?2)

21 . 24 【 解 析 】 由 题 意 , 得 方 程

x 3

?

y 4

? 1 所表示的图形(如图所示) ,则面积是

1 S ? (3 ? 4 ? ) ? 4 ? 24 ;故填 24. 2

9

3 1 3 22.a ? 3 【解析】 直线 l : 5ax ? 5 y ? a ? 3 ? 0 过定点 A ( , ) , 斜率为 k ? a , kOA ? 5 ? 3 , 1 5 5 5 则直线 l 不经过第二象限时,有 a ? 3 .
23.k=±5 或 k=-10 【 解 析 】 当 l1 , l3 平 行 时 k ? 5 , 当 l2 , l3 平 行 时 k ? ?5 , 当 三 线 交 于 一 点 时 方 程

? x? y ?0 ? ? x ? y ? 2 ? 0 只有一组解,通过解方程可知 k ? ?10 ?5 x ? ky ? 15 ? 0 ?
24. ?

1 【解析】 x ? a 时 y ? x ? a ?1 取得最小值 ?1 .即函数 y ? x ? a ?1 的图像的最 2

低点为 ? a, ?1? . 当 a ? 0 时,由数形结合可知此时直线 y ? 2a 与 y ? x ? a ?1 的图像必有两个交点,故舍; 当 a ? 0 时,要使直线 y ? 2a 与 y ? x ? a ?1 的图像只有一个交点,则有直线 y ? 2a 必过 点 ? a, ?1? , 即 2a ? ?1 ,解得 a ? ? 综上可得 a ? ?

1 . 2

1 . 2

25.4【解析】设 A(a,0) 、B(0,b ) ,a>0,b>0,AB 方程为 代入得

x y ? ? 1 ,点 P(2,1) a b

2 1 2 ? ?1? 2 ,∴ab≥8 (当且仅当 a=4,b=2 时,等号成立) ,故三角形 OAB 面积 a b ab

10

S?
26.

1 ab ? 4 2

3 5 2 2 2 2 【解析】由条件得 AB ? (1 ? t ? 2) ? (1 ? t ? t ) ? (t ? t ) ? 5t ? 2t ? 2 , 5 3 5 ?2 1 ? 时,|AB|的最小值为 . 2?5 5 5

当t ? ?

27. 5 ?

2 【解析】实数 a, b, c 成等差数列,则 2b ? a ? c ,直线 ax ? by ? c ? 0 ,化为

2ax ? 2by ? 2c ? 0 ,有

2ax ? (a ? c) y ? 2c ? 0, (2 x ? y)a ? ( y ? 2)c ? 0 , 令 2 x ? y ? 0, y ? 2 ? 0 , 则
x ? 1, y ? ?2 , 直 线 ax ? by ? c ? 0 过 定 点 Q (1,?2) , 由 题 意 知 PM ? 直 线

ax ? by ? c ? 0 ,点 M 在以 PQ 为直径的圆上,圆心为 A (0,?1) ,半径 r ?

1 PQ ? 2 , 2

MN 的长度的最大值为 AN 的长度加上半径,即 (0 ? 3) 2 ? (?1 ? 3) 2

? 2 ? 5? 2 .
28. 41 . 【解析】如下图所示,构造点 P (0, y ) , A(1, 2) , Q( x, 0) , B(3,3) ,
2 2 ∴ 1 ? ( y ? 2) ? 9 ? (3 ? x) ?

x 2 ? y 2 ? PA ? BQ ? PQ ,分别作 A 关于 y 轴的对称点

A '(?1, 2)
2 1? y ( ?



B
2 ? )




2 x ?9

x











B'

? (

3 , ,

∴ 3

)

? ( x 23

? y 2)

? A B? P , ' Q? 4 1 ,当且仅当 为' A ' B ' 连线与

坐标轴的交点时,等号成立,故填: 41 .

11

29. 3x ? y ? 20 ? 0 ; 3x ? y ? 10 ? 0 【解析】当两直线距离最大值,两直线均与 AB 垂 直 , ? k AB ?

1 3

?l1, l2

斜 率 均 为

?3 , 所 以 两 直 线 方 程 为

y ? 2 ? ?3? x ? 6? , y ?1 ? ?3? x ? 3? ,即 3x ? y ? 20 ? 0 ; 3x ? y ? 10 ? 0
30.②③④【解析】若点 N 在直线 l 上,即满足

ax2 ? by2 ? c ? 0 所以不存在这样的实数

??

ax1 ? by1 ? c ax2 ? by2 ? c

ax1 ? by1 ? c ?1 ax ? by ? c ? ? 1 2 2 所 以 ① 不 正 确 ; 若 , 即 , 所 以

y2 ? y1 a ?? ax2 ? by2 ? c ? ax1 ? by1 ? c 即 a( x2 ? x1 ) ? b( y2 ? y1 ) ? 0 所以 x2 ? x1 b 即过 M 、N
a( x2 ? x1 ) ? b( y2 ? y1 ) ? 2c ? 0 把 两点的直线与直线 l 平行成立 所以②正确; 若 ? ? ?1 即

ax1 ? by1 ? c ?1 ax ? by ? c MN ? ? 1 l 2 2 线段 的中点代入直线 即可得,所以③正确;若 即 ,所以
ax1 ? by1 ? c 与 ax2 ? by2 ? c 的值同正或同负,即点 M 、 N 在直线 l 的同侧,又因为

ax1 ? by1 ? c

>

ax2 ? by2 ? c

所以点 N 离直线 l 更近, 所以直线 l 与线段 MN 的延长线相交

所以④正确 综上填②③④ 31. (1) x-y- 1=0 ; (2)2. 【解析】 (1)由题意可知,E 为 AB 的中点,

12

∴E(3,2),且 kCE=-

1 =1 k AB

∴CE 所在直线方程为:y-2=x-3,即 x-y-1=0. (2)由 ?

?x ? 2 y ? 2 ? 0 得 C(4,3), ? x ? y ?1 ? 0
1 |AC| ? |BC|=2. 2

∴|AC|=|BC|=2,AC⊥BC, ∴S△ABC=

32. (1) (4,﹣2) (2)3x+y﹣10=0(3)直角三角形

【解析】 (1)设 A 关于 y=2x 的对称点为 P(m,n) .∴

解之得

,即点 P 的坐标为(4,﹣2) .

(2)∵P(4,﹣2)在 BC 上,∴BC 的方程为 y﹣1=﹣3(x﹣3) ,即 3x+y﹣10=0. (3)由 ,解得 ∴C 的坐标为(2,4) .
2 2 2

由 , , ,得|AB| =|BC| +|AC| , ∴△ABC 为以∠C 为直角的直角三角形. 33. (1) x ? 2 y ? 7 ? 0 ; (2) S ? 14 ; (3) 5x ? 3 y ? 28 ? 0 . 【解析】 (1)设 OB 的中点为 E,则 E(3,2) ,根据直线方程的点斜式: 与边 AB 平行的中位线所在的方程为 x ? 2 y ? 7 ? 0 ;

(2) 依题意, △AOB 中, 点 A 的坐标为 (2, 6) , 则 B 到 OA 的距离为 所以 S ? 14 ; (3)根据题意, | OD |:| DB |? 2 : 1 , 则 AD 所在的直线方程为 5x ? 3 y ? 28 ? 0 . 34.40 【解析】设 Q(a,4a) ,则直线 PQ 的方程为 y﹣4= 令 y=0,得到 x=OM= ,

7 10 , 而 | OA |? 2 10 , 5

所以点 D 的坐标为 ? 4,

? ?

8? ?. 3?

(x﹣6) ,

所以当 a>1,即 a+1>0,a﹣1>0 时,

13

△OMQ 的 面 积 S= + ]+20≥10×2

×

×4a=10×[ +20=40,当且仅当(a﹣1)=

]=10×[ ( a ﹣ 1 ) 时(a=2)取等号;

所以当 Q 的坐标为(2,8)时,面积 S 的最小值为 40. 35. (1) x ? 4 y ? 4 ? 0 ; (2) 29 x ? 2 y ? 33 ? 0 . 【解析】 ( 1 )设 l1 与 l 的交点为 A ? a,8 ? 2a ? ,则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 代入 l2 的方程得 ?a ? 3? 2a ? 6? ? 10 ? 0 , ∴a ? 4, 即点 A? 4,0? 在 B ? ? a, 2 a? 6? 在 l2 上, 直线 l 上,所以直线 l 的方程为 x ? 4 y ? 4 ? 0 . (2)由 ?

? x ? ?1 ? x ? 2y ? 5 ? 0 ,得 ? , ∴ 反 射 点 M 的 坐 标 为 ? ?1, 2 ? .又取直线 ? y?2 ?3x ? 2 y ? 7 ? 0

x ? 2 y ? 5 ? 0上一点 P ? ?5, 0? ,设 P 关于直线 l 的对称点 P? ? x0 , y0 ? ,由 PP? ? l 可知,

y 2 ? x ? 5 y0 ? kPP? ? ? ? 0 . 而 PP? 的 中 点 Q 的 坐 标 为 ? 0 , ? .又 Q 点在 l 上,∴ 3 x0 ? 5 2 ? ? 2
3? x0 ? 5 y ? 2? 0 ? 7 ? 0. 2 2

y0 2 ? 17 ? ? ? x0 ? ? ? ? x0 ? 5 3 ? ? 13 由? 得? , ? 3 ? x ? 5 ? ? y ? 7 ? 0 ? y ? ? 32 0 0 0 ? ? 13 ? ?2
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为 29 x ? 2 y ? 33 ? 0 .

36. (Ⅰ)

; (Ⅱ)



.

【解析】 (Ⅰ)
14

当且仅当

时距离取得最小值















,







) ,则 ,设 ( )

对称轴为 分两种情况: (1) ∴ (2) > 时,∵ ∴ ∴ 综上所述, 或 时, 在区间 时, 在区间 上是单调增函数,故 ,∴ 上是单调减,在区间 ,∴ 时, ( 上是单调增, 取最小值 舍)

取最小值 ,∴ ( 舍)

37. 【解析】 (1)直线 1 :y=2, 设 1 交 l 于点 D ,则
? l ∴ 2 的倾斜角为 60 ,∴ k 2 ? 3

l

l

D 2 3, 2

?

? ,∵ l 的倾斜角为 30°,

l ∴反射光线 2 所在直线的方程为 y ? 2 ? 3( x ? 2 3)
即 3x ? y ? 4 ? 0 已知圆 C 与 1 相切于点 A ,设

l

C ? a, b?
① ②

∵圆心 C 在过点 D 且与 l 垂直的直线上,∴ b ? ? 3a ? 8

l 又圆心 C 在过点 A 且与 1 垂直的直线上, ∴ a ? 3 3
?a ? 3 3 ? b ? ?1 由①②得 ? ,圆 C 的半径 r ? 3
故所求圆 C 的方程为 ( x ? 3 3) ? ( y ? 1) ? 9
2 2

15

y0 ? 4 y0 ? 4 3 x0 ?? 3 ? ? B ? 0, ?4? B ' ? x0 , y0 ? 3 2 ,且 x0 (2)设点 关于 l 的对称点 ,则 2


B ' ?2 3, 2

?

?

, 固定点 Q 可发现,当 B ', P, Q 共线时, PB ? PQ 最小,

故 PB ? PQ 最小值为 B ' C ? 3 ,



? y ?1 x?3 3 ? ? ?2 ?1 ? 2 3 ? 3 3 ? 3 ? y? x ? 3 1? ? 3 ? 解 得 P? ? 2 ,2? ? ? ?

∴ PB ? PQ 最 小 值 为

B ' C ? 3 ? 2 21 ? 3 .

16


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