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解三角题应注意的几个误区


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中学数学研究 

2 0 0 5 年第 1 1 期 

解决此类  即7 1 是该数阵中的项, 是第 a 5 6 项或 a 6 5   各样新 的创新型试 题还会不断涌现. 问题的关键是把握命题 的本质特征 , 结合所学  项.  
以上是对最近出现的创新型

数列问题的一  知识 。 善于联想类 比.  

些归纳与总结 。 随着各地命题 的不断创新 , 各种 

解 三 角 题 应 注 意 的 几 个 误 区 
贵州省桐梓县第一中学
在 三角 函数 这 一苹 里 , 由于公 式紧 多 , 因 而 

( 5 6 3 2 0 0 ) 杨朝进 




. 

是 第 四象 限 的角 .  

解题方法比较灵 活, 如果解法选择不当, 不仅运 
算麻烦 , 而且有时还会致错. 本文撷取几例分类  简析如下 。 供读者参考 .   误区一 : 解法不当引起的复杂运算 

评析 : 以上 两种不 同的解法, 繁筒十分 明  

显。 并且法 1的分类讨论还需要一定技巧 , 在法 

1 中 , 若 不 深 入 挖 掘 s i I l   0   1 和 一 譬 < ∞ B 詈  
,^  

有些三角问题, 若解法不当, 就需分类讨  < 一   , 还可能误判是第三或第四象限的角.  
论, 运算量大 , 易出错 , 若选择恰当的解法, 则可 
避免解题过程的复杂化.   误区二: 忽视复合函数的单调性规则致错 

例 1 若  詈 =   3 , ∞ B 号 = 一 詈 , 判 断  
是第几象限的角 .  

例2 求函 数y = ∞ B ( 詈一 2 x ) 的 递 增区  
间.  

解 : 法 1? . ? s i I l 导 =   3  1 ,  
?
. .

错 解: 由2 k  ̄ r -   ≤ 詈一 2   ≤ 2  ( 五 ∈ z ) ,  
解得 一k a r +   ≤  ≤ 一五   +   ( 五 ∈z ) .  
上 -   上-  

2 k   + 詈 < 詈 < 2 五   +  ( 五 ∈ z ) .  

即4 k T r + ̄ 一<8 <4 k a " +   ( 五 ∈z ) .  

即  = ∞ B ( 詈- 2 a : ) l  ̄ 单 调 增区 间 为 [ 一 五  

又 由 一  < ∞ B 导 < 一  , 可 得  

+ 丕 , 一 五   +  ] ( 五 ∈ z ) ?  
分析 : 上述解法注意了换元 法而忽视了复 

2 k a " +  < 詈 < 2   +  ( 五 ∈ z ) 或   2 k   +  < 詈 < 2   + 等 ( 五 ∈ z ) ,  
?

合 函 数的 单调性规 则, 令  = 詈一 2 x , Y =  
c o s /  ̄ , 则  =- g-2   x在 R 上单调递减 , 要使 Y  





4 k a r + 萼_ <   < 4 五   +  ( 五 ∈ z )  

或4 k   + 孕<   < 4  +  ( 五 ∈ z ) .  

= ∞ B ( 要一 2   ) 单 调 递 增, 只 需 使y = o m l z 单 调   递 减, 由 2  ≤ 詈- 2 x  ̄ 2 k , - r + , r ( k   6 Z ) , 解 得  


综 合 得 4  + 萼< 口 < 4  +  ( 忌 ∈ z ) .  

. . 

是第 四象限的角 .  

k a r 一   ≤ ≤ 一k a r +   ( 忌 ∈z ) , e p . e p .  ̄

 

法 2由 题 意 : s i I l   = 2  詈 ? ∞ B 詈 = 一   < 0 ; ∞ B 口 = ∞   导 一  詈 =   > 0 .  

增区问为 [ 一k - , r 一   , 一   +  ] ( 忌 ∈z) .  
评注: 求复合 函数的单调 区间, 必须遵循复  合 函数 的单调规则 , 同时, 还须使单调 区间是定 
?

3 O ?  

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2 0 0 5 年第 1 1 期 
义域的子区间.  

中学数学研究 

误区三 : 忽视等价变形致错 

定 义 域须 满足  ≠  + 詈( 五 ∈ Z ) , 且鲁≠  

例 3 在 AA B C 中, 口 、 b 、 c 是角 A、 B、 C  
的对边 , 如果 锄 A _  =  


+ 詈 ( 五 ∈ z ) , 由y = t a n x ( x v a  ̄+ 詈, 且   ≠  
2 ] u r +, f ( 五 ∈Z ) ) 的图象可知 函数 的最小正周  期不是 , f 。 而是 2 , f .  



Z X A B C  

的形状.  
.   .

A —B 

例 5判 断 厂 (   )  冀  
性.  


的 奇 偶  

错解 : 由t a n  
i n B  s i n A -s s h - i A +s h ' t B’  



=  

滑  
嘲 2  

错 解




..   , :’ ?  



2  考 + 2  考 o o s 考  
2 o   o s  ̄   +   2 s i n   寺o 0 s 寺 



A — B 

A + B . A —B 
Zoo s —— 一 s i n —— 一  

s i n —— 一  

即—  

_  
_  

,  
_  

锄号 .  
’ . . 

c o s T

 2 s i n T

c o s T



 

 

) 是奇 函数.  

在 上 式 两 边 约 去 公 因 式 得: c o t  妻 旦 : 1 .  
? .  

分析 : 判断函数 的奇偶性首先 考虑必要条  件是否满足 , 即函数的定 义域是否关于原点对  称。 而上述错 因就在于忽视了原函数 的定义域 

<   .   = 号 ,  
A+B=  . . ? . AA B C为直角三角形.  

? . .

须满足 ∞  +s i n x+1  ̄0 , 解得定义域为 {  l  

分析 : 上述解法错在约去公 因式是非等价 

≠2  +   且  ≠2   十, f , 五 ∈Z} , ‘ . ‘ 定义域 
不关于原点对称’ . . . 厂 (  ) 是非奇非偶函数.  

变形 , 事实上 s m .   _  : A 0 可 以成立
. 

? . .

正解为 s i nA _  ( c o t _  一1 A ) : 0 :0 或c o t   :1 .  

,  

评注: 定义域是函数的一条生命线, 在求函   数值域, 判断函数 的周期性或奇偶性时必须优  先考虑函数 的定义域.  
误区五 : 忽视函数的值域致错 



? 勘  

又 。 . ? △ 亏 旦 ∈ ( 一 号 , 号 ) , △ 砉 旦 E ( o , 考 ) ,  
? . .

例6设s i n a +  J 9 = 专 , 求s i n a — c x )   J 9  
的最值.  

A=B或 A+B=  .  

AA B C为等腰或直角三角形.   误区四: 忽视函数的定义域致错 
‘ . .

错解: ’ . ’ s i n a = 专一  J 9 ,  
? . .

s i n a — c x )   J 9 = 专一 s i I   一 ( 1 一 s i I 1 2 J 9 )  


例4 求函 数 = s i n x ( 1 + t a n x t a n 鲁) 的  
最小正周期 .  

s h x s i n 鲁  
错解 :   =s i n x O +— — 
O  ̄s xc os  
_  

( s 邳一 丢 ) 2 一 墨 ,   s i n /  ̄ = 丢 时 , s i n a - o 。   J 9 有 最 小 值 一   1 1 ; 当  
s i n /  ̄ =-1 时, s i n a — o 。  J 9 有最大值 .   分析 : 最大值求错 了, 错因在于未注意正弦 
函数 的有界性 .  
正解 : ’ . 。 s i n a =   一   , 由于 一1 ≤  口 ≤ 

)  

∞ S  

s i nx ? ————L
O ̄ s x c os  
-  

=‘ t a n x.  

原 函数的周期为 , r .   分析 : 上述结论错 因在于忽视了原 函数的 
.   .

1 , 知 一 1 ≤ 吾 一   1 ’ . . . 一 号 ≤   詈 ,  

?

4 0  

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2 0 0 5 年第 l 1 期 
伽   +t a n 口  
. .
?

又 ‘ ? ‘ s n i  ̄ ' l ’ . . . 一 号 ≤ s  1 .  
? .


1+t
a n a 

 ̄ f   s i n 8 =   1 时, s   口 一∞  卢有最小值 一1 A 1 s i n 8 =一   2 时

2;  

’   ( 号 + a   磊
1+ 堡   1+ b  
n+6  

, 丌



、  

 

, s m - 口 一 o 0 s 2 卢 有 最 大 值 詈 .  
、  ,

1+   1一
一  

误 区六 : 不能正确估算角的范围致错  例 7 如果  、 y均是锐角 , 并且它们 的 

1一 口 + b。  

正切分别为  1
、 

1 1

求口 +卢 +y的值.  

分 析 : 由 欲 求 式 t a n ( 号 + 口 ) 知 , 号 + 口 ≠   + 苎 , 即 口 : i f k z r + 号 ( 忌 ∈ z ) , 而 错 解 中 公 式 成  
立 的条件是 口 ≠忌 丌+  ( 忌 EZ) , 这样改变了欲 
求式中 口的允许值范围.  

错解: 锄 ( 口 +卢 ) =  

号  7   1 一   × 吾  


要 +2 口  

口 + (

a 8 )   + a n7   锄( 口 +卢 +y ) =i t a( ) t





t a n

正 解 : t a n ( 号+ 口 )  t a n (   一) =  
艘 +o D s (  + 2 口 ) l — s 。  口 上 一n   1  
:   :  

7 .1  
一  

: 墨   一,  

Z 

c os Z 口 

D 

m 

口 ≠

1 一 吾 ×   1   L  
?


‘  卢 、 y 都是锐角 , . . . 0 <口 +卢 +y <   .  


k z r +  ( 忌∈z) , 故 口始终如一地 与题设 所给  出的允许值范 围相 同.  

?



口 + 卢 + y = 号 或口 + 卢 + y =  .  

分析 : ‘ . 。 口为锐角, 且 
t a n口 

例9  已 知t a n 口 :  ( 詈< 口 <   挈) , 则  
s i n a =(   ) .  
A. — - m   ̄ / l  + m2  

1 < 1   锄号 ,  

B. + Jl +m 2  
±   m  v /   l+ m2  


?
?

?

0 < 口 <  , 同 理 0 < 卢 < 号 , 0 < y < 号 ;  

c .   m   J   l + m2  D







0 < 口 + 卢 +   < 等 , 由 t a n ( 口 + 卢 + y ) =  

1 有口 + 卢 +   = 号 .  
评注 : 由和角 的三角函数值求和角的值 , 应  

错解 : ( 1 ) 若 口 =丌时 , s i n a =0 ; ( 2 ) 若口 ≠ 

帆 s 一   1=± 丽 1 = ±   1  
±  ̄ / 1 +m2  
.  

该参 照和 角中每 一角 的取值 , 使 角的值界定于 
最接近 区间.   误 区七 : 选 用公式不恰当致错 
例8 设 s i n 2 a=n, o 0 s 2 口 =b ,  
—   广 ;  

口 =7 r 时s i n a =0 也适合上式 . . ‘ . 选 D.  
分析 : 若选用公式 

求锄(   +口 ) .  
错 解 :‘ ? ‘ 锄 口  
一  

S i l 1 口  t a n 口 。 o o s 口  锄口 ’ =万  1

=  



垒 

 ̄ / 1 + m2  




盟   一 十  , 则 选A , 到 底A   1+   … … … … 
错在哪 

1+ m   , ,   1+ ^。  

和D 谁对?显然选用 s i n a =t a n o  ̄ ? o 。 s 口求更合 
理, 且不会 出现漏洞 , 而选用 s i n 口  

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2 0 0 5年第 1 1 期 
里呢?是 因为 没讨 论 . 事 实上 , 当  < 口 <7 f  
? . . 

中学数 学研 究 
= 3 k —   1( 五 ∈z)按题 意 x>O , 取五  


<  
一  
一  

丽 1  

1 =  

=1 得  的最小值 为  , 又’ . ‘ 函数的周期为 T   =   = 3 ’ . . .  =   显然不合题意 ,  

; 当r r <口 <   时, m>0 , s 洫口 =  
: 一   : 一   .  

 ̄ /1+m 

3  
‘ . .

此题 无解 .  


当口 =7 f 时, s i n a =0 ;   综合得 , s i n 口 =一   .  

’  

法2由 法1 , y = 2 c o s ( - 2 -  ̄ x +   ) 一 1 , 把 点  
( 0 , 0 ) 代人上式 , 得o 。 6   =   1
?

, ?

? 

= 2 k r r 一 号 ( 五  

E z ) , 取 五 = 0 得0 = 一 号 ’ . . ?  2 o 。 6 ( 等   一  
) 一1 . 设原点右边 的第一个最大值点为 (  ,  

评注 : 由上两例可见, 合理地选用公式对于  解答正确与否是很重要 的, 所 以要恰 当地选用   公式.  
误 区八 : 不 会挖 掘 隐含 因素 致错 

1 ) , ; f   c o s ( ¥ -  ̄   一 号 ) = 1 ’ . . ? 警   一 号   2   .  
? . . 

^  

例1 0 如图是函数 Y=   Ao 。 6 (  


= 3 k +  ( 五 ∈z) , 按题意  >0 , 取五  

+  ) 一1 的图象的 

……  7弋。  

= 0 得  的最小值为  ,   由 T=3 得口 =3 +2 ?   =4 .   两种解法, 两种结果 , 孰是孰非?  

部分 , 求 A、 a ( A>0 ) .  
解: 法 1   由已知 得 : A 


V 


=2 , 即  =2 o 。 6 (  

+  ) 一1 , 把点 ( 0 , 0 ) 代入 
即 0=2 k 7 f  

上 式得 : 0=2 c o s 0—1 ’ . . . c o s 0=1

分 析: 余 弦 函 数 Y=∞  在 [ 2 k r r 一7 f ,   2 k r r ] ( 五 ∈z ) 上单调递增 , 而点( 0 , 0 ) 在函数 Y  
=2 o 。 6 (   +  ) 一1的单调递增波段上 , 所以  

+ -  ̄   - ( k E Z ) , 取 五 = 0 得   = 詈 ’ . . .   = 2 o 。 6 ( 警  
’   + 号 ) . 1 .  
设原点右边的第一个最大值点为(  , 1 ) ,  

由 o 。 6   得   = 2 k r r 一 号 ( 五 ∈ z ) , 这 样 , 取五  
= 0 得  =一 詈, 所以 法2 是正确的. 此类问 题  


l = 2 o 。 s (   + 号 ) 一 1 , o 。 s (   + 号 ) =  

定要注意已知点是落在单调递增还是单调递 

减 波段 匕.  

1 , ? ‘ 等  + 号   2 k r r ,  
最 值 问 题 中 的 几 种 常 见 错 误 
浙江省镇海 中学 ( 3 1 5 2 0 0 ) 钟 清 

由于最值问题 常常覆盖多个知识点 , 并且  正确解决最值 问题带来 了一定 的困难 , 再加上  因而常  求解过程 中牵涉到 的数学方法也很 多, 这便给  解决最值问题一定要确保最值可取到 ,
?

4 2 ?  


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