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辽宁省锦州中学2014-2015学年高二数学上学期10月段考试卷(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

辽宁省锦州中学 2014-2015 学年高二上学期 10 月段考数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则

a2+a8 的值为() A. 45 B. 90 C. 180 D. 300 2. (5 分)等比数列{an}的各项都是正数,若 a1=81,a5=16,则它的前 5 项的和是() A. 179 B. 211 C. 243 D. 275

3. (5 分)已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1、a3、a9 成等比数列,则 为() A. B. C. D.

的值

4. (5 分)若 1,a,3 成等差数列;1,b,4 成等比数列,则 的值() A. ± B. C. 1 D. ±1

5. (5 分)数列{an}满足 an+1﹣an+an﹣1=0(n≥2) ,且 a1=1,a2=﹣1,则 a2013 的值为() A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2
*

6. (5 分)数列{an}的通项公式为 an=4n﹣1,则 bk= (a1+a2+?+ak) (k∈N )所确定的数列 {bn}的前 n 项和为() 2 A. n B. n(n+1) 7. (5 分)若数列{an}的通项公式为 an= A. 5 B. 6
n

C. n(n+2) ,其前 n 项和为 C. 7

D. n(2n+1) ,则 n 为() D. 8

8. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2 ﹣1,则此数列的奇数项的前 n 项和是() A. B. ) C. D.

9. (5 分)下列命题: ①已知数列{an},an= 项; ②数列 ,?的一个通项公式是 an= ;
1

(n∈N ) ,那么

*

是这个 数列的第 10 项,且最大项为第 1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ③已知数列{an},an=kn﹣5,且 a8=11,则 a17=29; ④已知 an=an+1+5,则数列{an}是递减数列. 其中真命题的个数为() A. 4 B. 3 C. 2

D. 1

10. (5 分)设数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比 的等比数列,则 A. 1033 B. 1034 =() C. 2057 D. 2058

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) . 11. (5 分)一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前 6 项均为正数,第 7 项起为负 数,则它的公差为.

12. (5 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点 上,则 an=.

(n∈N )均在函数 y=3x﹣2 的图象

*

13. (5 分)已知{an}是等比数列,

,则 a1a2+a2a3+?+anan+1=.

14. (5 分)等差数列{an}中,a1=﹣5 ,它的前 11 项的平均值是 5,若从中抽取 1 项后余下 的 10 项的平均值仍为 5,则抽取的是第项.

三、解答题: (本大题共 4 小题,共 50 分,考生根据要求作答,解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤. ) 15. (12 分)等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{|bn|}的前 n 项和 Sn. 16. (12 分)设{an}为等比数列,Tn=na1+(n﹣1)a2?+2an﹣1+an,已知 T1=1,T2=4, (1)求数列{an}的首项和公比; (2)求数列{Tn}的通项公式. 17. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,Sn=n +n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设{ }的前 n 项和为 Tn,求证 Tn<1.
2

18. (14 分)已知数列{an}的各项满足:a1=1﹣3k(k∈R) ,an=4 (1)判断数列{an﹣ }是否为等比数列;

n﹣1

﹣3an﹣1

2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)求数列{an}的通项公式 (3)数列{an}为递增数列,求 k 的取值范围.

辽宁 省锦州中学 2014-2015 学年高二上学期 10 月段考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=45 0,则 a2+a8 的值为() A. 45 B. 90 C. 180 D. 300 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的性质可知, 项数之和相等的两项之和相等, 化简已知的等式即可求 出 a5 的值,然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后 ,将 a5 的值代入即可求出值. 解答: 解:由 a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=450, 得到 a5=90, 则 a2+a8=2a5=180. 故选 C 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值, 是一道基础题. 学生化简已知条 件时注意项数之和等于 10 的两项结合. 2. (5 分)等比数列{an}的各项都是正数,若 a1=81,a5=16,则它的前 5 项的和是() A. 179 B. 211 C. 243 D. 275 考点: 专题: 分析: 案. 解答: 等比数列的性质. 等差数列与等比数列. 由等比数列的性质求得等比数列的公比,然后直接利用等比数列的前 n 项和得答 解:∵等比数列{an}的各项都是正数,且 a1=81,a5=16, ,

由等比数列的性质得:









故选:B. 点评: 本题考查了等比数列的性质考查了等比数列的前 n 项和,是基础题.

3

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3. (5 分)已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1、a3、a9 成等比数列,则 为() A. B. C. D.

的值

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题. 分析: 因为{an}是等差数列,故 a1、a3、a9 都可用 d 表达,又因为 a1、a3、a9 恰好是等比 2 数列,所以有 a3 =a1a9,即可求出 d,从而可求出该等比数列的公比,最后即可求比值. 解答: 解:等差数列{an}中,a1=a1,a3=a1+2d,a9=a1+8d, 因为 a1、a3、a9 恰好是某等比数列, 2 2 所以有 a3 =a1a9,即(a1+2d) =a1(a1+8d) ,解得 d=a1, 所以该等差数列的通项为 an=nd 则 的值为 = .

故选 C. 点评: 本题考查等差数列的通项公式、等比数列的定义和公比,属基础知识、基本运算的 考查.

4. (5 分)若 1,a,3 成等差数列;1,b,4 成等比数列,则 的值() A. ± B. C. 1 D. ±1

考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 1,b,4 成等比数列,求得 a=±2. 由 1,a,3 成等差数列,可得 a=2,从而得 到 的值. 解答: 解:∵1,b,4 成等比数列,∴b =4,b=±2. ∵1,a,3 成等差数列,∴a=2, ∴ =±1 故选:D. 点评: 本题考查等比数列、等差数列的定义,求出 a,b 的值,是解题的关键. 5. (5 分)数列{an}满足 an+1﹣an+an﹣1=0(n≥2) ,且 a1=1,a2=﹣1,则 a2013 的值为() A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.
2

4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 由已知得 an+1+an﹣2=0,从而 an+1=﹣an﹣2=an﹣5,进而数列{an}以 6 为周期,由此能求出 a2013=a3=a2﹣a1=﹣1﹣1=﹣2. 解答: 解:∵数列{an}满足 an+1﹣an+an﹣1=0(n≥2) ,且 a1=1,a2=﹣1, ∴an﹣an﹣1+an﹣2=0, 相加,得 an+1+an﹣2=0 an+1=﹣an﹣2=an﹣5, ∴数列{an}以 6 为周期, 2013=6×335+3, ∴a2013=a3, ∵a3﹣a2+a1=0, ∴a2013=a3=a2﹣a1=﹣1﹣1=﹣2. 故选:D. 点评: 本题考查数列的第 2013 项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意数列的周 期性的合理运用.
*

6. (5 分)数列{an}的通项公式为 an=4n﹣1,则 bk= (a1+a2+?+ak) (k∈N )所确定的数列 {bn}的前 n 项和为() 2 A. n B. n(n+1)

C. n(n+2)

D. n(2n+1)

考点: 数列的求和;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由 an=4n﹣1,可知数列{an}为等差数列,从而可求得 a1+a2+?+an,继而可求得 bn 与数列{bn}的前 n 项和. 解答: 解:∵an=4n﹣1, ∴数列{an}是首项为 3, 公差为 4 的等差数列, 设其前 n 项和为 Sn, 则 Sn=a1+a2+?+an=n (2n+1) ∴bk= (a1+a2+?+ak)=2k+1 ∴{bn}为首项是 3,公差为 2 的等差数列, ∴数列{bn}的前 n 项和为 =n +2n.
2

故选:C. 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和,求得 bn 也是等差数列是关键,属于中档题. 7. (5 分)若数列{an}的通项公式为 an= A. 5 B. 6 ,其前 n 项和为 C. 7 ,则 n 为() D. 8

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 an= = = ,利用裂项求和法能求出 n 的值.

5

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:∵an= ∴Sn= ∵其前 n 项和为 ∴ = , , = = , = ,

解得 n=8. 故选:D 点评: 本题考查数列的第 n 项值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意裂项求和法 的合理运用. 8. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2 ﹣1,则此数列的奇数项的前 n 项和是() A. B. ) C. D.
n

考点: 数列的求和. n 分析: 由数列的前 n 项和 Sn=2 ﹣1 求出数列{an}的通项公式,进一步求出奇数项的通项公式,从而求 的此数列的奇数项的前 n 项和. n 解答: 解:∵Sn=2 ﹣1 (n﹣1) ∴S(n﹣1)=2 ﹣1 (n﹣1) ∴an=Sn﹣S(n﹣1)=2 而 a1=1 (n﹣1) ∴an=2 设奇数项组成数列{bn} 2n﹣2 ∴bn=2 ∴{bn}是以 1 为首项,4 为公比的等比数列. ∴ =

故选 C 点评: 由数列的前 n 项和 sn,求出数列的通项公式,注意 n=1 的情况易忽视,属中档题. 9. (5 分)下列命题: ①已知数列{an},an= 项; ②数列 ,?的一个通项公式是 an= ; (n∈N ) ,那么
*

是这个数列的第 10 项,且最大项为第 1

③已知数列{an},an=kn﹣5,且 a8=11,则 a17=29; ④已知 an=an+1+5,则数列{an}是递减数列. 其中真命题的个数为() A. 4 B. 3 C. 2 考点: 数列的概念及简单表示法.

D. 1

6

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 等差数列与等比数列. 分析: ①由于 an= ,可得 a10= ,由于 an 单调递减,即可判断出;

②由于数列 ,?,其被开方数为 2,5,8,11,?为一等差数列, 其首项为 2,公差为 3,其通项公式 bn=2+3(n﹣1)=3n﹣1,即可判断出 ; ③由于数 列{an},an=kn﹣5,且 a8=11,可得 11=8k﹣5,解得 k=2,可得 an=2n﹣5,即可得 出 a17; ④由于 an=an+1+5,可得 an+1﹣an=﹣5,因此数列{an}是递减等差数列. 解答: 解:①∵an= ,∴a10= = ,那么 是这个数列的第 10 项,由

于 an 单调递减,因此最大项为第 1 项,正确; ②∵数列 ,?,其被开方数为 2,5,8,11,?为一等差数列,其 , 首项为 2,公差为 3,其通项公式 bn=2+3(n﹣1)=3n﹣1,因此一个通项公式是 an=

正确; ③∵数列{an}, an=kn﹣5, 且 a8=11, ∴11=8k﹣5, 解得 k=2, ∴an=2n﹣5, ∴a17=2×17﹣5=29, 正确; ④∵an=an+1+5,∴an+1﹣an=﹣5,∴数列{an}是递减等差数列,正确. 其中真命题的个数为 4. 故选:A. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式、单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. 10. (5 分)设数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比 的等比数列,则 A. 1033 B. 1034 =() C. 2057 D. 2058

考点: 数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 首先根据数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公 比的等比数列,求出等差数列和等比数列的通项公式,然后根据 =1+2+2 +2 +?+2 +10 进行求和. 解答: 解:∵数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列, ∴an=2+(n﹣1)×1=n+1, ∵{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, n﹣1 ∴bn=1×2 , 依题意有: =1+2+2 +2 +?+2 +10=1033,
3 5 9 3 5 9

故选 A. 点评: 本题主要考查数列求和的知识点,解答本题的关键是要求出数列{an}和{bn}的通项 公式,熟练掌握等比数列求和公式.

7

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) . 11. (5 分)一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前 6 项均为正数,第 7 项起为负 数,则它的公差为﹣4. 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 先设等差数列{an}的公差为 d,由题意可知 a6>0,a7<0,根据通项公式用 d 表示 出来,求出 d 的范围,取其中的整数即可. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d,且 d 为整数, 由题意得,a6=a1 +5d>0,a7=a1+6d<0, 所以 23+5d>0,且 23+6d<0, 解得 ,

又 d 为整数,则公差 d=﹣4, 故答案为:﹣4. 点评: 本题考查等差数列的通项公式, 根据通项公式用 d 表示 a6>0, a7<0 是解决问题的 关键,属基础题.

12. (5 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点 上,则 an=6n﹣5. 考点: 数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 点

(n∈N )均在函数 y=3x﹣2 的图象

*

(n∈N )均在函数 y=3x﹣2 的图象上,可得

*

,Sn=3n ﹣

2

2n.当 n=1 时,a1=S1.当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 即可得出. 解答: 解:∵点 ∴
2

(n∈N )均在函数 y=3x﹣2 的图象上,

*



∴Sn=3n ﹣2n. 当 n=1 时,a1=S1=1. 2 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n ﹣2n﹣[3(n﹣1) ﹣2(n﹣1)] =6n﹣5. 当 n=1 时也适合. ∴an=6n﹣5. 故答案为:6n﹣5. 点评: 本题考查了利用“当 n=1 时,a1=S1.当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”求数列的通项公式 方法,属于基础题.

13. (5 分)已知{an}是等比数列,

,则 a1a2+a2a3+?+anan+1=



8

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 首先根据 a2 和 a5 求出公比 q,根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列,根 据等比数列求和公式可得出答案. 解答: 解:由 ,解得 .

数列{anan+1}仍是等比数列:其首项是 a1a2=8,公比为 ,

所以,

故答案为



点评: 本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用. 应善于从题设条件中发现规 律,充分挖掘有效信息. 14. (5 分)等差数列{an}中,a1=﹣5,它的前 11 项的平均值是 5,若从中抽取 1 项后余下的 10 项的平均值仍为 5,则抽取的是第 6 项. 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由条件求得 d=2,再由 an=5,an=a1+(n﹣1)d,解得 n 的值. 解答: 解:由﹣5×11+ d=55,得 d=2. 再由 an=5,an =a1+(n﹣1)d,解得 n=6.

故答案为 6. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式,等差数列的前 n 项和公式的应用,求出公差 d 的值,是解题的关键,属于基础题. 三、解答题: (本大题共 4 小题,共 50 分,考生根据要求作答,解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤. ) 15. (12 分)等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{|bn|}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)与 q =
3

可求 q,然后代入等比数列的通项公式即可求解

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(2)由(1)可知,a3=b3,a5=b5,利用 d=

可求 d,进而可求 b1,从而可求 bn=b3+(n

﹣3)d,前 n 项和为 Tn,然后根据当 n≤2 时,bn<0,sn=﹣(b1+?+bn)=﹣Tn,当 n≥3 时, Sn=﹣(b1+b2)+b3+?+bn =Tn﹣2T2 即可求解 解答: 解: (1)∵a1=2,a4=16 ∴q =
3

=8 即 q=2

∴ (2)由(1)可知,a3=b3=8,a5=b5=32 ∴d= =12

∴bn=b3+(n﹣3)d=8+12(n﹣3)=12n﹣28 其前 n 项和为 Tn=﹣16n+ =6n ﹣22n
2 2

当 n≤2 时,bn<0,sn=﹣(b1+?+bn)=﹣Tn=﹣6n +22n 当 n≥3 时,Sn=﹣(b1+b2)+b3+?+bn 2 =Tn﹣2T2=6n ﹣22n+40 ∴ 点评: 本题主要考查了等比数列的通项公式、等差数列的通项公式及求和公式的简单应 用,解题中呀注意公式的灵活应用及变形 16. (12 分)设{an}为等比数列,Tn=na1+(n﹣1)a2?+2an﹣1+an,已知 T1=1,T2=4, (1)求数列{ an}的首项和公比; (2)求数列{Tn}的通项公式. 考点: 等比数列的通项公式;数列递推式. 专题: 计算题. 分析: (1)根据题意,首先设出等比数列的公比为 q,利用题中已知的式子表示出 T1, T2,又根据 T1=1,T2=4,进而求出答案. (2)根据等比数列的求和公式推出 Tn 的通项公式即可. 解答: 解: (1)设等比数列{an}以比为 q,则 T1=a1,T2=2a1+a2=a1(2+q) . ∵T1=1,T2=4, ∴a1=1,q=2. (2)设 Sn=a1+a2+?+an. n﹣1 由(1)知 an=2 . n﹣1 ∴Sn=1+2+?+2 n =2 ﹣1 ∴Tn=na1+(n﹣1)a2+?+2an﹣1+an

10

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com =a1+(a1+a2)+?+(a1+a2+?+an﹣1+an) =S1+S2+?+Sn n n =(2+1)+(2 ﹣1)+?+(2 ﹣1) n n =(2+2 +?+2 )﹣n = =2 ﹣2﹣n 点评: 本小题主要考查等比数列的基础知识和基本技能,运算能力. 17. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,Sn=n +n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设{ }的前 n 项和为 Tn,求 证 Tn<1.
2 n+1

考点: 数列与不等式的综合;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)利用公式 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2) ,得当 n≥2 时 an=2n,再验证 n=1 时,a1=2×1=2 也适合,即可得到数列{an}的通项公式. (2)裂项得 = ﹣ ,由此可得前 n 项和为 Tn=1﹣ <1,再结合 ∈(0,1) ,不

难得到 Tn<1 对于一切正整数 n 均成立. 2 2 解答: 解: (1)当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n +n﹣[(n﹣1) +(n﹣1)]=2n. ∵n=1 时,a1=2×1=2,也适合 ∴ 数列{an}的通项公式是 an=2n. (2) ∴{ ∵0< ∴1﹣ = = ﹣ )=1﹣ =

}的前 n 项和为 Tn=(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+?+( ﹣ <1 ∈(0,1) ,即 Tn<1 对于一切正整数 n 均成立.

点评: 本题给出等差数列模型, 求数列的通项并求前 n 项和对应数列的倒数和, 着重考查 了等差数列的通项与前 n 项和、数列与不等式的综合等知识,属于中档题. 18. (14 分)已知数列{an}的各项满足:a1=1﹣3k(k∈R) ,an=4 (1)判断数列{an﹣ }是否为等比数列;
n﹣1

﹣3an﹣1

(2)求数列{an}的通项公式; (3)数列{an}为递增数列,求 k 的取值范围. 考点: 等比关系的确定;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: (1)由 an=4 =
n﹣1

﹣3an﹣1,当 n≥2 时,变形为 an﹣ = ,即可得出.

(2)由(1)当 k≠ 时,利用等比数列的通项公式即可得出;当 k= 时,a1= ,当 n≥2 时, an= .

(3)对 n 分奇偶讨论,解出 an+1﹣an>0 即可得出. n﹣1 解答: 解: (1)∵an=4 ﹣3an﹣1, ∴an﹣ = = ,

=

,当 k≠ 时,数列{an﹣ =
n﹣1

}是等比数列. ?(﹣3)
n﹣1

(2)由(1)当 k≠ 时,可得 ∴an= + ?(﹣3) . .



当 k= 时,a1= ,当 n≥2 时,an=

(3)由(2)可知:当 k= 时,a1= ,当 n≥2 时,an= 当 k≠ 时,an+1﹣an= = +
*

,数列{an}是单调递增数列. ﹣ ?(﹣3)
n﹣1

+



>0, ,∴ ,∴k< . . .

当 n=2m﹣1(m∈N )时,上式化为 k> 当 n=2m(m∈N )时,上式化为 k< 综上可得:k 的取值范围是
*

点评: 本题考查了等比数列的定义通项公式、 数列单调性, 考查了变形能力与分类讨论的 思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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