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《利用导数判断函数的单调性》课件


2013-12-16

观察 图1.3 ? 1?1?表示高 台跳水运动员的高度h随 时间变化的函数 ?t ? ? h ? 4.9t 2 ? 6.5t ? 10的图象, 图1.3 ? 1?2?表示高台跳水 运动员的速度 随时间t变 v

h

2013-12-16

化的函数v ?t ? ? h

9; ?t ? ? ? 9.8t ? 6.5的图象. 运动员从起跳到最高点 ,以 及从最高点到入水这两 段 时间的运动状态有什么 区 别?

O

a

b

t

图1.3 ? 1?1?

通过动画演示观察运动员在各时段的 , 运动状态 . 通过观察图象, 我们可以发现 : ?1?运动员从起跳到最高点,离水面高度h随 时间t的增加而增加, 即h?t ?是增函数.相应地,

v ?t ? ? h' ?t ? ? 0.

?2 ?从最高点到入水, 运动员离水面高度h随 时间t的增加而减小, 即h?t ?是减函数.相应地, v ?t ? ? h' ?t ? ? 0.
思考 这种情况是否具有一般 性呢?
2013-12-16

?图 观察下面一些函数图象 1.3 ? 2 ?, 探讨函数的单 调性与其导数正负的关 . 系 y
y

y?x
O

y ? x2

x

?1?
y

?2 ?
y ? x3

O

x

y y?1 x
O

O

x

x

?3?
2013-12-16

图1.3 ? 2

?4?

y

y ? f ?x ?

?x1, f ?x1 ??
O

?x0 , f ?x0 ??
x
'

如图1.3 ? 3, 导数f ?x 0 ?表示函数f ?x ?在点?x 0 , f ?x 0 ?? ' 处的切线的斜率.在 x ? x 0 处, f ?x 0 ? ? 0, 切线是" 左 下右上" 式的, 这时,函数f ?x ?在 x 0 附近单调递增; 在 x ? x1处, f ' ?x1 ? ? 0, 切线是" 左上右下" 式的, 这时,函 数f ?x ?在x1附近单调递减.
2013-12-16

图 1.3 ? 3

一般地,函数的单调性与导数的正负有如下关系 :
在某个区间?a, b?内, 如果f ?x ? ? 0,那么函数y ? f ?x ?
'

在这个区间内单调递增; 如果f ?x ? ? 0,那么函数 y
'

? f ?x ?在这个区间内单调递减.
'

如果在某个区间内恒有 ?x ? ? 0,那么函数y ? f ?x ? f 有什么特征?
思考 请同学们回顾一下函数单调性的定义, 并 思考某个区间上函数 y ? f ?x ?的平均变化率的几 何意义与其导数正负的关系.
2013-12-16

解 当1 ? x ? 4时, f ?x ? ? 0,可 知f ?x ?在此区间内单调递增 ;
'
'

例1 已知导数f ?x ?的下列信息: 当 ? x ? 4时, f ' ?x ? ? 0; 1 当x ? 4, 或x ? 1时, f ' ?x ? ? 0; 当x ? 4, 或x ? 1时, f ' ?x ? ? 0. 试画出函数f ?x ?图象的大致形状 .
'

y

O

1

4

x

图1.3 ? 4

当x ? 4, 或x ? 1时, f ?x ? ? 0,可知f ?x ?在这两个区间 内单调递减 ; 当x ? 4, 或x ? 1时, f ' ?x ? ? 0, 这两点比较特殊, 我们 称它们为" 临界点". 综上,函数f ?x ?图象的大致形状如图1.3 ? 4所示.
2013-12-16

例2

判断下列函数的单调性并求出单调区间 , :
3 2

?1? f ?x ? ? x ? 3x; ?2? f ?x ? ? x ?3? f ?x ? ? sin x ? x, x ? ?0, π ? ; ?4? f ?x ? ? 2x 3 ? 3x 2 ? 24x ? 1. 3 解 ?1?因为f ?x ? ? x ? 3 x, 所以 ' ?x ? ? 3 x 2 ? 3 ? 3?x 2 ? 1? ? 0 . f ?x ? ? x 3 ? 3 x 在 x ? 因此,函数 f R 上单调递增 , 如图 1.3 ? 5?1?
所示.
2013-12-16

? 2x ? 3 y ;
f ?x ? ? x 3 ? 3x

o
x

图1.3 ? 5?1?

?2?因为f ?x ? ? x 2 ? 2x ? 3, 所以f ' ?x ? ? 2x ? 2 ? 2?x ? 1?. ' 2 当f ?x ? ? 0,即x ? 1时,函数f ?x ? ? x ? 2x ? 3单调递增; ' ?x ? ? 0,即x ? 1时,函数f ?x ? ? x 2 ? 2x ? 3单调递减. 当f 函数f ?x ? ? x 2 ? 2x ? 3的图象如图1.3 ? 5?2?所示.
y
f ?x ? ? x 2 ? 2x ? 3

o 1
x
图1.3 ? 5?2?
2013-12-16

y

o
图1.3 ? 5?3?

π

x
f ?x ? ? sin x ? x

?3?因为f ?x ? ? sin x ? x, x ? ?0, ? ?, 所以 f ' ? x ? ? cos x ? 1 . 因此,函数f ?x ? ? sin x ? x, x ? ?0, ? ?内f ' ?x ? ? 0 如图1.3 ? 5?3?所示.
2013-12-16

.

?4?因为f ?x ? ? 2x3 ? 3x 2 ? 24x ? 1, 所以f ' ?x ? ? ' 当f ?x ? ? 0,即 时,函数f ?x ? ; ' 当f ?x ? ? 0,即 时,函数f ?x ? . 3 2 f ?x ? ? 2x ? 3x ? 24 x ? 1的图象如图1.3 ? 5?4?所示.
y
f ?x ? ? 2x ? 3x ? 24 x ? 1
3 2

.

如果不用导数的方法 , 直接运用单调性的定 义, 你如何求解本题 ? 运算过程麻烦吗? 你 有什么体会?

5 1 O

x

2013-12-16

图1.3 ? 5?4?

例3

如图 .3 ? 6,水以恒速(即单位时间内注入水的 1 体

积相同) 注入下面四种底面积相 同的容器中请分别找 , 出与各容器对应的高度 与时间t的函数关系图象 h .

?1?
h h

?2?

?3?
h h

?4?

o
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?A ?

t

o

?B?

t

o

?C?

t

o

?D?

t

图1.3 ? 6

分析 以容器?2?为例,由于容器 上细下粗 所以水以恒速注入时 , , 开始阶段高度增加得慢 ,以后高 度增加得越来越快反映在图象 . 上, ?A ? 符合上述变化情况同理 . 可知其他三种容器的情 . 况 解 ?1? ? ?B ?, ?2? ? ?A ?, ?3? ? ?D?, ?4? ? ?C?.

?2?
h

o

?A ?

t

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思考 例 3 表明, 通过函数图象, 不仅可以看出函 数的增与减, 还可以看出其增减的快 .结合图象 慢 , 你能从导数的角度解释 增减快慢的情况吗 ?

一般地, 如果一个函 数在 某 一 范围内导 ? a a x 数 的绝对值较大, 那 o 么函数 在 这个范围 内变 化 得快, 这时,函 图1.3 ? 7 数 的图象就比较 "陡 峭" ?向上或向下 ?;反之,函数的图象就" 平缓" 一些.如图1.3 ? 7所示,函数y ? f ?x ?在?0, a ?或 ?? a,0 ?内图象"陡峭" , 在 ?a,?? ?或 ?? ?,?a ?内 平缓.
2013-12-16

y


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