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福建省福州八中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷


福建省福州八中 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.已知 α 为第二象限角,sinα= ,则 sin(π﹣2α)=() A.﹣ B. C. D.﹣

2.已知函数 f(x)=|sinx|,下列结论中错误的是()

A.f(x)既偶函数,又是周期函数. B. f(x)的最大值为 C. y=f(x)的图象关于直线 x= 对称

D.y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称

3.设向量 =(2,0) , =(1,1) ,则下列结论中正确的是() A. ? =2 B.| |=| | C. ⊥ D. ∥

4. =(2,1) , =(3,4) ,则向量 在向量 方向上的投影为() A. 5.已知 tanα=2 A. B. C. 2 cosα 的值是() D. D.10

,且 α∈(﹣π,0) ,则 sinα﹣ B. ﹣

C. ﹣

6.函数 A.2π B.

的最小正周期为() C. π D.

7.在△ ABC 中,若 tan A?tan B<1,则△ ABC 的形状是() A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

8.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|<

)的部分图象如图所示,则 φ=

() A. B. C. D.

9.如图,BC 是单位圆 A 的一条直径,F 是线段 AB 上的点,且 BF=2FA,DE 是圆 A 中绕 圆心 A 运动的一条直径,则 的值是()

A.

B. ﹣

C. ﹣

D.不确定

10.设函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为 π,将 y=f(x)的图象向左平移 个单位得函数 y=g(x)的图象,则() A.g(x)在(0, C. g(x)在(0, )上单调递减 )上单调递增 B. g(x)在( D.g(x)在( , )上单调递减

, π)上单调递增

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 11.tan600°=.

12.设 x∈R,向量 =(x,1) , =(1,﹣2) ,且 ⊥ ,则| + |=. 13.已知△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,∠A=60°,c=2,且△ ABC 的面 积为 ,则 a 边的长为.

14.已知函数 f(x)=sin(x+θ)+ 函数,则 θ 的值为.

cos(x+θ) ,

,且函数 f(x)是偶

三、解答题: (本大题共 3 小题,共 34 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. ) 15.已知向量 =(1,0) , =(1,4) . (Ⅰ) 若向量 k + 与 (Ⅱ) 若向量 与 平行,求 k 的值; 的夹角为锐角,求 k 的取值范围.

16.已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间及对称轴方程; (Ⅱ)当 时,f(x)的最大值为 9,求实数 m 的值.

R) .

17.已知函数 f(x)=sin(2x+φ) (0<φ<π)的图象经过点



(1)求 φ 的值; 2 2 2 (2)在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,若 a +b ﹣c =ab,且 .求 sinB.

一、选择题(5 分×4=20 分,请将答案填写在答卷上) 18.设向量 =(1,cosθ)与 =(﹣1,2cosθ)垂直,则 cos2θ 等于 () A. B. C. 0 D.﹣1

19. A.﹣ B. ﹣

=() C. D.

20.设

是两个非零向量,则有()

A.若| + |=| |﹣| |,则有 ⊥ B. 若 ? =0,则有| + |=| |﹣| |

C. 若| + |=| |﹣| |,则存在 λ 使得 =λ 成立 D.若存在 λ 使得 =λ 成立,则| + |=| |﹣| |成立 21.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若 f(x)的最小正周期是 π,且 当 x∈[0, A.﹣ ]时,f(x)=sinx,则 f( B. )的值为() C. ﹣ D.

二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分. ) 2 2 22.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a ﹣b =bc,sinC=2sinB,则角 A 为. 23.如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点,从 A 点测得 M 点 的仰角∠MAN=60°, C 点的仰角∠CAB=45°, 以及∠MAC=75°; 从 C 点测得∠MCA=60°. 已 知山高 BC=100m,则山高 MN=m.

三、解答题: (本大题共 2 小题,共 22 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. ) 24.在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, (Ⅰ)求 ac 的值及△ ABC 的面积; (Ⅱ)若 a=7,求角 C 的大小. 25.如图,在海岸线 EF 一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段 FGBC,该 曲线段是函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,φ∈(0,π) ) ,x∈[﹣4,0]的图象,图象的最 高点为 B(﹣1,2) .边界的中间部分为长 1 千米的直线段 CD,且 CD∥EF.游乐场的后一 部分边界是以 O 为圆心的一段圆弧 . ,且 .

(1)求曲线段 FGBC 的函数表达式; (2)曲线段 FGBC 上的入口 G 距海岸线 EF 最近距离为 1 千米,现准备从入口 G 修一条笔 直的景观路到 O,求景观路 GO 长; (3)如图,在扇形 ODE 区域内建一个平行四边形休闲区 OMPQ,平行四边形的一边在海 岸线 EF 上,一边在半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧 休闲区 OMPQ 面积的最大值及此时 θ 的值. 上,且∠POE=θ,求平行四边形

福建省福州八中 2014-2015 学年高一下学期期末数学试 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.已知 α 为第二象限角,sinα= ,则 sin(π﹣2α)=() A.﹣ B. C. D.﹣

考点: 二倍角的正弦;同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由已知可先求 cosα,利用诱导公式及二倍角公式化简后即可得解. 解答: 解:∵α 为第二象限角,sinα= , ∴cosα=﹣ =﹣ , =﹣ .

∴sin(π﹣2α)=sin2α=2sinαcosα=2×

故选:A. 点评: 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用, 二倍角的正弦, 运用诱导公式化简 求值,属于基本知识的考查. 2.已知函数 f(x)=|sinx|,下列结论中错误的是() A.f(x)既偶函数,又是周期函数. B. f(x)的最大值为 C. y=f(x)的图象关于直线 x= 对称

D.y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用正弦函数的值域,可得结论. 解答: 解:根据函数 f(x)=|sinx|的最大值为 1,可得 B 不正确, 故选:B. 点评: 本题主要考查正弦函数的值域,属于基础题.

3.设向量 =(2,0) , =(1,1) ,则下列结论中正确的是() A. ? =2 B.| |=| | C. ⊥ D. ∥

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的数量积以及向量的模,向量是否共线判断即可. 解答: 解:向量 =(2,0) , =(1,1) , ? =2×1+0×1=2. ∴A 正确,C 不正确.| |=2,| |= ,∴B 不正确, ∥ ,显然不正确.

故选:A. 点评: 本题考查向量的数量积,向量的平行以及向量的模的求法,基本知识的考查.

4. =(2,1) , =(3,4) ,则向量 在向量 方向上的投影为() A. B. C. 2 D.10

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 由向量 在向量 方向上的投影的定义, 结合平面向量数量积公式, 我们易得向量 在向量 方向上的投影为 ,将 =(2,1) , =(3,4)代入即可得到答案.

解答: 解:∵ =(2,1) , =(3,4) , ∴向量 在向量 方向上的投影为: ?cosθ= 故选:C = =2

点评: 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,其中根据向量 在向量 方向上的投 影的定义,并结合平面向量数量积公式将其转化为 是解答本题的关键.

5.已知 tanα=2 A.

,且 α∈(﹣π,0) ,则 sinα﹣ B. ﹣

cosα 的值是() D.

C. ﹣

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 tanα 的值,根据 α 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinα 与 cosα 的值,代入原式计算即可得到结果. 解答: 解:∵tanα=2 >0, ∴α∈(﹣π,﹣ ∴cosα=﹣ ) ,

=﹣ ,sinα=﹣

=﹣



则 sinα﹣

cosα=﹣

+

=﹣

点评: 此题考查了同角三角基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 6.函数 A.2π B. 的最小正周期为() C. π D.

考点: 三角函数的周期性及其求法;同角三角函数基本关系的运用. 分析: 先将函数化简为 y=Asin(ωx+φ)的形式即可得到答案. 解答: 解:由 可得最小正周期为 T= =2π,

故选 A. 点评: 本题主要考查三角函数最小正周期的求法.属基础题. 7.在△ ABC 中,若 tan A?tan B<1,则△ ABC 的形状是() A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 考点: 两角和与差的余弦函数;三角函数值的符号.

专题: 三角函数的求值. 分析: 将已知条件 tanA?tanB<1 中的切化弦,逆用两角和的余弦判断即可. 解答: 解:∵tanA?tanB<1, ∴1﹣ ∴ >0,即 <0. = =﹣ > 0,

∴A、B、C 中必有一角为钝角, ∴这个三角形是钝角三角形. 故选:C. 点评: 本题考查三角形的形状判断,考查转化与分析、运算能力,属于中档题.

8.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|<

)的部分图象如图所示,则 φ=

() A. B. C. D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 结合函数的图象,由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,再由 的值. 解答: 解:由图可知 A=2, 又 所以 故 又 所以 . , , , , ,故 ω=2, 求出 φ

故选:B. 点评: 本题主要考查利用 y=Asin(ωx+φ)的图象特征,由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分 图象求解析式,属于中档题. 9.如图,BC 是单位圆 A 的一条直径,F 是线段 AB 上的点,且 BF=2FA,DE 是圆 A 中绕 圆心 A 运动的一条直径,则 的值是()

A.

B. ﹣

C. ﹣

D.不确定

考点: 平面向量数量积的运算;向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据 再由题意可得 解答: 解:∵ ∴ = + =( ?( = ) ?( )+ =0, = , = =0, , = )= . =﹣1,| |= | |= , , 把要求的式子化为 =﹣1,| , + + + |= | + ? ( ) + .

|= ,从而得到要求式子的值.

∵由题意可得 ∴

= +0﹣1=﹣ ,

故选 B. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的运算,向量在几何中的应用,属于中档题.

10.设函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为 π,将 y=f(x)的图象向左平移 个单位得函数 y=g(x)的图象,则() A.g(x)在(0, C. g(x)在(0, )上单调递减 )上单调递增 B. g(x)在( D.g(x)在( , )上单调递减

, π)上单调递增

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质.

分析: 化简解析式可得 f(x)= (2x+ ) ,向左平移

sin(ωx+

) ,由周期可求 ω,从而得 f(x)= cos2x 的图象,从而可求单调区间. ) ,

sin

个单位得函数 g(x)= sin(ωx+

解答: 解:∵f(x)=sinωx+cosωx= ∵T= ∴ω=2, ∴f(x)= sin(2x+ ) , =π,

∴将 y=f (x) 的图象向左平移 + ]= sin(2x+ )=

个单位得函数 y=g ( x) 的图象, 则 y=g (x) =

sin[2 (x+



cos2x, ,k∈Z,当 k=0 时,x∈[0, ],即 g

∴令 2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z 可解得:k (x)在(0, )上单调递减.

故选:A. 点评: 本题主要考查了函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,三角函数的单调性,周期性, 属于基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 11.tan600°= . 考点: 专题: 分析: 解答: =tan60° 诱导公式的作用. 计算题. 用诱导公式将较大的角转化成锐角三角函数进行化简. 解:∵tan600°)

= . 故答案为: . 点评: 本题主要考查三角函数的诱导公式, 诱导公式是数学三角函数中将角度比较大的三 角函数利用角的周期性,转换为角度比较小的三角函数

12.设 x∈R,向量 =(x,1) , =(1,﹣2) ,且 ⊥ ,则| + |=



考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 通过向量的垂直, 其数量积为 0, 建立关于 x 的等式, 得出 x 求出向量 , 推出 然后求出模. ,

解答: 解:因为 x∈R,向量 =(x,1) , =(1,﹣2) ,且 所以 x﹣2=0,所以 =(2,1) , 所以 则 =(3,﹣1) , = = ,



故答案为: . 点评: 本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系、向量的基本运算,模的求法,考查 计算能力. 13.已知△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,∠A=60°,c=2,且△ ABC 的面 积为 ,则 a 边的长为 .

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用三角形面积公式列出关系式,把已知面积,c,sinA 的值代入求出 b 的值,再 利用余弦定理求出 a 的值即可. 解答: 解:∵△ABC 中,∠A=60°,c=2,且△ ABC 的面积为 ∴ bcsinA= ,即 b=1,
2 2 2



由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA=1+4﹣2=3, 则 a= , 故答案为: 点评: 此题考查了余弦定理,三角形面积公式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

14.已知函数 f(x)=sin(x+θ)+ 函数,则 θ 的值为 .

cos(x+θ) ,

,且函数 f(x)是偶

考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数奇偶性的性质;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变 换. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 首先对函数关系式进行恒等变换, 把函数的关系式变形成正弦型函数, 进一步利用 函数的奇偶性求出结果. 解答: 解:f(x)=sin(x+θ)+ cos(x+θ) =2( = )

当 即: 由于:

(k∈Z)

所以:当 k=0 时,θ= 故答案为: 点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,函数奇偶性的应用.属于基础 题型. 三、解答题: (本大题共 3 小题,共 34 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. ) 15.已知向量 =(1,0) , =(1,4) . (Ⅰ) 若向量 k + 与 (Ⅱ) 若向量 与 平行,求 k 的值; 的夹角为锐角,求 k 的取值范围.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)首先得到 k + 与 式,解之; (Ⅱ)利用(Ⅰ)k + 与 条件. 解答: 解: (Ⅰ)依题意得 k + =(k,0)+(1,4)=(k+1,4) , ﹣﹣﹣﹣﹣ ∵向量 k + 与 平行 =(3,8)﹣﹣ 坐标,结合数量积公式写出表示向量的夹角为锐角的等价 的坐标,然后根据平行的坐标关系得到关于 k 的等

∴8(k+1)﹣3×4=0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 解得 k= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (Ⅱ)由(Ⅰ)得 k + =(k+1,4) , ∵向量 k + 与 ∴(k + ) ( 平行的夹角为锐角 )=3(k+1)+4×8>0,且 8(k+1)≠3×4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ =(3,8) ,

∴k>﹣

且k

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

点评: 本题考查了平面向量的平行的性质以及向量夹角问题; 关键是利用坐标等价表示向 量的位置关系.

16.已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间及对称轴方程; (Ⅱ)当 时,f(x)的最大值为 9,求实数 m 的值.

R) .

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象;三角函数的最值. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用三角函数中的恒等变换应用,可求得 f(x)=2sin(2x+ )+m+2,利

用正弦函数的单调性与对称性可求得函数 f(x)的单调递增区间及对称轴方程; (Ⅱ)当 x∈[0, ]时, ≤2x+ ≤ , ≤sin(2x+ )≤1,从而可求得 f(x)∈[3+m,

4+m],利用 f(x)的最大值为 9,可求实数 m 的值. 2 2 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=sin x+2 sinxcosx+3cos x+m = = + sin2x+3× +m

sin2x+cos2x+m+2 )+m+2, ≤ +2kπ,k∈Z,

=2sin(2x+ 由﹣ 得﹣

+2kπ≤2x+ +kπ≤x≤

+kπ,k∈Z, +kπ, + + ≤ +kπ](k∈Z) .

∴函数 f(x)的单调增区间为[﹣ 由 2x+ = +kπ(k∈Z)得,x=

,k∈Z, ,k∈Z. ,

∴函数 f(x)的对称轴方程是 x= (Ⅱ)∵当 x∈[0, ∴ ≤sin(2x+ ]时, ≤2x+

)≤1, )+m+2≤4+m

∴3+m≤2sin(2x+

∴4+m=9,解得 m=5. ∴实数 m 的值为 5.

点评: 本题主要考查三角函数的图象与性质、 三角恒等变换等基础知识, 考查推理论证能 力和运算求解能力,考查函数与方程的思想、化归与转化的思想和数形结合的思想,属于中 档题.

17.已知函数 f(x)=sin(2x+φ) (0<φ<π)的图象经过点 (1)求 φ 的值;
2 2



(2)在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,若 a +b ﹣c =ab,且 .求 sinB.

2

考点: 三角函数中的恒等变换应用;余弦定理. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用函数 f(x)=sin(2x+φ) (0<φ<π)的图象经过点 0<φ<π 求出 φ 的值. (2)利用余弦定理求出 C 的正弦函数与余弦函数值,通过 函数与余弦函数值,即可求解 sinB. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意可得 ∵0<φ<π,∴
2 2 2

,结合

求出 A 的正弦

,即 ,∴ ,∴



… . …

(2)∵a +b ﹣c =ab,∴ ∴ 由(1)知 ∴ ∵A∈(0,π) ,∴ 又∵sinB=sin(π﹣(A+C) )=sin(A+C) , ∴sinB=sinAcosC+cosAsinC= = .

,…

… , . ,…

.…

点评: 本小题主要考查了三角函数 f(x)=Asin(ωx+?)的图象与性质,三角恒等变换, 以及余弦定理等基础知识,考查了简单的数学运算能力. 一、选择题(5 分×4=20 分,请将答案填写在答卷上) 18.设向量 =(1,cosθ)与 =(﹣1,2cosθ)垂直,则 cos2θ 等于 ()

A.

B.

C. 0

D.﹣1

考点: 二倍角的余弦;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 由两向量的坐标, 以及两向量垂直, 根据平面向量的数量积运算法则得到其数量积 为 0, 得出 2cos θ﹣1 的值, 然后将所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后, 将 2cos θ ﹣1 的值代入即可求出值. 解答: 解:∵ =(1,cosθ) , =(﹣1,2cosθ) ,且两向量垂直, ∴ ? =0,即﹣1+2cos θ=0, 则 cos2θ=2cos θ﹣1=0. 故选 C 点评: 此题考查了平面向量的数量积运算法则, 以及二倍角的余弦函数公式, 熟练掌握公 式及法则是解本题的关键.
2 2 2 2

19. A.﹣ B. ﹣

=() C. D.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: 将原式分子第一项中的度数 47°=17°+30°,然后利用两角和与差的正弦函数公式化 简后,合并约分后,再利用特殊角的三角函数值即可求出值. 解答: 解: = = =sin30°= . 故选 C 点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握公式 是解本题的关键.

20.设

是两个非零向量,则有()

A.若| + |=| |﹣| |,则有 ⊥ B. 若 ? =0,则有| + |=| |﹣| |

C. 若| + |=| |﹣| |,则存在 λ 使得 =λ 成立 D.若存在 λ 使得 =λ 成立,则| + |=| |﹣| |成立 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据| + |=| |﹣| |,则有 与 反向,且| |≥| |; ? =0,则有 ⊥ ;及向量共线 的充要条件逐一判断四个答案的正误,可得结论. 解答: 解:若| + |=| |﹣| |,则 与 反向,且| |≥| |,故 A 错误; 若 ? =0,则有 ⊥ ,进而有| + |=| ﹣ |,但| + |=| |﹣| |不一定成立,故 B 错误; 若| + |=| |﹣| |,则有 与 反向,则存在 λ 使得 =λ 成立,故 C 正确; 存在 λ>0 得 =λ 成立,则 与 同向,此时| + |=| |﹣| |不成立,故 D 错误. 故选:C 点评: 本题考查的知识点是向量共线的充要条件,向量垂直的充要条件,难度不大,属于 基础题. 21.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若 f(x)的最小正周期是 π,且 当 x∈[0, A.﹣ ]时,f(x)=sinx,则 f( B. )的值为() C. ﹣ D.

考点: 函数单调性的性质;函数的周期性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 要求 f( 变量转化到区间[0 ) ,则必须用 f(x)=sinx 来求解,那么必须通过奇偶性和周期性,将 ]上,再应用其解析式求解.

解答: 解:∵f(x)的最小正周期是 π ∴f( )=f( ﹣2π)=f(﹣ )

∵函数 f(x)是偶函数 ∴f( )=f( )=sin = .

故选 D 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性, 周期性以及应用区间上的解析性求函数值, 是基础 题,应熟练掌握.

二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分. ) 22.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a ﹣b =bc,sinC=2sinB,则角 A为 .
2 2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系,然后通过余弦定理求解即可. 2 2 解答: 解:由 sinC=2sinB,由正弦定理可知:c=2b,代入 a ﹣b =bc, 2 2 可得 a =3b , 所以 cosA= ∵0<A<π, ∴A= . . = ,

故答案为:

点评: 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,属于基本知识的考查. 23.如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点,从 A 点测得 M 点 的仰角∠MAN=60°, C 点的仰角∠CAB=45°, 以及∠MAC=75°; 从 C 点测得∠MCA=60°. 已 知山高 BC=100m,则山高 MN=150m.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: △ ABC 中,由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC;△ AMC 中,由条件利 用正弦定理求得 AM;Rt△ AMN 中,根据 MN=AM?sin∠MAN,计算求得结果. 解答: 解:△ ABC 中,∵∠BAC=45°,∠ABC=90°,BC=100, ∴AC= =100 .

△ AMC 中,∵∠MAC=75°,∠MCA=60°, ∴∠AMC=45°,由正弦定理可得 即 ,解得 AM=100 . ,

Rt△ AMN 中,MN=AM?sin∠MAN=100 ×sin60°=150(m) , 故答案为:150. 点评: 本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系,属于中档题.

三、解答题: (本大题共 2 小题,共 22 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. ) 24.在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, (Ⅰ)求 ac 的值及△ ABC 的面积; (Ⅱ)若 a=7,求角 C 的大小. 考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用向量的数量积运算和平方关系、三角形的面积即可得出; (Ⅱ)利用余弦定理即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)因为 又 所以 即△ ABC 的面积为 14. (Ⅱ)因为 a=7,且 ac=35,所以 c=5. 又 所以 因为 0<C<π,所以 . ,由 b =a +c ﹣2accosB=32,解得 .
2 2 2

,且



,所以 cacosB=21,所以 ac=35. . .

,所以

点评: 熟练掌握向量的数量积运算和平方关系、 三角形的面积、 利用余弦定理是解题的关 键. 25.如图,在海岸线 EF 一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段 FGBC,该 曲线段是函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,φ∈(0,π) ) ,x∈[﹣4,0]的图象,图象的最 高点为 B(﹣1,2) .边界的中间部分为长 1 千米的直线段 CD,且 CD∥EF.游乐场的后一 部分边界是以 O 为圆心的一段圆弧 .

(1)求曲线段 FGBC 的函数表达式; (2)曲线段 FGBC 上的入口 G 距海岸线 EF 最近距离为 1 千米,现准备从入口 G 修一条笔 直的景观路到 O,求景观路 GO 长; (3)如图,在扇形 ODE 区域内建一个平行四边形休闲区 OMPQ,平行四边形的一边在海 岸线 EF 上,一边在半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧 休闲区 OMPQ 面积的最大值及此时 θ 的值. 上,且∠POE=θ,求平行四边形

考点: 在实际问题中建立三角函数模型. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由题意可得 A=2,T=12,代入点求 ?,从而求解析式; (2)令由 (3)作图求 S 平行四边形
OMPQ=OM?PP1=

=1 求解 x,从而求景观路 GO 的长;

= = ,从而求最值.

=

解答: 解: (1)由已知条件,得 A=2, 又∵ , ,∴ . +φ)=2,∴φ= . ,x∈[﹣4,0]. =1
k

又∵当 x=﹣1 时,有 y=2sin(﹣ ∴曲线段 FGBC 的解析式为 (2)由

得 x=6k+(﹣1) ﹣4 (k∈Z) , 又 x∈[﹣4,0],∴k=0,x=﹣3.∴G(﹣3,1) . ∴OG= . ∴景观路 GO 长为 千米. (3)如图,OC= ,CD=1,∴OD=2, ,

作 PP1⊥x 轴于 P1 点,在 Rt△ OPP1 中,PP1=OPsinθ=2sinθ, 在△ OMP 中, ,

∴ S 平行四边形 OMPQ=OM?PP1= = = 当 时,即 = θ∈(0, ) .

=



时,平行四边形面积最大值为



点评: 本题考查了三角函数在实际问题中的应用,考查了学生的作图能力,属于中档题.


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