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高一9-2古典概率、几何概型知识点、经典例题及练习题带答案


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环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义
讲义编号: ______________ 副校长/组长签字: 学 员 编 号 : 学 员 姓 名 : 课 题 年 级 :高一 签字日期: 课 时 数 :

辅 导 科 目 :

学 科 教 师 :

授课日期及时段 教 学 目 的 重 难 点

【考纲说明】
1、理解古典概率及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件的发生概率,了解集合概型的意义。 2、理解离散型随机变量及其分布列的概念,理解超几何分布及其导出过程并能进行简单应用,会计算简单离散型随机 变量的均值、方差。

【趣味链接】
一个住宅区内有 100 户人家,每户人家养一条狗,每天傍晚大家都在同一个地方遛狗。已知这些狗中有一部分病 狗,由于某种原因,狗的主人无法判断自己的狗是否是病狗,却能够分辨其他的狗是否有病,现在,上级传来通知, 要求住户处决这些病狗,并且不允许指认他人的狗是病狗(就是只能判断自己的),过了 7 天之后,所有的病狗都被处决 了,问,一共有几只病狗?为什么?

【知识梳理】
一、古典概率与几何概率 1、基本事件特点:任何两个基本事件是互斥的;任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。 2、古典概率:具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等.

P( A) ?

A中所含样本点的个数 nA ? ?中所含样本点的个数 n .

1

中国教育培训领军品牌 3、几何概率:如果随机试验的样本空间是一个区域 ? (可以是直线上的区间、平面或空间中的区域) ,且样本空间中 每个试验结果的出现具有等可能性,那么规定事件 A 的概率为几何概率.几何概率具有无限性和等可能性。 4、古典概率和几何概率的基本事件都是等可能的;但古典概率基本事件的个数是有限的,几何概率的是无限个的. 二、随机变量及其分布列、均值与方差 1、离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. 若 ξ 是一个随机变量,a,b 是常数.则 ? ? a? ? b 也是一个随机变量.一般地,若 ξ 是随机变量, f (x) 是连续函数或单调 函数,则 f (? ) 也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量 ξ 可能取的值为: x 1 , x 2 , ? , x i , ? ξ 取每一个值 x 1 (i ? 1,2, ?) 的概率 P(? ? x i ) ? p i ,则表称为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列.
?
x1 p1 x2 p2

… …

xi pi

… …

P

有性质:① p 1 ? 0, i ? 1,2, ? ; ② p 1 ? p 2 ? ? ? p i ? ? ? 1 . 2、如果随机变量 X 的分布列为 X P 1 p 0 q

其中 0 ? p ? 1, q ? 1 ? p ,则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布. 3、超几何分布列一批产品共有 N 件,其中有 M(M<N)件次品,今抽取 n(1 ? n ? N) 件,则其中的次品数 ξ 是一离散 型随机变量,分布列为 P (ξ ? k) ?
k k C M ?C Nn??M n CN

? (0 ? k ? M,0 ? n ? k ? N ? M) .〔分子是从 M 件次品中取 k 件,从 N-M 件正品中

r 取 n-k 件的取法数,如果规定 m < r 时 C m ? 0 ,则 k 的范围可以写为 k=0,1,…,n.〕

4、均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X P
x1 p1 x2 p2

… …

xi pi

… …

xn
pn

(1)均值:称 EX ? x1 p1 ? x2 p2 ???? ? xi pi ???? ? xn pn 为随机变量看 X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量 取值的平均水平. (2)方差:称 DX ?

? ( x ? EX )
i ?1 i

n

2

pi 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度,其

算术平方根 DX 为随机变量 X 的标准差,记作 ? X .

2

中国教育培训领军品牌 (3) E (aX ? b) ? aEX ? b ; D(aX ? b) ? a2 DX (a, b为实数) ;

若 x 服从两点分布,则 EX ? p, DX ? p(1 ? p) ;若 X ? B(n, p), 则EX ? np, DX ? np(1 ? p)

【经典例题】
【例 1】 (2013 广东)已知离散型随机变量 X 的分布列为 X P 则 X 的数学期望 E(X)=( A. 3 2 B.2 C. ) 5 2 D.3 1 3 5 2 3 10 3 1 10

【例 2】 (2009 山东理)在区间[-1,1]上随机取一个数 x, cos A.

1 3

B.

2

?

C.

1 2

?x 1 的值介于 0 到 之间的概率为( 2 2 2 D. 3
) D

).

【例 3】 (2010 湖北理)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3” 为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是( A

5 12

B

1 2

C

7 12

3 4

【例 4】甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示: 甲 平均环数 x 方差 s
2







8.6 3.5

8.9 3.5

8.9 2.1

8.2 5.6

从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是 A.甲 B. 乙 C. 丙 D.丁

【例 5】 (2012 四川)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电 后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的 时刻相差不超过 2 秒的概率是( )

3

中国教育培训领军品牌 A. 1 4 B. 1 2 C. 3 4 D. 7 8

【例 6】 (2013 山东)在区间[-3,3]上随机取一个数 x,使得|x+1|-|x-2|≥1 成立的概率为________. 【例 7】 (2013 北京)下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良, 空气质量指数大于 200 表示空气重度污染.某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率; (2)设 X 是此人停留 期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 2 【例 8】 (2013 福建)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中奖可以 3 2 获得 2 分;方案乙的中奖率为 ,中奖可以获得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖 5 与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X,求 X≤3 的概率; (2)若 小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较 大? 【例 9】 (2013 浙江)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分. (1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数之和,求 ξ 的分布列; 5 5 (2) 从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球, 记随机变量 η 为取出此球所得分数. Eη= , 若 Dη= , a∶b∶c. 求 3 9

4

中国教育培训领军品牌 【例 10】 (2009 北京理)某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的 概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望.

【课堂练习】
1、 (2009 上海理)若事件 E 与 F 相互独立,且 P ? E ? ? P ? F ? ? A. 0 B.

1 ,则 P ? E I F ? 的值等于 4

1 16

C.

1 4

D.

1 2

2、在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 C,并以线段 AC 为边作正方形,这个正方形的面积介于 25 cm2 与 49 cm2 之间 的概率为________. 3、 (2013 天津)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4;白色卡片 3 张,编号分别 为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同) . (1)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率; (2)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 4、 (2013 重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋 中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球.根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设 一、二、三等奖如下表, 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E(X). 摸出红、蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝 获奖金额 200 元 50 元 10 元

5

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5.(2013 湖南)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点) 处都种了一株相同品种的作物,根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株 数 X 之间的关系如下表所示: (这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米).

X Y

1 51

2 48

3 45

4 42

(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.

【课后作业】
1、 (2008 山东)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,…,18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人,则选出 的火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为( A. ) D.

1 51

B.

1 68

C.

1 306

1 408

2、 (2008 江西)电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59 的每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻的四个 数字之和为 23 的概率为( A. )

1 180

B.

1 288

C.

1 360

D.

1 480
1

3、(2009 安徽)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率 是________.
A

2

3
4

B

图3

6

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4、 (2013 福建)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则事件“3a-1>0”发生的概率为________. 5、 (2013 辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5 个 班级,把每个班级参加该小组的人 数作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为________. 6、 (2013 全国)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下 1 一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为 ,各局比赛的结果相互独立,第 1 局甲当裁判. 2 (1)求第 4 局甲当裁判的概率;. (2)X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望. 7、 (2013 辽宁)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; 3 (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是 ,答对每道乙类题的概率 5 4 都是 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数学期望. 5 8、 (2013 江西)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以 O 为起点,再从 A1, A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图 1-5)这 8 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 X.若 X=0 就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. (1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望.

图 1-5

【课后反馈】
本次______________同学课堂状态:_________________________________________________________________ 本次课后作业:___________________________________________________________________________________ 需要家长协助:____________________________________________________________________________________

7

中国教育培训领军品牌 家长意见:________________________________________________________________________________________

【参考答案】
【经典例题】 1-5、AADCC 1 6、 3

2 12 7、 ; ;3 月 5 日 13 13 【解析】设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i=1,2,…,13). 1 根据题意,P(Ai)= ,且 Ai∩Aj=?(i≠j). 13 (1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则 B=A5∪A8. 2 所以 P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)= . 13 (2)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,且 P(X=1)=P(A3∪A6∪A7 ∪A11) 4 =P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= , 13 P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13) 4 =P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= , 13 5 P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= . 13 所以 X 的分布列为 X P 5 4 4 12 故 X 的期望 E(X)=0× +1× +2× = . 13 13 13 13 (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 11 8、 ;方案甲. 15 2 2 【解析】方法一: (1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,且两人中奖与否互不影响.记“这 2 人的 3 5 累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 的对立事件为“X=5”, 2 2 4 11 因为 P(X=5)= × = ,所以 P(A)=1-P(X=5)= , 3 5 15 15 0 5 13 1 4 13 2 4 13

8

中国教育培训领军品牌 11 即这两人的累计得分 X≤3 的概率为 . 15 (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2,则这两人选择方案甲抽 奖累计得分的数学期望为 E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2). 2 2 由已知可得,X1~B?2,3?,X2~B?2,5?, ? ? ? ? 2 4 2 4 所以 E(X1)=2× = ,E(X2)=2× = , 3 3 5 5 8 12 从而 E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)= . 3 5 因为 E(2X1)>E(3X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 2 2 方法二: (1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,且两人中奖与否互不影响. 3 5 记“这两人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 包含有“X=0”“X=2”“X=3”三个两两互斥的事件, 2 ? 2 1 2 2 2 2 ? 2 2 因为 P(X=0)=?1-3?× 1-5?= ,P(X=2)= × 1-5?= ,P(X=3)=?1-3?× = , ? ? ? ? 5 ? 5 ? ? 5 15 3 ? 11 所以 P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)= , 15 11 即这两人的累计得分 X≤3 的概率为 . 15 (2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1,都选择方案乙所获得的累计得分为 X2,则 X1,X2 的分 布列如下:

X1 P

0 1 9

2 4 9

4 4 9

X2 P

0 9 25

3 12 25

6 4 25

1 4 4 8 所以 E(X1)=0× +2× +4× = , 9 9 9 3 9 12 4 12 E(X2)=0× +3× +6× = . 25 25 25 5 因为 E(X1)>E(X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 9、9、3∶2∶1 【解析】 (1)由题意得,ξ=2,3,4,5,6. 3× 1 3 P(ξ=2)= = , 6× 4 6

9

中国教育培训领军品牌 2× 2 1 3× P(ξ=3)= = , 6× 6 3 2× 1+2× 3× 2 5 P(ξ=4)= = . 6× 6 18 2× 1 1 2× P(ξ=5)= = , 6× 6 9 1× 1 1 P(ξ=6)= = , 6× 36 6 所以 ξ 的分布列为

ξ P (2)由题意知 η 的分布列为

2 1 4

3 1 3

4 5 18

5 1 9

6 1 36

η P 所以 Eη=

1 a a+b+c

2 b a+b+c

3 c a+b+c

a 2b 3c 5 + + = , a+b+c a+b+c a+b+c 3

5 a 5 b 5 c 5 Dη=1- 2· +2- 2· +3- 2· = , 3 a+b+c 3 a+b+c 3 a+b+c 9
? ?2a-b-4c=0, 化简得? 解得 a=3c,b=2c, ?a+4b-11c=0, ?

故 a∶b∶c=3∶2∶1. 10、

4 3 ; 27 8

【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础 知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个 路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件 A 的概率为 P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? (2)由题意,可得 ? 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min). 事件“ ? ? 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯”( k ? 0,1,2,3,4) ,

? ?

1? ? 3? ?

1? 1 4 ? . 3 ? 3 27

10

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4 ∴ P ?? ? 2k ? ? Ck ? ? ? ?

?1? ? 2? ? 3? ? 3?

k

4? k

? k ? 0,1, 2,3, 4? ,

∴即 ? 的分布列是

?
P

0

2

4

6

8

8 32 8 27 81 81 16 32 8 8 1 8 ? 2 ? ? 4 ? ? 6? ? 8? ? . ∴ ? 的期望是 E? ? 0 ? 81 81 27 81 81 3

16 81

1 81

【课堂练习】 1 1、B 2、 5 6 3、 ;随机变量 X 的分布列是 7 X P 1 1 35 2 4 35 3 2 7 4 4 7

1 4 2 4 17 X 的数学期望 E(X)=1× +2× +3× +4× = . 35 35 7 7 5 18 4、19、 ;X 的分布列为 35 X P 0 6 7 10 4 35 50 2 105 200 1 105

6 4 2 1 从而有 E(X)=0× +10× +50× +200× =4(元) 7 35 105 105 2 5、 ;分布列为 9 Y P 51 2 15 48 4 15 45 2 5 42 1 5

2 4 2 1 34+64+90+42 所求的数学期望为 E(Y)=51× +48× +45× +42× = =46. 15 15 5 5 5

11

中国教育培训领军品牌 【课后作业】 1、B 2、C 3、0.75 1 9 6、 ; 4 8 2 4、 3 5、10

5 7、 ;X 的分布列为: 6

X P

0 4 125

1 28 125

2 57 125

3 36 125

4 28 57 36 E(X)=0× +1× +2× +3× =2. 125 125 125 125 2 8、 ;X 的分布列为 7 X P -2 1 14 -1 5 14 0 2 7 1 2 7

1 5 2 2 3 EX=(-2)× +(-1)× +0× +1× =- . 14 14 7 7 14

12



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