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江苏省扬中市第二高级中学2015-2016学年高二上学期数学周练习5


扬中市第二高级中学 2015-2016 第一学期高二数学周练习 5
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需要写出解答过程,请把答案直 接填写在答题卡的相应位置上 . ......... 1.方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的范围是 5?k k ?3





2.下列四个条件中,能确定一个平面的是 ▲ (填写序号) 。 ①空间中的三点; ②空间中两条直线; ③一条直线和一个点;④两条平行直线

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2,则 m=___▲___ m 4 4.用半径为 8 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,则此圆锥筒的体积为 ▲ . 5.一个正三棱锥的侧棱长为 1,底边长为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积
3.椭圆 为_▲_ 6.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1 , S2 ,体积分别为 V1 , V2 ,若它们的侧面积相等, 且

S1 9 V ? ,则 1 的值是___▲ ____ V2 S2 4

x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r=_▲_ 6 3 2 8. 若圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x ? y ? a ? 0 的距离为 ,则 a 的值为_▲_ 2
7.双曲线 9.已知正△ABC,以 C 点为一个焦点作一个椭圆,使这个椭圆的另一个焦点在边 AB 上, 且椭圆过 A、B 两点,则这个椭圆的离心率为_▲_
2 2 10.已知双曲线 x ? y ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点相同 , 则此双曲线的渐近线方

m

5

程为 ▲ 11.已知 a、b 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,a ? ? ,则 a∥ ? ②若 a、b 与 ? 所成角相等,则 a∥b ③若 ? ⊥ ? 、 ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? ④若 a⊥ ? , a⊥ ? ,则 ? ∥ ? 其中正确的命题的序号是___▲ ___

x2 y2 2 2 2 2 12.已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3) +y =1 和圆(x-3) +y 25 16
=4 上的点,则|PM|+|PN|的最小值为____▲ ____. 13.在平面直角坐标系 xoy 中, P 为双曲线 x ? y ? 1 右支上的一个动点,若 P 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则 c 的最大值为____▲ ____ 14.对任意实数 λ,直线 l1:x+λy-m-λn=0 与圆 C:x2+y2=r2 总相交于两不同点,则直
2 2

线 l2:mx+ny=r2 与圆 C 的位置关系是 ▲



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出必要 .... 的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题 14 分)如图,在底面为平行四边形的四棱锥

P ? ABCD 中,AB ? AC , PA ? 面ABCD , 点 E 是 PD
的中点。 (Ⅰ)求证: AC ? PB (Ⅱ)求证: PB // 平面AEC

16.(本小题 14 分)已知椭圆的离心率 e ?

1 ,一条准线方程为 x ? 4 . 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)若 F1、F2 为其左右两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两 点.
0 ①若 | AB |? 2 ,求 | AF2 | ? | BF2 | 的值;②若 ?F 1 AF 2 的面积. 1 AF 2 ? 30 ,求 ?F

x2 y2 17. (本小题满分 15 分)已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B a b
两点,且线段 AB 的中点在直线 l: x ? 2 y ? 0 上.(Ⅰ)求此椭圆的离心率; (Ⅱ)若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点在圆 x ? y ? 4 上,求此椭圆的方程.
2 2

18. (本小题 15 分)如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? BC, BC ? BC1 , AB ? BC1 ,E , F 分别为线段 AC1 , A1C1 的中点。 (1)求证: EF // 面 BCC1 B1 ; (2)求证: BE ? 平面 AB1C1 ; (3)在线段 BC1 上是否存在一点 G ,使平面 EFG ∥平面 ABB 1A 1 ,证明你的结论。

19.(本小题 16 分)已知圆(x+4)2+y2=25 的圆心为 M1,圆(x-4)2+y2=1 的圆心为 M2,一 动圆与这两个圆都外切.⑴求动圆圆心 P 的轨迹方程; ⑵若过点 M2 的直线与⑴中所求轨迹有两个交点 A、B,求|AM1|·|BM1|的取值范围.

20. (本题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 3 ,圆 O 的 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (?3,2) ,离心率为 2 3 a b

圆心为坐标原点,直径为椭圆的短轴,圆 M 的方程为 ( x ? 8) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 4 .过圆 M 上 任一点 P 作圆 O 的切线 PA, PB ,切点为 A, B . (1)求椭圆的方程;

(2)若直线 PA 与圆 M 的另一交点为 Q ,当弦 PQ 最大时,求直线 PA 的方程; (3)求 OA ? OB 的最值.

??? ? ??? ?

高二数学周周练试卷答案 一、填空题 1. (??,3) ? (5,??) ; 4. 7. 2.④; 5. 3? ; 8. 2 或 0 ; 3. 5 或 3; 6.

64 3 ?; 3

3;
5 x; 2

3 ; 2 3 9. 3 ;
12.7;

11、 y ? ?
13、

11. ①④; 14.相离;

2 ; 2

二、解答题: 15.(本小题 14 分) 【答】⑴? PA ? 面ABCD, AC ? 面ABCD

PA ? AC …………………2 又? AB ? AC, PA ? AC ? A, PA ? 面PAB, AB ? 面PAB ∴ AC ? 面PAB …………………5 ? PB ? 面PAB ∴ AC ? PB …………………7 AC O EO BD (2)连结 交 于点 ,并连结 …………………8 ? 四边形 ABCD 为平行四边形 ∴ O 为 BD 的中点 …………………9
又? E 为 PD 的中点 ∴在 ?PDB 中 EO 为中位线, EO // PB …………………12 ? PB ? 面AEC, EO ? 面AEC ∴ PB // 面AEC …………14 16.(本小题 14 分)

(1)

x2 y 2 ? ? 1 ………………………………………………4′ 4 3

(2)① AF2 ? BF2 ? 6 ………………………………………9′ ② S?F AF ? 6 ? 3 3 …………………………………14 1 2 17.(本题 15 分)(1)设 A、B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? y ? ? x ? 1, ? 则由 ? x 2 y 2 得: (a2 ? b2 ) x2 ? 2a2 x ? a2 ? a2b2 ? 0 , ………………………1 分 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
根据韦达定理,得 x1 ? x2 ?

2a 2 2b 2 , y ? y ? ? ( x ? x ) ? 2 ? , 1 2 1 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? 1 ? 0 且 ? ? 4a2b2 (a2 ? b2 ?1) ? 0 即 (*)………3 分
∴线段 AB 的中点坐标为( 由已知得

a2 b2 , ). ………………4 分 a 2 ? b2 a 2 ? b2

a2 2b2 ? ? 0 ………………………………5 分 a 2 ? b2 a 2 ? b2
2 ………………7 分 2

?a2 ? 2b2 ? 2(a2 ? c2 ) ?a2 ? 2c2 故椭圆的离心率为 e ?

(2)由(1)知 b ? c, 从而椭圆的右焦点坐标为 F (b,0), 设 F (b,0) 关于直线 l : x ? 2 y ? 0 的对称点为 ( x0 , y0 ) ,………………………9 分 则

y0 ? 0 1 x ?b y ? ? ?1 且 0 ? 2 ? 0 ? 0, ………………………………11 分 x0 ? b 2 2 2

解得 x0 ? b且y0 ? b 。…………………………………………………13 分
2 2 由已知得 x0 ? y0 ? 4,?( b)2 ? ( b)2 ? 4,?b2 ? 4 ,代入(1)中(*)满足条件

3 5

4 5

3 5

4 5

故所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 . …………………………………………………15 分 8 4

18.(本小题 15 分) (1)? AE ? EC1 , A 1 F ? FG ,

? EF // AA1 ? BB1 // AA1
? EF // BB1 ? EF ? BCC1B1 , EF ? BCC1 B1 ? EF // 面 BCC1 B1 ;………………5 分 (2)

? AB ? BC, BC ? BC1 , AB ? BC1 ? B ? BC ? 面ABC1 又 ? BE ? 面ABC1 ? BE ? BC 又 ? BC // B1C1 ? BE ? B1C1 ? AB ? BC1 , E为AC1的中点 ? BE ? AC1 , AC1 ? B1C1 ? C1 BE ? 面AB1C1

………………………………………………10 分 (3)G 为 BC1 中点………………………………………………11 分

取BC1中点G, 连接GE, GF ? G、E分别为BC1、AC1中点 ? GE // AB ? GE ? 面ABB1 A1 , AB ? 面ABB1 A ? EG // 面ABB1 A 同理可证:EF // 面ABB1 A 又 ? EG ? EF ? E ? EFG // ABB1 A
…………………………………………15 分 19.(本小题 16 分) 解: (1)∵|PM1|-5=|PM2|-1,∴|PM1| - |PM2|=4 ∴动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2 为焦点的双曲线的右支。 c=4,a=2,b2=12,

x2 y2 - =1(x≥2) 。…………………………………………7 分 4 12 ? (2)当过 M2 的直线倾斜角不等于 时,设其斜率为 k, 2
故所求轨迹方程为 直线方程为 y=k(x-4) 与双曲线 3x2-y2-12=0 联立,消去 y 化简得(3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0 又设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0

? 8k 2 x ? x ? ?0 2 ? 1 2 k ? 3 ? ? 16k 2 ? 12 ?0 由 ? x1 x 2 ? 解得 k2>3。 2 k ?3 ? 4 ?△? 64k ? 16(3 ? k 2 )(4k 2 ? 3) ? 0 ? ?
由双曲线左准线方程 x=-1 且 e=2,有|AM1|·|BM1|=e|x1+1|·e|x2+1|=4[x1x2 +(x1+x2)+1] =4(

16k 2 ? 12 8k 2 336 + +1)=100+ 2 2 2 k ?3 k ?3 k ?3

∵k2-3>0,∴|AM1|×|BM1|>100 又当直线倾斜角等于 |AM1|·|BM1|=100 20. (本题共 16 分) (1)可知

? 时,A(4,y1),B(4,y2),|AM1|=|BM1|=e(4+1)=10 2
故 |AM1|·|BM1|≥100。…………………………16 分

c 3 9 4 2 2 2 ,又 a ? b ? c , ? 2 ? 1, = 2 a 3 a b
x2 y2 ? ? 1 …………………………5 分 15 10

2 2 解得 a ? 15 , b ? 10 ,椭圆的方程为

(2)可知,此时直线 PA 应经过圆心 M ?8,6? ,且直线 PA 的斜率存在, 设直线 PA 的方程为: y ? 6 ? k ?x ? 8? ,…………………………1 分 因为直线 PA 与圆 O: x 2 ? y 2 ? 10 相切,所以 解得 k ?

6 ? 8k k 2 ?1

? 10 ,

1 13 或k ? ,…………………………2 分 3 9

所以,直线 PA 的方程为 x ? 3 y ? 10 ? 0 或 13x ? 9 y ? 50 ? 0 ……………………10 分 (3)设 ?AOB ? 2? , 则 OA ? OB =10 cos 2? = 10 2 cos2 ? ? 1 = 10? 因为 OM=10,所以 10 ? 2 ? PO ? 10 ? 2 , 所以, OA ? OB 的最大值为 ?

??? ? ??? ?

?

?

? 20 ? ? 1? ,………………13 分 2 ? PO ?

??? ? ??? ?

? ??? ? 55 ??? 155 , OA ? OB 的最小值为 ? ………………………16 分 8 18


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