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2016上海大同杯数学竞赛及答案(河北吕振杰独立解答)


2015 年上海初三数学竞赛(大同中学杯)
(2015 年 12 月 6 日) 解答本题可以使用科学计算器 一填空题(每小题 10 分,共 80 分) 1、已知 AB 为圆 O 的直径,AB=1,延长 AB 到点 C,使得 BC=1,CD 是圆 O 的切线,D 是切点,则 ?ABD 的面积为______________。 解答:依据切割线定理可以得到: CD ? CB

? CA ? CD ? 2 。
2

因为可以得到 ?CBD∽?CDA ?

BD CD ? AD AC

B C

O

A

因此有

BD 2 1 。 ? ? AD 2 2
2 2 2 2

D
2

因为 AB 为圆 O 的直径,所以 ?ABD 时直角三角形。 依据勾股定理有 AB ? BD ? AD ? 1 ? 3BD ? BD ? 而 S?ABD ?

1 。 3

1 2 2 BD ? AD ? BD 2 ? 2 2 6

2、有编号分别为去 1,2,3,4,5,6,7 的 7 个大小相同的小球,从中任取 3 个小球,则取出的 3 个小球的编号和为奇数的概率为______________。
3 解答:从七个小球任意取出三个小球的取法为 C7 ? 35 种,因为没有小球的数字不同,这样

这三个球的数字和有 35 和结果。要使用和为奇数。应该包括两种下面情况
3 第一种三个数均为奇数,也就是从 1,3,5,7 四个数中取三个,取法为 C4 ?4

第二种,一个奇数,两个偶数,也就是从 1,3,5,7 的四个数中取 1 个,从 2,4,6 三个数中取两
2 2 个,取法有 C4 ? C3 ? 12 .

这样和为奇数一共有 4 ? 12 ? 16 种。从而取出的 3 个小球的编号和为奇数的概率为 3、实数 x, y 满足 x2 ? 3 y ? 4 , y2 ? 3x ? 4 , x ? y ,则
2 ? ?x ? 3y ? 4 ? ? ? ? ? ① 解答:因为 ? 2 ? ? y ? 3x ? 4 ? ? ? ? ? ②

16 35

x y ? 的值为____________。 y x

上述①②两个相减,得到: ( x ? y)( x ? y) ? 3( x ? y) ? 0 。因为 x ? y 所以有 x ? y ? 3 。 上述①②相加得到 x2 ? y2 ? 3( x ? y) ? 4 ? ( x ? y)2 ? 2xy ? 3( x ? y) ? 4

所以 xy ? 1 。因此

x y ( x ? y)2 ? 2 xy ? ? ?1 y x xy

4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的 23 倍,则这三个素数为________. 解 答 : 设 这 三 个 素 数 为 a, b, c 。 则 有 abc ? 23(a ? b ? c) 。 因 为 23 是 素 数 , 从

abc ? 23(a ? b ? c) ,可以得到 23 能够整除三个素数 a, b, c 的 abc 积。从而可以得到其中
有一个素数必为 23。假设 a ? 23 这样就有 bc ? 23 ? b ? c ? bc ? b ? c ? 1 ? 24 ? (b ? 1)(c ? 1) ? 24 ? 4 ? 6 ? 2 ?12 因为 b, c 为素数,所以得到 b ? 5, c ? 7 或 b ? 3, c ? 13 这样得到三个素数为 5,7,23 或 3,13,23。 5. 如图,圆 O1 与圆 O2 外切于点P ,从圆 O1 上点A 作圆 O2 的切线AB , B 是切点,连接 AP 并延长,与圆 O2 交于点C .已知圆 O1 、圆 O2 的半径分别为2、1,则

AC ? ________. AB
解答:做如图所示的辅助线。可以得到

C O1 P O2 B A

PC CO2 1 AO1 / /CO2 ? ? ? PA AO1 2
为此设 PC ? k ,则 PA ? 2k . 应用切割线定理有:

AB2 ? AP ? AC ? 2k ? 3k ? AB ? 6k.
所以

AC 3k 6 。 ? ? AB 2 6k

6、 如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,?MON 的两边分别是射线 y ??x(x ??0)与x轴正 半轴.点A(6,5),B(10,2)是?MON 内的两个定点,点P、Q分别是?MON 两边上的 动点,则四边形 ABQP 周长的最小值是________. 解答:本题主要就是应用对称。应为四边形 M ABQP ,其中一个边 AB 为定值。要求四边形 A' ABQP 周长的最小值,只要求另外三边的最小值。 A 从对称可以得到 A (5,6) , B (10, ?2) .
/ /

P B N Q B'

四边形另外三边的最小值为 A B 依据两点间距离公式有

/

/

/ / 。AB ?

(10 ? 5) 2 ? (?2 ? 6) 2 ? 89 , AB ? (10 ? 5) 2 ? (2 ? 5) 2 ? 34

从而最小值为 89 ? 34 。 7. 不定方程 x2 ? y 2 ? xy ? 2x ? 2 y 的整数 ( x, y) 解共有________组。 解答:设 x ? y ? k ,所以从 x2 ? y 2 ? xy ? 2x ? 2 y ,可以得到 k 2 ? 2xy ? xy ? 2k

k 2 ? 2k 所以 k ? 2k ? 3xy ? xy ? 。 3
2

这样 x, y 是方程 t ? kt ?
2

k 2 ? 2k ? 0 的两个根,并且根为整数。 3

所以 ? ? (?k ) ? 4 ?
2

k 2 ? 2k ? 0 ? k 2 ? 8k ? 0 。因此有 0 ? k ? 8 。 3

同时要保证 xy ?

k 2 ? 2k k (k ? 2) ? 为整数。这样就有 k ? 0 , 3 , 5 , 6 , 8 3 3

当 k ? 0 时, ( x, y) ? (0,0)
2 当 k ? 3 时,方程为方程 t ? 3t ? 1 ? 0 没有整数解。 2 当 k ? 5 时,方程为方程 t ? 5t ? 5 ? 0 没有整数解。 2 当 k ? 6 时,方程为方程 t ? 6t ? 8 ? 0 ,有整数解为 2,4。所以 ( x, y) ? (2, 4) 或 (4, 2) 2 当 k ? 8 时,方程为方程 t ? 8t ? 16 ? 0 ,有整数解为 4,4。所以 ( x, y) ? (4, 4)

整数 ( x, y) 解共有 4 组 8. 设 a 是 给 定 的 正 实 数 , n 是 给 定 的 大 于 1 的 整 数 , 实 数 x1 , x2 , x3 ,??? , x n 满足
2 ,则 x12 ? x22 ? x32 ? ? ? ? ?x ?a n

( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x3 )2 ???? ? ( x1 ? xn )2 ? ( x2 ? x3 )2 ???? ? ( x2 ? xn )2 ???? ?( xn?1 ? xn )2 的 最
大值________________。 解答: 因为 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x3 ) ???? ? ( x1 ? xn ) ? ( x2 ? x3 ) ???? ? ( x2 ? xn ) ???? ?( xn?1 ? xn )2
2 2 2 2 2

? (n ? 1)( x12 ? x2 2 ? ??? ? xn 2 ) ? 2 x1 ( x2 ? x3 ? ?? ? xn ) ? 2 x2 ( x3 ? x4 ? ?? ? xn ) ? ??? ?2 xn?2 ( xx ?1 ? xn ) ? 2 xn ?1 xn

? (n ?1)a ? 2x1 ( x2 ? x3 ??? ? xn ) ? 2x2 ( x3 ? x4 ??? ? xn ) ???? ? 2xn?2 ( xx?1 ? xn ) ? 2xn?1xn
有这样的一个结论,因为

x 2 ? y 2 ? x ? y ? 2 x y ? 2 xy ? x 2 ? y 2 ? ?( x 2 ? y 2 ) ? ?2 xy ? x 2 ? y 2
而 ?2x1 ( x2 ? x3 ??? ? xn ) ? 2x2 ( x3 ? x4 ??? ? xn ) ? 2xn?2 ( xx?1 ? xn ) ? 2xn?1xn

2

2

? [( x12 ? x2 2 ) ? ( x12 ? x32 ) ? ?? ?( x12 ? xn 2 )] ? [( x2 2 ? x32 ) ? ( x2 2 ? x4 2 ) ? ?? ?( x2 2 ? xn 2 )] ?[( x32 ? x4 2 ) ? ( x32 ? x5 2 ) ? ?? ?( x32 ? xn 2 )] ??? ?[( xn ?2 2 ? xn ?12 ) ? ( xn ?2 2 ? xn 2 )] ? ( xn ?12 ? xn 2 )] ? (n ? 1) x12 ? ( x ? 1) x2 2 ? ?? ?( x ? 1) xn 2 ? (n ? 1)( x12 ? x2 2 ? ?? ? xn 2 ) ? (n ? 1)a
所以最大值为 2(n ? 1)a 二、解答题(第 9、10 题,每题 15 分,第 11、12 题,每题 20 分,共 70 分) 9. 如图,在△ABC中,BC ??a,CA ??b,?ACB ??60?,△ABD是正三角形,P是其中 心,求 CP 的长度. 解答:分析作 D 点关于 AB 的对称点 D 。
/ 0 则 ?AD B 为等边三角形,这样就有 ?AD B ? 60 ,已知
/ /

A P

D

?ACB ??60?? 所以 A, C, D
/

, B 四点共圆。这个圆过 P

点。连接 AP,BP。 因为P是正三角形ABD的中心,所以

C D' B

2 3 AP ? BP ? AB sin 600 ? AB 3 3
因为A,C,B,P四点共圆,也就是四边形ACBP为 圆内接四边形,应用圆内接四边形托勒密定理 可以得到 AB ? PC ? BP ? AC ? AP ? BC 所以 PC ?

3 ( a ? b) 。 3

10. 在1,2,… ,2015 这2015 个正整数中选出 k 个数,使得其中任意两个不同的数的和 都不是50 的倍数,求k 的最大值. 解答:因为所有的整数,被5除余数为0,1,2,3,4,… ,47,48,49。共50中情况。而 2015 ? 50 ? 40 ???15 。 下面吧从1,2,… ,2015这2015个数被50除,余数的情况列表如下。 余数 第1行 第2行 第3行 1 1 51 101 2 2 52 102 … … … … 15 15 65 115 … … … … 24 24 74 124 25 25 75 125 26 26 76 126 … … … … 48 48 98 148 49 49 99 149 0 50 100 150

… 第40行 第41行

… 1951 2001

… 1952 2002

… … …

… … 2015

… …





… 1998

… 1999

… 2000

第1行取1到25这25个数,取50这个个数,任意两个数的和都不能被50整除。 第2行取51到74这24个数,和第一组取得的数组成新的数集,则这新的数集任意两个数的和 不能被50整除。 以后每行都取前24个数,取到第40行位置。最后一行取15个数。这样正整数集合最大数值个 数为 26 ? 24 ? (40 ? 2 ? 1) ? 15 ? 977 这样集合为这样式样

{1, 2, ???, 25,50,51,52, ???,74,101,102, ???,124,151,152, ???,174, ???,1951,1952, ???,1974, 2001, ???, 2015}
50这个数可以换成1到2015之间50的倍数任意一个数。 因此 k 的最大值为977. 11. 已知△ABC的三边长均为正整数,周长为 35,G 和I 分别为△ABC的重心和内心, 且?GIC ??90?,求边AB的长度. 解答:本题有一定难度,但是抓住内心和重心的特征 还是能够找到解题的路径的。 由题意知道?GIC ??90?,并且??平分 ?ACB ,出现角平分+垂直 的特征。这样可以构造出三角形。为此延长GI和反向延长GI. 很容易得到 ?CMN 为等腰三角形,也就是 CM ? CN 过垂心G和内心I分别做AC和BC边的垂线。设 ?ABC 的内接圆 的半径为 r 。 由面积法得到:

C

S?CGM ? S?CGN ? S?CIM ? S?CIN
也就是

G

I A B

1 1 1 CM ? GP ? CN ? GF ? ? 2rCN 2 2 2 所以 GP ? GF ? 2r
因为G为三角形ABC的重心,可以得到

C

1 1 d B ? AC ? d A? BC ? 2r 3 3
用面积法有:

1 2S 1 2S 2S ? ? ? ?2 3 b 3 a a?b?c 1 1 6 化简为 ? ? b a a?b?c a?b 6 ? 也就是 ab 35

Q P M G A E D I O F N B

6ab ? 35(a ? b) ,因为 a , b 为正整数

所以得到 ab ? 35k ,则 a ? b ? 6k 为此 a , b 为方程 t ? 6kt ? 35k ? 0 的两个根。
2

? ? (?6k ) 2 ? 4 ? 35k ? 0 ? k ?
有 a ? b ? 6k ? 35 ? k ?

35 9

35 。因此 k ? 4,5 6

当 k ? 4 时,方程为 t 2 ? 24t ? 35 ? 4 ? 0 ? (t ?14)(t ?10) ? 0 ? t ? 14,10 所以此时

a ? 10, b ? 14 。因此 AB ? 11 。
2 当 k ? 5 时,方程为 t ? 30t ? 35 ? 5 ? 0 没有整数解。

因此 AB ? 11 。 12. 设 a , b 是正整数, a ? b
2 2

不是 4的倍数,求证: (a ? 3b)(5a ? 7b) 不是完全平方数.

证明: a2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b) ,当 a , b 为同奇数,或者同偶数时,可以得到

a2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b) 一定是4的倍数。已知 a 2 ? b 2 不是 4的倍数,所以 a , b 中一个为奇
数,一个为偶数。 假设 a ? 2n ? 1, b ? 2m 。因为

(a ? 3b)(5a ? 7b) ? 5a 2 ? 22ab ? 21b 2 ? 5(2n ? 1) 2 ? 22(2n ? 1) ? 2m ? 21(2m) 2 ? 20n(n ? 1) ? 5 ? 88mn ? 44m ? 84m2 ? 20n(n ? 1) ? 88mn ? 40m ? 80m2 ? 4m(m ? 1) ? 5
因为 20n(n ? 1) ? 88mn ? 40m ? 80m ? 4m(m ? 1) 能够被8整除。
2

所以此时 (a ? 3b)(5a ? 7b) 被8除余5.因为要是完全平方数, 奇数的时被8除余1.因此此种情 况下不是完全平方数。 假如 a ? 2m, b ? 2n ? 1 ,因为

(a ? 3b)(5a ? 7b) ? 5a 2 ? 22ab ? 21b 2 ? 5(2m) 2 ? 22 ? 2m(2n ? 1) ? 21(2n ? 1) 2 ? 20m 2 ? 88mn ? 44m ? 21? 4n(n ? 1) ? 21 ? 16m 2 ? 88mn ? 40m ? 21? 4n( n ? 1) ?16 ? 4m( m ? 1) ? 5
从而 16m ? 88mn ? 40m ? 21? 4n(n ? 1) ? 16 ? 4m(m ? 1) 能够被8整除,所以此时
2

(a ? 3b)(5a ? 7b) 被8除余5.因为要是完全平方数, 奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是
完全平方数。 综合可以得到: (a ? 3b)(5a ? 7b) 不是完全平方数.


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