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专题02 常见函数值域或最值的经典求法-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(解析版)


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【高考地位】 函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而 在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一 些简单函数的值域求解的基本方法. 【方法点评】
[来源:学|科|网]

方法一 观察法

解题模板:第一步 观察函数中的特殊函数; 第二步 利用这些特殊函数的有界性,结合不等式推导出函数的值域. 例1 求函数 y ? 3 ? x 的值域.

【解析】∵ x ? 0

? ? x ? 0,3 ? x ? 3

故函数的值域是: [ ?? ,3] 【变式演练 1】求函数 f ( x) ? 3 ? 4 ? 2x 的值域 【解析】由 2x ? 0 ? 4 ? 2x ? 4 ? 4 ? 2x ? 2 ? f ( x) ? 5 ; 又 4 ? 2 ? 0 ? f ( x) ? 3
x

综上,函数 f ( x) 的值域为 [3,5) . 方法二 分离常数法 解题模板:第一步 观察函数 f ( x) 类型,型如 f ( x) ?
[来源:Zxxk.Com]

ax ? b ; cx ? d a e 第二步 对函数 f ( x) 变形成 f ( x) ? ? 形式; c cx ? d e 第三步 求出函数 y ? 在 f ( x) 定义域范围内的值域,进而求函数 f ( x) 的值域. cx ? d x 例 2 求函数 y ? 的值域. x ?1 x x ?1?1 1 ? ? 1? 【解 析】 y ? x ?1 x ?1 x ?1 1 ?0 ∵ ∴ y ?1 x ?1
即函数的值域是 { y| y?R 且 y?1}

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5x ?1 【变式演练 2】求函数 y ? 的值域. 4x ? 3

5 15 (4 x ? 3) ? ? 1 5x ? 1 4 5 11 4 【解析】 y ? ? ? ? 4x ? 3 4x ? 3 4 4(4 x ? 3)
因为

11 5 ? 0 ,所以 y ? 4(4 x ? 3) 4

所以函数的值域为 { y | y ? R且y ? }

5 4

方法三 配方法 解题模板:第一步 将二次函数配方成 y ? a( x ? b) ? c ;
2

第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 例3 求函数 y ? x ? 2 x ? 5, x ? [?1, 2] 的值域.
2

【变式演练 3】 求函数 y ?
2

? x 2 ? x ? 2 的值域.
2

【解析】由题得 ? x ? x ? 2 ? 0 ? x ? x ? 2 ? 0 ? ( x ? 2)( x ? 1) ? 0

??1 ? x ? 2 ,所以函数的定义域为 [?1, 2]
1 9 3 y ? ? x 2 ? x ? 2 ? ?( x ? ) 2 ? ? [0, ] 2 4 2
所以函数的值域为 [0, ] 方法四 反函数法

3 2

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解题模板:第一步 求已知函数的反函数; 第二步 求反函数的定义域; 第三步 利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域 例 4 求函数 y ? 【解析】 y ?

2x 的值域. x ?1
即 f ?1 ( x) ?

y 2x 反解得 x ? 2? y x ?1

x 2? x

因为反函数 f ?1 ( x) ? 数的值域为 (??, 2)

x 的定义域为 ? x | x ? 2} ,反函数的学科网定义域即是原函数的值域,所以原函 2? x
(2, ??)

【变式演练 4】求函数 f ( x) ?

3x ? 4 的值域. 5x ? 6

【解析】由原函数式可得: x ? 的值域为 { y | y ? }

4 ? 6x 3 4 ? 6y ,则其反函数为 y ? ,其定义域为 {x | x ? } ,故所求函数 5x ? 3 5 5y ? 3

3 5

方法五 换元法 解题模板:第一步 观察函数解析式的形式,函数变量较多且相互关联; 第二步 另新元代换整体,得一新函数,求出新函数的值域即为原函数的值域. 例 5 求函数 y ? x ? x ? 1 的值域.

例6

已知 x 满足不等式 log 1 x ? log 1 (2 ? x) .
2 2

(1)求 x 的 取值范围; (2)求函数 f ( x) ? (log 2

x x ) ? (log 2 ) 的最小值. 4 2

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?x>0 ? 【解析】 (1)由题得 ?2-x>0 ? 0 ? x ? 1 ?x ? 2-x ?
(2)

由题得f ( x) ? (log 2 x ? log 2 4)(log 2 x ? log 2 2) ? (log 2 x ? 2)(log 2 x ? 1) ? (log 2 x) 2 ? 3log 2 x ? 2 设 log 2 x =a(a ? 0), g (a ) ? a 2 ? 3a ? 2 函数的对称轴为a ? ? ?3 3 ? , 画出二次函数的图像得 2 2 当a ? 0时,函数取到最小值2. 所以f ( x) min ? f (0) ? 2

例 7 求函数 y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1) , x ? ?? ?

? ? ? 的值域. , ? ? 12 2 ?

【解析】 y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1) ? sin x cos x ? sin x ? cos x ? 1 令 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? 1 ( t 2 ? 1)

2

y?

1 2 1 ( t ? 1) ? t ? 1 ? ( t ? 1) 2 2 2

例 8 已知 p( x, y) 是圆 x ? y ? 4 上的点,试求 t ? x ? y ? 3xy 的值域.
2 2

2

2

【解析】由题得 ( ) ? ( ) ? 1 ,设
2 2

x 2

y 2

x y ? cos ?, ? sin ?, ? ? [0, 2?)则 2 2

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t ? 4 ? 3 ? 2 cos? ? 2 sin ? ? 4 ? 6 sin 2? 又2? ? [0,4 ?)即 sin 2? ? [?1,1] 故 t ? [?2,10]
所 以函数的值域为 [?2,10]

【点评】当已知条件可以化为

x2 y 2 x y ? 2 ? 1 时,可以 设 ? sin ? , ? cos ? , ? ?[0, 2? ] 实行三角换元, 2 a b a b

这样可以优化解题,提高解题效率. 【变式演练 5】 若 0 ? x ? 2, 求函数 y ? f ( x) ? 4
x? 1 2

? 3 2 x ? 5 的值域.

【解析】由题得 y ?

4x 4
1 2

? 3 2x ? 5 ?

1 1 2 x (2 ) ? 3 2 x ? 5 ? (2 x ) 2 ? 3 2 x ? 5 2 2

1 0 ? x ? 2 ?1 ? t ? 4 ? f (t ) ? t 2 ? 3t ? 5 (1 ? t ? 4) 2 1 5 ?3 f (t )max ? f (1) ? 函数的对称轴方程为 t ? ? 所以 f (t ) min ? f (3) ? ?3 1 2 2 2 2 1 5 所以函数的值域为 [ , ] 2 2
设2 ? t
x

方法六 判别式法 解题模板:第一步 观察函数解析式的形式,型如 y ?

dx 2 ? ex ? f 的函数; ax 2 ? bx ? c

第二步 将函数式化成关于 x 的方程,且方程有解,用根的判别式求出参数 y 的取值范围, 即得函数的值域. 例9

2x 2 ? 4x ? 7 求函数 y ? 2 的值域. x ? 2x ? 3

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 即 x ? R 此时方程有实根即△ ? 0 ,
△ ? ?2( y ? 2)] ? 4( y ? 2)(3 y ? 7) ? 0 ? y ? [?
2

9 ,2]. 2

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当 y ? 2 时,方程化为 7=0,显然学科网不能成立,所以 y ? 2. [来源:学科网] 将 y ? 2, y ? ?

9 9 分别代入检验得 y ? 2 不符合方程,所以 y ? [ ? ,2) . 2 2

【变式演练 6】求函数 y ? 【解析】

2x2 ? x ? 2 的值域 x2 ? x ? 1

方法七 基本不等式法

ax 2 ? bx ? c ex ? f 解题模板:第一步 观察函数解析式的形式,型如 y ? 2 或y? 的函数; ex ? f ax ? bx ? c
第二步 对函数进行配凑成 y ? ax ? 的值域. 例 10 已知 x ?

b 形式,再利用基本不等式求函数的最值,进而得到函数 x

x2 ? 4x ? 5 5 ,求函数 f ( x) ? 的最小值. 2x ? 4 2

【解析】

x 2 ? 4 x ? 5 ( x ? 2) 2 ? 1 x ? 2 1 5 ? ? ?1 x ? ,? x ? 2 ? 0 . f ( x) ? = 2( x ? 2) 2( x ? 2) 2 2( x ? 2) 2
x?2 1 ? ,即 x ? 3 时,上式等号成立. 2 2( x ? 2)

当且仅当

因为 x ? 3 在定义域内,所以最小值为 1.

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例 11 已知? ? ?0, ? ? ,求函数 y ? sin ? ? (1 ? cos? ) 的最大值.
2

【变式演练 7 】 求函数 f ( x) ?

x2 ? 3 x2 ? 1

的最小值.

【解析】由题得 f ( x) ?

x2 ? 3 x ?1
2

?

( x 2 ? 1) ? 2 x ?1
2

? x2 ? 1 ?

2 x2 ? 1

?2 2

当且仅当 x ? 1 ?
2

2 x2 ? 1

即x ? ?1时取到等号 .所以 函数的值域为 [2 2, ??)

【变式演练 8】 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 m2 的三级污水处理池(平面图如图) ,如果 池外圈周壁建造单价为每米 400 元, 中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元, 池底建造单价为每平方米 80 元, 池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.

方法八 单调性法 解题模板:第一步 求出函数的单调性; 第二步 利用函数的单调性求出函数的值域. 例 12 求函数 f ( x) ? log 1 ( x ? 3x ? 5)
2 2

(0 ? x ? 2) 的值域.

【解析】 设u ? x2 ? 3x ? 5 (0 ? x ? 2)

t ? log 2 u

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3 3 u ? x 2 ? 3x ? 5(0 ? x ? 2)在[0, ]是减函数,在[ , 2]上是增函数。 2 2 又 t=log 1 u在定义域上是减函数
2

3 3 ? f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 3 x ? 5)在在[0, ]是增函数,在[ , 2]上是减函数 2 2 2 3 11 ? f(x)max ? f ( ) ? log 1 2 2 4
2

f (0) ? log 1 5
2

f (2) ? log 1 3
2

? f ( x) min ? log 1 5 ?函数的值域为[ log 1 5, log 1
2

11 ]. 2 4

【点评】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间,从而得到函数的最大值和最小值,得到函 数的值域. 例 13 求函数 y ? 2 x ?5 ? log x ? 1(2 ? x ? 10) 的值域. 3

【点 评】 (1)如果能确定函数的单调性时,可以使用函数的单 调性求函数的值域.(2)本题中利用了这样
x ?5 一个性质:增(减)函数+增(减)函数=增(减)函数.(3)本题 y1 ? 2 , y 2 ? log3

x ? 1 都是增函数,

利用到了复合函数的单调性. 【变式演练 10】 求函数 y ? 4 x ? 1 ? 3 x ( x ? ) 的值域.

1 3

【解析】设 f ( x) ? 4 x, g ( x) ? ? 1 ? 3x , 它们在定义域内都是单调递增, 所以 当x ? 时,ymin ? 【变式演练 11】 (1)当 a=

1 3

4 4 ,所以函数的值域为(-?, ] 3 3
x2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞ ) x

已知函数 f(x)=

1 时,求函数 f(x)的最小值 2

(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

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方法九 数形结合法 解题模板:第一步 作出函数在定义域范围内的图像; 第二步 利用函数的图像求出函数的值域. 例 14 求函数的值域: y ? x ? 1 ? x ? 4

??2 x ? 3 ? x ? ?4 ? ? 【解析】 y ? x ? 1 ? x ? 4 ? ? 5 ? ?4 ? x ? 1? ? 2 x ? 3 ? x ? 1? ?
函数的图像如图所示:

? y ? 5 ?函数的值域为: ?5, ?? ? .
【点评】 (1)对于一些可以较快作出函数的图像的函数,可以直接作出函数的图像,再观察函数的值域.(2) 对于绝对值函数,一般利用零点讨论法把函数化成分段函数,再作图.

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3 ? sin x 例 15 求函数 y ? 的值域. 2 ? cos x
【解析】将原函数视为定点 (2,3)到动点 (cos x, sin x) 的斜率,又知动点 (cos x, sin x) 满足单位圆的方程,从而 问题就转化 为求点(2,3)到单位圆连线的斜率问题,

设直线的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) ? kx ? y ? 2k ? 3 ? 0 因为直线和圆相切,所以 1 ?

|-2k ? 3 | k 2 ?1

?k ?

6?2 3 3

所以函数的值域为: [

6?2 3 6?2 3 , ] 3 3

【点评】 (1)对于某些具有明显几何意义的函数,我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找到函 数对应的形态特征,再求学科网该函数的值域.(2)由于 y ?

y1 ? y2 对应着两点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 之间的斜 x1 ? x2

率(差之比对应直线的斜率) ,所以本题可以利用斜率分析解答. 例 16
2 2 求函数 y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域.

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【点评】要迅速地找到函数对应的形,必须注意积累.这样才能提高解题的效率.[来源 例 17 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面 积不超过 50 计,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和

韭菜的产 量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨
[来源:学科网 ZXXK]

年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元

每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入 总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩) 分别为( A.50,0 ) B.30,20 C.20,30 D.0,50

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平移直线 z ? x ? 0.9 y ,可知当直线 z ? x ? 0.9 y 经过点 B ? 30, 20 ? ,即 x ? 30, y ? 20 时,z 取得最大值,且

zmax ? 48 (万元).故选 B.
【点评】线性规划的问题,就是数形结合研究问题的典型.线性规划解答问题的一般步骤是(1)根据题意, 设出变量 x, y ; (2)列出线性约束条件; (3)确定线性目标函数 z ? f ( x, y) ; (4)画出可行域(即各约束 条件所示区域的公共区域) ; (5)利用学科网线性目标函数作平行直线系 y ? f ( x )( z为参数) ; (6)观察图 形,找到直线 y ? f ( x )( z为参数) 在可行域上使 z 取得欲求最值的位置,以确定最优解,给出答案. 对任意两个实数 x1 , x2 , 定义 max ? x1 , x2 ? ? ?

【变式演练 12】

? x1 , x1 ? x2 , 2 若 f ? x ? ? x ? 2 ,g ? x ? ? ? x , ? x2 , x1 ? x2 .

则 max f ? x ? , g ? x ? 的最小值为

?

?



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方法十 导数法 解题模板:第一步 利用函数的导数求函数在定义域内的单调性; 第二步 利用函数的图像求出函数的值域. 例 18 两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处

理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响 度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表 明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度 与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 总影响度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的中点时,对城 A 和城 B 的

的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由.

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18 x 4 ? 8(400 ? x 2 )2 ,所以 x2 ? 160 ,即 x ? 4 10 ,当 0 ? x ? 4 10 时, 18 x 4 ? 8(400 ? x 2 )2 ,即 y ' ? 0 所以
4 2 2 函数为单调减函数 , 当 4 6 ? x ? 20 时 , 18 x ? 8(400 ? x ) , 即 y ' ? 0 所以函数为单调增函数 . 所以当

x ? 4 10 时, 即当 C 点到城 A 的距离为 4 10 时, 函数 y ?
【变式演练 13】已知函数 f ( x) ? x e 【 解析】 f ( x) ? x e ∴ f ( x) ? 2 xe
1 ? ax 2 ? ax

4 9 ? (0 ? x ? 20) 有最小值. 2 x 400 ? x 2

2 ? ax

(a ? 0) ,求函数在 [1, 2] 上的最大值.

(a ? 0) ,

? x 2 (?a)e? ax ? e? ax (?ax 2 ? 2 x) .
1 ? ax

令 f ( x) >0,即 f ( x) ? e
1

(?ax 2 ? 2 x) ? 0 得 0<x< .
a

2

∴ f ( x) 在(-∞,0), ( , ??) 上是减函数,在 (0, ) 上是增函数. ①当 0 ?

2 a

2 a

2 ? 1 ,即 a ? 2 时, f ( x) 在(1,2)上是减函数, a

f ( x)max ? f (a) ? e? a
2 2 2 ? 2 ,即 1 ? a ? 2 时, f ( x) 在 (1, ) 上是增函 数,在 ( , 2) 上是减函数, a a a 2 ?2 ?2 ∴ f ( x) max ? f ( ) ? 4a e a 2 ③当 ? 2 时,即 0 ? a ? 1时, f ( x) 在(1,2)上是增函数, a
②当 1 ? ∴ f ( x)max ? f (2) ? 4e
?2 a

综上所述,当 0 ? a ? 11 时, f ( x) 的最大值为 4e 当 1 ? a ? 2 时, f ( x) 的最大值为 4a e , 当 a ? 2 时, f ( x) 的最大值为 e
?a ?2 ?2

?2 a



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【高考再现】 1.

? 3 ? a ?? a ? 6? ? ?6 ? a ? 3? 的最大值为(
B、



A、9 【答案】 :B

9 2

C、 3

D、

3 2 2

2.【2013年全国高考新课标(I)理科】若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的 最大值是____ __.

3. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (北京卷) 文】 函数 f ( x) ? ?

log x, x ? 1 ? ? 1 2
x ? ? 2 ,

的值域为_________.

x ?1

4. 【2014 高考湖北卷理第 10 题】已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,

f ( x) ?

1 (| x ? a 2 | ? | x ? 2a 2 | ?3a 2 ) ,若 ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围为( 2



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A. [? , ]

1 1 6 6

B. [ ?

6 6 , ] 6 6

C.

1 1 [? , ] 3 3

D. [?

3 3 , ] 3 3

5.【2014 重庆高考理第 12 题】函数 f ( x) ? log 2

x ? log 2 (2 x) 的最小值为_________.

6. 【2012 年高考四川卷理科 9】 某公司生产甲、 乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品

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的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克.通过合理安 排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元 )

7.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态 分布 N (800, 50 2 ) 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0 . (Ⅰ)求 p0 的值; (参考数据:若 X ~ N ( ? , ? 2 ) ,有 P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 ,
P( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 , P( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974 .)
[来源:学科网 ZXXK]

(Ⅱ)某客运公司用 A 、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次. A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆. 公司拟 组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆. 若每天要以不小于 p0 的概率运完从 甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆?

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【反馈练习】 1.【江西省宜春市 2013 届高三四月模拟考试】函数 f ( x) ? log 2 ( x?1 ? 1) 的值域为( A.R C. (??, 0) B. (0, ??) )

(0, ??)

D. (??,1)

(0, ??)

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2.【天津一中 2012—2013 学年高三 数学一月考】函数 f(x)=a + a x ? 2 的值域为_________.

x

3.【重庆市部分重点中学 2012—2013 年高三上学期第一次联考】设 g ( x) 是定义在 R 上、以 1 为周期的函 数,若 f ( x) ? 2 x ? g ( x) 在 [0,1] 上的值域为 [?1,3] ,则 f ( x) 在区间 [0,3] 上的值域为________.

g ? x ?min ? ?1 , g ? x ?max ? 1 .由此在区间 [0,3] 上 g ? x ?min ? ?1 , g ? x ?max ? 1 ,故 f ( x) 在区间 [0,3] 上的
值域为 ? ?1 , 7 ? . 4.【山东省枣庄市 2013 届高三第一次模拟考试】 函数 f ( x) ?| x ? 2011| ? | x ? 2012 | ? | x ? 2013 | ( x ? R) 的最小值为 .

f ( x) ?| x ? 2011| ? | x ? 2012 | ? | x ? 2013 | ( x ? R) 的最小值为 2.
5.设 OA ? ? x, a ? x ? , OB ? ? x,2 ? , x ? 1,2 ? ,且 OA ? OB ,则函数 f ( x) ? log a

?

1 a

x ? 1 的最大值为

.

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6.定义: ? m ? 表示大于或等于 ? m ? 的最小整数( m 是实数) .若函数 f ( x) ? 函数 g ( x) ?? f ( x) ?

ax (a ? 0, a ? 1) ,则 ax ?1

1 1 ? ? ? f (? x) ? ? 的值域为____. 2 2

7.【2013-2014 学年山东省济宁市汶上一中高二 5 月质量检测理科数学试卷】 已知函数 g ( x) ?

x ? 1 , h( x ) ?

1 , x ? (?3, a] ,其中 a 为常数且 a ? 0 ,令函数 f ( x) ? g ( x) ? h( x) . x?3

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(1)求函数 f ( x) 的表达式,并求其定义域; (2)当 a ?

1 时,求函数 f ( x) 的值域. 4


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