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含参数的一元二次不等式的解法(专题)[1]


一、含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;
2

例1

解不等式: ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0

/>分析:

练 解不等式 ax2 ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?

二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ;
2 例 2 解不等式 x ? ax ? 4 ? 0



解不等式 m2 ? 1 x 2 ? 4x ? 1 ? 0?m ? R?

?

?

2 三、按方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ;

例3

解不等式 x 2 ? (a ?

1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a



2 2 解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0 , a ? 0

四、 (1)解关于 x 的不等式: x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 0. (2)解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.
2 (3)解关于 x 的不等式: ax ? ax ? 1 ? 0.

(1)解: x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 0
2

(?)

? ? ?a ? 2? ? 4a ? 0 ? a ? 4 ? 2 3或a ? 4 ? 2 3 ,
此时两根为 x1 ?

(2 ? a) ?

?a ? 2?2 ? 4a
2

, x2 ?

(2 ? a) ?

?a ? 2?2 ? 4a
2

.

(2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 (2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 )?( ,?? ); 2 2 (2)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?, 3 ? 1 ) ? ( 3 ? 1,?? ); (3)当 4 ? 2 3 ? a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为 R ;
(1)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?, (4)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?,? 3 ? 1 ) ? ( ? 3 ? 1,?? ); (5)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?, (2)解:若 a ? 0 ,原不等式 ? ?x ? 1 ? 0 ? x ? 1. 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0 ? x ?

(2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 (2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 )?( ,?? ). 2 2

1 1 或 x ? 1. a a 1 (?) 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )(x ? 1) ? 0. a 1 其解的情况应由 与 1 的大小关系决定,故 a (1)当 a ? 1 时,式 (?) 的解集为 ? ; 1 (2)当 a ? 1 时,式 (?) ? ? x ? 1 ; a 1 (3)当 0 ? a ? 1时,式 (?) ? 1 ? x ? . a 1 综上所述,当 a ? 0 时,解集为{ x x ? 或x ? 1 };当 a ? 0 时,解集为{ x x ? 1 };当 0 ? a ? 1 时,解集为 a 1 1 { x 1 ? x ? };当 a ? 1 时,解集为 ? ;当 a ? 1 时,解集为{ x ? x ? 1 }. a a 2 (?) (3) 解: ax ? ax ? 1 ? 0. (1) a ? 0 时, (?) ? ?1 ? 0 ? x ? R. 2 (2) a ? 0 时,则 ? ? a ? 4a ? 0 ? a ? 0 或 a ? ?4 ,

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , x2 ? . 2a 2a ? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ①当 a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ? ; ?x? 2a 2a ②当 ? 4 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R ; 1 ③当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R且x ? ? ; 2 2 ? a ? a ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ④当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? . 或x? 2a 2a ? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a 综上,可知当 a ? 0 时,解集为( , ); 2a 2a 当 ? 4 ? a ? 0 时,解集为 R ; 1 1 当 a ? ?4 时,解集为( ? ?,? ) ? ( ? ,?? ); 2 2 2 ? a ? a ? 4a ? a ? a 2 ? 4a 当 a ? ?4 时,解集为( ? ?, )?( ,?? ). 2a 2a
此时两根为 x1 ?


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