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求函数值域的常用方法


求函数值域(最值)的方法大全
函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对 于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多 样,在高考中经常出现,占有一定的地位,因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得 十分的重要,求解过程中若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半 功倍的作用。本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法,希望对 大家有所帮助。 一、值域的概念和常见函数的值域 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑 其定义域. 常见函数的值域: 一次函数 y ? kx ? b ? k ? 0? 的值域为 R.
? 4ac ? b 2 ? , ?? ? ,当 a ? 0 时的 a ? 0 二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? ,当 时的值域为 ? ? 4a ?
2

? 4ac ? b 2 ? 值域为 ? ??, ? ., 4a ? ?
反比例函数 y ?
k ? k ? 0 ? 的值域为 ? y ? R y ? 0? . x

指数函数 y ? a x ? a ? 0且a ? 1? 的值域为 ? y y ? 0? . 对数函数 y ? loga x ? a ? 0且a ? 1? 的值域为 R. 正,余弦函数的值域为 ??1,1? ,正,余切函数的值域为 R. 二、求函数值域(最值)的常用方法 1. 直接观察法 适用类型:根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数 例 1、求函数 y 解:? =
1 的值域 x ?1
2

x 2 ? 1 ? 1,? 0 ?

1 ?1 x ?1
2

显然函数的值域是: ? 0,1?

例 2、求函数 y 解:?

=2- x 的值域。
x ≥0

? - x ≤0
-∞,2 ]

2- x ≤2

故函数的值域是:[

2

、配方法

适用类型:二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 或
F ? x? ? a ? ? f ? x ?? ? ? bf ? x ? ? c ? a ? 0 ? 类的函数的值域问题,均可用配方法求解.
2

例 3、求函数 y= x 2 -2x+5,x ? [-1,2]的值域。 解:将函数配方得:y=(x-1) 2 +4, ? 质可知: 当x 当x = = 1 时,y min = 1,时 ymax 4 4 = ,8 8 ] x

? [-1,2], 由二次函数的性

故函数的值域是:[ 例4

、求函数的值域: y ? ? x2 ? 6 x ? 5 解:设 ? ? ?x2 ? 6x ? 5 ? ? ? 0? ,则原函数可化为: y ? ? .又因为

? ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ? ? ? x ? 3? ? 4 ? 4 ,所以 0 ? ? ? 4 ,故, ? ? ?0, 2? ,所以,
2

y ? ? x2 ? 6 x ? 5 的值域为 ?0, 2? .

3

、判别式法

2

适用类型:分子 . 分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为

A( y) x 2 ? B( y) x ? C( y) ? 0 的形式,再利用判别式加以判断。
例 5、求函数的值域 y ?
2 x2 ? x ? 2 x2 ? x ? 1

解: x2 ? x ? 1 ? 0 恒成立,? 函数的定义域为 R.
2 x2 ? x ? 2 由y? 2 得 ? y ? 2? x2 ? ? y ?1? x ? y ? 2 ? 0 。 x ? x ?1

① 当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时, 3x ? 0 ? 0,? x ? 0 ? R ; ② 当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时, x ? R 时,方程 ? y ? 2? x2 ? ? y ?1? x ? y ? 2 ? 0 恒有实 根. ? ? ? y ? 1? ? 4 ? ? y ? 2 ? ? 0
2 2

?1 ? y ? 5 且 y ? 2 .

? 原函数的值域为 ?1,5? .
例 6、 求函数 y=x+ x(2 ? x) 的值域。 解:两边平方整理得:2 x 2 -2(y+1)x+y 2 =0 (1)

? x ? R,? △=4(y+1) 2 -8y≥0
解得:1- 2 ≤y≤1+ 2 但此时的函数的定义域由 x(2-x)≥0,得:0≤x≤2。 由△≥0,仅保证关于 x 的方程:2 x 2 -2(y+1)x+y 2 =0 在实数集 R 有实根,而不 能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由△≥0 求出的范围 可能比 y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为[ 一步确定原函数的值域。
? 0≤x≤2,? y=x+ x(2 ? x) ?
1 3 , ]。可以采取如下方法进 2 2

≥0,
2 ? 2 ? 24 2 ? [0 , 2] , 即 当 2

y

=0 , y=1+ 2 代 入 方 程 ( 1 ) , 解 得 : x1 = min

x1 =

2 ? 2 ? 24 2 时,原函数的值域为:[0,1+ 2 ]。 2

注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数 的定义域,将扩大的部分剔除。

4、反函数法

适用类型:分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易 反解出自变量的函数类型。 例 7、求函数 y ?
2x 的值域。 x ?1

分析与解:由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出 x,从而便于求 出反函数。
y?

y 2x 反解得 x ? x ?1 2? y

即y?

x 2? x

知识回顾:反函数的定义域即是原函数的值域。 故函数的值域为: y ? (??,2) ? (2,??) 。

5

、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函

数的值域。 适用类型:一般用于三角函数型,即利用 sin x ? [?1,1], cos x ? [?1,1] 等。 例 8、求函数 y =
ex ?1 的值域。 ex ?1 y ?1 y ?1

解:由原函数式可得: e x =
y ?1 >0 y ?1

?

e x >0,?

解得:-

1<y<1。 1 , 1 ) .

故所求函数的值域为( 例 9、求函数 y =
cos x sin x ? 3

的值域。

解:由原函数式可得:ysinx-cosx=3y 可化为: y 2 ? 1 即 sinx(x+β)= sinx(x+β)=3y

3y y2 ?1

∵x∈R,∴sinx(x+β)∈[-1,1]。即-1≤

3y y2 ?1

≤1

解得:-

2 2 ≤y≤ 4 4

故函数的值域为[-

2 2 , ]。 4 4

6

、函数单调性法

适用类型:一般能用于求复合函数的值域或最值。 (原理:同增异减) 例 10、求函数 y ? log1 (4x ? x 2 ) 的值域。
2

分析与解:由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复 合 而 成 , 故 可 令 :

f ( x) ? ? x 2 ? 4x( f ( x) ? 0)









(同增异减) 知:y ? [?2,??) 。 f ( x) ? ?( x ? 2) 2 ? 4所以f ( x) ? (0,4) 由复合函数的单调性 例 11、 求函数 y =
x ?5

2

x ?5

? log 3

x ?1

(2≤x≤10)的值域

解:令 y 1 = 2 数。

, y2 =

log

3

x ? 1 ,则

y1 ,

y 2 在[ 2,

10

]上都是增函

所以 y= y 1 + y 2 在[ 当x 当x = = 2 10

2

,10

]上是增函数。
3

时,y min = 时, ymax
1 8

2 ?3 + log

2 ?1 =

1 8



= 2 5 + log ,33]。

3

9 =33。

故所求函数的值域为:[ 例 12、求函数 y=

x ? 1 - x ? 1 的值域。

解:原函数可化为: y=

2 x ?1 ? x ?1
x ? 1 ,显然 y 1

令 y1 =

x ? 1 , y2 =

, y 2 在[1,+∞)上为无上界的增函

数,所以 y= y 1 + y 2 在[1,+∞)上也为无上界的增函数。

所以当 x

=

1 时,y=y 1 + y 2 有最小值 2 ,原函数有最大值 0 ,
2 ]。

2 2

=

2。

显然 y>0,故原函数的值域为(

7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根 式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域 中同样发挥作用。 适用类型:无理函数、三角函数(用三角代换)等。 例 13、求函数 y = x +
x ? 1 的值域。

解:令 x-1=t, (t≥0)则 x= t 2 +1
1 3 ∵y= t 2 +t+1= (t ? ) 2 + ,又 t≥0,由二次函数的性质可知 2 4

当 t=0 时,y min = 故函数的值域为[ 例 14、求函数 y

1, 1

当t

→0 时,y

→+∞。

,+∞) 。

=x+2+ 1 ? ( x ? 1) 2 的值域 ,即 ( x ? 1) 2 ≤1 0 ,∏] 。

解:因 1- ( x ? 1) 2 ≥0

故可令 x+1=cosβ,β∈[

∴y=cosβ+1+ 1 ? cos2 B =sinβ+cosβ+1 = 2 sin(β+∏/ ∵0≤β≤∏,0 ∴ ∴ 0 ≤β+∏/4≤5∏/4 4 )+1

2 ≤sin(β+∏/4)≤1 2

≤ 2 sin(β+∏/4)+1≤1+ 2 。

故所求函数的值域为[0,1+ 2 ]。

例 15、求函数 y=

x3 ? x 的值域 x 4 ? 2x 2 ? 1

2x 1? x2 1 解:原函数可变形为:y=- ? ? 2 1? x2 1? x2

可令 x=tgβ,则有 ∴y=-

2x 1? x2 =sin2β, =cos2β 1? x2 1? x2

1 sin2β ? cos2β= 2

当 β= 当 β=

1 sin4β 4 1 k∏/2-∏/8 时, ymax = 。 4 1 k∏/2+∏/8 时,y min = 4

-

而此时 tgβ 有意义。
1 1 故所求函数的值域为[- , ] 4 4



例 16、求函数 y=(sinx+1) (cosx+1) ,x∈[-∏/12∏/2]的值域。 解:y=(sinx+1) (cosx+1)=sinxcosx+sinx+cosx+1 令 sinx+cosx=t,则 sinxcosx= y =
1 ( t 2 -1)+t+1= 2 1 ( t 2 -1) 2

1 (t ? 1) 2 2

由 t=sinx+cosx= 2 sin(x+∏/4)且 x∈[可得:
2 ≤t≤ 2 2

∏/12,∏/2]

∴当 t= 2 时, ymax =

2 2 3 3 + 2 ,当 t= 时,y= + 2 4 2 2 2 3 + 4 2

故所求函数的值域为[



3 + 2] 2



例 17、求函数 y=x+4+ 5 ? x 2 的值域 解:由 5-x≥0 ,可得∣x∣≤ 5 故可令 x = 5 cosβ,β∈[0,∏]

y= 5 cosβ+4+ 5 sinβ= 10 sin(β+∏/4)+ ∵ 0 ≤β≤∏, ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4

4

当 β=∏/4 时, ymax =4+ 10 ,当 β=∏时,y min =4- 5 。 故所求函数的值域为:[4- 5 ,4+ 10 ]。

8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率 等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型. 例 18、求函数 y=

(x?2)

2

+

(x?8)

2

的值域。

解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点 P(x

)到定点 A(2

) ,B(-

8

)间的距离之和。

由上图可知:当点 P 在线段 AB 上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10 故所求函数的值域为:[10,+∞) 例 19、求函数 y=

x

2

? 6 x ? 13

+

x

2

? 4 x ? 5 的值域
2 2

解:原函数可变形为:y=

(x?3) ? (0?2)

+

(x?2) ? (0?1)
2

2

上式可看成 x 轴上的点 P(x,0)到两定点 A(3,2) ,B(-2 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时, y min =∣AB∣=

,-1

)的距离之和,

(3?2) ? (2?1)
2

2

= 43 ,

故所求函数的值域为[ 43 ,+∞) 。 例 20、求函数 y=

x

2

? 6 x ? 13

-

x

2

? 4 x ? 5 的值域
2 2

解:将函数变形为:y=

(x?3) ? (0?2)

-

(x?2) ? (0?1)
2

2

上式可看成定点 A(3,2)到点 P(x,0 的距离之差。即:y=∣AP∣-∣BP∣

)的距离与定点 B(-2,1)到点 P(x,0)

由图可知: (1)当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时,如点 P?,则构成 △ABP?,根据三角形两边之差小于第三边, 有 ∣∣AP?∣-∣BP?∣∣<∣AB∣= 即:- 26 <y< 26 (2)当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时,有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣= ∣AB∣=
26 。

(3?2) ? (2?1)
2

2

=

26

综上所述,可知函数的值域为: (- 26 ,- 26 ]。 注:由例 17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 A, B 两点在 x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点 A ,2 ,B 在 x 轴的同侧。 2 ,1 ) ,在 x 轴的同

如:例 17 的 A,B 两点坐标分别为: (3 侧; 例 18 的 A,B 两点坐标分别为: (3 例 21、求函数 y ?
3 ? sin x 的值域. 2 ? cos x

) , (-

,2

) , (2

,-

1

) ,在 x 轴的同侧。

分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式
B x

k?

y 2 ? y1 , 将 原 函 数 视 为 定 点 (2,3) 到 动 点 (cos x, sin x) 的 斜 率 , 又 知 动 点 x2 ? x1

(cos x, sin x) 满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点(2,3)到单位圆连线的斜率

问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得 , 从而解得 :
y ?[ 6?2 3 6?2 3 , ] 3 3

9 、不等式法 适 用 类 型 : 能 利 用 几 个 重 要 不 等 式 及 推 论 来 求 得 最 值 。( 如 :

a 2 ? b 2 ? 2ab, a ? b ? 2 ab )
其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时 须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例 22、 求函 y=(sinx +1/sinx)+(cosx+1/cosx)的值域 解:原函数变形为: y=( sin x + cos x )+1/ sin x +1/ cos x = 1+
2 2 2 2

csc
2

2

x + sec x =
2

2

3+ tg x + ctg x

2

2

≥3 3 tg xctg x +2 =5 当且仅当 tgx=ctgx,即当 x=k∏±∏/4 时(k∈z) ,等号成立。 故原函数的值域为:[ 5,+∞) 。

例 23、求函数 y=2sinxsin2x 的值域 解:y=2sinxsinxcosx=4 sin x cosx
2

y

2

=16 sin x cos x
2 2 2

4

2

=8 sin x sin x (2-2 sin x ) ≤8( sin x + sin x +2=8[( sin x + sin x +2=
64 27
2 2 2 2 2

sin

2

x)
3

2

2

sin

2

x )/3]

当且当 sin x =2-2 sin x ,即当 sin x =时,等号成立。 由y ≤
2

64 8 3 8 3 ,可得:≤y≤ 27 9 9

故原函数的值域为:[-

8 3 8 3 , ) 。 9 9

4 的最值,并指出 f ( x) 取最值时 x 的值。 x2 4 4 分 析与解 : 因为 f ( x) ? 8 x ? 2 ? 4 x ? 4 x ? 2 可利用不等式 a ? b ? c ? 33 abc 即: x x

例 24、当 x ? 0 时,求函数 f ( x) ? 8 x ?

f ( x) ? 33 4 x ? 4 x ?

4 4 所以 f ( x) ? 12 当且仅 当 4 x ? 2 即 x ? 1 时取 ”=”当 x ? 1 时 2 x x

f ( x) 取得最小值 12。

例 25、 双曲线

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 的离心率为 e2 , e 的离心率为 , 双曲线 则 e1 ? e2 1 a2 b2 b2 a2

的最小值是( ) 。 A

2 2

B

4

C

2

D

2

分析与解:根据双曲线的离心率公式易得: e1 ? e2 ?

a2 ? b2 a2 ? b2 ? ,我们知道 a b

x ? y ? 2 xy 所以 e1 ? e2 ? 2

a2 ? b2 a2 ? b2 ? (当且仅当 a ab

a2 ? b2 时取“=”)而 b

a 2 ? b 2 ? 2ab故 e1 ? e2 ? 2 2 (当且仅当 a ? b 时取“=”) 所以(e1 ? e2 ) min ? 2 2 。

10、导数法 设函数 f ? x ? 在 ? a, b? 上连续,在 ? a, b ? 上可导,则 f ? x ? 在 ? a, b? 上的最大值和最小 值为 f ? x ? 在 ? a, b ? 内的各极值与 f ? a ? , f ? b ? 中的最大值与最小值。 要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值 , 通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。 例 26、求函数 f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? 6x ? 2 , x ???1,1? 的最大值和最小值。 解: f ' ? x ? ? 3x2 ? 6x ? 6 ,令 f ' ? x ? ? 0 ,方程无解.

f ' ? x ? ? 3x2 ? 6x ? 6 ? 3 ? x ? 1? ? 3 ? 0
2

? 函数 f ? x ? 在 x ???1,1? 上是增函数.

故当 x ? ?1 时, fmin ? x ? ? f ? ?1? ? ?12 ,当 x ? 1 时, fmax ? x ? ? f ?1? ? 2 例 27、求函数 f ( x) ? 解析:
1 的最值. x ? 2x ? 2
2

函数 f ( x) 是定义在一个开区间 ?? ?,? ?? 上的可导函数,
2x ? 2 ?0 ( x ? 2 x ? 2)
2

令 f ' ( x) ? ?

得 f ( x) 的唯一驻点 x ? ?1 即为最点.
x ? ?1 时, f ' ( x) ? 0 ,函数递增, x ? ?1 时, f ' ( x) ? 0 ,函数递减,

故 f ( x) 有最大值 f (?1) ? 1 . 【说明】
f ( x) ?

本函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简便.

1 ? 1 ,等号成立条件是 x ? ?1 . ( x ? 1) 2 ? 1

注:最值寻根的导数判定 若定义在一个开区间上的函数 y ? f ( x) 有导函数 f ?( x) ? g ( x) 存在,那么 f ( x) 是

否有最值的问题可转化为 f ( x) 的导函数 g ( x) 是否有最根的问题来研究: (1)若导函数 g ( x) 无根,即 g ( x) ? 0 ,则 f ( x) 无最值; (2)若导函数 g ( x) 有唯一的根 x0 ,即 f ' ( x0 ) ? 0 ,则 f ( x) 有最值 f ( x0 ) .此时, 导函数 f ?( x) 的根 x0 即是函数 f ( x) 最根 x0 . (3)若导函数 g ( x) 有多个的根,则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在 性.

11、多种方法综合运用 例 28、求函数 y=
x?2 的值域 x?3

解:令 t= x ? 2 (t≥0) ,则 x+3= t 2 +1 (1) 当 t>0 时,y=
1 。 2 1 ]。 2

t

t

2

1 1 ≤ , 当且仅当 t=1,即 x=-1 时取等号 2 ?1 t ? 1/ t

=

所以 0<y≤

(2) 当 t=0 时,y=0。综上所述,函数的值域为:[0, 注:先换元,后用不等式法。 例 29、求函数 y=
1? x ? 2 x ? x ? x 1? 2 x ? x
4 4 2 4 2 3 4

的值域。

解:y=

1? 2 x ? x
2

2

1? 2 x ? x

+

x? x
2

3 4

1? 2 x ? x
2

=(

1? x + x ) 2 1? x 1 ? x
2

2

2

2 ? 1 ? 1 x 2 x 令 x=tg ,则 ( = cos ? , = sin ? , ) 2 2 2 1? x 2

1? x

∴y= cos ? +

2

1 1 2 sin ? =- sin ? + sin ? +1 2 2

1 17 =- (sin ? ? ) + 4 16
∴当 sin ? = 此时 tg

2

1 17 时, ymax = 。当 sin ? =-1 时,y min =-2。 4 16

? 17 都存在,故函数的值域为: [-2, ] 。 2 16

注:此题先用换元法。后用配方法,然后再运用 sin ? 的有界性。 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当 的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方 法。

学生巩固练习
1 1 (x≤- )的值域是( ) 2 x 33 2 7 7 A(-∞,- ] B[- ,+∞ ) C[ ,+∞ ) 2 4 4

1

函数 y=x2+

D(-∞,-

33 2] 2

2 A 3

函数 y=x+ 1 ? 2 x 的值域是( (-∞,1 ] B (-∞,-1 ]

)[来源:学+科+网 Z+X+X+K] C R D [1,+∞ )

一批货物随 17 列货车从 A 市以 V 千米/小时匀速直达 B 市,已知两地铁路线
V 2 ) 千米 ,那么这批物资全部 20

长 400 千米,为了安全,两列货车间距离不得小于(

运到 B 市,最快需要_________小时(不计货车的车身长) 4 设 x1、x2 为方程 4x2-4mx+m+2=0 的两个实根,当 m=_________时,x12+x22 有最

小值_________ 5 某企业生产一种产品时,固定成本为 5000 元,而每生产 100 台产品时直接消

耗成本要增加 2500 元, 市场对此商品年需求量为 500 台, 销售的收入函数为 R(x)=5x - x2(万元)(0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位 (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量多少时,企业所得的利润最大? (3)年产量多少时,企业才不亏本?
1 2

百台)

6

已知函数 f(x)=lg[(a -1)x +(a+1)x+1][来源:学科网]

2

2

(1)若 f(x)的定义域 为(-∞,+∞),求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数 a 的取值范围 7 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按 已知生

120 个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共 360 台,且冰箱至少生产 60 台 产家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称 工时 产值(千元) 空调器 彩电 冰箱
1 2 1 3 1 4

4

3

2

问每周应生产空调器、 彩电、 冰箱各多少台, 才能使产值最高?最高产值是多少? (以千元为单位) 8 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,以斜边 AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两
BC ? CA =x AB

个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为 S1,△ABC 的内切圆面积为 S2,记 (1)求函数 f(x)=
S1 的解析式并求 f(x)的定义域 S2

(2)求函数 f(x)的最小值

参考答案 1 ∴y=x2+ 解析 ∵m1=x2 在(-∞,- )上是减函数,m2=
1 2 1 1 在(-∞,- )上是减函数, 2 x

1 1 在 x∈(-∞,- )上为减函数, 2 x 1 1 7 2 ∴y=x + (x≤- )的值域为[- ,+∞ ) 2 4 x

答案 2

B 令 1 ? 2 x =t(t≥0),则 x=
1? t2 2

解析

∵y=

1? t2 1 +t=- (t-1)2+1≤1 2 2

∴值域为(-∞,1 ] 答案 A

3

解析 8

t=

400 V 2 400 16V +16?( ) /V= + ≥2 16 =8 V V 20 400

答案 4

m?2 ,[来源:Zxxk.Com] 4 m?2 1 17 ∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2- =(m- )2- , 2 4 16

解析

由韦达定理知

x1+x2=m,x1x2=

又 x1,x2 为实根,∴Δ≥0

∴m≤-1 或 m≥2,

17 在区间(-∞,1)上是减函数,在[2,+∞ ) 上是增函数,又抛 16 1 物线 y 开口向上且以 m= 为对称轴 故 m=1 时, 4 1 ymin= 2 1 答案 -1 2

y=(m- )2-

1 4

5



(1)利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R(x)与其总成本

C(x
所以

之差,由题意,当 x≤5 时,产品能全部售出,当 x>5 时,只能销售 500 台,

1 ? 1 2 5x ? x 2 ? (0.5 ? 0.25x )( 0 ? x ? 5) ? ? ?4.75x ? x ? 0.5(0 ? x ? 5) 2 y= ? ? 2 ? ? ?(5 ? 5 ? 1 ? 52 ) ? (0.5 ? 0.25x )( x ? 5) ? 12 ? 0 . 25 x ( x ? 1) ? ? 2 ?

(2) 在 0≤x≤5 时, y=- x2+4

1 2

75x-0

5,当 x=- 25?5=10

b =4 2a

75(百台) 时, ymax=10

78125(万元) ,当 x>5(百台)时,y<12-0 所以当生产 475 台时,利润最大 (3)要使企业不亏本,即要求 ? 1

7 5(万元) ,

?0 ? x ? 5 ?x ? 5 ? 或? 2 x ? 4.75x ? 0.5 ? 0 ?12 ? 0.25x ? 0 ? ?2

解得 5≥x≥4

75- 21.5625 ≈0

1(百台)或 5<x<48(百台)时,即企业年产

量在 10 台到 4800 台之间时,企业不亏本 6 解 (1)依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立,当 a2-1≠0 时,

?a ? 1或a ? ?1 2 ? ?a ? 1 ? 0 ? , 即 其充要条件是 ? , ? 5 2 2 a ? 或a ? ?1 ? ?? ? ( a ? 1) ? 4( a ? 1) ? 0 ? 3 ?

∴a<-1 或 a>

5 3 5 3

又 a=-1 时,f(x)=0 满足题意,a=1 时不合题意 故 a≤-1 或 a>为 所求 (2)依题意只要 t=(a2-1)x2+(a+1)x+1 能取到(0,+∞)上的任何值,则 f(x)的 值域为 R,故有 ?
?a 2 ? 1 ? 0 ?? ? 0

,解得 1<a≤ ,又当 a2-1=0 即 a=1 时,t=2x+1 符合题意
5 3

5 3

而 a=-1 时不 合题意,∴1≤a≤ 为所求 7 解 设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为 x 台、y 台、z 台,由题意得 ① ②

x+y+z
1 1 1 x ? y ? z ? 120 2 3 4

x>0,y>0,z≥60
假定每周总产值为 S 千元,则 S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下,为求目标函 数 S 的最大值,由①②消去 z,得

y=360-3x
将④代入①得



x+(360-3x)+z=360,∴z=2x

⑤ ⑥

∵z≥60,∴x≥30

再将④⑤代入 S 中,得 S=4x+3(360-3x)+2?2x,即 S=-x+1080 由条件⑥及上式知,当 x=30 时,产值 S 最大,最大值为[来源:学§科§网]

S=-30+1080=1050(千元)
得 x=30 分别代入④和⑤得 y=360-90= 270,z=2?30=60 ∴每周应生产空调器 30 台,彩电 270 台,冰箱 60 台,才能使产值最大,最大产 值为 1050 千元 8 解 (1)如图所示
?ab
c

设 BC=a,CA=b,AB=c,则斜边 AB 上的高 h=
a?b?c 2 ) ,, 2

ab , c

∴S1=πah+πbh= ∴f(x)=

(a ? b), S2 ? ? (

S1 4ab( a ? b) ? S 2 c( a ? b ? c ) 2


b

C

a

A

c

B

?a ? b ?a ? b ? cx ?x ? ? ?? 又? c c2 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?ab ? ( x ? 1) 2 ? ?

代入①消 c,得 f(x)=

2( x 2 ? x ) x ?1

在 Rt△ABC 中,有 a=csinA,b=ccosA(0<A<

?
2

) ,则

a?b ? =sinA+cosA= 2 sin(A+ ) ∴1<x≤ 2 c 4 2 2( x ? x ) 2 ? 2[( x ? 1) ? ] +6, (2)f(x)= x ?1 x ?1 2 设 t=x-1,则 t∈(0, 2 -1),y=2(t+ )+6 t

x=

在(0, 2 -1 ] 上是减函数, ∴当 x=( 2 -1)+1= 2 时,f(x)的最小值为 6 2 +8


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