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直线的倾斜角.斜率知识点例题


直线的倾斜角和斜率(一) 一、知识点: 1.直线方程的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的点的坐 标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线
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在平面直角坐标系中研究直线时,就是利用直线与方程的这种关系,建立直线的方程的概念,并通过 方

程来研究直线的有关问题.为此,我们先研究直线的倾斜角和斜率
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2.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点按 _______方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ? ,那么 ? 就叫做直线的倾斜角. 当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为_____ 角的取值范围是___________
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因此,根据定义,我们可以得到倾斜

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倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的_______叫做这条直线的斜率,常用 k 表示. 倾斜角是_____ 的直线没有斜率 二、范例: 例 1 如图,直线 l1 的倾斜角 ?1 =30°,直线 l1 ⊥ l 2 ,求 l1 、 l 2 的斜率.
y l2
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l1 ?2 x

?1

O

例 2 已知直线的倾斜角,求直线的斜率: (1) (2) ? =60°;(3) ? =90°; (4) ? = ? =0°;

3? 4

例 3、判断正误: ①直线的倾斜角为 ? ,则直线的斜率为 tan ? ( ②直线的斜率值为 t an ? ,则它的倾斜角为 ? ( ) ) ) ( )

③因为所有直线都有倾斜角,故所以直线都有斜率(

④因为平行于 y 轴的直线的斜率不存在,所以平行于 y 轴的直线的倾斜角不存在

-1-

四、课堂练习: 1.直线 l 经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角是( A. ) D.-

? 4

B.

5? 4

C.

? 5? 或 4 4

? 4

2.过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( A.1 B.4 C.1 或 3

) D.1 或 4

3.已知 A(2,3)、B(-1,4),则直线 AB 的斜率是

.

4.已知 M(a,b)、N(a,c)(b≠c),则直线 MN 的倾斜角是

.

5.已知 O(0,0)、P(a,b)(a≠0),直线 OP 的斜率是

.

6.已知 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) ,当 x1 ? x 2 时,直线 P P2 的斜率 k = 1 1 直线 P P2 的斜率为 1 ,倾斜角为 .

;当 x1 ? x 2 且 y1 ? y2 时,

思考: 如图中的直线 l1 , l2 , l3 的斜率的大小关系为_____________

-2-

直线的倾斜角和斜率(二) 一、知识点 1.斜率公式:经过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) 的直线的斜率公式: 1
y P1
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P2 P ? x

k?

y 2 ? y1 x2 ? x1

( x1 ? x2 )

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? O

推导:设直线 P P2 的倾斜角是 ? ,斜率是 k ,向量 P P2 的方向是向上 1 1 的 (如上图所示 ).向 量 P P2 的坐标是 ( x2 ? x1 , y 2 ? y1 ) . 过原点作向 量 1
P P2

y

OP ? P1 P2 ,则点 P 的坐标是 ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,而且直线 OP 的倾斜角也
是 ? ,根据正切函数的定义,
O

?

P1

? X

tan? ?
即k ?

y 2 ? y1 x2 ? x1

( x1 ? x2 )

y 2 ? y1 x2 ? x1

( x1 ? x2 )

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同样,当向量 P2 P 的方向向上时也有同样的结论. 1 当 x1 ? x2 , y1 ? y 2 (即直线和 x 轴垂直)时,直线的倾斜角 ? = 90 ? ,没有斜率 二、范例: 例 1 求经过 A(-2,0) B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角. 、
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例 2 求过下列两点的直线的斜率 k 及倾斜角 ? ① P (?2,3) 、 P2 (?2,8) ; 1 ② P (5,?2) 、 P2 (?2,?2) ; 1 ③ P (?1,2) 、 P (?3, ?4) 1 2

例3

若三点 A(2,3) , B(3,?2) , C ( , m ) 共线,求 m 的值

1 2

-3-

例4

已知三角形的顶点 A(0,5) , B(1,?2) , C (?6, m) , BC 中点为 D ,当 AD 的斜率为 1 时,求 m 的
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值及 AD 的长

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例5

若直线 l 的倾斜角 ? ? (

? ?

, ) ,则其斜率 k 的范围为___________ 4 3

变式: 直线 l 过 A(4,1) , B(3, a 2 )(a ? R) 两点, 则直线 l 的倾斜角的取值范围为



例 6.已知两点 M(2,-3)、N(-3,-2),直线 l 过点 P(1,1)且与线段 MN 相交,则直线 l 的斜率 k 的取 值范围是( A.k≥ )
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3 或 k≤-4 4

B.-4≤k≤

3 4

C.

3 ≤k≤4 4

D.-

3 ≤k≤4 4

四、课堂练习: 1.若直线 l 过(-2,3)和(6,-5)两点,则直线 l 的斜率为 ,倾斜角为

2.已知直线 l1 的倾斜角为 ? 1,则 l1 关于 x 轴对称的直线 l2 的倾斜角 ? 2 为________.

-4-

3.已知直线 l 过 A(-2,(t+ ) )、B(2,(t- )2)两点,则此直线斜率为

1 t

2

1 t

,倾斜角为___

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4.已知两点 A(x,-2),B(3,0),并且直线 AB 的斜率为

1 ,则 x= 2

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五、课后作业: 1、若直线 l 的倾斜角 ? =

? ,则其斜率 k=_____________ 4

2、若直线 l 的斜率 k= ? 3 ,则其倾斜角 ? ? ____________ 3、若直线 l 过(1,2)和(3,4) ,则其倾斜角 ? ? ____________

4、已知三点 A(3,1)B(-2,K)C(8,11)共线,则 K 的取值为_______

5.斜率为 2 的直线经过(3,5)、(a,7)、(-1,b)三点,则 a、b 的值是( A.a=4,b=0 B.a=-4,b=-3 C.a=4,b=-3 D.a=-4,b=3

)

6.已知两点 A(-3,4)、B(3,2),过点 P(2,-1)的直线 l 与线段 AB 有公共点. (1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围. (2)求直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围.

7.如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后,又回到原来的位置,求直线

l 的斜率.8.过 P(-1,2)的直线 l 与 x 轴和 y 轴分别交于 A、B 两点,若 P 恰为线段 AB 的中点,求直线的斜
率和倾斜角
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-5-

直线的倾斜角和斜率&直线的方程

一、知识点

(一)直线的倾斜角

一条直线 l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角, 叫做这条直线的倾斜角, 如图 1-21 中的α. 特 别地,当直线 l 和 x 轴平行时,我们规定它的倾斜角为 0°,因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180°.

直线倾斜角角的定义有下面三个要点:(1)以 x 轴正向作为参考方向(始边);(2)直线向上的方向作为 终边;(3)最小正角.

按照这个定义不难看出:直线与倾角是多对一的映射关系.

(二)直线的斜率 倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示. 倾斜角是 90 ? 的直线 没有斜率
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对于上面的斜率公式要注意下面四点:(1)当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜 角为 90°;(2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.

-6-

(三)直线的方程

1. 直线的点斜式方程--已知直线 l 经过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ,直线的方程: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 1 为直线方程的点斜式. 直线的斜率 k ? 0 时,直线方程为 y ? y1 ;当直线的斜率 k 不存在时,不能用点斜式求它的方程,这 时的直线方程为 x ? x1 . 2.直线的斜截式方程-已知直线 l 经过点 P(0,b) ,并且它的斜率为 k,直线 l 的方程: y ? kx ? b 为 斜截式. ⑴斜截式是点斜式的特殊情况,某些情况下用斜截式比用点斜式更方便. ⑵斜截式 y ? kx ? b 在形式上与一次函数的表达式一样,它们之间只有当 k ? 0 时,斜截式方程才是 一次函数的表达式. ⑶斜截式 y ? kx ? b 中, k , b 的几何意义 3. 直线方程的两点式 当 x1 ? x 2 , y1 ? y2 时 , 经 过 A( x1 , y1 ) B ( x2 , y 2 ) 的 直 线 的 两 点 式 方 程 可 以 写 成 :
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y ? y1 x ? x1 . ? y 2 ? y1 x2 ? x1
倾斜角是 0 或 90 的直线不能用两点式公式表示.若要包含倾斜角为 0 或 90 的直线,两点式应变为
0 0
0 0

( y ? y1 )(x2 ? x1 ) ? ( x ? x1 )( y2 ? y1 ) 的形式.
4.直线方程的截距式 定义:直线与 x 轴交于一点( a ,0)定义 a 为直线在 x 轴上的截距;直线与 y 轴交于一点(0, b )定 义 b 为直线在 y 轴上的截距. 过 A( a ,0) B(0, b ) ( a , b 均不为 0)的直线方程

x y ? ? 1 叫做直线方程的截距式. a , b 表示 a b

截距,它们可以是正,也可以是负,也可以为 0.当截距为零时,不能用截距式. 5. 直线方程的一般形式: 点斜式、斜截式、两点式、截距式四种直线方程均可化成

Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B、C 是常数,A、B 不全为 0)的形式,叫做直线方程的一般式
若 B ? 0 方程可化为 y ? ? 线;
-7-

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A C A C x ? ,它是直线方程的斜截式,表示斜率为 ? ,截距为 ? 的直 B B B B

二、典型例题 1. A. C. 2. A. C. 3. A. C. 4. A. C. 设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 a , b 满足( )

a ?b ?1 a?b ? 0

B. D.

a ?b ?1
a?b ? 0


已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 D. 第一、二、四象限 第二、三、四象限 )

直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是(

450 ,1
90 0 ,不存在
2

B. D.

1350 , ?1
1800 ,不存在
2

若方程 (2m ? m ? 3) x ? (m ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足(



m?0 m ?1

B. D.

m??

3 2 3 ,m ? 0 2

m ? 1, m ? ?

5. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是 ( ) A(-2,1) C (1,-2) B (2,1) D (1,2)

6.已知 A(1,2) 、B(-1,4) 、C(5,2) ,则ΔABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程为( ) (A)x+5y-15=0 (C) x-y+1=0 (B)x=3 (D)y-3=0 )

7.下列说法的正确的是 (

A.经过定点 P0 x 0 ,y 0 的直线都可以用方程 y ? y 0 ? k ? x ? x 0 ? 表示 B.经过定点 A?0,b? 的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示 C.不经过原点的直线都可以用方程

?

?

x y ? ? 1 表示 a b

D . 经 过 任 意 两 个 不 同 的 点 P ?x1,y1 ?、P2 ?x2,y2 ? 的 直 线 都 可 以 用 方 程 1

? y ? y1 ?? x2 ? x1 ? ? ? x ? x1 ?? y2 ? y1 ? 表示
8.若直线 ax+by+c=0 在等一,二,三象限,则 ( )

-8-

A.ab>0,bc>0,

B.ab>0,bc<0.

C.ab<0,bc>0,

D.ab<0,bc<0.

9.直线过点 (-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为( (A)2x-3y=0; (C)2x-3y=0 或 x+y+5=0 (B)x+y+5=0;



(D)x+y+5 或 x-y+5=0

10.直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平 1 个单位后,又回到原来位置,那么 l 的斜率 为( )

(A)- ;

1 3

(B)-3;

(C) ;

1 3

(D)3 )

11.直线 kx ? y ? 1 ? 3k , 当 k 变动时,所有直线都通过定点( (A) (0,0) (B) (0,1)

(C)(3,1)

(D)(2,1)

12.过点P(1,2)且在 x 轴,y 轴上截距相等的直线方程是

.

-9-


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