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高考数学一轮复习:(文)第2章 函数的概念与基本初等函数 第8节


全国新课标区模拟精选题:根据高考命题大数据分析,重点关注基础题 3,5, 能力题 9.

专项基础测试 模拟精选题
选择题 1.(2016· 广东汕头一中月考)一水池有两个进水口,一个出水口,每个进水口的 进水速度如图甲所示,出水口的出水速度如图乙所示,某天 0 点到 6 点,该 水池的蓄水量如图丙所示.

给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出 水;③4 点到 6 点不进水不出水.则一定正确的是( A.① C.①③ 解析 B.①② D.①②③ 由甲、乙两图可知进水速度为 1,出水速度为 2,结合丙图中直线的 )

斜率,只进水不出水时,蓄水量增加速度是 2,故①正确;不进水只出水时, 蓄水量减少速度是 2,故②不正确;两个进水一个出水时,蓄水量减少速度 也是 0,故③不正确. 答案 A

2.(2016· 山东青岛调研)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的 这支股票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%),又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( A.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损 解析 B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况 )

设该股民购这支股票的价格为 a,则经历 n 次涨停后的价格为 a(1+

10%)n=a× 1.1n,经历 n 次跌停后的价格为 a× 1.1n× (1-10%)n=a× 1.1n× 0.9n= a× (1.1× 0.9)n=0.99n· a<a,故该股民这支股票略有亏损.
1

答案

B

3.(2015· 长春联考试题)某机床在生产中所需垫片可以外购,也可自己生产,其 中外购的单价是每个 1.10 元,若自己生产,则每月需投资固定成本 800 元, 并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共 0.60 元.设该厂每月所需垫片 x 个,则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是( A.x>1 800 C.x>500 解析 B.x>1 600 D.x>1 400 )

由题意知,当 800+0.6x<1.1x 时,自己生产垫片比外购垫片合算,解

之得 x>1 600. 答案 B

4.(2014· 湖南岳阳质检)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角 料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截 取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大 时,矩形两边长 x、y 应为( A.x=15,y=12 C.x=14,y=10 解析 由三角形相似得 ) B.x=12,y=15 D.x=10,y=14 24-y x 5 =20,得 x=4(24-y), 24-8

5 ∴S=xy=-4(y-12)2+180, ∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 答案 A

5.(2015· 河北衡水中学模拟)某企业投入 100 万元购入一套设备,该设备每年的 运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元.为使该设备 年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为( A.10 C.13 解析 B.11 D.21 设该企业需要更新设备的年数为 x,设备年平均费用为 y,x 年后的设备 )

维护费用为 2+4+…+2x=x(x+1),
2

所以 x 年的平均费用为 y=

100 式得 y=x+ x +1.5≥2 100 当且仅当 x= x ,即 x=10 时取等号,所以选 A. 答案 A

100+0.5x+x(x+1) 100 =x+ x +1.5,由基本不等 x 100 x· x +1.5=21.5,

创新导向题
函数性质新定义问题 6.对于函数 f(x),如果存在锐角 θ,使得 f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转角 θ, π 所得曲线仍是一函数,则称函数 f(x)具备角 θ 的旋转性,下列函数具备角4的 旋转性的是( A.y= x ?1?x C.y=?2? ? ? 解析 ) B.y=ln x D.y=x2

π 函数 f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转角4,

π 相当于 x 轴、y 轴绕坐标原点顺时针旋转角4,问题转化为直线 y=x+k 与函数 f(x)的图象不能有两个交点, ?1?x 结合图象可知 y=?2? 与直线 y=x+k 没有两个交点,故选 C. ? ? 答案 C

关于函数的实际应用问题 7.司机甲、乙加油习惯不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定钱数的油,恰 有两次甲、乙同时加同单价的油,但这两次的油价不同,则从这两次加油的 均价角度分析( A.甲合适 C.油价先高后低甲合适 解析 ) B.乙合适 D.油价先低后高甲合适

设司机甲每次加油量为 x,司机乙每次加油费为 y,两次加油的单价分

ax+bx a+b 别为 a,b,则司机甲两次加油的均价为 2x = 2 ,司机乙两次加油的均价

3

2 (a-b)2 2ab a+b 2ab (a-b) 为y y= 且 2 - = ≥0. 又 a≠b ,所以 >0 ,即 a+b a+b 2(a+b) 2(a+b) + a b

2y

a+b 2ab 2 >a+b,所以这两次加油的均价,司机乙的较低,所以乙更合适,故选 B. 答案 B

专项提升测试 模拟精选题
一、选择题 8.(2016· 河南实验中学质量检测)某企业为节能减排,用 9 万元购进一台新设备 用于生产.第一年需运营费用 2 万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年 增加 2 万元,该设备每年生产的收入均为 11 万元.设该设备使用了 n(n∈N*) 年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则 n=( A.3 C.5 解析 B.4 D.6 由题意知,n 年的收入为 11n 万元,运营费为 2n+ )

n(n-1) × 2=n2+ 2 9? 1 9 ? n(万元),则年平均盈利额 y=n[11n-(n2+n)-9]=10-?n+n?≤10-2 n· n= ? ? 9 4,当且仅当 n=n,即 n=3 时,等号成立. 答案 A

9.(2015· 衡阳联考(一))某商品在最近 100 天内的单价 f(t)与时间 t 的函数关系是 t ? ?4+22(0≤t<40,t∈N), f(t)=? 日销售量 g(t)与时间 t 的函数关系是 g(t) t ? ?-2+52(40≤t≤100,t∈N), t 109 =-3+ 3 (0≤t≤100,t∈N).则这种商品的日销售额的最大值为( A.808 C.736 解析 B.808.5 D.736.5 )

?t ?? t 109? 设日销售额为 w, 则当 0≤t<40(t∈N)时, w=f(t)g(t)=?4+22??-3+ 3 ? ? ?? ? 1 7 22× 109 21 =-12t2+4t+ 3 ,对称轴为 t= 2 ,故当 t=10 或 t=11 时,w 最大,为
4

? t ? ? t 109? 1 2 213 ? - + 3 ? = t - t+ 808.5;当 40≤t≤100(t∈N)时,w=f(t)g(t)=?-2+52?× 6 ? ? ? 3 ? 6 52× 109 213 ,对称轴为 t = 3 2 ,故当 t=40 时,w 最大,为 736.综上,这种商品的 日销售额的最大值为 808.5. 答案 B

二、解答题 10.(2016· 山西大学附中月考)经市场调查, 某商品在过去 100 天内的销售量和价 1 112 格均为时间 t(天)的函数,且日销售量近似地满足 g(t)=-3t+ 3 (1≤t≤100, 1 1 t∈N).前 40 天价格为 f(t)=4t+22(1≤t≤40,t∈N),后 60 天价格为 f(t)=-2t +52(41≤t≤100,t∈N),试求该商品的日销售额 S(t)的最大值和最小值. 解 当 1≤t≤40,t∈N 时, ? 1 112??1 ? S(t)=g(t)f(t)=?-3t+ 3 ??4t+22? ? ?? ? 1 112× 22 1 2500 =-12t2+2t+ 3 =-12(t-12)2+ 3 , 112× 22 2 500 所以 768=S(40)≤S(t)≤S(12)= 3 +12= 3 . 当 41≤t≤100,t∈N 时,S(t)=g(t)f(t) ? 1 112?? 1 ? =?-3t+ 3 ??-2t+52? ? ?? ? 1 112× 52 1 8 =6t2-36t+ 3 =6(t-108)2-3, 1 491 所以 8=S(100)≤S(t)≤S(41)= 2 . 2 500 所以,S(t)的最大值为 3 ,最小值为 8. 11.(2014· 广东重点中学联考)旅行社为某旅行团包飞机去旅游, 其中旅行社的包 机费为 15 000 元.旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅 行团的人数不超过 35 人时, 飞机票每张收费 800 元; 若旅行团的人数多于 35 人时,则予以优惠,每多 1 人,每个人的机票费减少 10 元,但旅行团的人数 最多不超过 60 人.设旅行团的人数为 x 人,飞机票价格为 y 元,旅行社的利润 为 Q 元. (1)写出飞机票价格 y 元与旅行团人数 x 之间的函数关系式; (2)当旅行团人数 x 为多少时,旅行社可获得最大利润?求出最大利润.
5



(1)依题意得,当 1≤x≤35 时,y=800;

当 35<x≤60 时,y=800-10(x-35)=-10x+1 150; (1≤x≤35且x∈N), ?800 ∴y=? ?-10x+1 150(35<x≤60且x∈N). (2)设利润为 Q,则 Q=y· x-15 000= ?800x-15 000(1≤x≤35且x∈N), ? 2 ?-10x +1 150x-15 000(35<x≤60且x∈N). 当 1≤x≤35 且 x∈N 时,Qmax=800× 35-15 000=13 000, 115 36 125 当 35<x≤60 时,Q=-10x2+1 150x-15 000=-10(x- 2 )2+ 2 , ∵x∈N 当 x=57 或 58 时,Qmax=18 060>13 000, 故当旅游团人数为 57 或 58 人时,旅行社可获得最大利润为 18 060 元.

创新导向题
分段函数模型的综合应用问题 12.据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南 方向移动,其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所 示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h) 内沙尘暴所经过的路程 S(km). (1)当 t=4 时,求 S 的值; (2)将 S 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试判断这场沙尘暴是否会 侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会, 请说明理由. 解 1 (1)由题图象可知:当 t=4 时,v=3× 4=12,∴S=2× 4× 12=24.

(2)当 0≤t≤10 时, 1 3 S=2· t· 3t=2t2,当 10<t≤20 时, 1 S=2× 10× 30+30(t-10)=30t-150; 当 20<t≤35 时,
6

1 1 S=2× 10× 30+10× 30+(t-20)× 30-2× (t-20)× 2(t-20)=-t2+70t-550.综上, 可知 32 ? ?2t ,t∈[0,10], S=?30t-150,t∈(10,20], ? ?-t2+70t-550,t∈(20,35]. 3 (3)∵t∈[0,10]时,Smax=2× 102=150<650, t∈(10,20]时,Smax=30× 20-150=450<650, ∴当 t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650. 解得 t1=30,t2=40. ∵20<t≤35,∴t=30. 即沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城.

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