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高中数学竞赛专题讲座---重要不等式


重要不等式专题讲座
解答不等式问题往往没有固定的模式,证法因题而异,多种多样,不等式问题的趣味性和灵活性决定 了它在数学竞赛中的地位。 当然,熟悉并掌握一些常用的解决不等式问题的方法技巧是很有必要的,除比较法、放缩法、反证法、 分析法、综合法等基本方法外,数学归纳法、变量代换(含局部、整体、三角、复数代换等) 、函数方法 (利用单调性、凸性、有界性及判别方法等) 、构造

法(构造恒等式、数列、函数等) 、调整法等在数学竞 赛中也是常用的。 要多做题,多总结,融会贯通,举一反三,才能提高解决、研究不等式问题的能力. 一. 有关结论 1、平均值不等式 设 a1 , a2 ,? , an 是非负实数,则 2、柯西(Cauchy)不等式

a1 ? a2 ? ? ? an n ? a1a2 ? an . n
2

? n 2 ?? n 2 ? ? n ? 设 ai , bi ? R(i ? 1, 2,? n) ,则 ? ? ai ? ? ? bi ? ? ? ? ai bi ? . ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?
等号成立当且仅当存在 ? ? R ,使 bi ? ? ai , i ? 1, 2,?, n. 上述两个不等式在数学竞赛中应用极为广泛,好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决,而无 需过分追求所谓更“高级”的不等式,这是需要注意的。 3.排序不等式 设 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn , j1 , j2 ,?, jn 是 1,2,?, n 的一个排列,令

S ? a1b j1 ? a2b j2 ? ? ? anb jn , S0 ? a1bn ? a2bn ?1 ??? anb1 , S ? ? a1b1 ? a2b2 ??? anbn .则 S0 ? S ? S ?.
证: 若 jn ? 1, b jk ? 1 ,由 S ? a1b j1 ??? ak ?1b jk ?1 ? ak b1 ? ak ?1b jk ?1 ??? an ?1b jn?1 ? anb jn . 设 S1 ? a1b j1 ??? ak ?1b jk ?1 ? ak b jn ? ak ?1b jk ?1 ??? an ?1b jn?1 ? anb1 ,则 S ? S1 ? ak b1 ? anb jn ? ak b jn ? anb1

? b1 ? b jn ?ak ? an ? ? 0.
可见按上述方法调整后, S 的值不增,若此时在 S1 中 jn ?1 ? 2 ,仿上又可得 S 2 ,? ,最多经过 n ? 2 步 调 整以后, 若在 Sn ?2 中 j2 ? 2 , 将其 中的 j2 ? 1 与 j1 ? 2 互 换,得 到 Sn ?1 ? S0 ,则 Sn?1 ? Sn?2 , 故

?

?

S ? S1 ? S2 ? ?? Sn?1 ? S0 . ∴ S 0 ? S . 由于 ?b1 ? ?b2 ? ?? ?bn ,利用上面结论,得 ?S ? ? ?S ? S ? ? S.
综上,命题获证。 排序不等式可简述为: “反序和≤乱序和≤同序和” 。 4.琴生不等式 若 f ? x ? 是区间 ?a, b ? 上的凸函数,则对任意的点 x1 , x2 ,?, xn ? ?a, b ? (n ? N ) 有
*

f(

x1 ? x2 ? ? ? xn 1 ) ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? f ? xn ? ? . 等号当且仅当 x1 ? x2 ? ? ? xn 时取得。 ? n n? 证: 当 n ? 1时,命题显然成立。
1

1 ?x1 ? x2 ? ? ? xk ? xk ?1 ?, k ?1 ?k ? 1?A ? ?k ? 1?A ? x1 ? x2 ? ? ? xk ? xk ?1 ? ?k ? 1?A . 又令 B ? x1 ? x2 ? ? ? xk , 则 A? 2k 2k k
假设 n ? k 时命题成立,当 n ? k ? 1 时,令 A ?

C?

xk ?1 ? ? k ? 1? A k

. ∴ f ? A? ? f (

B?C 1 ) ? ? f ? B ? ? f ?C ?? ? 2 2?

x ? ? k ? 1? A x ? x ? ? ? xk 1 ? [f( 1 2 ) ? f ( k ?1 )] 2 k k

1 1 1 ? { ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? f ? xk ?? ? [ f ? xk ?1 ? ? f ? A? ? ? ? f ? A?]} ? ? k ??? ???? ? ? 2 k
? k ?1??

?

1 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ? ? f ?xk ?1 ? ? ?k ? 1? f ? A??. ∴ f ? A? ? 1 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ? ? f ?xk ? ? f ?xk ?1 ??, 2k k ?1

当且仅当 x1 ? x2 ? ? ? xk ? xk ?1 时取等号。 综上所述,对一切正整数 n ,命题成立。 另外,绝对值不等式 ( x ? y ? x ? y ? x ? y ) 等也是较为常用的。 二. 典例解析 例 1 设 x ? R ,求证: f ( x) ? ( x ? 2 x ? 3)
2 x2

? ( x 2 ? 2 x ? 3) x ?3 ? 6. ? (t 2 ? 2)t ? 2 . 分两种情形: ? 29 ? 6;

证: 令 t ? x ? 1,则 g (t ) ? f ( x) ? (t ? 2)
2 2

( t ?1)2

2 (1) t ? ?2 时, (t ? 1) ? 9 .∴ g (t ) ? (t ? 2)

( t ?1)2

(2) t ? ?2 时, t ? 2 ? 0 .? g (t ) ? 2

t 2 ? 2 t ?1

? 2t ? 2 ? 21?2t ? 2t ?2 ? 2t ? 2t ? 2t ? 2t ?

1 1 ? 2t 2t 2 2

? 6 6 24t ?

1 ? 6. 24t

点评: 注意到 f (?1) ? 6 ,故先作代换 t ? x ? 1 ,使 f ( x) 的表达形式更简单,放缩较为大胆,但要注 意 t ? 0 时能取到符号,放缩不能过头,最后回到平均值不等式。 例 2 记 Sn ? 1 ?

2n 2 1 1 1 1 1 ? Sn ? . ,求证: ? ? ??? ? 3n ? 1 2 2 3 4 2n ? 1 2 n

证: S n ? ?1 ?

? ?

1 1 1 1 1 1? ?1 1 1 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? . 2 3 2? ?2 4 2n ? n ? 1 n ? 2 2n

?欲证式 ?

2n 2n 1 2 ? 2 n 1 ?? 2 n ? ? ? ? . 由柯西不等式,有 ? ? ?? ? k ? ? n 2 , 3n ? 1 k ? n ?1 k 2 ? k ? n ?1 k ?? k ? n ?1 ?

2

?
2n

1 n2 2n ? ?1 k (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2n ? 3n ? 1 . 又由柯西不等式,有 k ?n?
2n

? 1 1 1 1 ? ? (12 ? 12 ? ? ? 12 ) ? ? ??? ? ? 2 2 (2n)2 ? k ? n ?1 k ? (n ? 1) ? n ? 2 ? ? ?
? 1 ? 1 1 1 1 2 ? n? ? ?? ? .∴欲证不等式成立。 ? ? n( ? ) ? (2n ? 1) ? 2n ? n 2n 2 ? n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2)
点评: 本题有一定的难度,第一步代数变形是基本功,将 S n 化为若干项之和,便于处理. 第二、三步 对柯西不等式的两种不同的运用堪称范例,值得回味。 例 3 设 x, y, z ? 0, x ? y ? z ? 1 ,证明: 1 ?
2 2 2

x y z 3 3 ? ? ? ; 1 ? yz 1 ? zx 1 ? xy 2

证: 我们证明

x ? x2 1 ? yz



事实上,① ? x ? xyz ? 1 ,而 x ? xyz ? x ? 1,故①成立.

同理,

y z x ? y2 , ? z 2 .因此, ? ? ? x 2 ? 1 ,故原不等式左边成立. 1 ? zx 1 ? xy 1 ? yz

下面证明原不等式右边:

? 1 ? yz ? ?

x

x 1? y ?z 2
2 2

? 2?

x , 1 ? x2

记 f ?t ? ?

t 1? t2 ,则 f ? ? t ? ? ,当 0 ? t ? 1 时, f ? ? t ? ? 0 ,因此 f ? t ? 在 t ? ? 0,1? 时是增函 2 1? t2 1? t2 ? ?
2

数, f ?? ? t ? ?

?2t ?1 ? t 2 ? ? ?1 ? t 2 ? ? 2 ?1 ? t 2 ? ? 2t

?1 ? t ?

2 4

?

?2t ?1 ? t 2 ? ? 4t ?1 ? t 2 ?

?1 ? t ?

2 3

.

当 0 ? t ? 1 时, f ?? ? t ? ? 0 ,因此 f ? t ? 在 t ? ? 0,1? 是上凸函数,由 Jesen 不等式,

x ? 1 ? x2 ? 3 ?

x? y?z 3 . 2 ? x? y?z? 1? ? ? 3 ? ?



又知 x ? y ? z ? 3 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 ,

?

?

x? y?z 3 3 3 3 3 结 合 f ? t ? 在 ? 0,1? 递 增 , ∴ , ? ? 2 2 4 ? x? y?z? ? 3? 1? ? ? 1? ? ? 3 ? ? ? 3 ?



由 ②③ 可 得

3

?1? x

x

2

?

3 3 3 3 x x ,所以 ? . ? ? 2?? 2 4 2 1 ? yz 1? x

综上所述,故原不等式获证. 例 4 设 n ? N , n ? 2 , xi ? R(i ? 1, 2,?, n) 满足

?
i ?1

n

xi ? 1,

? xi ? 0. 求证: ?
i ?1
i ?1

n

n

xi 1 1 ? ? . i 2 2n

证: 记 ai ? (i ? 1, 2,?, n) , a1 ? a2 ? ? ? an . 设 i1 , i2 ,?, is , j1 , j2 ,?, jt (1 ? s, t ? n 且 s ? t ? n) 是 则

1 i

1, 2,?, n 的一个排列,且使 xi1 ? xi2 ? ? ? xis ? 0 ? x j1 ? x j2 ? ? ? x jt .
又设 ? ? xi1 ? xi2 ? ? ? xis , ? ? ?( x j1 ? x j2 ? ? ? x jt ) .则 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 1 ,故 ? ? ? ?

1 . 2

不妨设 a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? an xn ? 0 (否则,若 a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? an xn ? 0 ,取 xi? ? ? xi (i ? 1, 2,?, n) , 此时 x1? , x2? ,? , xn? 仍满足题设,且

?a x
i ?1

n

i i

?

。由排序不等式,有 ? a x ? ,不影响结论的一般性)
i ?1 i i

n

a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? an xn ? a1 xi1 ? a2 xi2 ? as ?1 x j1 ? ? ? an x jt ? a1 ( xi1 ? xi2 ? ? x js ) ? an ( x j1 ? x j2 ? ? x jt )

1 1 1 ? (a1 ? an ) ? ? . 即欲证不等式成立。 2 2 2n
点评: 绝对值符号内的各项分正负来处理是一个关键,注意到 过适当的放缩即可证得结论。
n 2 ? x1 ? xn x2 ? ?? ? ? 1. 例 5 设 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 ,求证: (1 ? xn ) ? 2 2 3 2 n ?1 2 ? (1 ? xn ) ? ? (1 ? x1 ) (1 ? x2 ) 2

1 1 1 1 1 ? ? (1 ? ) ? (a1 ? an ) ,再通 2 2n 2 n 2

xk 证: 注意到函数 y ? 在 (0,1) 上是增函数,∴当 0 ? xk ? xn 时, (1 ? x) 2
k k n xk xn xk ? (1 ? k ? n ? 1). 故只需证明: (1 ? x) 2 ? ? 1,其中 x ? xn ? (0,1). k k k ?1 2 (1 ? xk ?1 ) 2 (1 ? xn ?1 ) 2 ) k ?1 (1 ? x

即证

xk ? (1 ? x ? ? ? x k )2 ? 1. k ?1
n

由于

xk 1 1 1 . ? ? ? k 2 2 1 1 (1 ? x ?? x ) (k ? 1) k (k ? 1) k (1 ? x ? ? ? x )(1 ? ? ? ? k ) x x

??

n xk 1 1 ?? ? 1? ? 1 .从而,欲证不等式成立。 k 2 n ?1 k ?1 (1 ? x ? ? ? x ) k ?1 k ( k ? 1)

n

例 6 试确定所有的正常数 a, b ,使不等式 xy ? yz ? zx ? a( y z ? z x ? x y ) ? bxyz 对满足
2 2

2

2

2

2

4

x ? y ? z ? 1 的非负数 x, y, z 均成立。
解: 全部解 (a , b ) ? (a , 9? a ),其中 0 ? a ? 4. 取 ( x, y, z ) ? ( , , ) 及 ( x, y, z ) ? ( , , 0) ,便得

a ? b ? 9 及 0 ? a ? 4.
2 2 2 2 2 2

1 1 1 3 3 3

1 1 2 2

下面证明: xy ? yz ? zx ? a( x y ? y z ? z x ) ? (9 ? a) xyz (0 ? a ? 4) 对满足 x ? y ? z ? 1 的非负 实数 x, y, z 都成立。 只需证明关于 x, y, z 的齐次式:

( x ? y ? z )2 ( xy ? yz ? zx) ? a( x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ) ? (9 ? a) xyz ( x ? y ? z )
的非负实数 x, y, z 都成立。

(※)

对满足 x ? y ? z ?1

令 P ? ( x ? y ? z ) ( xy ? yz ? zx), Q ? x y ? y z ? z x , R ? ( x ? y ? z ) xyz. (※)式左边
2 2 2 2 2 2 2

? 2( x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ) ? 5( x ? y ? z ) xyz ? ( x3 y ? xy 3 ) ? ( y 3 z ? yz 3 ) ? ( z 3 x ? zx3 ) ? 2( x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ) ? 5( x ? y ? z ) xyz ? 2 x 2 y 2 ? 2 y 2 z 2 ? 2 z 2 x 2 ? a( x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ) ? (4 ? a)( x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ) ? 5( x ? y ? z ) xyz .由柯西不等式, ( x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 )( x 2 z 2 ? x 2 y 2 ? y 2 z 2 ) ? ( xy ? xz ? yz ? xy ? zx ? yz )2 .又 x, y, z 均为非负实数,
∴ x y ? y z ? z x ? xy ? xz ? yz ? xy ? zx ? yz ? ( x ? y ? z ) xyz .结合 4 ? a ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

∴(※)式左边 ? a( x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ) ? (4 ? a)( x ? y ? z ) xyz ? 5( x ? y ? z ) xyz

? a( x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ) ? (9 ? a)( x ? y ? z ) xyz .故(※)获证。
综上,所求全部解 (a, b) ? (a,9 ? a)(0 ? a ? 4). 点评: 先取特殊值(如中值、边值)得参数的范围,再证明在这个范围内不等式成立,这是含参不等 式的处理方法。 例 7 正实数 a1 ? a2 ? ? ? an 满足条件:
2 2 a 2 ? a2 ? ? ? an a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 .证明:对于 ? m, 1 n n
2

任意确定的 i(1 ? i ? n) ,如果 ai ? m ,则 n ? i ? n(m ? ai ) . 证: 由已知条件及柯西不等式,得 0 ? m ? 1 .令 bk ? m ? ak (k ? 1, 2,?, n) ,显然有 b1 ? b2 ? ? ? bn . ∵ ak ? 0 ,∴ bk ? m. 由已知,得
n

? bk ? 0,? bk2 ? n(1 ? m2 ). 又对于固定的 i ,有 bi ? 0 ,
k ?1 k ?1

n

n

∴ b1 ? b2 ? ? ? bi ? ibi .又

?b
k ?1

k

? 0 ,∴ bi ?1 ? bi ? 2 ? ? ? bn ? ?ibi . 由柯西不等式,得

5

(b1 ? b2 ? ? ? bi )2 (bi ?1 ? bi ? 2 ? ? ? bn )2 2 2 2 ; bi ?1 ? bi ? 2 ? ? ? bn ? b ? b ?? ? b ? . i n?i
2 1 2 2 2 i

两个不等式相加,得 n(1 ? m ) ?
2

? bk2 ?
k ?1

n

(ibi ) 2 (?ibi ) 2 inbi2 (n ? i )(1 ? m 2 ) ? ? . 所以, bi2 ? . i i n?i n ?i
2

由定义及 bi ? 0 ,有 bi ? m . 从而, bi ? min{m ,
2 2
2

(n ? i )(1 ? m2 ) n?i n?i , }? . ∴ bi2 ? i n n

即 (m ? ai )2 ? 二. 练习题

n?i .原命题获证。 n
?

1.设 x, y, z ? R , xyz ? 1 ,求证:

? x ( y ? 1) ? 1 ? 1.
2

1

证: 欲证式 ?

? x( y ? 1) ? yz ? 1. 由 柯 西 不 等式 , ? yz( xy ? yz ? x)? xy ? x ? yz ? (? yz)
2 2 2

yz

yz

2



注意到 (

? yz) ? ? yz( xy ? yz ? x) ? ? y z
2

? 2? x ? 3 ? ? x ? ? y 2 z 2 ? ? x ? 3


又 x ? y ? z ? 3 3 xyz ? 3 .故 ( 由①② ?

? yz) ? ? yz( x ? xy ? yz) ,
欲证式成立.

? x( y ? 1) ? yz ? 1. ?

yz

点评: 这种带条件的三元分式不等式很常见,用柯西不等式来证的较多,要适当选择 ai 和 bi ,便于运 用柯西不等式

? ? a ?? ? b ? ? ? ? a b ?
2 i 2 i i i

2

.

2.已知△ABC 的外接圆半径为 R,半周长为 p,面积为 S. 求 解: S ?

pS 的最大值. R3

1 1 ab sin C ? 2 R 2 sin A ? sin B ? sin C . P ? (a ? b ? c) ? R(sin A ? sin B ? sin C ). 2 2 Sp sin A ? sin B ? sin C 3 ? 2sin A ? sin B ? sin C (sin A ? sin B ? sin C ) ? 2( ) ? (sin A ? sin B ? sin C ) R3 3 sin A ? sin B ? sin C 4 (※) 因为 sin x 在 ?0, ? ? 内为上凸函数, ? 6( ). 3

? 3 ? 27 1 ? 3 1 Sp .故 3 ? 6?? ∴ (sin A ? sin B ? sin C ) ? sin ( A ? B ? C ) ? sin ? ? 2 ? ? 8. ? 3 3 2 3 R ? ? ? Sp 27 当 ?A ? ?B ? ?C ? 时, 3 取得最大值 . 3 R 8
3.设 a1 , a 2 ,... 是一个无穷项的实数列,对于所有正整数 i 存在一个实数 c ,使得 0 ? ai ? c 且

4

6

ai ? a j ?

1 对所有正整数 i, j (i ? j ) 成立,证明: c ? 1. i? j

证: 对于 n ? 2 , ? () ( )., ( ) ? n 为 1,2,...n 的一个排列且满足:0 ? a? (1) ? a? (2) ? ... ? a? ( n ) ? c 设 1 ?, , 2 ∴ c ? a? ( n ) ? a? (1) ? (a? ( n ) ? a? ( n ?1) ) ? (a? ( n ?1) ? a? ( n ?2) ) ? ... ? (a? (2) ? a? (1) )

1 1 ? ? ? ? ... ? ? (n) ? ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? ? (n ? 2) ? (2) ? ? (1)

1

(n ? 1) 2 2? ? (i ) ? ? (1) ? ? ( n)
i ?1 n

(柯西不等式)

?c ?

(n ? 1) 2 (n ? 1) 2 n ?1 4 ? 2 .故 c ? 1. ? ? 1? n(n ? 1) ? ? (1) ? ? (n) n ? n ? 3 n ? 3 n?3

评注: 这里抓住整体性质,利用不等式处理问题是常用的思想方法。 + 2 2 2 4.对任意 a,b,c ? R ,证明: +2) +2) +2)≥ 9(ab+bc+ca). (a (b (c
2 2 2 证: 原不等式?a b c +2 2

?a b
2

2 2

+4

?a

2

+8 ≥ 9

? ab .由抽屉原理,不妨设 a 和 b 同时大于等
2 2 2 2 2 2 2 2

于 1,或同时小于等于 1。则 c (a -1) -1)≥ 0.即 a b c + c ≥a c + b c (b 由均值不等式,有

2

① ②

?a b

2 2

? 3 ? 2? ab 以及 ? a 2 ≥ ? ab .∴2 ? a 2b 2 + 3 ? a 2 + 6 ≥ 7 ? ab .
2

2 2 2 又由①知 2+ a b c +

?a

=2+ ( a b c + c ) ? a ? b ≥ a + b + a c + b c +2
2 2 2

2

2

2

2

2

2 2

2 2

= (a + b )+ (a c +1)+( b c +1)≥2a b+2ac+2bc,∴2+ a b c + ①+③得 a2 b2 c2 +2

2

2

2 2

2 2

2

2

2

?a

2

≥2a b+2ac+2bc.



?a b

2 2

+4

?a

2

+8 ≥ 9

? ab .即原不等式成立。

评注: 这是一道美国数学奥林匹克试题。这里用抽屉原理构造了一个局部不等式,结合算术-几何平 均值不等式给出了一个很精巧的证明,本题也可以利用柯西不等式与算术-几何平均值来证明。 5. {an } 是正实数无穷序列. 证明: 设 对任意正整数 N, 不等式 的算术平均值,即 ? n ? 其中 ? ? n2 ? 4? an2 成立, ? n 是 a1 , a2 ,?, an
n ?1 n ?1 N N

a1 ? a2 ? ? ? an . n a ? a2 ? ? ? an 2 2 证:由 ? n ? 1 ,有 ? n ? 2? n an ? ? n ? 2? n [n? n ? (n ? 1)? n ?1 ] n

2 2 2 2 ? (1 ? 2n)? n ? 2(n ? 1)? n?1? n ? (1 ? 2n)? n ? (n ? 1)(? n ? ? n?1 ) (∵ 2ab ? a 2 ? b2 , a, b ? 0. )

2 2 2 2 2 ? ?n? n ? (n ? 1)? n?1 .∴ ? n ? 2? n an ? ?n? n ? (n ? 1)? n?1 .两边分别求和,



2 ? ? n2 ? 2?? n an ? ? N? N ? 0. ∴ ? ? n2 ? 2? ? n an . 由 cauchy 不等式, n ?1 n ?1 n ?1 n ?1

N

N

N

N

n n N ? N 2 ?2 ? N 2 ?2 ? N 2 ?2 ? N 2 ?2 2 2 2 得 ? ? n an ? ? ? ? n ? ? ? an ? . ∴ ? ? n ? 2 ? ? ? n ? ? ? an ? . ∴ ? ? n ? 4? an . n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 ? n?1 ? ? n?1 ? ? n?1 ? ? n?1 ?

1

1

1

1

N

7


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