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2014年下期高二七校联考文科数学检测试卷(问卷)


2014 年下期期末质量检测七校联考试卷
高二数学(文科)
考生注意: 1.全卷分第 I 卷和第 II 卷,第 I 卷为选择、填空题,1~2 页;第 II 卷为解答题, 3~4 页。 2.全卷满分 150 分,时量 120 分钟。 3.考生务必 将各题的答案填写在答题卡 的相应位置,在本试卷上作答无效。 .. ......

第Ⅰ 卷

/>一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分,每小题给出的 4 个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把正确选项填涂在答题卡内) 1.等比数列 ?a n ?中, a1 A.1

? 2 ,前两项的和 S2 ? 6 ,则公比 q 是
C. 3 D .4

B. 2

2.设 a ? b ? 0, 则下列不等式中不成立 的是 ...

A.

1 1 ? a b

B. a

?c ?b?c

C . ac

2

? bc2

D. a ? c

?b?c

3.在 ?ABC 中, A : B : C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于 A. 1: 3 : 2 B. 1: 2 : 3 C. 3 : 2 :1 D. 2 : 3 :1

4.“ m ? n ”是“方程 mx2 ? ny2 ? 1 表示圆”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?y ? 0 ? 5 .实 数 x、y 满 足 不 等 式 组 ? x ? y ? 0 , 则 z ? x ? 2y 的 最 大 值 为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A. 4 6.已知 P 为椭圆 则 | PF2 | = A.2 B.3 C.5 D.7 B. 5 C. 6 D. 7

x2 y2 ? ? 1 上一点, F1 , F2 为椭圆的两个焦点,且 PF1 ? 3 , 25 9

2014 年下期期末质量检测七校联考·高二数学(文科) 第 1 页 (共 4 页)

7.等差数列{an}中,已知前 15 项的和 S15 ? 90 ,则 a 8 等于 A.

45 2

B. 12

C.

45 4

D.6

8.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

3 9.直线 y ? t 与函数 f ( x) ? x ? 3x 的图像有相异的三个公共点,则实数 t 的取值范围是

A. (??,?2)

B. (?2,2)

C. [?2,2]

D. (2,??)

10.若连续函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数为 f '( x ) ,且函数 y ?(2-x)f '( x) 的图象如图 所示,则下列结论中一定成立的是 A. f ( x) 有极大值 f (3) 和极小值 f (2) B. f ( x) 有极大值 f ( ?3) 和极小值 f (2) C. f ( x) 有极大值 f (3) 和极小值 f ( ?3) D. f ( x) 有极大值 f ( ?3) 和极小值 f (3) 第 10 题图

y

?3

0

2

3 x

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共计 25 分,把答案填入答题卡内)
x 11.已知命题 p : ?x ? R , 2 ? 0 ,则 ?p :



1 1 ? x ? } ,则 a ? b =________. 2 3 2 13.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n ? 1 ,则 a2014 ? .
2 12.若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 {x | ?

14.飞机沿水平方向飞行,在 A 处测得正前下方地面目标 C 的俯角为 30° ,向正前方飞行 10000 米,到达 B 处,此时测得目标 C 的俯角为 75° ,这时飞机与地面目标 C 的距离为 15.有下列命题:① x ? 0 是函数 f ( x) ? x ? 3 的极值点;
3
2 3 2 ②三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 有极值点的充要条件是 b ? 3ac ? 0 ;

米。

③奇函数 f ( x) ? mx ? (m ? 1) x ? 48(m ? 2) x ? n 在区间 (4, ??) 上是递增的;
3 2

④曲线 y ? e 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ex .
x

其中真命题的序号是

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第Ⅱ卷
三、解答题(本大题共 6 小题,共计 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案填入答题卡内 ) 16. (本题满分 12 分)命题 p :关于 x 的方程 x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 无实数解; x 命题 q :指数函数 f ( x) ? (3 ? 2a) 是增函数; 若 p 或 q 为真, p 且 q 为假, 求实数 a 的取值范围。

17. (本题满分 12 分)已知数列 {an } 是公差不为零的等差数列, a1 =1, 且 a1 , a3 , a9 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . a n ? a n?1

2 18.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? sin x ?

5 ( x ? R) 2

(1)求函数 f ( x) 最大值和最小正周期; (2)设 ?ABC 内角 A 、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 c ? 3, f (C ) ? ?1 . 若 sin B ? 2sin A ,求 a、b 的值.

2014 年下期期末质量检测七校联考·高二数学(文科) 第 3 页 (共 4 页)

19. (本题满分 13 分)某公司今年年初用 36 万元引进一种新的设备,投入设备后 每年收益为 21 万元。该公司第 n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用 an 的信息如下图。 (1)求 an ; (2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利; (3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大? an a n
费用(万元)

4 2 1 2 n


20. (本题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好 2 5 是抛物线 x2 ? 4 y 的焦点,离心率为 。 5 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,交 y 轴于点 M , 若 MA ? m FA , MB ? n FB ,求 m ? n 的值。

21. (本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? e ? x ? a ( x ? R ) 的图像在点 x ? 0 处的切线为 y ? bx
x 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? R 时,求证: f ( x) ? ? x 2 ? x ; (3)若 f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0,??) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

2014 年下期期末质量检测七校联考·高二数学(文科) 第 4 页 (共 4 页)

一、选择题
题 号 答 案 1 B 2 C 3 A 4 B 5 C 6 D 7 D 8 A 9 B 1 0 D

二、填空题 11. ?x0 ? R, 2x0 ? 0 14. 5000 2 三、解答题 16 解:解:? 命题 p : ? 2 ? a ? 2 --------------2 分 命题 q : a ? 1 ------------------------4 分 又? p 或 q 为真, p 且 q 为假,? p, q 一真一假-------------6 分 12. 15.② ③ ④ -14 13. 4027

? 2 ? a ? 2 ?a ? ?2或a ? 2 ?? 或? --------------------------8 分 ? ?a ? 1

?a ? 1

? 1 ? a ? 2或a ? ?2 ------------------------------------12 分
17 解:(1)由题设知公差 d ? 0 , 由 a1 ? 1 , a1 , a3 , a9 成等比数列得 解得 d ? 1 , d ? 0 (舍去), 故 {an } 的通项 an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n 。 分 (2)由(1)知 bn ?
1 ? 2 d 1 ? 8d ? , 1 1 ? 2d

-----------------------3 分 --------------------------6

1 1 1 1 ------------------- --8 分 ? ? ? a n ? a n ?1 n(n ? 1) n n ? 1
( n ? N * )---- 12 分

1 n 1 1 1 1 1 ? S n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? n ?1 n ?1 2 2 3 n n ?1

2014 年下期期末质量检测七校联考·高二数学(文科) 第 5 页 (共 4 页)

18.解:(1) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x 5 π sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 2 ,-------3 分 2 2 2 6

则 f ( x) 的最大值为-1,最小正周期是 T ? (2) f (C ) ? sin(2C ? ) ? 2 ? ?1 ,则 sin(2C ? ) ? 1 . ∵ 0 ? C ? π ,∴ 0 ? 2C ? 2π ,∴ ? ? 2C ? ? ∴ 2C ? ? ,∴ C ? . ]
a b

2π ? π .----5 分 2

π 6

π 6

π 6

π 6

11 π, 6

π 6

π 2

π 3

----------------8 分
1 2

又∵ sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 ? ,①
π 3

-------9 分

由余弦定理得 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos , 即 a 2 ? b2 ? ab ? 9 ,②分-----10 分 由①②解得 a ? 3 , b ? 2 3 . ----------------------12 分

19 解:(1) an ? 2n -----------------------3 分 (2)设第 n 年后开始获利,则有
21n ? (2 ? 4 ? 6 ? ...? 2n) ? 36 ? 0 --------5 分
21n ? n( 2 ? 2n) ? 36 ? 0 2

n 2 ? 20n ? 36 ? 0
2 ? n ? 18 -------------------------7 分

? 第 2 年后开始获利---------------8 分
(3)设使用 m 年,该公司年平均利润最大,并设年平均利润为 y 万元 则y?
21m ? (2 ? 4 ? 6 ? ... ? 2m) ? 36 -----------------10 分 m 36 = 20 ? (m ? ) m 36 当且仅当 m ? 即m ? 6 , y 最大 m

? 使用 6 年,该公司年平均利润最大。------------13 分

2014 年下期期末质量检测七校联考·高二数学(文科) 第 6 页 (共 4 页)

20 解: (1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

抛物线的焦点为(0,1) 则椭圆 C 的 一个顶点为(0,1),即 b=1. 由e ?

c a 2 ? b2 2 5 . ? ? a a2 5
x2 ? y 2 ? 1 . ………………6 分 5

得 a 2 ? 5 ,所以椭圆 C 的标准方程为

(2)易求出椭圆 C 的右焦点 F (2,0) , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ) ,显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程 为
x2 ? y2 ? 1 , 5 得 (1 ? 5k 2 ) x 2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0 .显然 ? ? 0
y ? k ( x ? 2) ,代入方程

∴x1+x 2=

20k 2 20k 2 ? 5 , x x = . 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

…………………… 9 分

又 MA ? ( x1 , y1 ? y0 ), MB ? ( x2 , y2 ? y0 ), FA ? ( x1 ? 2, y1 ), FB ? ( x2 ? 2, y2 )

? MA ? m FA , MB ? n FB x x2 -------------------------11 分 ?m ? 1 , n ? x1 ? 2 x2 ? 2 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) -------------------12 分 ?m ? n ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 10 又 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? ? 1 ? 5k 2 1 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? ? 1 ? 5k 2 ? m ? n ? 10 -------------------------------13 分
21 解: (1) f ( x) ? e x ? x 2 ? a, f ?( x) ? e x ? 2 x 由已知 ?
? f (0) ? 1 ? a ? 0 ?a ? ?1 解得 ? ,故 f ( x) ? e x ? x 2 ? 1 -------4 分 ? f ( 0 ) ? 1 ? b b ? 1 ? ?

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? e x ? x ? 1 ,

由 g ?( x) ? e x ? 1 ? 0 得 x ? 0

2014 年下期期末质量检测七校联考·高二数学(文科) 第 7 页 (共 4 页)

当 x ? (??,0) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减;当 x ? (0,??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调 递增 ∴ g ( x) min ? g (0) ? 0 ,从而 f ( x) ? ? x 2 ? x ----------------------8 分 (3) f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0,??) 恒成立 ? 令 ? ( x) ? ∴ ? ?( x) ?
f ( x) ? k 对任意的 x ? (0,??) 恒成立 x

f ( x) ,x?0 x
x2 ? x(e x ? 2 x) ? (e x ? x 2 ? 1) x2 ? ( x ? 1)(e x ? x ? 1) x2

xf ?( x) ? f ( x)

由(2)可知当 x ? (0,??) 时, e 2 ? x ? 1 ? 0 恒成立 令 ? ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ; ? ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ∴ ? ( x) 的增区间为 (1,??) ,减区间为 (0,1) , ? ( x) min ? ? (1) ? 0 ∴ k ? ? ( x) min ? ? (1) ? 0 ,∴实数 k 的取值范围为 (??, 0) -----------13 分

2014 年下期期末质量检测七校联考·高二数学(文科) 第 8 页 (共 4 页)


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