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2、两角和与差的三角函数导学案


两角和与差的三角函数(2.1 §2 两角和与差的三角函数 1/2.2)
一、 学习目标
1) 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式; 2) 能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式。 3) 教学重难点:①重点:掌握两角和与差的余弦公式,两角和与差的正弦公式。 ②难点:两角和的正弦公式的推导。

二、 自主学习
相关知识链接 Ⅰ 向量数量级的定义:已知两向量 a , b ,夹角为 θ ,则 a ? b = Ⅱ 向量数量积的坐标表示:若 a = ( x1 , y1 ), b = ( x 2 , y 2 ) , 则a ? b = Ⅲ 正弦、余弦函数的诱导公式 ☆请同学们预习课本 P116-118,回答下列问题。 1、向量法推导两角差的余弦公式 对于课本 116 页单位圆中的两个单位向量 、 . .

OP1 ,OP2 , 二者的夹角为α - β ,所以我们可以得到OP1 ? OP2 =
同时向量的数量积又可以用坐标表示,即 OP ? OP2 = 1 得到两角差的余弦公式为: 2、两角和与差的正弦、余弦公式 两角和与差的正弦、 ⑴ .记作 Cα ? β .

, ①

②,则联立①②

cos(α ? β ) =

(Cα ? β ) (Cα + β ) [在 (1) 中用
替换 β ]

⑵ cos(α + β ) = ⑶ sin (α + β ) = cos[ ⑷ sin (α ? β ) = 3、对公式的理解 、对公式的理解 ⑴ 两角和与差的正弦余弦公式适用于任意角 α、β .

]

=

(Sα + β ) ( S α ? β ) [在 中用 (3)
替换 β ]

⑵ 余弦公式可简记为: “余余正正符号反” ,那么正弦公式可简记为: . ⑶ 应用两角和与差的正弦余弦公式可以求一些能表示为常见特殊角的和与差的角的正余 弦值,如 cos 15° = cos(45° ? 30°) . ☆ 请同学们把你仍存有疑问的地方写在“我的疑惑”处。 4、我的疑惑 、

三、典例解析
例 1 不查表,求 cos 75°

, cos 15°.

【思路启迪】将已知角转化到特殊角的和与差,再利用两角的和与差的正余弦公式.

【同类探究】求值: (1) sin 347° cos 148° + sin 77° cos 58°

(2)

cos( x + 20°) cos( x ? 40°) + cos( x ? 70°) sin ( x ? 40°)

例2

已知 α , β 都是锐角,且 sin α =

4 3 11 , cos(α + β ) = ? , 求 sin β 的值. 7 14

【思路启迪】观察待求角 β 与条件角 α + β 、α 之间的关系,发现 β = (α + β ) ? α ,可利 用两角差的正弦公式。

【同类探究】已知 cos α =

1 11 ? π? , cos(α + β ) = ? , 且α , β ∈ ? 0, ?, 求 β 的值 . 7 14 ? 2?

例3

求 f ( x ) = sin x + 3 cos x 的最大值和周期.

【思路启迪】把 f ( x ) 先化为一个角的三角函数形式再求最值以及周期。

【附加公式的变换】关于形如

a sin x + b cos x(a, b不同时为0)的式子,引入辅助角变形为A sin ( x + ? )的形式 ,
有两种常见转换方式:

①: a sin x + b cos x =

? ? a b sin x + cos x ?. a2 + b2 ? ? 2 ? 2 a2 + b2 ? a +b ?

令 cos ? =

a a2 + b2

, sin ? =

b a2 + b2

,则

原式= a sin x + b cos x =

a 2 + b 2 (cos ? sin x + sin ? cos x ). = a 2 + b 2 sin ( x + ? )

b ? ? ? 其中角?所在象限由a、b的符号决定,角?的值由 tan ? = 确定. ? a. ? ?
②: a sin x + b cos x =

? ? b a a2 + b2 ? cos x + sin x ?. ? 2 ? 2 a2 + b2 ? a +b ?

= a 2 + b 2 (cos ? cos x + sin ? sin x ). = a 2 + b 2 cos( x ? ? )
其中 tan ? =

a . b

【同类高考题】 已知函数 f ( x ) = 4 cos x sin ? x +

? ?

π?

? ?1. 6?

(1) (2)

求 f ( x ) 的最小正周期; ? π π? 求 f ( x ) 在区间 ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 4?

☆ 本节课的心得:

四、课堂达标
1(2010.课标全国高考) 若 cos α = ?

4 π? ? , α 是第三象限角,则 sin ? α + ? = 5 4? ? C ? 2 10 D 2 10

()

A ?

7 2 10

B

7 2 10

2 (2010.福建高考) 计算 sin 43° cos 13° ? cos 43° sin 13°的结果等于

()

A

1 2

B

3 3

C

2 2

D

3 2

3 (2011.浙江高考) 若0 < α <

π
2

,?

π

3 ?π ? 1 ?π β ? < β < 0, cos? + α ? = , cos? ? ? = ,则 2 ?4 ? 3 ?4 2? 3

β? ? cos? α + ? = 2? ?
A

()
B ?

3 3

3 3

C

5 3 9

D ?

6 9

4 (2011.课标全国高考)

π? ? 设函数 f ( x ) = sin (ωx + ? ) + cos(ωx + ? ) ? ω > 0, | ? |< ? 的最小正周期为 π, 2? ? 且 f (? x ) = f ( x ) ,则 ( )
A C ? π? f ( x ) 在 ? 0, ? 单调递减 ? 2? ? π? f ( x ) 在? 0, ? 单调递增 ? 2? ? π 3π ? B f ( x ) 在 ? , ? 单调递减 ?4 4 ? ? π 3π ? D f ( x ) 在? , ? 单调递增 ?4 4 ?

5 已知 a =

(

3,?1 , b = (sin x, cos x ), x ∈ R, f ( x ) = a ? b.

)

(1) (2)

求 f ( x ) 的表示式;

求函数 f ( x ) 的周期、值域、单调区间.



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