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【高考复习方案】(新课标)2015届高三数学二轮限时训练 第8讲 三角函数的图像与性质


[第 8 讲

三角函数的图像与性质]

(时间:5 分钟+40 分钟) 基础演练 1.若角 θ 同时满足 sin θ <0,且 tan θ <0,则角 θ 的终边一定落在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2. “α =30°”是“sin α =2”的( )

)

r />A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知角 α 的终边过点 P(-a,-3a),a≠0,则 sin α =( 3 10 10 A. 10 或 10 10 10 C. 10 或- 10 3 10 B. 10 3 10 3 10 D. 10 或- 10

)

π? 1 ? 4.把函数 y=sin 2x+ 6 的图像上的所有点的横坐标都缩短为原来的2,纵坐标不变,所得到

?

?

的函数解析式为( π? ? A.y=sin 4x+ 3

)

?

?

? π? B.y=sin x+ 3 ? ? ?
π? ? D.y=sin 4x+ 6

? π? C.y=sin x+ 6 ? ?

?

5.sin 1050°的值是________. 提升训练 6.已知 tan x=2,则 sin2x+1=( A.0 9 B.5 4 C.3

) 5 D.3

? π ? 7.如图 81 所示,函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π )的图像经过点 - 6 ,0 ,且该 ? ?
函数的最大值为 2,最小值为-2,则该函数的解析式为( )

图 81

?x π ? A.f(x)=2sin 2+ 6 ? ? ?x π ? B.f(x)=2sin 2+ 4 ? ? ?3x π ? C.f(x)=2sin 2 + 6 ? ?
-1-

?3x π ? D.f(x)=2sin 2 + 4 ? ?
π? π ? 8.函数 f(x)=sin(2x+φ) |φ|< 2 的图像向左平移 6 个单位长度后关于原点对称,则函数 f(x) ? ?

? π? 在区间 0, 2 上的最小值为( ? ?
3 A.- 2 1 B.-2 1 C.2

) 3 D. 2

π? 1 ? 9.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) ω >0,|φ|< 2 满足 f(x)=-f(x+π ),f(0)=2,则 g(x)=2cos(ωx

?

?

? π? +φ)在区间 0, 2 上的最大值与最小值之和为( ? ?
A. 3-1 B. 3-2 C.2 3-1 D.2 ?π ? 1 ?π ? 10.若 sin 3 +α =3 ,则 cos 6 -α =________. ? ? ? ?

)

?π ? 11.函数 y=sin 3 -2x 在区间[0,π ]上的单调递减区间是________. ? ?
12.已知函数 f(x)=sin ω x(ω>0)的一段图像如图 82 所示,△ABC 的顶点 A 与坐标原点 O 重 合,B 是 f(x)的图像上一个最低点,C 在 x 轴上,若内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,且 △ABC 的面积 S 满足 12S=b2+c2-a2,将 f(x)的图像右移一个单位长度得到函数 g(x)的图像, 则平移后的函数解析式为 g(x)= ________.

图 82 1 13.已知在△ABC 中,sin A+cos A=5.

? 3π ? ?π ? (1)求 sin 2 -A ·cos 2 +A 的值; ? ? ? ?
(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值.

-2-

2π 14.设函数 f(x)=(sin ω x+cos ω x)2+2cos2ω x(ω>0)的最小正周期为 3 . (1)求 ω 的值; π (2)若函数 y=g(x)的图像是由 y=f(x)的图像向右平移 2 个单位长度得到,求 y=g(x)的单调增区 间.

15.已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点?- (1)求 sin 2α -tan α 的值;

? ?

3 1? ?. 2 ,2?

?π ? (2) 若函数 f(x) = cos(x - α)cos α - sin(x - α)sin α ,求函数 y = 3f 2 -2x - 2f2(x) 在区间 ? ? ?0,2π ?上的值域. 3 ? ?

-3-

专题限时集训(八) 【基础演练】 1.D [解析] 因为 sin θ <0,所以角 θ 的终边位于 x 轴下方.因为 tan θ <0,所以角 θ 的终 边位于第二、四象限,所以角 θ 的终边位于第四象限. 2.A 1 1 [解析] 当 α=30°时,sin α =2,反之若 sin α =2,则 α=30°+k· 360°或 α=150°

+k· 360°(k∈Z). 3.D [解析] 由题意可知,sin α = 3 10 = 10 . π? 1 ? 4.D [解析] 函数图像上所有点的横坐标变为原来的2所得的函数解析式为 y=sin 4x+ 6 . ? ? 1 1 5.-2 [解析] sin 1050°=sin(3×360°-30°)=-sin 30°=-2. 【提升训练】 6. B 1 [解析] 方法一: 由 tan x=2, 得 sin x=2cos x, 将其代入 sin2x+cos2x=1, 得 sin2x+4sin2x y 3 10 .当 a>0 时,sin α =- 10 ;当 a<0 时,sin α x2+y2

4 9 =1,解得 sin2x=5,所以 sin2x+1=5. 方法二:sin2x+1= 7.D sin2x tan2x 9 +1= +1=5. sin2x+cos2x 1+tan2x

4 3 [解析] ∵函数的周期为3π .∴ω=2.

?3 ? ∵A=2,∴f(x)=2sin 2x+φ . ? ? ? π ? ? π ? 又∵图像过点 - 6 ,0 ,∴2sin - 4 +φ =0, ? ? ? ?
π π ∴φ=kπ+ 4 (k∈Z).∵0<φ<π ,∴φ= 4 ,

?3 π ? ∴该函数的解析式为 f(x)=2sin 2x+ 4 . ? ?
8. A π ? ? π? ? [解析] 函数 f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移 6 个单位长度得 y=sin 2 x+ 6 +φ =

? ?

?

?

π π π π ? ? sin 2x+ 3 +φ 的图像,其为奇函数,故 3 +φ=kπ ,k∈Z,解得 φ=kπ - 3 .又|φ|< 2 ,令

?

?

π? π? ? π 3 ? ? ?0,π ?时, ? k=0, 得 φ=- 3 , ∴f(x)=sin 2x- 3 , sin 2x- 3 ∈?- ,1?, ∴f(x)min 2? ? ? 当 x∈? ? ? ? 2 ? 3 =- 2 . π 1 9.A [解析] 由 f(x)=-f(x+π )得函数 f(x)的周期为 2π ,所以 ω=1.又 f(0)=2,|φ|< 2 ,所

-4-

π π π 2 ? π? ? π? 以 φ= 6 ,于是 g(x)=2cos x+ 6 ,当 x∈ 0, 2 时, 6 ≤x+ 6 ≤3π ,所以-1≤g(x)≤ 3,

?

?

?

?

所以其最大值与最小值之和为 3-1. 1 ?π ? ?? ?π ? 1 ?π ?π 10.3 [解析] cos 6 -α =cos 2 - 3 +α =sin 3 +α =3. ? ? ? ?? ? ? ? 5 ? ?11 ? ? 11. 0,12π , 12π ,π ? ? ? ? π? π ?π ? ? [解析] 由 y=sin 3 -2x ,得 y=-sin 2x- 3 .由- 2 +2kπ ? ? ? ?

π π π 5π ≤2x- 3 ≤ 2 +2kπ ,k∈Z,得-12+kπ ≤x≤ 12 +kπ ,k∈Z.又 x∈[0,π ],所以函数 y= 5 ? ?11 ?π ? ? ? sin 3 -2x 在区间[0,π ]上的单调递减区间为 0,12π , 12π ,π . ? ? ? ? ? ? π 1 1 12.-cos 2 x [解析] 由 12S=b2+c2-a2 即 12×2bcsin A=2bccos A,得 tan A=3.过点 B 向 x |BD| 轴引垂线,垂足为 D.则 tan A=|AD|,又 BD=1,所以|AD|=3,所以函数 f(x)的周期为 4,所 2π π π 以 ω= 4 = 2 , 所以 f(x)=sin 2 x.将其图像向右平移一个单位长度得到的图像的函数解析式为 π π g(x)=sin 2 (x-1)=-cos 2 x. 1 13.解:(1)∵sin A+cos A=5, ① 1 ∴(sin A+cos A)2=25, 1 即 1+2sin Acos A=25, 12 ∴sin Acos A=-25. 12 ? 3π ? ?π ? ∴sin 2 -A cos 2 +A =(-cos A)(-sin A)=sin Acos A=-25. ? ? ? ? 12 (2)∵sin Acos A=-25<0,且 0<A<π , ∴A 为钝角,故△ABC 为钝角三角形. 24 49 (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+25=25. 7 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0,∴sin A-cos A=5, 4 3 由①②可得 sin A=5,cos A=-5, 4 5 sin A 4 ∴tan A=cos A= 3=-3. -5 14.解:(1)f(x)=(sin ω x+cos ω x)2+2cos2ω x=sin2ω x+cos2ω x+sin 2ω x+1+2cos 2ω x =sin 2ω x+cos 2ω x+2
-5-



π? ? = 2sin 2ω x+ 4 +2,

?

?

2π 2π 3 依题意得 = 3 ,故 ω=2. 2ω 5π ? ? ? ? π? π? (2)依题意得 g(x)= 2sin 3 x- 2 + 4 +2= 2sin 3x- 4 +2,

? ?

?

?

?

?

π 5π π 由 2kπ - 2 ≤3x- 4 ≤2kπ + 2 (k∈Z), π 7π 2 2 解得3kπ + 4 ≤x≤3kπ + 12 (k∈Z), π 2 7π ? ?2 故 y=g(x)的单调增区间为 3kπ + 4 ,3kπ + 12 (k∈Z). ? ? 15.解:(1)由题意可知, 1 3 3 sin α =2,cos α =- 2 ,tan α =- 3 , 3 3 3 ∴sin 2α -tan α =2sin α cos α -tan α =- 2 + 3 =- 6 . (2)∵f(x)=cos(x-α)cos α -sin(x-α)sin α =cos x ,x∈R, π? ?π ? ? ∴y= 3cos 2 -2x -2cos2x= 3sin 2x-1-cos 2x=2sin 2x- 6 -1. ? ? ? ? 2π 4π π π 7π ∵0≤x≤ 3 ,∴0≤2x≤ 3 ,∴- 6 ≤2x- 6 ≤ 6 , π? π? 1 ? ? ∴-2≤sin 2x- 6 ≤1,∴-2≤2sin 2x- 6 -1≤1, ? ? ? ?

?π ? ? 2π ? 故函数 y= 3f 2 -2x -2f2(x)在区间 0, 3 上的值域是[-2,1]. ? ? ? ?

-6-


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