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2013-2014学年浙江省杭州外国语学校高一(下)期中数学试卷


2013-2014 学年浙江省杭州外国语学校高一(下) 期中数学试卷

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2013-2014 学年浙江省杭州外国语学校高一(下) 期中数学试卷
一、选择题(每题 3 分) : 1. (3 分)不在 3x+2y<6 表示的平面区域内的一个点是( ) A.(0,0) B.(1

,1) C.(0,2) 2. (3 分)若 a>b>0,则( ) 2 2 A.a c>b c(c∈R) B. D.(2,0)

C.lg(a﹣b)>0

D.

3. (3 分)等比数列{an}中,a5=﹣2,则此数列前 9 项的积为( ) A.256 B.﹣256 C.﹣512 4. (3 分)已知数列{an}中,a3=2,a5=1,若{ A .0 B. }是等差数列,则 a11 等于( C.

D.512 ) D.

5. (3 分)已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A. B. C.2<x< <x<5

) D. <x<5 )

6. (3 分) (2012?惠州模拟) 在△ ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对边, 若 a=2bcosC, 则此三角形一定是 ( A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D.等腰或直角三角形 7. (3 分)下列函数中,最小值为 4 的函数是( A. C. y=ex+4e
﹣x

) B. D.y=log3x+logx81
2 2

8. (3 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 b +c ﹣ 为( A. ) B. C.

bc=3,cosB= ,a=

,则边 c 的值

D.

9. (3 分)已知等差数列{an}中,有 为( A.11 ) B.19

+1<0,且该数列的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得 Sn>0 成立的 n 的最大值

C.20

D.21

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www.jyeoo.com 10. (3 分) (2011?湖南)设 m>1,在约束条件 下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值范围

为( ) A.(1,



B.(

,+∞)

C.(1,3)

D.(3,+∞)

二、填空题(每题 4 分) : 11. (4 分)在△ ABC 中,A=60°,B=45°,b=2 12. (4 分)不等式 x ﹣3|x|≤0 的解集
2

,则 a=

_________ .

_________ .
2

13. (4 分) 已知△ ABC 中, A=60°, 最大边和最小边是方程 x ﹣9x+8=0 的两个正实数根, 那么 BC 边长是 _________ . 14. (4 分)已知 a1=1,an+1=an+ ,则 a2014= _________ .

15. (4 分)设 a>0,b>0,满足 ab=a+b+8,则 ab 的取值范围 _________ . 16. (4 分)定义一个“等积数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的积都是同一常数,那么这个数列叫“等 积数列”,这个常数叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且 a1=1,公积为 3,则这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为: _________ . 三、解答题(共 46 分) 17. (5 分)解关于 x 的不等式 x +x﹣m(m﹣1)>0(m∈R) 18. (8 分)已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠ A 是锐角,且 (Ⅰ )求∠ A 的度数; (Ⅱ )若 a=7,△ ABC 的面积为 10
2 2

b=2a?sinB.

,求 b +c 的值.

2

2

19. (8 分)设函数 f(x)=mx ﹣mx﹣1. (1)若对一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)对于 x∈[1,3],f(x)<﹣m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 20. (10 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(n∈N ) . (1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=n?(an+1) ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn.
*

21. (15 分)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足

为常数,则称该数列为“优”数列.

(1)判断 an=4n﹣2 是否为“优”数列?并说明理由; (2)若首项为 1,且公差不为零的等差数列{an}为“优”数列,试求出该数列的通项公式; (3)若首项为 1,且公差不为零的等差数列{an}为“优”数列,正整数 k,h 满足 k+h=2013,求 的最小值.

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参考答案与试题解析
一、选择题(每题 3 分) : 1. (3 分)不在 3x+2y<6 表示的平面区域内的一个点是( ) A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) 考点: 专题: 分析: 解答:

D.(2,0)

二元一次不等式(组)与平面区域. 计算题. 把选项中的每个点的坐标分别代入 3x+2y,看点的坐标是否满足不等式即可 解:将点(0,0)点代入 3x+2y<6,得 0<6,显然成立,点(0,0)在不等式表示的区域内 将点(1,1)代入 3x+2y<6,得 5<6,显然成立,点(1,1)在不等式表示的区域内 将点(0,2)代入 3x+2y<6,得 4<6,显然成立,点(0,2)在不等式表示的区域内 将点(2,0)代入 3x+2y<6,得 6=6,点(2,0)不在不等式表示的区域内 故选 D 点评: 本题考查点与不等式表示的区域的位置关系,把点的坐标代入不等式,验证点的坐标是否满足不等式即可, 满足时,点在不等式表示的区域内,否则不在.属简单题
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2. (3 分)若 a>b>0,则( ) 2 2 A.a c>b c(c∈R) B.

C.lg(a﹣b)>0

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

不等关系与不等式. 计算题. 该题利用不等关系对选项进行逐一分析排除,即可获得正确答案. 解:对于选项 A,若 c≤0 就不符合,所以排除
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∵ a>b>0∴

,故 B 排除

对于选项 C,若 0<a﹣b<1,则 lg(a﹣b)≤0,所以排除 函数 ∵ a>b>0 ∴ , 是单调减函数,

故选 D 点评: 本题考查不等式与不等关系,以及指对数函数单调性,解题时要深刻理解几个常用的不等关系式与性质, 属于基础题. 3. (3 分)等比数列{an}中,a5=﹣2,则此数列前 9 项的积为( ) A.256 B.﹣256 C.﹣512 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.
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D.512

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www.jyeoo.com 分析: 由等比数列的性质可得 a1?a9=a2?a8=…=a52,进而可得数列前 9 项的积为 T=a59,代入数据计算即可. 2 解答: 解:由等比数列的性质可得 a1?a9=a2?a8=…=a5 , 9 9 ∴ 数列前 9 项的积为 T=a5 =(﹣2) =﹣512 故选:C 点评: 本题考查等比数列的性质,属基础题. 4. (3 分)已知数列{an}中,a3=2,a5=1,若{ A .0 B. }是等差数列,则 a11 等于( C. ) D.

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用数列{ }是等差数列,
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=4d,代入条件,求出 d,即可得出结论.

解答: 解:∵ 数列{ ∴ ∵ a3=2,a5=1, ∴ ∴ d= ∴ =2d, , =

}是等差数列, =2d,

+8d= + =1,

∴ a10=0. 故选:A. 点评: 本题考查等差数列的定义,考查学生的计算能力,比较基础. 5. (3 分)已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A. B. C.2<x< <x<5 ) D. <x<5

考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 根据三角形为锐角三角形,得到三角形的三个角都为锐角,得到三锐角的余弦值也为正值,分别设出 3 和 x 所对的角为 α 和 β,利用余弦定理表示出两角的余弦,因为 α 和 β 都为锐角,得到其值大于 0,则分别令余 弦值即可列出关于 x 的两个不等式,根据三角形的边长大于 0,转化为关于 x 的两个一元二次不等式,分别 求出两不等式的解集,取两解集的交集即为 x 的取值范围. 解答: 解:因为三角形为锐角三角形,所以三角形的三个内角都为锐角,
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则设 3 对的锐角为 α,根据余弦定理得:cosα= 即 x >5,解得 x>
2

>0,

或 x<﹣

(舍去) ; >0,

设 x 对的锐角为 β,根据余弦定理得:cosβ= 即 x <13,解得 0<x<
2


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www.jyeoo.com 所以 x 的取值范围是 <x< . 故选 A 点评: 此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值,会求一元二次不等式组的解集,是一道综合题.学生在做题时 应注意锐角三角形这个条件. 6. (3 分) (2012?惠州模拟) 在△ ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对边, 若 a=2bcosC, 则此三角形一定是 ( A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D.等腰或直角三角形 )

考点: 三角形的形状判断;同角三角函数间的基本关系;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 根据 a=2bcosC 得到 bcosC= ,然后根据三角函数定义,得到 bcosC=CD= ,得到 D 为 BC 的中点,根据全
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等得到三角形 ABC 为等腰三角形. 解答: 解:过 A 作 AD⊥ BC,交 BC 于点 D, 在直角三角形 ACD 中,cosC= 得 CD=bcosC,

而 a=2bcosC 得 bcosC= ,所以 CD= AD=AD,∠ ADB=∠ ADC=90°, BD=CD 得到三角形 ABD≌ 三角形 ACD, 所以 b=c,三角形 ABC 为等腰三角形. 故选 C

点评: 考查学生利用三角函数解直角三角形的能力.掌握用全等来证明线段相等的方法. 7. (3 分)下列函数中,最小值为 4 的函数是( A. C. y=ex+4e
﹣x

) B. D.y=log3x+logx81

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用基本不等式可得
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=4,注意检验不等式使用的前提条件.

x x 解答: 解:∵ e >0,4e >0,



x
﹣x

=4,

当且仅当 e =4e ,即 x=ln2 时取得等号, ﹣x x ∴ y=e +4e 的最小值为 4,
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www.jyeoo.com 故选 C. 点评: 本题考查基本不等式求函数的最值,利用基本不等式求函数最值要注意条件:“一正、二定、三相等”. 8. (3 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 b +c ﹣ 为( A. ) B. C. D.
2 2

bc=3,cosB= ,a=

,则边 c 的值

考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 2 2 2 2 2 2 由 b +c ﹣ bc=3=a ,得 b +c ﹣a =
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bc,由余弦定理可求得 cosA=

,由此可知 A=45°,由诱导公式及

和角公式可求 sinC,再用正弦定理即可求得 c. 解答: 解:∵ a= ,∴ b +c ﹣ 2 2 2 则 b +c ﹣a = bc, ∴ cosA= =
2 2

bc=3=a ,

2



又 A 为三角形的内角,∴ A=45°, sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 由正弦定理,得 ,即 , = ,

∴ c=



故选 A. 点评: 本题考查解三角形、正弦定理及余弦定理,考查学生的运算求解能力.

9. (3 分)已知等差数列{an}中,有 为( A.11 ) B.19

+1<0,且该数列的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得 Sn>0 成立的 n 的最大值

C.20

D.21

考点: 等差数列的前 n 项和;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 <0,公差 d<0,进而可得 S19>0,S20<0,可得答案.
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解答: 解:由 +1<0 可得 <0

又∵ 数列的前 n 项和 Sn 有最大值, ∴ 可得数列的公差 d<0, ∴ a10>0,a11+a10<0,a11<0, ∴ a1+a19=2a10>0,a1+a20=a11+a10<0.
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www.jyeoo.com ∴ S19>0,S20<0 ∴ 使得 Sn>0 的 n 的最大值 n=19, 故选 B 点评: 本题考查等差数列的性质在求解和的最值中应用,属基础题.

10. (3 分) (2011?湖南)设 m>1,在约束条件

下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值范围

为( ) A.(1,



B.(

,+∞)

C.(1,3)

D.(3,+∞)

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 根据 m>1,我们可以判断直线 y=mx 的倾斜角位于区间(
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)上,由此我们不难判断出满足约束条



的平面区域的形状,再根据目标函数 Z=X+my 对应的直线与直线 y=mx 垂直,且在直线 y=mx

与直线 x+y=1 交点处取得最大值,由此构造出关于 m 的不等式组,解不等式组即可求出 m 的取值范围. 解答: 解:∵ m>1 故直线 y=mx 与直线 x+y=1 交于 点, 点,取得最大值

目标函数 Z=X+my 对应的直线与直线 y=mx 垂直,且在 其关系如下图所示: 即 又∵ m>1 解得 m∈(1, 故选 A



点评: 本题考查的知识点是简单线性规划的应用,其中根据平面直线方程判断出目标函数 Z=X+my 对应的直线与 直线 y=mx 垂直, 且在 点取得最大值, 并由此构造出关于 m 的不等式组是解答本题的关键.

二、填空题(每题 4 分) :
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www.jyeoo.com 11. (4 分)在△ ABC 中,A=60°,B=45°,b=2 考点: 专题: 分析: 解答:

,则 a=

2



正弦定理. 三角函数的求值;解三角形. 由 A 与 B 的度数求出 sinA 与 sinB 的值,再由 b 的值,利用正弦定理即可求出 a 的值.
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解:∵ 在△ ABC 中,A=60°,B=45°,b=2



∴ 由正弦定理得:

=

,即 a=

=

=2



故答案为:2 点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 12. (4 分)不等式 x ﹣3|x|≤0 的解集 考点: 专题: 分析: 解答:
2

[﹣3,3] .

其他不等式的解法. 计算题;不等式的解法及应用. 将不等式变为|x|(|x|﹣3)≤0,解之即可得到所求的解集.
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解:x ﹣3|x|≤0,即|x|(|x|﹣3)≤0, 解得 0≤|x|≤3,﹣3≤x≤3, 2 不等式 x ﹣3|x|≤0 的解集为[﹣3,3]. 故答案为[﹣3,3]. 点评: 本题考查带绝对值的不等式的解法,用一元二次不等式的解法求解是此类题的通用解法. 13. (4 分)已知△ ABC 中,A=60°,最大边和最小边是方程 x ﹣9x+8=0 的两个正实数根,那么 BC 边长是 考点: 根与系数的关系;余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 有由题意可得 ,解得
2

2



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.再由余弦定理可得 BC =b +c ﹣2bc?cosA,运算求得结果.

2

2

2

解答: 解:△ ABC 中,由于 A=60°,故可设最大边和最小边分别是 b 和 c. 由于最大边和最小边是方程 x ﹣9x+8=0 的两个正实数根,故有 再由余弦定理可得 BC =b +c ﹣2bc?cosA=64+1﹣16× =57, ∴ BC= , 故答案为 . 点评: 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系,余弦定理的应用,属于中档题. 14. (4 分)已知 a1=1,an+1=an+ ,则 a2014= .
2 2 2 2

,解得



考点: 数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 把题目给出的数列递推式变形为
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,分别取 n=1,2,3,…,n﹣1,累加后求得数列

{an}的通项公式,则 a2014 可求.

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www.jyeoo.com 解答: 解:∵ a ∴ 则

n+1=an+

, , . . .

… . 累加得: 又 a1=1, ∴ ∴ 故答案为: . . . ,

点评: 本题考查数列递推式,考查了列项累加求数列的通项公式,是中档题. 15. (4 分)设 a>0,b>0,满足 ab=a+b+8,则 ab 的取值范围 [16,+∞) . 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 先根据基本不等式可知 a+b≥2 ,代入题设等式中得关于 不等式方程,进而求得 的范围,由此能 求出 ab 的最大值. 解答: 解:∵ 正数 a,b,∴ a+b≥2 , ∵ ab=a+b+8, ∴ ab﹣2 ﹣8≥0 ∴ ≥4,或 ≤﹣2(空集) ∴ ab≥16. 故答案为:[16,+∞) . 点评: 若一个等式中,有两个数的乘积同时有这两个数的和,求其中一个的最值时,通常用的方法是:用基本不 等式将等式转化成要求部分的不等式,解不等式求出范围
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16. (4 分)定义一个“等积数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的积都是同一常数,那么这个数列叫“等 积数列”,这个常数叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且 a1=1,公积为 3,则这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为: .

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列.
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www.jyeoo.com 分析: 由已知条件推导出 an=

,由皮利用分类讨论思想能求出



解答: 解:由题意得,anan+1=3(n∈N+) ,且 a1=1, ∴ a2=3,a3=1,a4=3,a5=1,a6=3,… ∴ an= ,

当 n 是偶数时,数列的奇数项数和为 ,偶数项数和为 则数列的前 n 项和 Sn=2n, 当 n 是奇数时,数列的奇数项数和是 偶数项数是 则数列的前 n 项和 , , ,







故答案为:



点评: 本题考查数列的通项公式的求法,解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用. 三、解答题(共 46 分) 2 17. (5 分)解关于 x 的不等式 x +x﹣m(m﹣1)>0(m∈R) 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 关于 x 的不等式 x2+x﹣m(m﹣1)>0(m∈R) ,因式分解为(x﹣m)[x﹣(1﹣m)]>0.通过对 m 与 1﹣ m 的大小分类讨论,再利用一元二次不等式的解法即可得出. 2 解答: 解:∵ 关于 x 的不等式 x +x﹣m(m﹣1)>0(m∈R) , ∴ (x﹣m)[x﹣(1﹣m)]>0. (*)
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当 m=1﹣m 时,即 m= 时,化为

,∴

.此时不等式的解集为{x|

};

当 m>1﹣m 时,即 m> 时,此时不等式的解集为{x|x>m 或 x<1﹣m}; 当 m<1﹣m 时,即 m< 时,此时不等式的解集为{x|x>1﹣m 或 x<m}. 综上可得:当 m= 时,不等式的解集为{x| };

当 m> 时,不等式的解集为{x|x>m 或 x<1﹣m}; 当 m< 时,不等式的解集为{x|x>1﹣m 或 x<m}. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论的思想方法,属于中档题.

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www.jyeoo.com 18. (8 分)已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠ A 是锐角,且 (Ⅰ )求∠ A 的度数; (Ⅱ )若 a=7,△ ABC 的面积为 10 ,求 b +c 的值.
2 2

b=2a?sinB.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 转化思想;整体思想. 分析: (1)利用正弦定理,可把 b=2a?sinB 变形为 sinB=2sinAsinB,从而解出 sinA,进而求出 A. 2 2 (2)利用三角形的面积公式可得 bc=40,代入余弦定理即可求出 b +c 的值. 解答: 解: (Ⅰ )∵ b=2a?sinB, ∴ 由正弦定理知: sinB=2sinAsinB, ∵ ∠ B 是三角形内角, ∴ sinB>0,
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∴ sinA=



∴ ∠ A=60°或 120°, , ∵ ∠ A 是锐角, ∴ ∠ A=60°. (Ⅱ )∵ a=7,△ ABC 的面积为 10 ∴ 10 = bcsin60°,



∴ bc=40; 2 2 2 由余弦定理得 7 =b +c ﹣2bccos60°, 2 2 ∴ b +c =89. 点评: 本题主要利用了正弦定理的变形 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,三角形面积公式和余弦定理,注意整体 思想的应用. 19. (8 分)设函数 f(x)=mx ﹣mx﹣1. (1)若对一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)对于 x∈[1,3],f(x)<﹣m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数最值的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)若 f(x)<0 恒成立,则 m=0 或
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2

,分别求出 m 的范围后,综合讨论结果,可得答案.

(2)若对于 x∈[1,3],f(x)<﹣m+5 恒成立,则 二次函数的图象和性质分类讨论,综合讨论结果,可得答案. 解答: 解: (1)当 m=0 时,f(x)=﹣1<0 恒成立, 当 m≠0 时,若 f(x)<0 恒成立, 则 解得﹣4<m<0 综上所述 m 的取值范围为(﹣4,0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (2)要 x∈[1,3],f(x)<﹣m+5 恒成立, 即 恒成立.

恒成立,结合

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www.jyeoo.com 令 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 当 m>0 时,g(x)是增函数, 所以 g(x)max=g(3)=7m﹣6<0, 解得 .所以 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当 m=0 时,﹣6<0 恒成立. 当 m<0 时,g(x)是减函数. 所以 g(x)min=g(1)=m﹣6<0, 解得 m<6. 所以 m<0. 综上所述, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题考查的知识点是函数恒成立问题,函数的最值,其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的 关键. 20. (10 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(n∈N ) . (1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=n?(an+1) ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 考点: 数列的求和;等比关系的确定. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)易求 a1=1,由题意得 2an=Sn+n,2an+1=Sn+1+(n+1) ,两式相减后变形可得 an+1+1=2(an+1) ,根据等 比数列的定义可得结论,利用等比数列通项公式可求 an+1,进而可得 an; (2)由(1)可求 bn,利用错位相减法可求得 Tn. 解答: (1)证明:n=1 时,2a1=S1+1, ∴ a1=1. 由题意得 2an=Sn+n,2an+1=Sn+1+(n+1) , 两式相减得 2an+1﹣2an=an+1+1,即 an+1=2an+1. 于是 an+1+1=2(an+1) , 又 a1+1=2. ∴ 数列{an+1}为首项为 2,公比为 2 的等比数列, n﹣1 n n ∴ an+1=2?2 =2 ,即 an=2 ﹣1; n (2)解:由(1)知,bn=n?2 , 2 n ∴ Tn=1?2+2?2 +…+n?2 ① , 2 3 n+1 2Tn=1?2 +2?2 +…+n?2 ② ,
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*

① ﹣② ,得﹣Tn=2+2 +…+2 ﹣n?2
n+1

2

n

n+1

=

﹣n?2

n+1

=(1﹣n)?2

n+1

﹣2,

∴ Tn=(n﹣1)?2 +2. 点评: 本题考查由数列递推式求数列通项、等比数列的定义、数列求和,错位相减法对数列求和是高考考查的重 点内容,要熟练掌握.

21. (15 分)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足

为常数,则称该数列为“优”数列.

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www.jyeoo.com (1)判断 an=4n﹣2 是否为“优”数列?并说明理由; (2)若首项为 1,且公差不为零的等差数列{an}为“优”数列,试求出该数列的通项公式; (3)若首项为 1,且公差不为零的等差数列{an}为“优”数列,正整数 k,h 满足 k+h=2013,求 的最小值.

考点: 数列的应用. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)利用“优”数列,代入验证即可;
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(2)由

=k,首项为 1,可得 2n+n d﹣nd=4kn+4n dk﹣2nkd,化简得 d(4k﹣1)n+(2k﹣1) (2﹣d)=0,

2

2

从而可得

,即可得出结论;

(3)

=

=

(k+h) (

) ,利用基本不等式,即可得出结论.

解答: 解: (1)由 an=4n﹣2,得 a1=2,d=4,



=

= ,

∴ an=4n﹣2 是“优”数列; (2)设等差数列{an},公差为 d,则由 =k,首项为 1,可得 2n+n d﹣nd=4kn+4n dk﹣2nkd,
2 2

化简得 d(4k﹣1)n+(2k﹣1) (2﹣d)=0① , 由于① 对任意正整数 n 均成立,∴ ,

∴ d=2,k= , ∴ an=2n﹣1; (3)由(2)知 an=2n﹣1,正整数 k,h 满足 k+h=2013, ∴ = = (k+h) ( )= (5+ + )≥ (5+4)= ,

当且仅当 k=2h=1342 时,

的最小值为



点评: 本题考查新定义,考查等差数列的求和公式,考查基本不等式的运用,综合性强.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;xiexie;翔宇老师;lincy;wyz123;jj2008;xintrl;刘长柏;caoqz;sxs123; 吕静;zlzhan;孙佑中(排名不分先后)
菁优网 2014 年 6 月 22 日

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