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2005全国高中数学联赛试题及答案[1]


二〇〇五年高中数学联赛试卷
一、选择题
1. 使关于 x 的不等式 x ? 3 ? A.
6 ? 3 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是

B.

3

C.

6 ?

3

D.

6


2. 空间四点 A、B、C、D,满足 | AB | ? 3 、 | BC | ? 4 、 | CD |? 11 、 | DA | ? 9 ,则 AC ? BD 的取值 A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有无穷多个 3. △ ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线交此圆于 A1、B1、C1 三点,则 D' C'
AA 1 ? cos A 2 2 sin A ? sin B ? sin C ? BB 1 ? cos B ? CC 1 ? cos C 2 的值是

A' D

B' C B

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 A 4. 如图,ABCD-A'B'C'D'为正方体,任作平面 α 与对角线 AC'垂直,使 α 与正方体的 每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为 S,周长为 l,则 A. S 是定值,l 不是定值 B. S 不是定值,l 是定值 C. S、l 均是定值 D. S、l 均不是定值 5. 方程
sin x
2

2 ? sin

? 3 cos

y

2

2 ? cos

? 1 表示的曲线是 3

A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的椭圆 6. 记集合 T ? ? 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , M ? ? 到小顺序排列,则第 2005 个数是 A.
5 7 ? 5 7
2

B. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线
? a1 ? 7
6 7
3

?

a2 7
2
2

?

a3 7
3

?

a4 7
1 7
2

4

? a i ? T , i ? 1, 2 , 3 , 4 ? ,将 M 中的元素按从大 ?
0 7
3

?

6 7
3

?

3 7
4

B.

5 7

?

5 7
2

?

?

7

4

C.

1 7

?

?

?

4 7
4

D.

1 7

?

1 7
2

?

0 7
3

?

3 7
4

二、填空题
7. 将 多 项 式 f ( x ) ? 1 ? x ? x ? x ? ? ? x
2 3 19

? x

20

表 示 为 关 于 y 的 多 项 式 g ( y) ?
2

a 0 ? a1 y ? a 2 y ? ? ? a 19 y
2

19

? a 20 y

20

,且 y ? x ? 4 ,则 a 0 ? a 1 ? ? ? a 20 =__________。
2

8. f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数, f ( 2 a ? a ? 1) ? f ( 3 a ? 4 a ? 1) 成立, 若 则实数 a 的取值范围是 _____________。 9. 设 α、β、 满足 0 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ,若对任意 x ? R ,cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ? 0 γ 成立,则 ? ? ? =_____。 10. 如图,四面体 DABC 的体积为
1 6

,∠ACB=45° AD ? BC ? ,

AC 2

?
2

2 ,则 CD=_________。

11. 正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上,另外两顶点在 y ? x 上,则正方 形面积的最小值为_____________。 12. 若自然数 a 的各位数字之和为 7,则称 a 是“吉祥数” 。将所有“吉祥数”从小 到大排成一列:a1、a2、a3?,若 an=2005,则 a5n=______。

D C A

三、解答题
13. 数列{an}满足 a0=1, a n ? 1 ?
7an ? 45 a n ? 36
2

B

, n ? N ,证明:(1)对于任意 n ? N ,a 为整数;

2

(2)对于任意 n ? N , a n a n ? 1 ? 1 为完全平方数。
共 13 页 1

14. 将编号为 1、2、3、?9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各一个小球, 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 S,求值 S 达到最小值的方法的 概率(若某种方法,经旋转或镜面反射可与另一种方法重合,则认为是相同方法) 。 15. 过抛物线 y=x2 一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D,交 y 轴于 B,C 在抛物线上,E 在线段 AC 上,
AE EC ? ? 1 ,F 在线段 BC 上, BF FC ? ? 2 ,且 λ1+λ2=1,线段 CD 与 EF 交于 P,当 C 在抛物

线上移动时,求 P 的轨迹方程。

共 13 页

2

二○○五年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准
说明: 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准。 选择题只设 6 分和 0 分两档, 填空题只设 9 分和 0 分两档; 其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次。 2. 如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准 适当划分档次评分,5 分为一个档次,不要再增加其他中间档次。 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确 答案的代表字母填在题后的括号内。 每小题选对得 6 分; 不选、 选错或选出的代表字母超过一个 (不 论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1.使关于 x 的不等式 x ? 3 ? A. 6 ? 解:令 y ?
3
x?3?

6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是(



B. 3

C. 6 ?
2

3

D. 6

6 ? x , 3 ? x ? 6 , 则 y ? ( x ? 3) ? (6 ? x ) ? 2 ( x ? 3)(6 ? x ) ? 2[( x ? 3) 6 ,? 实 数 k 的最大值为

? (6 ? x )] ? 6 . ? 0 ? y ?

6 。选 D。

2.空间四点 A、B、C、D 满足 | AB | ? 3 , | BC | ? 7 , | CD | ? 11 , | DA | ? 9 , 则 AC ? BD 的 取值( ) A.只有一个
2 2

B.有二个
2 2

C.有四个

D.有无穷多个
?
2

解:注意到 3 ? 11 ? 1130 ? 7 ? 9 , 由于 AB ? BC ? CD ? DA ? 0 , 则 DA
( AB ? BC ? CD )
BC
2

? DA =
2

2

2

? AB
2

2

? BC

2

? CD

2

? 2 ( AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB ) ? AB
2

?

? CD

2

? 2 ( BC

? AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB ) ? AB
2

? BC

2

? CD

2

? 2 ( AB ?

BC ) ? ( BC ? CD ), 即 2 AC ? BD ? AD

? BC

2

? AB

2

? CD

2

? 0 ,? AC ? BD 只有一个值得 0,故选

A。 3. ? ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线延长后分别交此圆
AA 1 ? cos A 2 ? BB 1 ? cos B 2 ? CC
1

? cos

C 2

于 A 1 、 B 1 、 C 1 。则 A.2 B.4

sin A ? sin B ? sin C

的值为(



C.6
A 2 ) ? 2 s in ( 2

D.8
A? B?C ? B 2 ? C 2 )

解:如图,连 BA 1 ,则 A A1 ? 2 s in ( B ?

共 13 页

3

? 2 cos(

B 2

?

C 2

).

? A A1 c o s

A 2

? 2 cos(

B 2

?

C 2

) cos B 2

A 2

? cos

A? B ?C 2

? cos C 2

A?C ? B 2

? cos(

?
2

? C ) ? cos( A 2

?
2

? B)

? s in C ? s in B , 同 理 B B 1 c o s cos B 2 ? C C1 co s C 2

? s in A ? s in C , C C 1 c o s

? s in A ? s in B , ? A A1 c o s

? B B1 ?

? 2 (s in A ? s in B ? s in C ), ? 原 式 ?

2 (s in A ? s in B ? s in C ) s in A ? s in B ? s in C

? 2 .选 A .

4.如图, ABCD ? A ? B ?C ?D ? 为正方体。任作平面 ? 与对角线 A C ? 垂 直, 使得 ? 与正方体的每个面都有公共点, 记这样得到的截面多边形的面积 为 S,周长为 l .则( ) A.S 为定值, l 不为定值 B.S 不为定值, l 为定值 C.S 与 l 均为定值 D.S 与 l 均不为定值 解:将正方体切去两个正三棱锥 A ? A ? B D 与 C ? ? D ?B ?C 后,得到一个以 平行平面 A ? B D 与 D ?B ?C 为上、 下底面的几何体 V, 的每个 V 侧面都是等腰直角三角形,截面多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行,将 V 的侧面沿棱 A ? B ? 剪开,展平 在一张平面上,得到一个
A ? B ?B 1 A 1 , 而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 A ? A 1

平行的线段(如图中 E ?E 1 ) ,显然 E ?E 1 ? A ? A1 ,故 l 为定值。 当 E ? 位于 A ? B ? 中点时,多边形 W 为正六边形,而当 E ? 移至 A ? 处时,W 为正三角形,易知周 长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为
3 24 l 与
2

3 36

l ,故 S 不为定值。选 B。

2

5.方程
sin

x

2

2 ? sin

? 3 cos

y

2

2 ? cos

? 1 表示的曲线是( 3



A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 解:?
sin
2 ? 3 ? ? ,? 0 ?

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线
?
2 ? 2 ? 3 ?

?
2

?

?
2

,? cos(

?
2

?

2 ) ? cos(

3 ?

?
2

), 即

2 ? sin
2 ?

3.

又0 ? 线是椭圆。
? (sin

? ?
, 2 2

?

3 ? ? ,? cos

2 ? 0 , cos

3 ? 0 ,? cos

2 ? cos

3 ? 0 , 方程表示的曲

2 ? sin

3 ) ? (cos

2 ? cos

3) ? 2

2 sin

2 ? 2

3

sin(

2 ? 2

3

?

?
4

) ? ? (? )

共 13 页

4

?

?
2

?

2 ? 2 2 ? 2

3

? 0 ,? sin ?

2 ? 2

3

? 0,

?
2

?

2 ? 2

3

?

3? 4

,?

3? 4

?

2 ? 2

3

?

?
4

? ?.

? sin(

3

?
4

) ? 0 ,? ( ? ) 式 ? 0 .

即 sin

2 ? sin

3 ? cos

2 ? cos

3 . ? 曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆,选 C。
a1 7 a2 7
2

6.记集合 T ? { 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }, M ? {

?

?

a3 7
3

?

a4 7
4

| a i ? T , i ? 1, 2 , 3 , 4 }, 将 M 中的元素按从

大到小的顺序排列,则第 2005 个数是( A. C.
5 7 1 7 ? ? 5 7 7
2


5 7
2

? ?

6 7 7
3

? ?

3 7 7
4

B. D.

5 7 1 7

? ?

? ?

6 7 7
3

? ?

2 7 7
4

1
2

0
3

4
4

1 7
2

0
3

3
4

解:用 [ a 1 a 2 ? a k ] p 表示 k 位 p 进制数,将集合 M 中的每个数乘以 7 ,得
3 2 M ? ? { a 1 ? 7 ? a 2 ? 7 ? a 3 ? 7 ? a 4 | a i ? T , i ? 1, 2, 3, 4} ? { [ a 1 a 2 a 3 a 4 ] 7 | a i ? T , i ? 1, 2, 3, 4} .

4

M ? 中的最大数为 [ 6666 ] 7 ? [ 2400 ] 10 。

在十进制数中,从 2400 起从大到小顺序排列的第 2005 个数是 2400-2004=396。而 [ 396 ] 10 ?
[1104 ] 7 将此数除以 7 ,便得 M 中的数
4

1 7

?

1 7
2

?

0 7
3

?

4 7
4

. 故选 C。

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7.将关于 x 的多项式 f ( x ) ? 1 ? x ? x ? x ? ? ? x
2 3 19

? x

20

表为关于 y 的多项式 g ( y ) ?
5
21

a 0 ? a1 y ? a 2 y

2

? ? ? a 19 y

19

? a 20 y

20

, 其中 y ? x ? 4 . 则 a 0 ? a 1 ? ? ? a 20 ?

?1

.

6

解:由题设知, f ( x ) 和式中的各项构成首项为 1,公比为 ? x 的等比数列,由等比数列的求和
(? x)
21

公式,得: f ( x ) ?

?1

? x ?1

?

x

21

?1

x ?1 5
21

. 令 x ? y ? 4, 得 g ( y ) ?

( y ? 4)

21

?1

y ?5

, 取 y ? 1,

有 a 0 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a 20 ? g (1) ?

?1

.

6
2 2

8.已知 f ( x ) 是定义在 ( 0 , ?? ) 上的减函数,若 f ( 2 a ? a ? 1) ? f ( 3 a ? 4 a ? 1) 成立,则 a 的 取值范围是 0 ? a ?
1 3
共 13 页 5

或1 ? a ? 5.

解:? f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上定义,又 2 a ? a ? 1 ? 2 ( a ?
2

1 4

) ?
2

7 8

? 0 ;3 a

2

? 4 a ? 1 ? ( 3 a ? 1)

? ( a ? 1), 仅当 a ? 1 或 a ?

1 3

时, 3 a ? 4 a ? 1 ? 0 .( ? )
2 2

? ? f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上是减函数, 2 a

? a ? 1 ? 3a

2

? 4 a ? 1, ? a

2

? 5 a ? 0 ,? 0 ? a ? 5 , 结合

(*)知 0 ? a ?

1 3

或1 ? a ? 5 .

9.设 ? 、 ? 、 ? 满足 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,若对于任意 x ? R , cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ?
cos( x ? ? ) ? 0 , 则 ? ? ? ?

4? 3

.

解:设 f ( x ) ? cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ), 由 x ? R , f ( x ) ? 0 知,
f ( ? ? ) ? 0 , f ( ? ? ) ? 0 , f ( ? ? ) ? 0 , 即 cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? ? 1, cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? ? 1, cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? ? 1 . ? cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ?

?

1 2

. ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ,? ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? { 2? 3 .? ? ? ? ? 2? 3 4? 3 ,有? ? ? ? 2? 3 .

2? 3

,

4? 3

}, 又 ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ?

? ? ? . 只有 ? ? ? ? ? ? ? ?

另一方面,当 ? ? ? ? ? ? ? ? 三 点 (cos ? , sin ? ), (cos( ? ?
x
2

2? 3

,? ? ? ? 4? 3 ),

4? 3

, ? x ? R , 记 x ? ? ? ? ,由于 4? 3 ))

2? 3

), sin( ? ?

)), (cos( ? ?

sin( ? ?

构 成 单 位 圆

? y

2

?1

上 正 三 角 形 的 三 个 顶 点 . 其 中 心 位 于 原 点 , 显 然 有
2? 3 ) ? cos( ? ? 4? 3 ) ? 0.

cos ? ? cos( ? ?

即 cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ? 0 . 10. 如 图 , 四 面 体
? ACB ? 45 ? , AD ? BC ?

DABC
AC 2

的 体 积 为

1 6

, 且 满 足

? 3 , 则 CD ?

3.

解:?

1 3

AD ? (

1 2

? BC ? AC ? sin 45 ? ) ? V DABC

?

1 6

,

即 AD ? BC ?

AC 2

? 1 . 又 3 ? AD ? BC ?

AC 2

?

3

AD ? BC ?

AC 2

? 3,

共 13 页

6

等号当且仅当 AD ? BC ?

AC 2

? 1 时成立,这时 AB ? 1, AD ? 面 ABC,? DC ?

3 .

11.若正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上, 另外两个顶点在抛物线 y ? x 上.则该正方
2

形面积的最小值为

80

.

解:设正方形的边 AB 在直线 y ? 2 x ? 17 上,而位于抛物线上的两个顶点坐标为 C ( x 1 , y 1 ) 、
D ( x 2 , y 2 ) , 则 CD 所 在 直 线 l 的 方 程 y ? 2 x ? b , 将 直 线 l 的 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立 , 得
x
2

? 2 x ? b ? x 1, 2 ? 1 ?

b ? 1.
2 2 2 2

令正方形边长为 a , 则 a ? ( x 1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ? 5 ( x 1 ? x 2 ) ? 20 ( b ? 1). ① 在 y ? 2 x ? 17 上任取一点(6,,5) ,它到直线 y ? 2 x ? b 的距离为 a ,? a ?
| 17 ? b | 5

②.

①、②联立解得 b1 ? 3 , b 2 ? 63 . ? a ? 80 , 或 a ? 1280 . ? a min ? 80 .
2 2 2

12.如果自然数 a 的各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排 成一列 a 1 , a 2 , a 3 , ? , 若 a n ? 2005 , 则 a 5 n ? 5200. 解:∵方程 x 1 ? x 2 ? ? ? x k ? m 的非负整数解的个数为 C m ? k ? 1 .而使 x 1 ? 1, x i ? 0 ( i ? 2 ) 的整
m

数解个数为 C m ? k ? 2 .现取 m ? 7 ,可知, k 位“吉祥数”的个数为 P ( k ) ? C k ? 5 .
6

m ?1

∵2005 是形如 2 abc 的数中最小的一个“吉祥数” ,且 P (1) ? C 6 ? 1, P ( 2 ) ? C 7 ? 7 ,
6 6

P ( 3 ) ? C 8 ? 28 , 对于四位“吉祥数” 1 abc ,其个数为满足 a ? b ? c ? 6 的非负整数解个数,即
6

C 6 ? 3 ? 1 ? 28 个。
6

∵2005 是第 1+7+28+28+1=65 个“吉祥数” ,即 a 65 ? 2005 . 从而 n ? 65 , 5 n ? 325 . 又 P ( 4 ) ? C 9 ? 84 , P ( 5 ) ? C 10 ? 210 , 而 ? P ( k ) ? 330 .
6 6

5

k ?1

∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是:70000,61000,60100,60010,60001,52000.∴第 325 个“吉祥数”是 52000,即 a 5 n ? 52000 . 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.数列 { a n } 满足: a 0 ? 1, a n ? 1 ?
7an ? 45 a n ? 36
2

,n ? N.

2

共 13 页

7

证明: (1)对任意 n ? N , a n 为正整数;(2)对任意 n ? N , a n a n ? 1 ? 1 为完全平方数。 证明: (1)由题设得 a 1 ? 5 , 且 { a n } 严格单调递增.将条件式变形得 2 a n ? 1 ? 7 a n ? 两边平方整理得 a n ? 1 ? 7 a n a n ? 1 ? a n ? 9 ? 0
2 2

45 a n ? 36 ,
2



? a n ? 7 a n ?1 a n ? a n ?1 ? 9 ? 0
2 2



①-②得 ( a n ? 1 ? a n ? 1 )( a n ? 1 ? a n ? 1 ? 7 a n ) ? 0, ? a n ? 1 ? a n , ? a n ? 1 ? a n ? 1 ? 7 a n ? 0 ?
a n ? 1 ? 7 a n ? a b ?1 .



由③式及 a 0 ? 1, a 1 ? 5 可知,对任意 n ? N , a n 为正整数.??????????10 分 (2)将①两边配方,得 ( a n ? 1 ? a n ) ? 9 ( a n a n ? 1 ? 1), ? a n a n ? 1 ? 1 ? (
2

a n ?1 a n 3

) .④

2

由③ a n ? 1 ? a n ? 9 a n ? ( a n ? 1 ? a n ) ≡ ? ( a n ? a n ? 1 ) ? m o d 3 ? ∴ a n ? 1 ? a n ≡ ( ? 1) ? a 1 ? a 0 ? ≡0(mod3)∴
n

a n ?1 ? a n 3

为正整数

④式成立.
? a n a n ? 1 ? 1 是完全平方数.????????????????????????20 分

14.将编号为 1,2,?,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个 小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到最小值的放法的概率.(注: 如果某种放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法) 解:九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上,每点放一个,相当于九个不同元素在圆周上 的一个圆形排列,故共有 8!种放法,考虑到翻转因素,则本质不同的放法有
8! 2

种. ?5 分

下求使 S 达到最小值的放法数:在圆周上,从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径,对其中任一条路径, 设 x 1 , x 2 , ? , x k 是依次排列于这段弧上的小球号码,则
| 1 ? x 1 | ? | x 1 ? x 2 | ? ? ? || x k ? 9 |? | (1 ? x 1 ) ? ( x 1 ? x 2 ) ? ? ? ( x k ? 9 ) | ? | 1 ? 9 |? 8 . 上 式 取

等号当且仅当 1 ? x 1 ? x 2 ? ? ? x k ? 9 ,即每一弧段上的小球编号都是由 1 到 9 递增排列. 因此 S 最小 ? 2 ? 8 ? 16 .?????????????????????????10 分 由上知,当每个弧段上的球号 {1, x 1 , x 2 , ? x k , 9 } 确定之后,达到最小值的排序方案便唯一确定. 在 1,2,?,9 中,除 1 与 9 外,剩下 7 个球号 2,3,?,8,将它们分为两个子集,元素较少的 一个子集共有 C 7 ? C 7 ? C 7 ? C 7 ? 2 种情况, 每种情况对应着圆周上使 S 值达到最小的唯一排法,
0 1 2 3 6

共 13 页

8

6 即有利事件总数是 2 种,故所求概率 P ?

2

6

8! 2

?

1 315

. ?????20 分

15.过抛物线 y ? x 上的一点 A(1,1)作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D,交 y 轴于 B.点 C 在
2

抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足

AE EC

? ? 1 ;点 F 在线段 BC 上,满足

BF FC

? ? 2 ,且 ? 1 ? ? 2 ? 1 ,

线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程. 解一:过抛物线上点 A 的切线斜率为: y ? ? 2 x | x ? 1 ? 2 ,? 切线 AB 的方程为 y ? 2 x ? 1 . ? B 、 D 的坐标为 B ( 0 , ? 1), D ( , 0 ), ? D 是线段 AB 的中点. ??????5 分
2 1

设 P ( x , y ) 、 C ( x 0 , x 0 ) 、 E ( x 1 , y 1 ) 、 F ( x 2 , y 2 ) ,则由
x1 ? 1 ? ?1 x0 1 ? ?1 , y1 ? 1 ? ?1 x 0 1 ? ?1
2

2

AE EC

? ? 1 知,
2

;

BE FC

? ?2 , 得 x2 ?

? 2 x0
1 ? ?2

, y2 ?

? 1 ? ? 2 x0 1 ? ?2

.

y?

1 ? ?1 x 0 1 ? ?1
2

2

x?
2

1 ? ?1 x 0 1 ? ?1 ? 1 ? ?1 x 0 1 ? ?1
2

∴EF 所在直线方程为:

? 1 ? ?2 x0 1 ? ?2

?

1 ? ?1 x 0 1 ? ?1
2

?

? 2 x0
1 ? ?2

,

化 简 得 [( ? 2 ? ? 1 ) x 0 ? (1 ? ? 2 )] y ? [( ? 2 ? ? 1 ) x 0 ? 3 ] x ? 1 ? x 0 ? ? 2 x 0 . ? ①????10 分 当 x0 ?
1 2

时,直线 CD 的方程为: y ?

2 x0 x ? x0
2

2

2 x0 ? 1

?②

x0 ? 1 ? ?x ? 1 ? 3 2 联立①、②解得 ? ,消去 x 0 ,得 P 点轨迹方程为: y ? ( 3 x ? 1 ) . ???15 分 2 3 ? y ? x0 ? 3 ?

当 x0 ?

1 2

时,EF 方程为: ?

3 2

y ? (

1 4

?2 ?

1 4

?1 ? 3) x ?

3 2

?

1 4

? 2 , CD 方程为: x ?

1 2

,联立解

1 ? ? x ? , ? ? 2 ? 2 ? 得? ? 也在 P 点轨迹上.因 C 与 A 不能重合,∴ x 0 ? 1,? x ? . 3 ? y ? 1 .? ? 12 ? ? ?

∴所求轨迹方程为 y ?

1 3

( 3 x ? 1) ( x ?
2

2 3

). ??????????????????20 分

共 13 页

9

解二:由解一知,AB 的方程为 y ? 2 x ? 1, B ( 0 , ? 1), D ( , 0 ), 故 D 是 AB 的中点. ??5 分
2

1

令? ?

CD CP

, t1 ?

CA CE

? 1 ? ?1 , t 2 ?

CB CF

? 1 ? ? 2 , 则 t 1 ? t 2 ? 3 . 因为 CD 为 ? ABC 的中线,

? S ? CAB ? 2 S ? CAD ? 2 S ? CBD .



1 t1t 2

?

CE ? CF CA ? CB

?

S ? CEF S ? CAB

?

S ? CEP 2 S ? CAD

?

S ? CFP 2 S ? CBD

?

1

2 t 1?

(

1

?

1 t 2?

) ?

t1 ? t 2 2 t1t 2 ?

?

3 2 t1t 2 ?

,? ? ?

3 2

, ? P

是 ? ABC 的重心. ???????????????????????????10 分 设 P ( x , y ), C ( x 0 , x 0 ), 因点 C 异于 A,则 x 0 ? 1, 故重心 P 的坐标为
2

x ?

0 ? 1 ? x0 3

?

1 ? x0 3

,(x ?
1 3

2 3

), y ?

? 1 ? 1 ? x0 3

2

?

x0 3

2

, 消去 x 0 , 得 y ?

1 3

( 3 x ? 1) .
2

故所求轨迹方程为 y ?

( 3 x ? 1) ( x ?
2

2 3

). ??????????????????20 分

2005 年全国高中数学联赛试题(二)
一、 (本题满分 50 分) 如图,在△ABC 中,设 AB>AC,过 A 作△ABC 的外接圆的切线 l,又以 A 为圆心,AC 为半径作圆 分别交线段 AB 于 D;交直线 l 于 E、F。 证明:直线 DE、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

(注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心称为 旁心。 ) 证明: (1)先证 DE 过△ABC 的内心。 如图,连 DE、DC,作∠BAC 的平分线分别交 DC 于 G、DE 于 I,连 IC,则由 AD=AC, 得,AG⊥DC,ID=IC. 又 D、C、E 在⊙A 上, ∴∠IAC=
1 2

∠DAC=∠IEC,∴A、I、C、E 四点共圆,

∴∠CIE=∠CAE=∠ABC,而∠CIE=2∠ICD, ∴∠ICD=
1 2

∠ABC.
1 2

∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+

∠ABC,∴∠ACI=

1 2

∠ACB,∴I 为△ABC 的内心。

共 13 页

10

(2)再证 DF 过△ABC 的一个旁心. 连 FD 并延长交∠ABC 的外角平分线于 I1,连 II1、B I1、B I,由(1)知,I 为内心, ∴∠IBI1=90°=∠EDI1,∴D、B、l1、I 四点共圆, ∵∠BI l1 =∠BDI1=90°-∠ADI1 =(
1 2

∠BAC+∠ADG)-∠ADI=

1 2

∠BAC+∠IDG,∴A、I、I1 共线.

I1 是△ABC 的 BC 边外的旁心 二、 (本题满分 50 分) 设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy ? bz ? a , az ? cx ? b ; bx ? ay ? c .
x
2

求函数 f ( x , y , z ) ?

1? x

?

y

2

1? y

?

z

2

1? z

的最小值.

解:由条件得, b ( az ? cx ? b ) ? c ( bx ? ay ? c ) ? a ( cy ? bz ? a ) ? 0 , 即 2 bcx ? a ? b ? c ? 0 ,
2 2 2

? x ?

b

2

?c

2

?a

2

,同理,得 y ?

a

2

?c

2

?b

2

,z ?

a

2

?b

2

?c

2

.

2 bc

2 ac

2 ab

? a、b、c、x、y、z 为正数,据以上三式知,

b

2

?c

2

? a ,a
2

2

?c

2

? b ,a
2

2

?b

2

? c ,
2

故以 a、b、c 为边长,可构成一个锐角三角形 ABC,
? x ? cos A , y ? cos B , z ? cos C ,问题转化为:在锐角△ABC 中,
2 2 2

求函数 f (cos A 、 cos B 、 cos C )=

cos

A

1 ? cos A

?

cos

B

1 ? cos B

?

cos

C

1 ? cos C

的最小值.

令 u ? cot A , v ? cot B , w ? cot C , 则 u , v , w ? R , uv ? vw ? wu ? 1, 且 u ? 1 ? ( u ? v )( u ? w ), v ? 1 ? ( u ? v )( v ? w ), w ? 1 ? ( u ? w )( v ? w ).
2 2 2

?

u ? cos
2

2

A

1 ? cos A

? 1?

u

2

?1 u u
2

? u
2

u

2

?
2

u ( u u

2

2

? 1 ? u) ?1

? 1( u

? 1 ? u)

2

?1
3 2

? u

2

?

u u
2

u ?1
v
3

?

u

3

( u ? v )( u ? w )
1 u ? w cos
2

? u

2

?

u

3

(

1 u ?v
3

?

1 u ? w

),

2

同理,

cos

2

B

1 ? cos B

? v

2

?

(

1 u ?v

?

),

C

2

1 ? cos C

? w

2

?

w 2

(

1 u ? w

?

1 v? w

).

共 13 页

11

? f ? u
2

2

?v
2

2

? w

2

?

1 u ? v ( 2 u ? v
3

3

?

v ? w
3

3

v? w

?

u

3

? w

3

u ? w

) ? u

2

?v

2

? w

2

?

1 2

[( u

2

? uv ? v )
2

+ ( v ? vw ? w ) ? ( u ? uw ? w )] ?
2 2

1 2

( uv ? vw ? uw ) ? 1 2 .

1 2

. (取等号当且仅当 u ? v ? w ,此时,

a ? b ? c, x ? y ? z ?

1 2

), [ f ( x , y , z )] min ?

三、 (本题满分 50 分)
当 n 为平方数 , ?0 ? 对每个正整数 n,定义函数 f ( n ) ? ? 1 [ ]当 n 不为平方数 ? ? { n}

.

(其中[x]表示不超过 x 的最大整数, { x } ? x ? [ x ]). 试求: ? f ( k ) 的值.
k ?1

240

解:对任意 a , k ? N ,若 k
*

2

? a ? ( k ? 1) ,则 1 ? a ? k
2

2

? 2 k ,设 a ? k ? ? , 0 ? ? ? 1,
1 { a} 2k a ? k
2



1 { a}

?

1

?

?

1 a ? k

?

a ? k a ? k
2

?

2k ? ? a ? k
2

?

2k a ? k
2

? 1, ? [

]?[

].

让 a 跑遍区间 ( k , ( k ? 1) )中的所有整数,则
2 2
2

?
k ? a ? ( k ?1)
2

[

1 {a}

]?

?[
i ?1

2k

2k i

],

( n ?1)

2

于是

?
a ?1

f (a ) ?

??[
i ?1 i ?1

n

2k

2k i

] ??①

下面计算 ? [
i ?1

2k

2k i

], 画一张 2k×2k 的表,第 i 行中,凡是 i 行中的位数处填写“*”号,则这行

的“*”号共 [

2k i

] 个,全表的“*”号共 ? [
i ?1

2k

2k i

] 个;另一方面,按列收集“*”号数,第 j 列中,若

j 有 T(j)个正因数,则该列使有 T(j)个“*”号,故全表的“*”号个数共

?
j ?1

2k

T ( j ) 个,因此 ? [
i ?1

2k

2k i

] = ? T ( j) .
j ?1

2k

示例如下: j i 1 2 3 4 5 6
共 13 页 12

1 *

2 * *

3 * *

4 * * *

5 *

6 * * *

*

则 ? f (a ) ?
i ?1

n

? ? T ( j ) ? n [T (1) ? T ( 2 )] ? ( n ? 1)[ T ( 3 ) ? T ( 4 )] ? ?
i ?1 j ?1

n

2k

? [ T ( 2 n ? 1) ? T ( 2 n )]

??② 由此, ? f ( k ) ? ? (16 ? k )[ T ( 2 k ? 1) ? T ( k )] ??③
k ?1 k ?1 256 15

记 a k ? T ( 2 k ? 1) ? T ( 2 k ), k ? 1, 2 , ? ,15 , 易得 a k 的取值情况如下:

k
ak

1 3

2 5

3 6

4 6

5 7

6 8

7 6

8 9

9 8

10 8

11 8

12 10

13 7

14 10

15 10

因此, ? f ( k ) ? ? (16 ? k ) a k ? 783 ??④
k ?1 k ?1

16

n

15

据定义 f ( 256 ) ? f (16 ) ? 0 ,
2

又当 k ? { 241 , 242 , ? , 255 }, 设 k ? 15 ? r
2

(16 ? r ? 30 ) ,

k ? 15 ?

15

2

? r ? 15 ? 15
2

r ? r ? 15 1 { k}

?

r 31

? 15
2

r ? r ? 15

?

r 30



1?

30 r
240

? { 15

1
2

? ? r}

31 r

? 2 ,则 [

] ? 1, k ? { 241 , 242 , ? , 255 } ??⑤

从则 ? f ( k ) ? 783 ?
i ?1

?
i ?1

256

f ( k ) ? 783 ? 15 ? 768 .

共 13 页

13


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