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北京市石景山区2015-2016学年高三上学期期末考试数学文科试题及参考答案


石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试试卷

高三数学(文)
本试卷共 5 页, 150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作 答无效.考试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项.

1,2?,集合 C ? ? 1,2,5,7?,则 ? A ? B ? ? C 为( 1.设集合 A ? ?2,5?,集合 B ? ? 1,2,5?B. ?2,5?C. ?2,5,7?D. ? 1,2,5,7? A. ?
? x ? y ? 2, ? 2.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1, ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?y ? 0 ?
A.0 B.2C.3 D.4





3.若函数 y ? f ( x) 的定义域为 M ? ?x | ?2 ? x ? 2? ,值域为 N ? ? y | 0 ? y ? 2? , 则函数 y ? f ( x) 的图象可能是( )

y
2
-2

y
2

y
2
2 x -2

y
2
2 x -2

o
A

x

-2

o
B

o
C

o 2
D

x

4. “ a ? 2 ”是“直线 2 x + ay - 1 = 0 与直线 ax + 2 y - 2 = 0 平行”的() A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
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高三数学(文科)第 1 页(共 10 页)

5.右面的程序框图表示算法的运行结果是() A. C.


?2 ?1

开 始 开始

B. 2 D. 1

S ? 0, i ? 1

i?3
否 i 是偶数 是



6.若圆 C 的半径为 1,其圆心与点 (1, 0) 关于 直线 y ? x 对称,则圆 C 的标准方程为() A. ( x ?1) ? y ? 1
2 2



S ? S ?i

S ? S ?i i ? i ?1

B. x ? ( y ? 1) ? 1
2 2

C. x ? ( y ?1) ? 1
2 2

输出 S

D. ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

结束

7. 已知 f ( x) ? x ? 1 , 若 f( x) ? a x A. 0,1

( 1 ? 在 x ? R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是



? ?

B. ? ??, ?1? ? ?1, ??? D. ?? ?,0 ? 1,???

C. ??1,1?

? ?

8.有一种走“方格迷宫”游戏,游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格,走过的方格 不能重复,只要有一个方格不同即为不同走法.现有如下图的方格迷宫,图中的实线不能 穿过,则从入口走到出口共有多少种不同走法? ( ) A.6 B. 8 C. 10 D. 12

高三数学(文科)第 2 页(共 10 页)

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数 i (1 ? i) 的实部为_____________. 10.已知向量 a ? ? ?3, 4 ? , b ? ?1, m? ,若 a ? ( a ? b ) ? 0 ,则 m ? ___________. 11.某工厂对一批产品进行了抽样检测,右图 是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数 据绘制的频率分布直方图, 其中产品净重的范 围是[96,106],样本数据分组为[96,98) , [98,100),[100,102),[102,104), [104,106] .已知样本中产品净重小于 100 克 的个数是 48,则 a =___________ ;样本中净 重在[98,104)的产品的个数是__________ .
96 98 100 102 104 106 克 0 0.15 a 0.10 0 0.075 0.05 频率/组距
?

?

?

?

?

12.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . a ? 15 , b ? 10 , A ? 60? ,
则 sin B ? _____________. 13.三棱锥 S ? ABC 及其三视图中的 正(主)视图和侧(左)视图如图所示, 则棱 SB 的长为___________.
A B C S

4

2 2 正 (主) 视图

2 3

左 (侧) 视图

14.股票交易的开盘价是这样确定的:每天开盘前,由投资者填报某种股票的意向买价或 意向卖价以及相应的意向股数,然后由计算机根据这些数据确定适当的价格,使得在该 价位上能够成交的股数最多. (注:当卖方意向价不高于开盘价,同时买方意向价不低于 开盘价,能够成交) 根据以下数据,这种股票的开盘价为________元,能够成交的股数为___________. 卖家意向价 (元) 2.1 意向股数 200 2.2 400 2.2 300 2.3 500 2.3 300 2.4 100 2.4 100

买家意向价 (元) 2.1 意向股数 600

高三数学(文科)第 3 页(共 10 页)

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1, a3 , a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求数列

?2 ?的前 n 项和 S .
an n

16. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 sin 2 x, x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期与单调增区间; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [0,

?
4

] 上的最大值与最小值.

17. (本小题共 13 分) 编号为 A1 , A2 , ???, A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: 运动员编号 得分 运动员编号 得分

A1
15

A2
35

A3
21

A4
28

A5
25

A6
36

A7
18

A8
34

A9
17

A10
26

A11
25

A12
33

A13
22

A14
12

A15
31

A16
38

(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格; 区间 人数 (Ⅱ)从得分在区间 [20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人, (i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这 2 人得分之和大于 50 的概率.

?10,20?

?20,30?

?30,40?

高三数学(文科)第 4 页(共 10 页)

18. (本小题共 14 分) 如图, 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AA 1 ? 4, 1 ⊥底面 ABC ,AC ? BC ? 2 ,AA

AB ? 2 2 , M , N 分别是棱 CC1 , AB 中点.
(Ⅰ)求证: CN ⊥平面 ABB 1A 1; (Ⅱ)求证: CN ∥平面 AMB 1; (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? AMN 的体积.

19. (本小题共 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,其中 e ? ( e 为椭圆离心率) ,焦距为 2, 2 2 a b

过点 M (4,0) 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A, B ,点 B 在 AM 之间.又点 A, B 的中点横坐标



4 . 7

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求直线 l 的方程.

20. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 m ?1 2 1 x ? x , g ( x) ? ? mx , m ? R . 3 2 3

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值,求 m 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 ?2,??? 为增函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有三个零点,求 m 的取值范围.

高三数学(文科)第 5 页(共 10 页)

石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试

高三数学(文)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 B 6 C 7 C 8 B

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 1 10 7 11 0.125,120 12 13 14 2.2,600

3 3

4 2

(14 题第一空 2 分,第二空 3 分) 三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题共 13 分) 解 (Ⅰ)由题设知公差 d ? 0 , 由 a1 ? 1, a1 , a3 , a9 成等比数列得 1 ? 2d ? 1 ? 8d , 1 1 ? 2d 解得 d ? 1, d ? 0 (舍去) , ………………5 分 故 ?an ? 的通项 an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n .………………7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2a ? 2n ,由等比数列前 n 项和公式得
m

………………2 分 ………………4 分

………………9 分

S n ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ?
16. (本小题共 13 分)

2(1 ? 2n ) ? 2n ?1 ? 2 .………………13 分 1? 2

解: f ( x) ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 1

? 2(

3 1 π sin 2 x ? cos 2 x) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . 2 2 6

………………2 分

高三数学(文科)第 6 页(共 10 页)

(Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 T ? 令?

2π ? π. 2

………………4 分

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , k ? Z ,解得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ,

所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ?

?

, k? ? ], k ? Z .………………7 分 3 6

?

(Ⅱ)因为 0 ? x ?

?
4

,所以

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? 1 ? ,所以 ? sin(2 x ? ) ? 1 , 3 2 6
………………9 分

于是 1 ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? 2 ,所以 0 ? f ( x) ? 1 .

当且仅当 x ? 0 时, f ( x) 取最小值 f ( x)min ? f (0) ? 0 . ………………11 分 当且仅当 2 x ? 17. (本小题共 13 分) (Ⅰ)解:4,6,6………3 分 (Ⅱ)解(i) :得分在区间 [20,30) 内的运动员编号为 A3 , A4 , A5 , A 10 , A 11 , A 13 . 从中随 机抽取 2 人,所有可能的抽取结果有:

?
6

?

?
2

,即 x ?

?
6

时最大值 f ( x) max ? f ( ) ? 1 .………13 分

?

6

{A3 , A 4},{A3 , A5},{A3 , A10},{A3 , A11},{A3 , A13},{A4 , A5}, { A4 , A10 } , {A4 , A11},{A4 , A13},{A5 , A10},{A5 , A11},{A5 , A13},{A10 , A11},{A10 , A13},{A11, A13} ,
共 15 种.………8 分 (Ⅲ) 解: “从得分在区间 [20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人, 这 2 人得分之和大于 50” (记为事件 B)的所有可能结果有:

{A4 , A5},{A4 , A10},{A4 , A11},{A5 , A10},{A10 , A11} ,共 5 种.………11 分
所以 P ( B) ?

5 1 ? . ………13 分 15 3
高三数学(文科)第 7 页(共 10 页)

18. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)证明:因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

AA1 ? 底面 ABC ,
又因为 CN ? 平面 ABC ,所以 AA1 ? CN . 因为 AC ? BC ? 2 , N 是 AB 中点, 所以 CN ? AB . 因为 AA1 ? AB ? A ,………4 分 所以 CN ? 平面 ABB1 A 1. ………5 分 ………3 分 ………1 分

(Ⅱ)证明:取 AB1 的中点 G ,连结 MG , NG ,因为 N , G 分别是棱

AB , AB1 中点,所以 NG ∥ BB1 , NG ?
又因为 CM ∥ BB1 , CM ?

1 BB1 . 2

………6 分

1 BB1 , 2

所以 CM ∥ NG , CM = NG .所以四边形 CNGM 是平行四边形. 所以 CN ∥ MG . 因为 CN ? 平面 AMB1 , MG ? 平面 AMB1 ,………9 分 所以 CN ∥平面 AMB1 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知 MG ? 平面 AB1 N . 所以 VB1 ? AMN ? VM ? AB1N ? 19. (本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)由条件可知, c ? 1, a ? 2 ,故 b ? a ? c ? 3 ,
2 2 2

………8 分

………10 分

1 1 4 ? ? 2 ? 4 ? 2 ? ………14 分 3 2 3

………3 分

椭圆的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1 .………4 分 4 3

(Ⅱ)由已知 A, B, M 三点共线, 设点 A( x1 , y1 ) ,点 B( x2 , y2 ) .
高三数学(文科)第 8 页(共 10 页)

若直线 AB ? x 轴,则 x1 ? x2 ? 4 ,不合题意.………5 分 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) . …6 分

由?

? y ? k ( x ? 4) 2 2 ?3x ? 4 y ? 12
2 2 2 2

消去 y 得,(3 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ?12 ? 0 .①
4 2 2 2

………8 分

由①的判别式△= 322k ? 4(4k ? 3)(64k ?12) ? 144(1 ? 4k ) ? 0 , …9 分 解得 k ?
2

1 , 4

………10 分

x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 x x ? , . 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

………11 分



x1 ? x2 16k 2 4 1 2 ? 2 ? ,可得 k 2 ? ,即有 k ? ? .………12 分 8 2 4k ? 3 7 4

即所求直线方程为 y ? ? 20. (本小题共 14 分)

2 ( x ? 4) . 4

………13 分

解: (Ⅰ) f ?( x) ? x ? (m ? 1) x ………1分
2

由 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,得 f ?(1) ? 1 ? (m ? 1) ? 0 , ………3分 所以 m ? 0 (经检验适合题意) ………4分
2 (Ⅱ) f ?( x) ? x ? (m ? 1) x ,因为 f ( x) 在区间 (2, ??) 为增函数,所以

x2 ? (m ? 1) x ? x( x ? m ?1) ? 0 在区间 (2, ??) 恒成立, ………5分
所以 x( x ? m ? 1) ? 0 恒成立,即 m ? x ? 1 恒成立, 由于 x ? 2 ,得 m ? 1 . 所以 m 的取值范围是 m ? 1 . ………8分
高三数学(文科)第 9 页(共 10 页)

(Ⅲ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?
2

1 3 m ?1 2 1 x ? x ? mx ? , 3 2 3

故 h?( x) ? x ? (m ? 1) x ? m ? ( x ?1)( x ? m) ? 0 ,得 x ? m 或 x ? 1 当 m ? 1 时, h?( x) ? ( x ?1) ? 0 , h( x) 在 R 上是增函数,显然不合题意.……9分
2

当 m ? 1 时, f ( x), f ?( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
h( x )

( ??, m)
+

m
0 极大值

( m,1)
?

1

(1, ??)
+

0

h?( x)



1 1 1 ? m3 ? m 2 ? 6 2 3



极小值

m ?1 2



………10 分

? 1 3 1 2 1 ? m ? m ? ?0 ? ? 6 2 3 要使 f ( x) ? g ( x) 有三个零点,故需 ? , ………12 分 m ? 1 ? ?0 ? ? 2
即?

?(m ? 1)(m2 ? 2m ? 2) ? 0 ? m ?1

, 解得 m ? 1 ? 3

所以 m 的取值范围是 m ? 1 ? 3 . ………14分

【注:若有其它解法,请酌情给分】

高三数学(文科)第 10 页(共 10 页)



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