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2015届高考调研理科专题研究 一元二次方程根的分布


高考调研

新课标版 · 高三数学(理)

专题研究

一元二次方程根的分布

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1.一 元 二 次 方 程 的 根 的 基 本 分 布

— —零 分 布

所 谓 一 元 二 次 方 程 根 的 零 分 布 , 指 的 是 方 程 的 根 相 对 于 零 的 关 系 . 比 如 二 次 方 程 有 一 正 根 , 有 一 负 根 , 其 实 就 是 指 这 个 二 次 方 程 一 个 根 比 零 大 , 一 个 根 比 零 小 , 或 者 说 , 这 两 个 根 分 布 在 零 的 两 侧 . 设 一 元 二 次 方 程 且 x1 ≤x2 . a x 2+bx+c=0 ( a≠0 )的 两 个 实 根 为 x1,x2,

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【 定 理

1】

x1>0,x2> 0 ( 两 个 正 根

c ≥0, ?Δ=b2-4a ? b ?x +x = - a>0, )?? 1 2 ? c ?x1x2= > . a0 ?

2 Δ = b -4a c ≥0, ? ? ?a>0, 推 论 : x1>0 , x2>0 ? ? ?f?0?=c>0, ? ?b<0 2 Δ = b -4a c ≥0, ? ? ?a<0, ? ?f?0?=c<0, ? 0 . ?b>
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上述推论结合二次函数图像不难得到.

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【 定 理

2】

c ≥0, ?Δ=b2-4a ? b ?x +x = - a<0, x1<0,x2<0?? 1 2 ? c ?x1x2= > . a0 ?
2 Δ = b -4a c ≥0, ? ? ?a>0, x1<0 , x2<0 ? ? ?f?0?=c>0, ? ?b>0

推 论 :



2 Δ = b -4a c ≥0, ? ? ?a<0, ? ?f?0?=c<0, ? 0 . ?b< 由 二 次 函 数 图 像 易 知 它 的 正 确 性 .
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c 【定理 3】 x1< 0 < x2?a< 0 .

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2.一元二次方程的根的非零分布——k 分布 设一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两实根为 x1,x2,且 x1≤x2.k 为 常 数 . 则 一 元 二 次 方 程 根 的 的位置)有以下若干定理. k 分布(即 x1,x2 相对于 k

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2 Δ = b -4ac≥0, ? ? ?af?k?>0, 【定理 1】 k<x1≤x2?? ? b -2a>k. ? ?

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2 Δ = b -4a c ≥0, ? ? ?a f ?k?>0, ? x1≤x2<k? ? b -2a<k. ? ?

【 定 理

2】

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【 定 理 3】 x1<k<x2?a f (k< ) 0 .

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推 论 1 推 论 2

x1 < 0 < x 2 ?a c< 0 . x1 < 1 < x2?a(a+b+c< ) 0 .

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【 定 理

4】

有 且 仅 有

k1<x1(或 x2)<k2?f(k1)f(k2< ) 0 .

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【定理 5】 k1<x1<k2≤p1<x2<p2? ? ?a>0, ?f?k1?>0, ? ?f?k2?<0, ? ?f?p1?<0, ? ?f?p2?>0 ? ?a<0, ?f?k1?<0, ? 或?f?k2?>0, ? ?f?p1?>0, ? 0 . ?f?p2?<

此定理可直接由定理 4 推出,请读者自证.

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【定理 6】 k1<x1≤x2<k2? ?Δ=b2-4ac≥0, ? ?a>0, ?f?k1?>0, ? ?f?k2?>0, ? b ?k1<- <k2 2a ? ?Δ=b2-4ac≥0, ? ?a<0, ?f?k1?<0, 或? ?f?k2?<0, ? b ?k1<- <k2. 2a ?

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例1 1 ( ) 若一元二次方程(m-1)x2+2(m+1)x-m=0 有 两 个 正根,求 m 的 取 值 范 围 .

?Δ=4?m+1?2+4m?m-1?≥0, ? ?-2?m+1?>0, m-1 【解析】 依题意有? ? -m ? >0, m - 1 ? 解得 0<m< 1 .
【答案】 1 0 ( ) ,
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2 ( ) 若 一 元 二 次 方 程 k 的取值范围.

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kx2+3kx+k-3=0 的两根都是负数,求

?Δ≥0, ? 12 ? 【解析】 依题意可知 k-3 解得 k≤- 5 或 k> 3 . >0, ? k ?

12 【答案】 (-∞,- 5 ]∪(3,+∞)

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3 ( ) k在 何 范 围 内 取 值 , 一 元 二 次 方 程 一个正根和一个负根?

kx2+3kx+k-3=0 有

k-3 【解析】 依题意有 k <0?0<k< 3 .
【答案】 3 0 ( ) ,

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4 ( ) 若 一 元 二 次 方 程

kx2+(2k-1)x+k-3=0 有 一 根 为 零 , 则

另一根是正根还是负根? 【解析】 由已知 k-3=0,∴k=3,代入原方程得 3x2+

5x=0,另一根为负.
【答案】 负根

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例2 1 ( ) 已 知 方 程 m的 取 值 范 围 .

x2-11x+m-2=0 的两实根都大于 1, 求

129 【答案】 12<m≤ 4
2 ( ) 若 一 元 二 次 方 程 mx2-(m+1)x+3=0 的两个实根都大于

-1,求 m 的取值范围.
【答案】 m<-2 或 m≥5+2 6

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3 ( ) 若 一 元 二 次 方 程 求 m 的取值范围.

mx2-(m+1)x+3=0 的两实根都小于 2,

1 【答案】 m<-2或 m≥5+2 6
4 ( ) 已 知 方 程 x2+2mx+2m2-3=0 有一根大于 2,另一根比

2 小,求 m 的取值范围.

2 2 【答案】 -1- 2 <m<-1+ 2

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5 ( ) 已 知 方 程

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x2+(m-2)x+2m-1=0 有一实根在 0 和 1 之

间,求 m 的取值范围.

1 2 【答案】 2<m<3
6 ( ) 已 知 方 程 x2+(m-2)x+2m-1=0 的较大实根在 0 和 1 之

间,求 m 的取值范围. 变式:改为较小实根.

1 2 【答案】 不可能;2<m<3

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7 ( ) 若方程 x2+(k+2)x-k=0 的两实根均在区间(-1,1)内, 求 k 的取值范围.

1 【答案】 -4+2 3≤k<-2
8 ( ) 若方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,求 k 的取值范围.

1 2 【答案】 2<k<3

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9 ( ) 已 知 关 于

x 的方程(m-1)x2-2mx+m2+m-6=0 的两根

为 α、β 且 0<α< 1 < β,求 m 的取值范围.
【答案】 -3<m<- 7或 2<m< 7

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1. 若 方 程 的 取 值 范 围 .
答案

4x+(m-2 3 · )

x

+m=0 有 两 个 不 相 同 的 实 根 , 求

m

0<m<1

解析 正实根.

令 2x=t 转化为关于 t 的 一 元 二 次 方 程 有 两 个 不 同 的

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2. 若 关 于 x 的方程 g ( l x2+20x)-g 8 ( l

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x-6a-3)=0 有唯一的

实根,求实数 a 的取值范围. 163 1 答案 a∈[- 6 ,-2) 解 析 原 方 程 等 价 于
2 ? 0 ?x +2 ? 2 ? 0 ?x +2

x>0, x=8x-6a-3, ① ②

? 0 或x>0, ?x<-2 即? 2 ? 2 x+6a+3=0 . ?x +1

令 f(x)=x2+1 2 x+6a+3,
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1 ( ) 若 抛 物 线 11 a= 2 . 11 将 a= 2 代 入 式 ②有 x= - 6不 满 足 式 2 ( ) 若 抛 物 线
? 0 ?f?-2 ? ? 0 . ?f?0?<

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y=f(x)与 x 轴 相 切 , 有

Δ=1 4 4 -4 6 ( a+3 ) =0 即

11 ①,∴a≠ 2 . x= - 6, ① 的充要条件是

y=f(x)与 x 轴 相 交 , 注 意 到 其 对 称 轴 为

故交点的横坐标有且仅有一个满足式 ?≥0,

1 6 3 1 解 得 - 6 ≤a<-2. 1 63 1 ∴当 - 6 ≤a<-2时 , 原 方 程 有 唯 一 解 .
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另 法 : 原 方 程 等 价 于

x2+2 0 x=8x-6a-3 ( x<-2 0 或 x> 0 ) ③

问 题 转 化 为 : 求 实 数 与 抛 物 线

a 的 取 值 范 围 , 使 直 线

y=8x-6a-3

y=x2+2 0 x(x<-2 0 或 x> 0 ) 有 且 只 有 一 个 公 共 点 .

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虽 然 两 个 函 数 图 像 都 明 确 , 但 在 什 么 条 件 下 它 们 有 且 只 有 一 个公共点却不明显,可将③变形为 x2+1 2 x+3=6a(x<-2 0 或 x> 0 ) , 再 在 同 一 坐 标 系 中 分 别 也 作 出 抛 物 线 线 y= - 6a, 如 图 所 示 , 显 然 当 y=x2+1 2 x+3 和 直 1 6 3 1 3 < -6a≤1 6 3 , 即 - 6 ≤a<-2时

直 线 y= - 6a 与 抛 物 线 有 且 只 有 一 个 公 共 点 .

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3.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. 1 ( ) 若 方 程 有 两 根 , 其 中 一 根 在 区 间 2 1 ) ( , 内 , 求 m 的范围; 1 0 ) ( , 内 , 求 m 的范围. (-1,0)内 , 另 一 根 在 区 间

2 ( ) 若 方 程 两 根 均 在 区 间

答案 1 ( )

5 1 -6,-2) 2 ( )

1 -2,1- 2]

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解 析

1 ( ) 条 件 说 明 抛 物 线

f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴 的 和2 1 ) ( , 内,画出示意图,得

交点分别在区间(-0 1 ) ,

< 0 , ? ?f?0?=2m+1 ?f?-1?=2 > 0 , ? < 0 , ?f?1?=4m+2 ? > 0 ?f?2?=6m+5

1 ? ?m<-2 ? ?m∈R, ?? 1 ?m<-2, ? ?m>-5. 6 ?

5 1 ∴-6<m<-2.

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2 ( ) 据抛物线与 x 轴 交 点 落 在 区 间 ? ?f?0?>0, ?f?1?>0, ? ?Δ≥0, ? < -m<1 ?0

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1 0 ) ( ,

内 , 列 不 等 式 组

1 ? ?m>- , 2 ? 1 ? ??m>-2, ? ?m≥1+ 2或m≤1- 2, ? < m< 0 . ?-1 x= - m应 在

1 ∴-2<m≤1- 2. (这 里 0 < -m<1 是 因 为 对 称 轴 区 间1 0 ) ( , 内 通 过 )

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课时作业(四十二)

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