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(课堂设计)2014-2015高中数学 1.2.1 平面的基本性质与推论学案 新人教B版必修2


1.2.1

平面的基本性质与推论
自主学习

学习目标 1.掌握平面的基本性质和三个推论,会用三种语言表述性质与推论. 2.了解异面直线的概念,能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系. 自学导引 1.平面的基本性质 (1)基本性质 1: 如果一条直线上的______点在一个平面内, 那么这条直线上的________ 点

都在这个平面内,这时我们说直线在平面内或________________. (2)基本性质 2:经过________________________的三点,有且只有一个平面. 也可简单说成,______________的三点确定一个平面. (3)基本性质 3: 如果不重合的两个平面有________公共点, 那么它们有且只有________ 过这个点的公共直线. 如果两个平面有一条公共直线, 则称这两个平面________. 这条公共直线叫做两个平面 的________. 2.平面基本性质的推论 (1)推论 1 经过________________________有且只有一个平面. (2)推论 2 经过________________有且只有一个平面. (3)推论 3 经过________________有且只有一个平面. 3.共面和异面直线 如果两直线共面,那么它们________或者________,否则称它们为______________. 对点讲练 知识点一 多线共面 例1 已知直线 a∥b,直线 l 与 a、b 都相交,求证:过 a、b、l 有且只有一个平面.

点评 证明多线共面的一种方法是先由推论 3 确定一个平面, 再利用基本性质 1 依次证 明其余各线也在这个平面内. 另一种方法是先由一部分线确定一个平面, 由另一部分线确定 另一个平面,再让这两个面重合. 变式训练 1 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.

知识点二 证明多点共线问题 例2

已知△ABC 在平面 α 外,AB∩α =P,AC∩α =R,BC∩α =Q,如图所示.求证:P、Q、 R 三点共线.

点评 证明多点共线的方法是利用基本性质 3,只需说明这些点都是两个平面的公共 点,则必在这两个面的交线上.本题也可先确定点 P、R 在同一条直线上,Q 也在这条直线 上,这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法. 变式训练 2

如图所示,AB∩α =P,CD∩α =P,A,D 与 B,C 分别在平面 α 的两侧,AC∩α =Q, BD∩α =R.求证:P,Q,R 三点共线.

知识点三 证明线共点问题 例 3 在四面体 ABCD 中,E,G 分别为 BC,AB 的中点,F 在 CD 上,H 在 AD 上,且有 DF∶FC=DH∶HA=2∶3, 求证:EF,GH,BD 交于一点.

点评 证明若干条线共点, 一般可先证其中两条相交于一点, 再证其他线也过该点即可, 本题在解答中应用了两个相交平面的公共点必然在它们的交线上这一结论. 变式训练 3

如图所示, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E 为 AB 的中点, F 为 AA1 的中点. 求证: CE、 D1F、 DA 三线交于一点.

1.三个基本性质的作用: 基本性质 1——判定直线在平面内的依据; 基本性质 2——判定点共面、线共面的依据; 基本性质 3——判定点共线、线共点的依据. 2.注意事项 (1)应用基本性质 2 时,要注意条件“三个不共线的点”.事实上,共线的三点是不能 确定一个平面的. (2)在立体几何中,符号“∈”与“?”的用法与读法不要混淆. (3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化. 课时作业 一、选择题 1.下列命题: ①书桌面是平面; ②8 个平面重叠起来,要比 6 个平面重叠起来厚; ③有一个平面的长是 50 m,宽是 20 m; ④平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念. 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D. 4 2.点 A 在直线 l 上,而直线 l 在平面 α 内,用符号表示为( ) A.A∈l,l∈α B.A∈l,l?α C.A?l,l∈α D.A?l,l?α 3.已知平面 α 与平面 β 、γ 都相交,则这三个平面可能的交线有( ) A.1 条或 2 条 B.2 条或 3 条 C.1 条或 3 条 D.1 条或 2 条或 3 条 4.已知 α 、β 为平面,A、B、M、N 为点,a 为直线,下列推理错误的是( ) A.A∈a,A∈β ,B∈a,B∈β ?a?β B.M∈α ,M∈β ,N∈α ,N∈β ?α ∩β =MN C.A∈α ,A∈β ?α ∩β =A D.A、B、M∈α ,A、B、M∈β ,且 A、B、M 不共线?α 、β 重合 5.平面 α ∩平面 β =l,点 A∈α ,B∈α ,C∈β ,且 C?l,AB∩l=R,过 A、B、C 三点确定平面 γ ,则 β ∩γ 等于( ) A.直线 AC B.直线 BC C.直线 CR D.以上都不对 题 答 号 案 1 2 3 4 5

二、填空题

6.下列命题中,正确的是________.(填序号) ①若两个平面有一个公共点,则它们有无数个公共点; ②若已知四个点不共面,则其中任意三点不共线; ③若点 A 既在平面 α 内,又在平面 β 内,则 α 与 β 相交于直线 l,且 A 在 l 上; ④两条直线不能确定一个平面. 7.读图①②,用符号语言表示下列图形中元素的位置关系.

(1)图①可以用符号语言表示为 ________________________________________________________________________; (2)图②可以用符号语言表示为 ________________________________________________________________________. 8.

如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是长方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则 下列结论错误的是________(填序号). ①A、M、O 三点共线; ②A、M、O、A1 四点共面; ③A、O、C、M 四点共面; ④B、B1、O、M 四点共面. 三、解答题

9.如图,直角梯形 ABDC 中,AB∥CD,AB>CD,S 是直角梯形 ABDC 所在平面外一点,画 出平面 SBD 和平面 SAC 的交线,并说明理由.

10. 如图, 已知平面 α , β , 且 α ∩β =l.设梯形 ABCD 中, AD∥BC, 且 AB?α , CD?β . 求证:AB,CD,l 共点(相交于一点).

【答案解析】 自学导引 1.(1)两 所有 平面经过直线 (2)不在同一条直线上 不共线 (3)一个 一条 相交 交线 2.(1)一条直线和直线外一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线 3.平行 相交 异面直线 对点讲练 例 1 证明 方法一 直线a∥b?过a,b有且只有一个平面,设为α ? ? l∩a=A?A∈a ? l∩b=B?B∈b

? ?

?A∈α ,B∈α ? ? ??l?α ?a,b,l 共面. ? A∈l,B∈l ? 方法二 ∵a∥b, ∴a,b 确定一个平面 α . a∩l=A,直线 a,l 确定一个平面 β . 又∵B∈α ,B∈β ,a?α ,a?β , ∴平面 α 与 β 重合. 故直线 a,b,l 共面. 变式训练 1

已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C. 求证:直线 l1、l2、l3 在同一平面内. 证明 方法一 (同一法) ∵l1∩l2=A,∴l1 和 l2 确定一个平面 α . ∵l2∩l3=B,∴B∈l2. 又∵l2?α ,∴B∈α .同理可证 C∈α . 又∵B∈l3,C∈l3,∴l3?α . ∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内.

方法二 (重合法) ∵l1∩l2=A,∴l1、l2 确定一个平面 α . ∵l2∩l3=B,∴l2、l3 确定一个平面 β . ∵A∈l2,l2?α ,∴A∈α . ∵A∈l2,l2?β ,∴A∈β . 同理可证 B∈α ,B∈β ,C∈α ,C∈β . ∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面 α 内,又在平面 β 内. ∴平面 α 和 β 重合,即直线 l1、l2、l3 在同一平面内. 例 2 证明 方法一 ∵AB∩α =P, ∴P∈AB,P∈平面 α . 又 AB?平面 ABC,∴P∈平面 ABC. 由基本性质 3 可知:点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上, 同理可证 Q、R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上. ∴P、Q、R 三点共线. 方法二 ∵AP∩AR=A, ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α =P,AC∩α =R,∴平面 APR∩平面 α =PR. ∵B∈面 APR,C∈面 APR,∴BC?面 APR. ∵Q∈BC,∴Q∈面 APR,又 Q∈α ,∴Q∈PR, ∴P、Q、R 三点共线. 变式训练 2 证明 ∵AB∩α =P,CD∩α =P, ∴AB∩CD=P. ∴AB,CD 可确定一个平面,设为 β . ∵A∈AB,C∈CD,B∈AB,D∈CD, ∴A∈β ,C∈β ,B∈β ,D∈β . ∴AC?β ,BD?β ,平面 α ,β 相交. ∵AB∩α =P,AC∩α =Q,BD∩α =R, ∴P,Q,R 三点是平面 α 与平面 β 的公共点. ∴P,Q,R 都在 α 与 β 的交线上,故 P,Q,R 三点共线. 例 3 证明 因为 E、G 分别为 BC、AB 的中点, 所以 GE∥AC. 2 又因为 DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以 FH∥AC 且 HF= AC,从而 FH∥GE.故 E,F,H,G 5 四点共面.

所以四边形 EFHG 是一个梯形,GH 和 EF 交于一点 O. 因为 O 在平面 ABD 内,又在平面 BCD 内, 所以 O 在这两个平面的交线上. 而这两个平面的交线是 BD,且交线只有这一条,所以点 O 在直线 BD 上.这就证明了 GH 和 EF 的交点也在 BD 上,所以 EF,GH,BD 交于一点. 变式训练 3

证明 连接 EF,D1C,A1B. ∵E 为 AB 的中点, F 为 AA1 的中点, ∴EF 1 A1B. 2

又∵A1B∥D1C,∴EF∥D1C, 1 ∴E,F,D1,C 四点共面,且 EF= D1C, 2 ∴D1F 与 CE 相交于点 P. 又 D1F?平面 A1D1DA,CE?平面 ABCD. ∴P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点. 又平面 A1D1DA∩平面 ABCD=DA, 根据基本性质 3,可得 P∈DA,即 CE、D1F、DA 相交于一点. 课时作业 1.A [由平面的概念,它是平滑、无厚度、可无限延展的,可以判断命题④正确,其 余的命题都不符合平面的概念,所以命题①、②、③都不正确,故选 A.] 2.B 3.D 4.C [∵A∈α ,A∈β ,∴A∈α ∩β . 由基本性质可知 α ∩β 为经过 A 的一条直线而不是 A. 故 α ∩β =A 的写法错误.] 5.C [∵AB∩l=R,∴R∈l,R∈AB. 又 α ∩β =l,∴l?β ,∴R∈β ,R∈γ , 又 C∈β ,C∈γ ,∴β ∩γ =CR.] 6.①②③ 7.(1)α ∩β =l,m?α ,n?β ,l∩n=P,m∥l (2)α ∩β =l,m∩α =A,m∩β =B 8.④ 解析 连接 AO,AO 是平面 AB1D1 和平面 BB1D1D 的交线,∵M∈A1C,A1C?面 AA1C1C, ∴M∈面 AA1C1C,又 M∈面 AB1D1 ∴M∈AO,即 A、M、O 三点共线,因此①②③均正确. 只有④不正确. 9. 解 很明显, 点 S 是平面 SBD 和平面 SAC 的一个公共点, 即点 S 在交线上, 由于 AB>CD, 则分别延长 AC 和 BD 交于点 E,如图所示.

∵E∈AC,AC?平面 SAC, ∴E∈平面 SAC. 同理,可证 E∈平面 SBD. ∴点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上,连接 SE, 直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的交线. 10.证明 ∵梯形 ABCD 中,AD∥BC, ∴AB,CD 是梯形 ABCD 的两条腰, ∴AB,CD 必定相交于一点,设 AB∩CD=M. 又∵AB?α ,CD?β ,∴M∈α ,且 M∈β , ∴M∈α ∩β .又∵α ∩β =l,∴M∈l, 即 AB,CD,l 共点.


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