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广东省珠海市2014-2015学年高二下学期期末考试数学试题(理)(解析版)


广东省珠海市 2014-2015 学年高二下学期期末考试 理科数学试卷
参考公式: (1) 附表:

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(2) a ? y ? bx

p( K 2 ? k )
k

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项)
1. 【题文】复数 A. i 【答案】A 【解析】 试题分析:

1? i 等于( 1? i
C. ?1

) D. 1

B. ? i

1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2i = ? =i ; 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

考点:1.复数的运算; 【结束】 2. 【题文】四名同学报名参加三项课外活动,每人限报其中一项,不同报名方法共有( A.12 【答案】C 【解析】 试题分析:每个同学都有三种选择,故总方法数为 3 =81 ; 考点:1.分步计数原理; 【结束】 3. 【题文】8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为( A. A8 A9 【答案】A 【解析】
8 2 8 2 试题分析: 先让 8 名学生站好, 共 A8 , 再让 2 位老师不相邻插空, 有 A9 种方法, 根据分步计数原理, 共 A8 A9 ;
4

)

B.64

C.81

D.7



8

2

B. A8 C9

8

2

C. A8 A7

8

2

D. A8 C7

8

2

考点:1.分布计数原理; 【结束】 4. 【题文】在比赛中,如果运动员甲胜运动员乙的概率是 的概率是( A. ) B.

2 ,那么在五次比赛中,运动员甲恰有三次获胜 3 20 243

40 243

80 243

C.

110 243

D.

【答案】B 【解析】 试题分析:运动员甲获胜的次数记为 X ,则 X 考点:1.二项分布; 【结束】 5. 【题文】设 6 件产品中有 4 件合格品 2 件不合格品,从中任意取 2 件,则其中至少一件是不合格品的概 率为 ( A.0.4 【答案】C 【解析】 试题分析:运动员甲获胜的次数记为 X ,则 P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? 1 ?
1 1 2 C4 C2 ? C2 或 P( X ? 1) ? P( X =1) ? P( X =2)= ? 0.6 ; 2 C6 2 C4 ? 0.6 ; 2 C6

2 80 3 2 3 1 2 B (5, ) , P( X ? 3) ? C5 ( ) ( ) ? ; 3 3 3 243

) B.0.5 C.0.6 D.0.7

考点:1. 对立事件的概率;2. 和事件的概率; 【结束】 6. 【题文】设随机变量 ? ~ N (?,? 2 ) ,若 p(? ? c) ? p(? ? c) 则 c 等于( A. ? 【答案】D 【解析】 试题分析: p(? ? c) ? p(? ? c) ,则 c =? ; 考点:1.正态分布; 【结束】 B. ?
2

)

C. ? ?

D. ?

7. 【题文】利用数学归纳法证明“ 1 ? a ? a 2 ? 左边应该是( A.1 【答案】C 【解析】 试题分析: n ? 1 时,左边= 1 ? a ? a 2 ; 考点:1.数学归纳法; 【结束】 ) B. 1 ? a C. 1 ? a ? a
2

? a n ?1 ?

1 ? a n?2 , (a ? 1, n ? N ) ”时,在验证 n ? 1 成立时, 1? a

D. 1 ? a ? a ? a
2

3

8. 【题文】曲线 y ? x3 ? 2x ? 4 在点 (1,3) 处的切线的倾斜角为( A.30° 【答案】B 【解析】 试题分析: y? ? 3x2 ? 2 , y? |x?1 ? 3 ? 2 ? 1 ,所以倾斜角为 45°; 考点:1.导数的几何意义; 【结束】 9. 【题文】函数 y ? A. e ?1 【答案】A 【解析】 B.45° C.60° D.120°



ln x 的最大值为( x
C. e 2

) D.

B. e

10 3

1 x ? ln x 1 ? ln x 试题分析: y? ? x ,令 y?=0 ? x ? e ,易知 x ? e 为 y 的极大值点,同时也是 y 的最大 ? 2 x x2 ln e 1 ? . 值点, ymax ? e e
考点:1.导数与最值; 【结束】 10. 【题文】通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 40 20 女 20 30 总计 60 50

总计
2

60

50 )

110

算得 K ? 7.8 ,参照附表得到的正确结论是 (

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】C 【解析】 试题分析: K ? 7.8 ? 6.635 ,在犯错误的概率不超过 1%的前提下,即有 99%以上的把握认为“爱好该项
2

运动与性别有关” ; 考点:1.变量的相关系; 【结束】 11. 【题文】已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ?1 在 R 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是(
3 2



A. (??,? 3] ? [ 3,??) 【答案】B 【解析】

B. [? 3, 3]

C. (??,? 3) ? ( 3,??)

D. (? 3, 3)

试题分析: f ?( x) ? ?3x ? 2ax ?1 ,由题意, f ?( x) ? ?3x ? 2ax ?1 ? 0 在 R 上恒成立,
2 2

? ? (2a)2 ? 4 ? (?3) ? (?1) ? 0 ? ? 3 ? a ? 3 ;
考点:1.导数与单调性;2.恒成立问题; 【结束】 12. 【题文】若 (2x ? 3) 则 (a0 ? a2 ? a4 ? A.1 【答案】A 【解析】 试题分析: 令 x ? 1 ,(2 ? 3) 则
100

100

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a100 x100 ,
? a99 )2 的值为(
D.2 )

? a100 )2 ? (a1 ? a3 ? a5 ?
B. ?1 C.0

? a0 ? a1 ? a2 ?

100 令 x ? ?1 ,(2 ? 3) ? a0 ? a1 ? a2 ? ? a100 ;

? a100 ;

(a0 ? a2 ?

? a100 )2 ? (a1 ? a3 ?

? a99 )2 ? (a0 ? a1 ? a2 ?

? a100 )(a0 ? a1 ? a2 ?

? a100 )

=(2 ? 3)100 (2 ? 3)100 =[(2 ? 3)(2 ? 3)]100 ? 1.
考点:1.二项式定理;2.赋值法; 【结束】

二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分, 请将答案填在答题卡相应位置.
13. 【题文】 i 为虚数单位,当复数 m(m ? 1) ? m i 为纯虚数时,实数 m 的值为 【答案】1 【解析】 试题分析:由题意 ? .

?m(m ? 1) ? 0 ,则 m ? 1 ; ?m ? 0

考点:1.复数的概念;2.纯虚数的定义; 【结束】 14. 【题文】在 (2 x ? ) 的二项展开式中, x 的系数为
2 5

1 x

.

【答案】 ?40 【解析】 试题分析:通项为 Tr ?1 ? C5 (2 x )
r 2 5? r

1 (? ) r ? C5r (?1) r 25? r x10?3r ,令 10 ? 3r ? 1 ? r ? 3 , x

3 T3?1 ? C5 (?1)3 25?3 x ? ?40x ,所以 x 的系数为 ?40 ;

考点:1.复数的概念;2.虚数的定义;3.纯虚数的定义; 【结束】 15. 【题文】已知随机变量 ? 【答案】4 【解析】 试题分析: E (2? ) ? 2 E (? ) ? 2 ? 6 ? =4 ; 考点:1.二项分布的期望;2.期望的运算公式; 【结束】

1 B(6, ) ,则 E (2? ) ? 3

.

1 3

? ? 0.7 x ? a ,则 a = 16. 【题文】若下表数据对应的 y 关于 x 的线性回归方程为 y

.

x

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

y

【答案】 0.35 【解析】 试题分析: x ? 4.5 , y ? 3.5 ,回归直线过样本中心点 ( x , y ) ,则 3.5=0.7 ? 4.5 ? a ? a ? 0.35 ; 考点:1.回归直线方程过样本中心点; 【结束】 17. 【题文】计算定积分 【答案】0 【解析】 试题分析: y ? x ? sin x 是奇函数,奇函数在对称区间 [?1,1] 上的积分为 0; 或

?

1 ?1

( x ? sin x ) dx ?

.

?

1 ?1

1 1 ( x ? sin x)dx ? ( x 2 ? cos x) |x ?1 ?( x 2 ? cos x) | x ??1 ? 0 ; 2 2

考点:1.定积分的计算; 【结束】 18. 【题文】已知函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图象如右,则 y ? f ( x) 有 【答案】1 【解析】 试题分析: y ? f ( x) 在 x ? x2 左侧递增,在其右侧递减,是唯一的极大值点; 考点:1.导数与极值; 【结束】 19. 【题文】观察分析下表中的数据: 多面体 三棱锥 五棱锥 立方体] 面数 ( F ) 顶点数( V ) 5 6 6 6 6 8 棱数( E ) 9 10 12 个极大值点.

猜想一般凸多面体中,面数、顶点数、棱数: F 、 V 、 E 所满足的等式是 【答案】 F ? V ? E ? 2 【解析】 试题分析:通过运算发现 F ? V ? E ? 2 ; 考点:1.推理与证明;

.

【结束】 20. 【题文】如图,用 5 种不同颜色给图中的 A、B、C、D 四个 区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必 须涂不同的颜色,不同的涂色方案有 【答案】180 【解析】
2 试题分析:第一步涂 B、C,共 A5 种方法;第二步涂 A、D,共 3 =9 种方法,由分步计数原理,共 2 A5 ? 9=180 种方法;
2

A C

B D

种.

考点:1.涂色问题;2.排列;3.分步计数原理; 【结束】

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 50 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21. 【题文】一个商场经销某种商品,根据以往资料统计,每位顾客采用的分期付款次数 ? 的分布列为:

?
P

1

2

3

4

5

0.4 0.2 0.2 0.1 0.1

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;采用 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元;采 用 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元.? 表示经销一件该商品的利润. (1)求购买该商品的 3 位顾客中,恰有 2 位采用 1 期付款的概率; (2)求? 的分布列及期望 E (? ) . 【答案】 (1)0.288; (2)240 元; 【解析】 试题分析: (1) 每位顾客采用 1 期付款的概率为 0.4 , 3 位顾客采用 1 期付款的人数记为 X , 则X (2)分别计算利润为 200 元、250 元、300 元的概率,再列出分布列和期望;
2 试题解析: (1) P ? C3 0.42 (1 ? 0.4) ? 0.288 ;

B 4 ) 0 3 . ,(



(2)η 的可能取值为 200 元,250 元,300 元. P(η =200)=P(ξ =1)=0.4, P(η =250)=P(ξ =2)+P(ξ =3)=0.2+0.2=0.4, P(η =300)=1-P(η =200)-P(η =250)=1-0.4-0.4=0.2.

?

200

250

300

η 的分布列为:

P

0.4

0.4

0.2

E(η )=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元). 考点:1.二项分布;2.分布列与数学期望; 【结束】 22. 【题文】某校举办安全法规知识竞赛,从参赛的高一、高二学生中 各抽出 100 人的成绩作为样本. 对高一年级的 100 名学生的成绩进行统 计,得到成绩分布的频率分布直方图如右图: (1)若规定 60 分以上(包括 60 分)为合格,计算高一年级这次知识 竞赛的合格率; (2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该校大量高一学生 中,采用随机抽样方法每次抽取 1 名学生,抽取 3 次,记被抽取的 3 名学生中的合格人数为 X .若每次抽取 的结果是相互独立的,求 X 的分布列和期望 E ( X ) ; (3)若高二年级这次知识竞赛的合格率为 60%,由以上 统计数据填写 2×2 列联表, 并问是否有 99%的把握认为 “这 次知识竞赛的成绩与年级有关系” . 合格人数 不合格人数 合计 【答案】 B 【解析】 试题分析: (1)利用频率=纵坐标×组距,然后将 60 分及以上的概率加起来; (2) X 算 K ,对应表格比较即可; 试题解析:(1)高一合格率为 0.02×10+0.03×10+0.02×10+0.01×10=0.8=80%. (2) X ? 0,1, 2,3
1 P( X ? 1) ? C3 0.810.22 ? 0.096 2 P( X ? 2) ? C3 0.820.21 ? 0.384 0 P( X ? 0) ? C3 0.800.23 ? 0.008 3 P( X ? 3) ? C3 0.830.20 ? 0.512
2

高一

高二

合计

B(3,0.8) ; (3)计

X
p

0 0.008

1 0.096

2 0.384

3 0.512

E( X ) ? 3 ? 0.8 ? 2.4

(3) 高一 合格人数 不合格人数 合计 80 20 100 高二 60 40 100 合计 140 60 200

K2=

200(80 ? 40 ? 20 ? 60) 2 ≈9.5>6.635. 100? 100? 140? 60

所以有 99%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系” . 考点:1.频率分布直方图;2.二项分布;3.变量的相关性分析; 【结束】 23. 【题文】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1(n ? N? ) (1)求 a2 , a3 , a4 , a5 ; (2)归纳猜想出通项公式 an ,并且用数学归纳法证明; (3)求证 a100 能被 15 整除. 【答案】 (1) a2 ? 3 , a3 ? 7 , a4 ? 15 , a5 ? 31 ; (2) an ? 2n ?1 ,证明略; (3)略; 【解析】 试题分析: (1)依次代入; (2)根据规律归纳公式,并用数学归纳法证明; (3)利用二项式展开证明; 试题解析: (1) a2 ? 3 , a3 ? 7 , a4 ? 15 , a5 ? 31 ; (2)归纳猜想出通项公式 an ? 2n ?1 , 1 当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 21 ?1 ,成立 ○ 2 假设 n ? k 时成立,即 ak ? 2k ?1, ○ 则当 n ? k ? 1 时,由 an?1 ? 2an ? 1(n ? N? ) 得: ak ?1 ? 2ak ? 1 ? 2(2k ?1) ? 1 ? 2k ?1 ? 2 ? 1 ? 2k ?1 ?1 所以 n ? k ? 1 时也成立; 1○ 2 ,对 n ? N ? 等式都成立,从而得证. 综合○ (3)由(2)知 a100 ? 2100 ?1 而 2100 ? (24 )25 ? 1625 ? (15 ? 1)25 ,

0 1 24 25 展开: (15 ? 1)25 ? C25 1525 ? C25 1524 ??? C25 151 ? C25 150 ,被 15 除余数为 1,

故 a100 ? 2100 ?1被 15 整除. 考点:1.递推数列;2.数学归纳法;3.二项式展开; 【结束】 24. 【题文】已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? b 满足 f (1) ? 0, 且在 x ? 2 时函数取得极值. (1)求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)求函数 f ( x) 在区间 [0, t ] (t ? 0) 上的最大值 g (t ) 的表达式. 【答案】(1) a ? ?3 , b ? 2 ;(2)略;(3) g (t ) ? ? 【解析】 试题分析: (1)由 f ( x ) 在 x ? 2 时函数取得极值及 f (1) ? 0 ,联立方程求出 a , b ; (2)根据导数求出单调 区间; (3)利用(2)的结论,分类讨论求出最大值 g (t ) 的表达式; 试题解析: (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ,由于 x ? 2 时取得极值,得 f ?(2) ? 0 , 所以 a ? ?3 ,又因为 f (1) ? 1 ? a ? b ? 0 ,所以 b ? 2 . (2)由(1)令 f ?( x) ? 3x ? 6x ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2 ,
2

0?t ?3 ?2 . 3 2 ?t ? 3t ? 2 3 ? t

所以

x
f ?( x ) f ( x)

(??,0)
+

0 0
极大值 2

(0,2)
_

2
0
极小值-2

(2,??)
+

?

?

?

所以 f ( x) 的单调递增区间为 (??,0) 和 (2,??) ,单调递减区间为 (0,2) . (3)解 f ( x) ? x ? 3x ? 2 ? 2 得 x3 ? 0, x4 ? 3 ,
3 2

由(2)可知 g (t ) ? ?

?2 0 ? t ? 3 ? f (t ) 3 ? t

即 g (t ) ? ?t 3 ? 3t 2 ? 2 3 ? t ?

?2

0?t ?3

考点:1.导数与极值;2.导数与单调性;3.导数与最值; 【结束】

25. 【题文】已知函数 f ( x ) ? (1)求 a 的取值范围;

1? x ? ln x 在 (1, ??) 上是增函数,且 a ? 0 . ax

(2)求函数 g ( x) ? ln(1 ? x) ? x 在 [0, ??) 上的最大值; (3)设 a ? 1 , b ? 0 ,求证:

1 a?b a ? ln ? . a?b b b

【答案】 (1) a ? 1 ; (2)0; (3)略. 【解析】 试题分析:(1)根据导函数 f ?( x) ? 0 求出 a 的取值范围; (2)利用单调性求出最值; (3)利用(1)的结论 进行证明;

1? x ?1 1 ? ln x 在 (1, ??) 上是增函数, ? ,因为函数 f ( x ) ? 2 ax ax x ?1 ?1 1 所以 f ?( x) ? 2 ? ? 0 在 (1, ??) 上恒成立,即 ? x ? 0 在 (1, ??) 上恒成立, a ax x 1 1 所以 x ? 在 (1, ??) 上恒成立,所以只需 1 ? , a a
试题解析: (1) f ?( x) ? 又因为 a ? 0 ,所以 a ? 1 . (2)因为 x ? [0, ??) ,所以 g ?( x) ? 所以 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递减, 所以 g ( x) ? ln(1 ? x) ? x 在 [0, ??) 上的最大值为 g (0) ? 0 . (3)因为 a ? 1 , b ? 0 ,所以 由(1)知 f ( x ) ?

1 ?x ?1 ? ?0 1? x 1? x

a?b ? 1, b

1? x a?b ? ln x 在 (1, ??) 上是增函数,所以 f ( ) ? f (1) , ax b

a?b b ? ln a ? b ? 0 ,化简得 1 ? ln a ? b , 即 a?b a?b b b a b 1?
a a a a?b a ? 1 ? ,由第(2)问可知 g ( ) ? ln(1 ? ) ? ? g (0) ? 0 b b b b b a?b a 即 ln ? b b 1 a?b a 综上 ? ln ? 得证. a?b b b
又因为 考点:1.导数与极值;2.恒成立问题;3.导数与不等式的证明; 【结束】



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