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广东省广州市第六中学2015届高三数学9月第二次月考试题 理


广东省广州市第六中学 2015 届高三数学 9 月第二次月考试题 理

2. 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的

1 1 ,则其体积缩小到原来的 ; 8 2

②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; ③直线 x+y+1=0 与圆 x +y = 其中真命题的序号是( A.①②③ B.①② ). C

.①③ ) C. ? x x ? ? D.②③
2 2

1 相切, 2

3. 不等式 ( ? x )( x ? ) ? 0 的解集为( A. ? x

1 2

1 3

? 1 ?x? ? 3

1? ? 2?

B. ? x x ?

? ?

1? ? 2?

? ?

1? 3?

D. ? x x ?

? ?

1 或x ? 3

1? ? 2?

4.总体由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方法从 随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为 ( ) 7816 3204 A .08 B.07 6572 9234 0802 4934 C.02 6314 8200 0702 3623 D.01 4369 4869 9728 6938 0198 7481

? 5. 已知向量 m, n 的夹角为 ,且 | m |? 3 , | n |? 2 ,在 ? ABC 中, AB ? m ? n, AC ? m ? 3n ,D 为 BC 边 6
的中点,则 | AD |? ( A.1 B.2 ) C.3 D.4
1

6.已知双曲线

x2 y 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线平行于直线 l : y = 2 x + 10 ,双曲线的一个焦点在 a 2 b2
).

直线 l 上,则双曲线的方程为( A.

x2 y 2 =1 5 20

B.

x2 y 2 =1 20 5

C.

3x 2 3 y 2 =1 25 100

D.

3x 2 3 y 2 =1 100 25

7. 在数列 ?an ? 中,若对任意的 n ? N * 均有 an ? an ?1 ? an ? 2 为定值,且 a7 ? 2, a9 ? 3, a98 ? 4 ,则数列 ?an ? 的 前 100 项的和 S100 ? ( A.132 ) B.299 C.68 D.99

8. 将 n 2 个正整数 1 、 2 、 3 、 、 n 2 ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列 中的任意两个数 a 、 b ( a ? b )的比值 表的所有可能的“特征值”最大值为( A. 3 B. 2

a ,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当 n ? 2 时,数 b
) C.

4 3

D.

3 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分。本大题分为必做题和选做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。 9.函数 f (x) = log 1 x - 4 的单调递增区间是_____________。
2 2

(

)

10. 右图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为_____________。 11. 现有 4 名教师参加说课比赛, 共有 4 道备选题目, 若每位教师从中有放回地 随机选出一道题目进行说课, 其中恰有一道题目没有被这 4 位教师选中的情况有 _________ 。 12. 已知正数 x , y 错误!未找到引用源。满足 x ? 2 y ? 1 错误!未找到引用源。 ,



x ? 8y 的最小值为 _____________。 xy

? x ? y ? 1, ? 13. 已知变量 x , y 满足约束条件 ? y ? 3 ,若 z ? kx ? y 的最大值为 5 ,则实数 k ? ?x ? y ? 1 ?



(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计前一题的得分。

(4, ) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知圆的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? ,圆心为 C ,点 P 的极坐标为 , 3
则| CP |= _________ 。 15. (几何证明选讲选做题)如右图, ?ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆 的弦,且 BD ∥ AC .过点 A 做圆的切线与 DB 的延长线交于点 E , AD 与
2

?

BC 交于点 F .若 AB ? AC, AE ? 6, BD ? 5 ,则线段 CF 的长为 _________ 。
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)设函数 f ( x) ? sin(? x ? (1)求 ? ; (2)若 f (

3? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? . 4

?

2

?

3? 24 ? ? ) ? ,且? ? (— , ) ,求 tan ? 的值; 8 25 2 2

(3)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图像.

17. (本小题满分 12 分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验, 得到的数据如下: 零件的个数 x (个) 加工的时间 y (小时) 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;

? ?a ? ? bx ? ,并在坐标系中画出回归直线; (2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
(3)试预测加工 10 个零件需要多少时间?

1 CD , AB ? BC ,平面 ABCD ? 平 2 1 面 BCE , ?BCE 为等边三角形, M , F 分别是 BE, BC 的中点, DN ? DC . 4
18. (本小题满分 14 分)如图,直角梯形 ABCD 中, AB CD, AB ? (1)证明: EF ? AD ; (2)证明: MN 平面ADE ; (3)若 AB ? 1, BC ? 2 ,求几何体 ABCDE 的体积。

3

19. (本小题满分 14 分)设正数数列 {an } 为等比数列, a2 ? 4, a4 ? 16 ,记 bn ? 2 ? log 2 an . (1)求 an 和 bn ; (2)证明: 对任意的 n ? N ,有
?

b1 ? 1 b2 ? 1 ? ? b1 b2

?

bn ? 1 ? n ? 1 成立. bn

20. (本小题满分 14 分) 焦点在 x 轴的椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 (3 ? a ? 4) ,过 C1 右顶点 A2 (a , 0) 的直线 l : y ? k ( x ? a) (k ? 0) 与曲线 a2 4

C2 : y ? x 2 ?

ak 相切,交 C1 于 A2 、E 二点. 4

(1)若 C1 的离心率为

5 ,求 C1 的方程. 3

(2)求 | A2 E | 取得最小值时 C2 的方程.

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ae ln x ?
x

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 . x

(1)求 a , b ; (2)证明: f ( x) ? 1 .

4

2014~2015 学年广州六中高三理数第二次测验参考答案 一、选择题: 题号 答案 二、填空题: (一)必做题(9~13 题) 9. (??, ?2) 10. 1 B 2 C 3 A 4 C 5 A 6 A 7 B 8 D

4? 3
8 3

11. 144

12. 18

13. ?1或

1 2

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. 2 3 15.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

3? 2? 2? )(? ? 0)的最小正周期为? , ? ? = = =2 4 T ? 3? ? 3? 24 24 ), 由 f( ? )? (2)由(1)知 f ( x) ? sin(2 x ? 得: sin ? ? ?? 4 分 4 2 8 25 25 ? ? 7 又∵ ? ? ? ? ∴ cos ? ? ?? 6 分 2 2 25 24 ∴ tan ? ? ?? 7 分 7 3? ) ,于是有 (3)由(1)知 f ( x) ? sin(2 x ? 4
16.解: (1) 函数f ( x) ? sin(? x ? (1)列表

?? 2分

x

0

? 8
-1

3? 8
0

5? 8
1

7? 8
0

?
2 2
?? 10 分

y

?

2 2

?

(2)描点,连线。函数 y ? f ( x)在区间 [0,? ]上图像如下

??12 分 17. (1)散点图如下图. ??3 分

5

18. 解: (1)证明: 又

?BCE 为等边三角形, F 是 BC 的中点

? EF ? BC

?? 1 分

平面 ABCD ? 平面BCE , 平面ABCD ? 平面BCE=BC , EF ? 平面BCE ?? 3 分

∴ EF ? 平面ABCD 又

AD ? 平面ABCD

?

EF ? AD

?? 4 分

(2)证明:取 AE 中点 G,连接 MG,DG

AG ? GE, BM ? ME
AB CD, AB ?

?GM

AB 且GM ?

1 AB 2

??6 分

1 1 CD ,DN ? DC 2 4 1 ??8 分 ? DN AB 且DN ? AB 2

? 四边形 DGMN 是平行四边形


? DG MN

?? 9 分 ?? 10 分

DG ? 平面 ADE , MN ? 平面 ADE ? MN 平面 ADE

(3)解:依题,直角梯形 ABCD 中 ,AB CD, AB ? BC, AB ? 1, CD ? 2, BC ? 2 则直角梯形 ABCD 的面积 为S梯形ABCD ?

1 1 ( AB ? CD) ? BC ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 2 2

?? 12 分

由(1) 可知EF ? 平面 ABCD , EF 是 四棱锥E ? ABCD 的高 在等 边?BCE 中,由边长 BC=2 , 得EF ? 2 ? sin 60 ? 3
0

?? 13 分 ?? 14 分

故几何体 ABCDE 的体积 为V

E ? ABCD

1 1 ? ? S梯形ABCD ? EF ? ? 3 ? 3 ? 3 3 3

19. 解 :( 1 ) 依 题 意 可 知 q ?
2

a4 ? 4 , 又 an ? 0 , 所 以 q ? 2 , 从 而 an ? a2 ? qn?2 ? 2n a2
6

?bn ? 2 ? log2 an ? 2n

??4 分

(2)证明:①当 n ? 1 时,左边 ?

3 3 ,右边 ? 2 ,因为 ? 2 ,所以不等式成立. 2 2

??5 分

②假设当 n ? k 时,不等式成立,即 那么当 n ? k ? 1 时,则

b1 ? 1 b2 ? 1 ? ? b1 b2

?

bk ? 1 ? k ? 1 成立. bk

??7 分

b ? 1 b2 ? 1 左边 ? 1 ? ? b1 b2
2

2k ? 3 b ?1 b ? 1 bk ?1 ? 1 ? k ?1 ? ? k ? 1 ? k ?1 ? k ? ? 2k ? 2 bk ?1 bk bk ?1

? 2k ? 3 ? 4 ? k ? 1?

2

4 ? k ? 1? ? 4 ? k ? 1? ? 1 ? ? 4 ? k ? 1?

? k ? 1? ? 1 ?

1 ? 4 ? k ? 1?

? k ? 1? ? 1 ? 右边
bn ? 1 ? n ? 1 恒成立. bn

??12 分

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①、②可得对任意的 n ? N ,都有
?

b1 ? 1 b2 ? 1 ? ? b1 b2

?

??14 分

(另解:此题也可直接用放缩法证明.即用

2k ? 1 4k 2 ? 4k k ?1 ) ? ? 2 2k 4k k
??2 分

20. 解: (1)由 C1 的离心率 e ?

a2 ? 4 5 2 得a ?9 ? a 3

? C1 :

x2 y2 ? ?1 9 4

??3 分
2

(2) l 与 C2 方程联立消 y 得 x ? kx ?

3ak ?0 4
??5 分 ??6 分

2 由 l 与 C2 相切知 ? ? k ? 3ak ? 0 ,由 k ? 0 知 k ? 3a

l 与 C1 方程联立消 y 得 (4 ? a2k 2 ) x2 ? 2a3k 2 x ? a4k 2 ? 4a2 ? 0 ??①
设点 E( xE ,yE )

l 交 C1 于 A2 、E 二点,? xE 、 a 是①的二根
??8 分

? xE ?

?8a a 3 k 2 ? 4a ,故 xE ? a ? 2 2 4 ? a2k 2 4?a k

2 ? (1 ? k 2 )( xE ? a)2 ? (1 ? 9a 2 ) ? | A2 E |2 ? ( xE ? a)2 ? yE

9a 4 ? a 2 64a 2 ? 64 (4 ? 9a 4 )2 (4 ? 9a 4 )2

??10 分

令 t ? a ?[9 , 16] ,则 | A2 E | ? 64
2

2

9t 2 ? t (4 ? 9t 2 ) 2

7

令 f (t ) ?

9t 2 ? t 18t (4 ? 9t 2 ) ? (4 ? 27t 2 ) ? ,则 16] 上恒成立 (9 ? t ? 16) f ( t ) ? ? 0 在 t ?[9 , (4 ? 9t 2 )2 (9t 2 ? 4)3
??12 分

16] 上单减 故 f (t ) 在 [9 ,

故 t ? 16 即 a ? 4 , k ? 12 时 f (t ) 取得最小值,则 | A2 E | 取得最小值 此时 C2 : y ? x2 ?12 ??14 分

设函数 h( x ) ? xe

?x

?

2 , 则 h?( x) ? e ?1 (x x ? ) e

, 所以当 x ? ? 0,1? 时,h?( x) ? 0 , 当 x ? ?1, ?? ? 时,h?( x) ? 0 ,

故 h( x) 在 ? 0,1? 单调递增,在 ?1, ?? ? 单调递减,从而 h( x) 在 ? 0, ?? ? 上的最大值为 h(1) ? ?

1 e

??13 分

又 g ( x) 和 h( x) 在 ? 0, ?? ? 上取得最值的条件不同,所以综上:当 x ? 0 时, g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 1 . ??14 分

8


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