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高二数学学业水平考试必背公式


边城高级中学高二数学学业水平考试复习资料

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高二数学学业水平考试必背公式 一、二次函数 y = ax2 +bx + c 的性质
? b 4ac ? b2 ? ?? , ? 1、 顶点坐标公式: 4a ? ? 2a

? b 2 ? 4ac

b x ? ? 对称轴: 2a

4ac ? b2 最大 (小) 值: 4a

c b 2 x ? x ? x ? x ? ? ? ? ax ? bx ? c ? 0 a ? 0 1 2 2、若一元二次方程 中,两根为 x1 , x2 。则 1 , 2 a。 a
二、指数与指数函数 1、幂的运算法则: ( 1) a ? a ? a
m n
n

m?n

( 2) a ? a ? a
m n

m?n

( 3) ? a ? ( 7)

m n

? a mn

n n (4) ? ab? ? a b n

an ?a? 0 a ? 1 (a≠0) ? ? n ( 5) ? ( 6 ) b ?b? 2、指数函数 y = a x (a > 0 且 a≠1)的性质: (1)定义域:R ; 值域:( 0 , +∞)
y a>1 1 0 X

a

?n

1 ? n a

m n a ? a ( 8)

n m

(2)图象过定点(0,1)
y 0<a<1 1 0
1

X

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三、对数与对数函数 1、对数的运算法则: (1)a b = N ? b = log a N (2)log a 1 = 0 (3)log a a = 1 (5)log a (MN) = log a M + log a N
m (7) logan b ? loga b n
m

( 4) a

loga N

?N

(6)log a (
logb N logb a

M N

) = log a M — log a N

(8)换底公式:log a N =

1 (9)log a N = log a N

2、对数函数 y = loga x (a > 0 且 a≠1)的性质: (1)定义域:( 0 , +∞) ; 值域:R
y a >1 x 0 y

(2)图象过定点(1,0)
0<a<1 1 x

0

1

四、幂函数:一般地,函数 y ? x? 叫做幂函数.其中 x 为自变量, ? 为常数.
2

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f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内有零点,即存在 c ? ? a, b? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方
程 f ( x) ? 0 的根。 五、几何体的表面积体积计算公式 1、圆柱: 表面积:2π R 2 +2πRh 体积:πR? h 2、圆锥: 表面积:πR?+πRl 体积: πR? h/3 (l 为母线长) 3、球:S 球面 = 4πR2 V球 =
4 3

【 零 点 存 在 性 原 理 】 如 果 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 ? a, b ? 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有

πR3 (其中 R 为球的半径)

六、

线面平行判定定理

线面垂直判定定理

a

?

b

a ??? ? b ? ? ? ? a / /? a / /b ? ?

l

b

?

A

a

? ? ? a ?? ??l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?

l?a l ?b

3

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七、直线

y 2 ? y1 1、斜率的计算公式:k = tanα= x ? x (α ≠ 90°,x 1≠x 2) 2 1
2、直线的方程(1)斜截式 y = k x + b ; (2)点斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) ; (3)截距式
x y ? ?1 a b

3、两条直线的位置关系: l1:y = k1x + b1 l2 : y = k 2 x + b2 重合 k1= k 2 且 b1= b2 平行 k1= k 2 且 b1≠ b2 垂直 k1 k 2 = – 1 l1: A1 x + B1 y + C1 =0 l2: A2 x + B2 y + C2 =0
A1 B C ? 1 ? 1 A2 B2 C 2

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2

A1 A2 + B1 B2 = 0

4、两点间距离公式:设 P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 ),则 | P1 P2 | = 5、点 P ( x 0 , y 0 )到直线 l :A x + B y + C = 0 的距离: d ?

? x1 ? x2 ?

2

? ? y1 ? y2 ?

2

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

4

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6、两条平行线 l1: A x + B y + C1 = 0 ,l2: A x + B y + C2 = 0 的距离: d ? 八、圆的方程 1.标准方程:(x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = r 2 一般方程:x + y +D x + E y + F = 0
2 2

C1 ? C2 A2 ? B 2

圆心:(a,b) ,半径:r
? D E? 圆心: ? ? 2 , ? 2 ? ? ?

1 2 2 半径: 2 D ? E ? 4F

2、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d) 直线

Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;
d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
3、两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ;
r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ;

d ? r1 ? r2 ? 外切 ;

d ? r1 ? r2 ? 内切 ;
(r 为圆的半径,d 为圆心到直线的距离)
5

0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 .
4、弦长公式:

AB ? 2 r 2 ? d 2

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九、统计 1、用样本的数字特征估计总体的数字特征 ( 1) 、众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. ( 2) 、中位数:将一组数据按从小到大依次排列 ,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) ......... 叫做这组数据的中位数.

x1 ? x2 ? ? ? xn n ( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? 2 ( 4) 、方差 s ? n
( 3) 、平均数: x ?

? ( xn ? x)2

方差反映稳定性,越小越稳定

2、由频率分布直方图中估计众数,中位数,平均数 众数:众数通常是频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标。 中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等。 平均数:每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和。 【注意】频率分布直方图中每一个小矩形的面积(=组距×高)是频率,所有面积之和为 1.

6

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十、三角函数特殊角函数值 角度 0 函数 角 α 的弧度 sinα cosα tanα 0 0 1 0

30

45

60

90

120

135

150

180

? 6 1 2
3 2 3 3

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2 1 2

? 2
1

0

2? 3 3 2 1 2
- 3

3? 4 2 2 2 2

5? 6 1 2
3 2 3 3

?

0
-1

1

3

-1

0

2、三角函数的图象与性质 函数 y=sin x 图像 定义域 值 域 周期性 奇偶性 R [-1,1] 2π 奇函数
7

y=cos x

y=tan x

R [-1,1] 2π 偶函数

π {x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z} 2 R π 奇函数

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单调性

? ? 2 2 ? 3? 减区间[ +2kπ, 2 2

增区间[- +2kπ, +2kπ] +2kπ]

增区间[-π+2kπ, 2kπ] 减区间[2kπ,π+2kπ]

增区间(- +kπ, +kπ)

? 2

? 2

3、同角三角函数公式

sin α+ cos α= 1

2

2

tan ??

si? n c o? s

4、二倍角的三角函数公式

sin2α= 2sinαcosα cos2α=2cos2α-1 = 1-2 sin2α= cos2α- sin2α
tan 2? ?

5、降幂公式

1 ? cos 2? cos ? ? 2
2

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 2

6、升幂公式

1± sin2α= (sinα± cosα) 2 1 + cos2α=2 cos2α 1- cos2α= 2 sin2α
8

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7、两角和差的三角函数公式

sin (α± β) = sinαcosβ 土 cosαsinβ cos (α± β) = cosαcosβ 干 sinαsinβ
tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 tan ? tan ?
8、两角和差正弦公式的变形(合一变形)

a sin ? ? b cos? ? a ? b sin ?? ? ? ?
2 2

tan ? ? (其中

b a)

特殊地:

sinα±cosα= 2 sin(α± ?4 ) sinα± 3 cosα= 2sin (α± ?3 ) cosα=2sin (α±? ) 3 sinα± 6

9、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变,符号看象限。”

9

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10、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 中,振幅:A

周期:

T?

2?

?

初相:

?

十一、解三角形

a b c ? ? ? 2 R (R 为 ΔABC 外接圆半径) 1、 正弦定理: sin A sin B sin C
a : b : c = sinA : sinB : sinC

2、 余弦定理:a 2 = b 2 + c 2 – 2bc?cosA , b 2 = a 2 + c 2 – 2a c?cosB , c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b?cosC
b ?c ?a cos A ? 2bc
2 2 2

,

a2 ? c2 ? b2 cos B ? 2ac
1 2

,

a2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab

3、面积公式:S

=1 ab sinC = 2

bc sinA =

1 2

ac sinB
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十二、向量的有关概念 1、向量的模计算公式: (1)向量法:| a | = 2)坐标法:设

a?a ? a ;

2

a =(x,y) ,则| a | =

x2 ? y2

2、向量的平行与垂直的条件
a a

∥ b ( b ≠ 0 ) ? x1 y2 – x2 y1 = 0 ⊥b ?a· b = 0 ? x1 x2 + y1 y2 = 0

3、向量的加减法:设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) ,则

a

?

b =(x1 ?
a ?b | a || b |

x2 ,y1 ? y2)

4、两个向量的夹角计算公式:

cos< a ,

b

>=
11

=

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 x2 ? y2

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5、平面向量的数量积计算公式: a b

·= | a | | b | cos< a , b >= x1 x2 + y1 y2

十三、等差数列{an} 1、通项公式: an

? a1 ? (n ? 1)d

,推广: an

? am ? (n ? m)d

( m , n∈N )

S ? 2、前 n 项和公式: n

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

3、等差数列的主要性质 ① (等差中项)若 a,A,b 成等差数列,则有 2A=a+b ② 若 m + n = p + q,则

a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q∈N )
an ? am n?m

③求公差 d

的方法: d ?

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十四、等比数列{an} 1、通项公式: an ? a1q
n ?1

n?m a ? a q m ,推广: n

( m , n∈N )

(q ? 1) ?na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? 1? q 2、等比数列的前 n 项和公式: ?
3、等比数列的主要性质 ① (等比中项)若 a,G,b 成等比数列,则有 G ? ab , (即 G ? ? ② 若 m + n = p + q,则 a m ? a n = a p ? a q ( m , n , p , q∈N ) ③求公比 q 的方法: q ? a
2

ab



n?m

n

am

十五、一般数列{ a n }的通项公式:记 S n

?n ? 1? ? S1 a ? ? = a 1 + a 2 + … + a n ,则恒有 n ? S n ? S n ?1 ?n ? 2, n ? N ?
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十六、不等式 1、 一元二次不等式的解法:

) (1)将二次项系数化为“+” ( 3 大于取两边,小于取中间 ) ; ( 2求两根; .

a?b ? ab 2、均值定理: 2

当且仅当 a = b 时取“ = ”号。求最值得必要条件:一正、二定、三相等

14



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