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清北学堂2014年暑假数学联赛模拟试题一答案


清北学堂2014年暑假数学联赛模拟考试一答案
(李伟固老师命制)
1. 凸四边形ABCD的对角线交于P . 已知? DAC = 30? , ? BDC = 50? , ? CBD = 15? , ? BAC = 75? , 求? AP D. 解. 在BD上取E 使得BE = EC.我们有? BEC = 150? = 2? BAC. 这推出E 为三角形ABC 的

外 心. 由此,AE = EC, ? CED = 2? DBC = 30? = ? DAC. 故A, E, C, D共圆,? ADE = ? BDC = 50? . 得到? AP D = 100? . 2. 已知对任意x, y, z ≥ 0都有x3 + y 3 + z 3 ? 3xyz ≥ c|(x ? y )(y ? z )(z ? x)|. 求cmax . 解. 不等式左端= (x + y + z )((x ? y )2 + (y ? z )2 + (z ? x)2 )/2, 故不妨设x ≥ y > z = 0. 原式变为x3 + y 3 ≥ cxy (x ? y ). 令t = x/y, t3 + 1 ≥ ct(t ? 1). 故cmax = mint>1 f (t), 其 中f (t) =
3 = 0. 设f 在t0 处达到最小值, 则t4 0 ? 2t0 ? 2t0 + 1 = 0 ? (√ √ ) √ √ √ √ 1+ 3+ 2 3 4 6+3 2 (t0 + t1 )2 ? 2(t0 + t1 ) ? 2 = 0. 解得t0 = . cmax = f (t0 ) = 3. 2 2 0 0 t3 +1 . t(t?1)

f ′ (t) =

t4 ?2t3 ?2t+1 t2 (t?1)2

3. 由2014个不同的正整数组成的集合M 满足: M 中任意两个不同的数的比不是整数. M 中的 数x称为好的,如果存在y, z ∈ M, y ?= z 满足x2 |yz. 问:M 中至多可能有多少个好数? 解. 至多2012个好数. 例: M = {2k 32013?k |0 ≤ k ≤ 2013},其中除了22013 , 32013 外都是好数. 我们证明集合M 中至少有两个非好数. 显然M 中的最大的数m不是好数. 设c为M 中的最小 数,则c > 1. 由于m不是c的倍数, 存在c的素因数p使得c的素因数分解中p的幂次大于m的分解 中p的幂次.设a为M 中的数,其素因数分解中p的幂次最大. 设pα ||a, 则a ?= m.令b = max{x ∈ M : pα |x}, 则b ?= m不是好数. 4. n个不同的球放在编号分别为1 ? 9的九个箱子中满足: 1号箱中球的个数等于2,3,4,5号箱中球 的个数之和. 令an 表示满足条件的放法数. 求最小实数c使得对任意正整数n,都有an+1 < can .
k k k k 解. 满足要求且第一个箱子放入k 个球的方法数为Cn Cn?k 4k 4n?2k = Cn Cn?k 4n?k . [n/2]

an =


k=0

k k Cn Cn?k 4n?k = cons((x +

(x + 2)2n 1 n + 4)n ) = cons( ) = 2n C2 n. x xn
4 , n+1

其中cons(·)表示表达式(·)中x的0次项系数. 由此,an+1 /an = 8 ?

cmin = 8.

1


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