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第一章第1讲 集合及其运算


知识点

考纲下载 1.了解集合、元素的含义及其关系. 2.理解集合的表示法.

集合

3.了解集合之间的包含、相等关系. 4.理解全集、空集、子集的含义. 5.会求简单集合间的并集、交集. 6.理解补集的含义并会求补集.

命题及其关系、 充分条件与必要 条件

1.了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义, 及其相互之间的关系. 2.理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义,能 判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 第 1 讲 集合及其运算

1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 符号 2.集合间的基本关系 表示 关系 自然语言 集合 A 中所有元 子集 素都在集合 B 中 (即若 x∈A,x∈ 符号语言 Venn 图 自然数集 N 正整数集 N*(或 N+) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

A?B (或 B?A)

B) 集合 A 是集合 B 真子集 的子集, 且集合 B 中至少有一个元 素不在集合 A 中 集合 相等 3.集合的基本运算 集合的并集 图形 语言 符号 语言 A∪B= {x|x∈A,或 x∈B} A∩B= {x|x∈A,且 x∈B} ?UA= {x|x∈U,且 x?A} 集合的交集 集合的补集 集合 A, B 中元素 相同 A=B A?B (或 B?A)

1.辨明三个易误点 (1)认清元素的属性.解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情 形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. (2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性, 否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关 A∩B=?,A?B 等集合问题时,往往忽略空集的情况,一定 先考虑?是否成立,以防漏解. 2.活用几组结论 (1)A∪B=A?B?A,A∩B=A?A?B. (2)A∩A=A,A∩?=?. (3)A∪A=A,A∪?=A. (4)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U,?U(?UA)=A. (5)A?B?A∩B=A?A∪B=B??UA??UB?A∩(?UB)=?. (6)若集合 A 中含有 n 个元素,则它的子集个数为 2n,真子集个数为 2n-1,非空真子集 个数为 2n-2.

1.教材习题改编 已知集合 A={x|x 是平行四边形}, B={x|x 是矩形}, C={x|x 是正方形},

D={x|x 是菱形},则( A.A?B C.D?C [答案] B

) B.C?B D.A?D

2.教材习题改编 设集合 A={x|2≤x<5},B={x∈Z|3x-7≥8-2x},则 A∩B=( A.{x|3≤x<5} C.{3,4} B.{x|2≤x≤3} D.{3,4,5}

)

C [解析] 因为 A={x|2≤x<5}, B={x∈Z|3x-7≥8-2x}={x∈Z|x≥3}, 所以 A∩B={3,4}. 3.(2016· 高考浙江卷)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 P={1,3,5},Q={1, 2,4},则(?UP)∪Q=( A.{1} C.{1,2,4,6} ) B.{3,5} D.{1,2,3,4,5}

C [解析] 由题意得,?UP={2,4,6},所以(?UP)∪Q={1,2,4,6}.故选 C. 4. 已知集合 A={(x, y)|x, y∈R, 且 x2+y2=1}, B={(x, y)|x, y∈R, 且 y=x}, 则 A∩B 的元素个数为________. [解析] 集合 A 表示的是圆心在原点的单位圆,集合 B 表示的是直线 y=x,据此画出图 象,可得图象有两个交点,即 A∩B 的元素个数为 2. [答案] 2 1 ? 5? x- ?≤ ?,P={x| 5.(2017· 舟山市普陀三中高三(上)期中)设全集 U=R,集合 M=?x?? 2 ? ? 2 ? ? ? -1≤x≤4},则(?UM)∩P 等于________. 1 ? 5? x- ?≤ ?={x|-2≤x≤3},所以?UM={x|x<-2 或 x>3}, [解析] 因为 M=?x?? ? 2? 2
?

?

?

又 P={x|-1≤x≤4}, 所以(?UM)∩P={x|3<x≤4}. [答案] {x|3<x≤4}

集合的含义[学生用书 P2] [典例引领] (1)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={(x,y)|x≥y,x∈A,y∈A}中元素的个 数是( A.1 ) B .3

C.6

D.9
? ?

b ? ? (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0,a,b?,则 b-a=( A.1 C.2 B.-1 D.-2

)

【解析】 (1)当 x=0 时,y=0;当 x=1 时,y=0 或 y=1;当 x=2 时,y=0,1,2. 故集合 B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合 B 中有 6 个元素. b ? ? b (2)因为{1,a+b,a}=?0,a,b?,a≠0,所以 a+b=0,则 =-1,所以 a=-1,b a ? ? =1.所以 b-a=2. 【答案】 (1)C (2)C

[通关练习] 1.(2017· 温州八校联考)已知集合 M={1,m+2,m2+4},且 5∈M,则 m 的值为( A.1 或-1 C.-1 或 3 B .1 或 3 D.1,-1 或 3 )

B [解析] 因为 5∈{1,m+2,m2+4}, 所以 m+2=5 或 m2+4=5, 即 m=3 或 m=± 1.当 m=3 时,M={1,5,13};当 m=1 时,M={1,3,5}; 当 m=-1 时,不满足互异性.所以 m 的值为 3 或 1. 2.设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中的元素 个数为( A.3 C.5 ) B .4 D.6

B [解析] 因为 a∈A,b∈B,所以 x=a+b 为 1+4=5,1+5=2+4=6,2+5=3 +4=7,3+5=8.共 4 个元素. 集合间的基本关系[学生用书 P3] [典例引领] (1)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( )

A.1 C.3

B .2 D.4

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 B?A,则实数 m 的取值 范围为________. 【解析】 (1)由 x2-3x+2=0,得 x=1 或 x=2,所以 A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4}, 所以满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)因为 B?A, 所以①若 B=?,则 2m-1<m+1,此时 m<2. 2m-1≥m+1, ? ? ②若 B≠?,则?m+1≥-2, ? ?2m-1≤5. 解得 2≤m≤3. 由①、②可得,符合题意的实数 m 的取值范围为 m≤3. 【答案】 (1)D (2)(-∞,3]

1.在本例(2)中,若 A?B,如何求解?
? ?m+1≤-2, [解] 若 A?B,则? ?2m-1≥5, ? ?m≤-3, ? 即? ?m≥3. ?

所以 m 的取值范围为?. 2.若将本例(2)中的集合 A 改为 A={x|x<-2 或 x>5},如何求解? [解] 因为 B?A, 所以①当 B=?时,即 2m-1<m+1 时,m<2,符合题意.
? ?m+1≤2m-1, ②当 B≠?时,? ?m+1>5 ? ? ?m+1≤2m-1, 或? ?2m-1<-2, ?

? ? ?m≥2, ? ? 解得 或? 1 ?m>4 ? ?m<- . ?
2 即 m>4.

m≥2,

综上可知,实数 m 的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞).

[通关练习] 1.设 P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则( A.P?Q C.?RP?Q B.Q?P D.Q??RP )

C [解析] 因为 P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0}, 所以?RP={y|y>1},所以?RP?Q,选 C. 2.(2017· 绍兴调研)设 A={1,4,2x},B={1,x2},若 B?A,则 x=________. [解析] 由 B?A,则 x2=4,或 x2=2x.当 x2=4 时,x=±2;当 x2=2x 时,x=0 或 x= 2.但当 x=2 时,2x=4,这与集合中元素的互异性相矛盾.故 x=-2 或 x=0. [答案] -2 或 0 3. 已知集合 A={x|x2-2x-3<0}, B={x|-m<x<m}. 若 B?A, 则 m 的范围为________. [解析] 当 m≤0 时,B=?,显然 B?A. 当 m>0 时,因为 A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3}. 当 B?A 时,有

-m≥-1, ? ? 所以?m≤3, 所以 0<m≤1.综上所述 m 的范围为 m≤1. ? ?-m<m. [答案] m≤1 集合的基本运算(高频考点)[学生用书 P3] 集合的基本运算是历年各地高考的热点, 每年必考, 常和不等式的解集、 函数的定义域、 值域相结合命题,主要以选择题的形式出现.试题难度不大,多为低档题. 高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度:

(1)求集合间的交或并运算; (2)求集合的交、并、补的混合运算; (3)已知集合的运算结果求参数的值(范围). [典例引领] (1)(2017· 杭州市七校联考)已知全集 U=R,M={x|-2≤x≤2},N={x|x<1},那 么 M∪N=( ) B.{x|-2<x<1} D.{x|x≤2}

A.{x|-2≤x<1} C.{x|x<-2}

(2)(2016· 高考浙江卷)已知集合 P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则 P∪(?RQ)= ( ) A.[2,3] C.[1,2) B.(-2,3] D.(-∞,-2]∪[1,+∞)

(3)已知集合 A、B 均为 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3},(?UB)∩A={9}, 则 A=________. 【解析】 (1)因为 M={x|-2≤x≤2},N={x|x<1}, 所以 M∪N={x|x≤2}.故选 D. (2)由于 Q={x|x≤-2 或 x≥2},?RQ={x|-2<x<2}, 故得 P∪(?RQ)={x|-2<x≤3}.故选 B. (3)因为 A∩B={3},所以 3∈A, 又因为(?UB)∩A={9}, 所以 9∈A, 又 U={1,3,5,7,9},假设 1∈A,由 A∩B={3}, 知 1?B,所以 1∈?UB, 则与(?UB)∩A={9}矛盾, 所以 1?A,同理 5,7?A, 则 A={3,9}. 【答案】 (1)D (2)B (3){3,9}

集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助 Venn 图求解; (2)连续型数集的运算,常借助数轴求解; (3)已知集合的运算结果求集合,常借助数轴或 Venn 图求解; (4)根据集合运算结果求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求 解.

[题点通关] 角度一 求集合间的交或并运算 1. (2016· 高考全国卷甲)已知集合 A={1, 2, 3}, B={x|(x+1)(x-2)<0, x∈Z}, 则 A∪B =( ) A.{1} C.{0,1,2,3} B.{1,2} D.{-1,0,1,2,3}

C [解析] 由已知可得 B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0, 1},所以 A∪B={0,1,2,3},故选 C. 角度二 求集合的交、并、补的混合运算 2.(2017· 金华模拟)已知集合 U={1,2,3,4,5,6},S={1,2,5},T={2,3,6}, 则 S∩(?UT)=________,集合 S 共有________个子集. [解析] 集合 U={1,2,3,4,5,6}, S={1,2,5},T={2,3,6}, 所以?UT={1,4,5}, 所以 S∩(?UT)={1,5}, S={1,2,5}的子集的个数为 23=8. [答案] {1,5} 8 3.(2017· 宜春中学、新余一中联考)

已知全集为 R,集合 A={x|x2-5x-6<0},B={x|2x<1},则图中阴影部分表示的集合是 ( ) A.{x|2<x<3} C.{x|0≤x<6} C [解析] 由 x -5x-6<0, 解得-1<x<6,所以 A={x|-1<x<6}. 由 2x<1,解得 x<0, 所以 B={x|x<0}. 又图中阴影部分表示的集合为(?RB)∩A, 因为?RB={x|x≥0}, 所以(?RB)∩A={x|0≤x<6},故选 C. 角度三 已知集合的运算结果求参数的值(范围) 4.(2017· 河南省六市第一次联考)已知集合 A={x|x2-3x<0},B={1,a},且 A∩B 有 4 个子集,则实数 a 的取值范围是( )
2

B.{x|-1<x≤0} D.{x|x<-1}

A.(0,3) C.(0,1)

B.(0,1)∪(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)

B [解析] 因为 A∩B 有 4 个子集, 所以 A∩B 中有 2 个不同的元素, 所以 a∈A,所以 a2-3a<0, 解得 0<a<3 且 a≠1, 即实数 a 的取值范围是(0,1)∪(1,3),故选 B.

——集合中的创新问题

以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点, 此类题目常常以 “问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,这类试题只是以集合为依托,考 查考生理解问题、解决创新问题的能力. 常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等,这类试题中集合只是基本的依托. 如果集合 A 满足若 x∈A,则-x∈A,那么就称集合 A 为“对称集合”.已知 集合 A={2x,0,x2+x},且 A 是对称集合,集合 B 是自然数集,则 A∩B=________. 【解析】 由题意可知-2x=x2+x,所以 x=0 或 x=-3.而当 x=0 时不符合元素的互 异性,所以舍去.当 x=-3 时,A={-6,0,6},所以 A∩B={0,6}. 【答案】 {0,6} 解决集合创新型问题的方法 (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能 够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在. (2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合 问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在 关键之处用好集合的性质. 1.设 A,B 是非空集合,定义 A?B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B}.已知集合 A={x|0<x<2},B={y|y≥0},则 A?B=________. [解析] 由已知 A={x|0<x<2}, B={y|y≥0}, 又由新定义 A?B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B},

结合数轴得 A?B={0}∪[2,+∞). [答案] {0}∪[2,+∞) 2.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1?A 且 k+1?A,那么 k 是 A 的 一个“单一元”,给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合中, 不含“单一元”的集合共有________个. [解析] 符合题意的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7}, {6,7,8},共 6 个. [答案] 6

[学生用书 P227(独立成册)])

1.(2016· 高考天津卷)已知集合 A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则 A∩B =( ) A.{1} C.{1,3} B.{4} D.{1,4}

D [解析] 由题意得,B={1,4,7,10},所以 A∩B={1,4}. 2.设集合 A={-1,0,2},集合 B={-x|x∈A 且 2-x?A},则 B=( A.{1} C.{-1,-2} B.{-2} D.{-1,0} )

A [解析] 当 x=-1 时,2-x=3?A,此时-x=1∈B,当 x=0 时,2-0=2∈A,当 x=2 时,2-2=0∈A,所以 B={1}. 3.设集合 M={x|x2-2x-3<0,x∈Z},则集合 M 的真子集个数为( A.8 C.4 B .7 D.3 )

B [解析] 依题意,M={x|(x+1)· (x-3)<0,x∈Z}={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}, 因此集合 M 的真子集个数为 23-1=7,故选 B. 4. (2017· 南昌月考)设集合 P={a2, log2a}, Q={2a, b}, 若 P∩Q={0}, 则 P∪Q=( A.{0,1} C.{0,2} B.{0,1,2} D.{0,1,2,3} )

B [解析] 因为 P∩Q={0}, 所以 0∈P, 只能 log2a=0, 所以 a=1, a2=1, 又 0∈Q, 因为 2a=21=2≠0,所以 b=0,所以,P={0,1},Q={2,0},所以 P∪Q={0,1,2}.
? 1 ? ? 5.(2017· 石家庄教学质量检测(二))设集合 M={-1,1},N=?x? ?x<2 ,则下列结论正 ? ?

确的是(

)

A.N?M C.M∩N=?

B.M?N D.M∪N=R

2x-1 1 1 1 ? B [解析] 因为 -2<0, 即 >0, 解得 x<0 或 x> , 因为 N=(-∞, 0)∪? ?2,+∞?, x x 2 又 M={1,-1},所以可知 B 正确,A,C,D 错误,故选 B. 6.已知全集 U=Z,P={-2,-1,1,2},Q={x|x2-3x+2=0},则图中阴影部分表 示的集合为( )

A.{-1,-2} C.{-2,1} A [解析] 因为 Q={1,2},

B.{1,2} D.{-1,2}

所以 P∩(?UQ)={-1,-2},故选 A. 7.(2017· 浙江五校联考模拟)定义集合 A={x|f(x)= 2x-1},B={y|y=log2(2x+2)},则 A∩?RB=( ) B.[0,1] D.[0,2)

A.(1,+∞) C.[0,1)

B [解析] 由 A 中 f(x)= 2x-1, 得到 2x-1≥0, 即 2x≥1=20, 解得 x≥0, 即 A=[0, +∞),由 2x+2>2,得到 y=log2(2x+2)>1,即 B=(1,+∞),因为全集为 R,所以?RB=(- ∞,1], 则 A∩(?RB)=[0,1]. b ? ? 8. 设集合 A=?5,a,a-b?, B={b, a+b, -1}, 若 A∩B={2, -1}, 则 A∪B=(
? ?

)

A.{-1,2,3,5} C.{5,-1,2}

B.{-1,2,3} D.{2,3,5}

b b b ? ? ?a=2, ?a=-1, ? ?a=2, A [ 解析 ] 由 A∩B = {2 , - 1} , 可得 ? 或? 当? 时, ? ? ? ?a-b=-1 ?a-b=2. ?a-b=-1

? ? ? ? =-1, ?a=1, ?a=1, ? 此时 B={2,3,-1},所以 A∪B={-1,2,3,5};当?a 时,? 此 ?b=2. ?b=-1, ? ? ? ?a-b=2
时不符合题意,舍去. 9.(2017· 湖北省七市(州)协作体联考)已知集合 P={n|n=2k-1,k∈N*,k≤50},Q= {2,3,5},则集合 T={xy|x∈P,y∈Q}中元素的个数为( A.147 B.140 )

b

C.130

D.117

B [解析] 由题意得,y 的取值一共有 3 种情况,当 y=2 时,xy 是偶数,不与 y=3, y=5 有相同的元素,当 y=3,x=5,15,25,?,95 时,与 y=5,x=3,9,15,?,57 时有相同的元素,共 10 个,故所求元素个数为 3×50-10=140,故选 B. 10.(2017· 温州质检)已知全集 U=R,集合 A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-a≤0},若 ?UB?A,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,1) C.[1,+∞) ) B.(-∞,2] D.[2,+∞)

D [解析] 因为 x2-3x+2>0,所以 x>2 或 x<1. 所以 A={x|x>2 或 x<1},因为 B={x|x≤a}, 所以?UB={x|x>a}. 因为?UB?A,借助数轴可知 a≥2,故选 D. 11. 集合 A={0, 2, a}, B={1, a2}, 若 A∪B={0, 1, 2, 4, 16}, 则 a 的值为________. [解析] 根据并集的概念,可知{a,a2}={4,16},故只能是 a=4. [答案] 4 12. (2017· 宁波效实中学模拟)已知全集 U=R, 集合 A={x|-1≤x≤3}, 集合 B={x|log2(x -2)<1},则 A∪B=________;A∩(?UB)=________. [解析] log2(x-2)<1?0<x-2<2?2<x<4?B=(2,4),所以 A∪B=[-1,4),A∩(?UB) =[-1,2]. [答案] [-1,4) [-1,2] 13.(2017· 开封市第一次模拟)设集合 A={n|n=3k-1,k∈Z},B={x||x-1|>3},则 B =________,A∩(?RB)=________. [解析] 当 k=-1 时,n=-4;当 k=0 时,n=-1;当 k=1 时,n=2;当 k=2 时,n =5.由|x-1|>3,得 x-1>3 或 x-1<-3,即 x>4 或 x<-2,所以 B={x|x<-2 或 x>4},?RB ={x|-2≤x≤4},A∩(?RB)={-1,2}. [答案] {x|x<-2 或 x>4} {-1,2} 14.(2017· 浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为 R,集合 M={x∈R|x2-4x+3>0}, 集合 N={x∈R|2x>4},则 M∩N=________;?R(M∩N)=________. [解析] M={x∈R|x2-4x+3>0}={x|x<1 或 x>3}, N={x∈R|2x>4}={x|x>2}, 所以 M∩N =(3,+∞),所以?R(M∩N)=(-∞,3]. [答案] (3,+∞) (-∞,3] 15. 已知集合 M={x|x2-4x<0}, N={x|m<x<5}, 若 M∩N={x|3<x<n}, 则 m=________, n=________. [解析] 由 x2-4x<0 得 0<x<4,所以 M={x|0<x<4}.又因为 N={x|m<x<5},M∩N=

{x|3<x<n},所以 m=3,n=4. [答案] 3 4 16.设全集 U={x∈N*|x≤9},?U(A∪B)={1,3},A∩(?UB)={2,4},则 B=________. [解析] 因为全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 由?U(A∪B)={1,3}, 得 A∪B={2,4,5,6,7,8,9}, 由 A∩(?UB)={2,4}知,{2,4}?A,{2,4}??UB. 所以 B={5,6,7,8,9}. [答案] {5,6,7,8,9} 17.已知集合 A={x|1≤x<5},C={x|-a<x≤a+3},若 C∩A=C,则 a 的取值范围是 ________. [解析] 因为 C∩A=C,所以 C?A. 3 ①当 C=?时,满足 C?A,此时-a≥a+3,得 a≤- ; 2 -a<a+3, ? ? ②当 C≠?时,要使 C?A,则?-a≥1, ? ?a+3<5, 3 解得- <a≤-1. 2 综上,可得 a 的取值范围是(-∞,-1]. [答案] (-∞,-1]

18. (2017· 瑞安市龙翔高中高三月考)设集合 A={y|y=sin x, x∈R}, 集合 B={x|y=lg x}, 则(?RA)∩B=________. [解析] 由集合 A 中的函数 y=sin x,x∈R,得到 y∈[-1,1], 所以 A=[-1,1], 所以?RA=(-∞,-1)∪(1,+∞), 由集合 B 中的函数 y=lg x,得到 x>0, 所以 B=(0,+∞), 则(?RA)∩B=(1,+∞). [答案] (1,+∞) 19.已知集合 M={1,2,3,4},集合 A、B 为集合 M 的非空子集,若?x∈A、y∈B, x<y 恒成立, 则称(A, B)为集合 M 的一个“子集对”, 则集合 M 的“子集对”共有________ 个. [解析] 当 A={1}时,B 有 23-1=7 种情况,当 A={2}时,B 有 22-1=3 种情况,当 A

={3}时,B 有 1 种情况,当 A={1,2}时,B 有 22-1=3 种情况,当 A={1,3},{2,3}, {1,2,3}时,B 均有 1 种情况, 所以满足题意的“子集对”共有 7+3+1+3+1+1+1=17 个. [答案] 17 20.已知集合 A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的 a 的值. (1)9∈(A∩B); (2){9}=A∩B. [解] (1)因为 9∈(A∩B), 所以 2a-1=9 或 a2=9,所以 a=5 或 a=3 或 a=-3. 当 a=5 时,A={-4,9,25},B={0,-4,9}; 当 a=3 时,a-5=1-a=-2,不满足集合元素的互异性; 当 a=-3 时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9}, 所以 a=5 或 a=-3. (2)由(1)可知,当 a=5 时,A∩B={-4,9},不合题意, 当 a=-3 时,A∩B={9}.所以 a=-3. 21.(2017· 杭州模拟)已知集合 A={x|1<x<3},集合 B={x|2m<x<1-m}. (1)当 m=-1 时,求 A∪B; (2)若 A?B,求实数 m 的取值范围; (3)若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围. [解] (1)当 m=-1 时,B={x|-2<x<2}, 则 A∪B={x|-2<x<3}. 1-m>2m, ? ? (2)由 A?B 知?2m≤1, ? ?1-m≥3, 得 m≤-2,即实数 m 的取值范围为(-∞,-2]. (3)由 A∩B=?,得 1 ①若 2m≥1-m,即 m≥ 时,B=?,符合题意; 3 1 1 ? ? ?m<3, ?m<3, 1 ②若 2m<1-m,即 m< 时,需? 或? 3 ? ?1-m≤1 ? ?2m≥3, 1 1 得 0≤m< 或?,即 0≤m< . 3 3 综上知 m≥0,即实数 m 的取值范围为[0,+∞).


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