tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2011年新课标版高考题库考点42 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用


温馨提示: 此题库为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观 看比例,关闭 Word 文档返回原板块。

考点 42
一、选择题

曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

x2 y 2 2 2 1.(2011·山东高考理科·T8)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的两条渐

近线均和圆 C:x +y -6x+5=0 a b
相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( (A) ) (D)

x2 y 2 ? ?1 5 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 5

( C)

x2 y 2 ? ?1 3 6

x2 y 2 ? ?1 6 3

【思路点拨】先求出圆 C 的圆心坐标(3,0) ,半径 r=2,再求出渐近线方程,由圆心到渐近线的距离等于 半径即可得到 a,b 的关系,再由双曲线的右焦点为圆 C 的圆心知 c=3,即可求出结果. 【精讲精析】选 A.双曲线的渐近线方程为 bx+ay=0 和 bx-ay=0,圆心为(3,0) ,半径 r=2.由圆心到直线的 距离为 r ?

3b a ?b
2 2

,得 4a =5b ,又因为双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,所以 c=3,即 9=a +b , 所以,

2

2

2

2

a =5,b =4 所以该双曲线的方程为

2

2

x2 y 2 ? ? 1. 5 4

2. (2011·福建卷理科·T7)设圆锥曲线 ? 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 ? 上存在点 P 满足

PF1 : F1 F2 : PF2 =4:3:2,则曲线 ? 的离心率等于(
(A) 或

)

1 2

3 2

(B)

2 或2 3

(C)

1 或2 2

(D) 或

2 3

3 2

|PF |,| F1 F |,| PF | 【思路点拨】根据 PF1 : F1 F2 : PF2 =4:3:2,设出 1 2 2 ,然后按曲线 ? 为椭圆或
者双曲线,在 ?PF1 F2 中分别利用定义求离心率.

|= 4k ,| F1F 2 |? 3k ,| PF2 |? 2k , 【精讲精析】 选 A. ? PF1 : F1 F2 : PF2 =4:3:2,?可设|PF 1
其中 | F1 F2 |? 2c ? 3k ,? c ?

3k .若圆锥曲线 ? 为椭圆,则 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 6k ,? a ? 3k , 2

3 k c 2 1 ?e ? ? ? . 若圆锥曲线 ? 为双曲线,则 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 2k , a 3k 2

-1-

3 k c 2 3 1 3 ? a ? k ,? e ? ? ? ,? e的取值为 或 . a k 2 2 2
3. (2011·福建卷文科·T11)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1, F2,若曲线 C 上存在点 P 满足 PF1 :

F1 F2 : PF2 = 4:3:2,则曲线 C 的离心率等于(



1 3 2 2 1 (C) 或2 2
(A) 或

(B) 或2

2 3 2 3 (D) 或 3 2

|PF |,| F1 F |,| PF | 【思路点拨】根据 PF1 : F1 F2 : PF2 =4:3:2,设出 1 2 2 的值,然后按曲线 C 为椭圆
或者双曲线,在 ?PF1 F2 中分别利用定义求离心率. 【精讲精析】选 A. ? PF1 : F1 F2 : PF2 =4:3:2, 设|PF |= 4k ,| F1F 2 |? 3k ,| PF2 |? 2k , 1 其中 | F1 F2 |? 2c ? 3k ,? c ?

3k .若圆锥曲线 C 为椭圆,则 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 6k ,? a ? 3k , 2

3 k c 2 1 ?e ? ? ? , 若圆锥曲线 C 为双曲线,则 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 2k , ? a ? k , a 3k 2 3 k 1 3 c 2 3 ?e ? ? ? , ? e的取值为 或 . 2 2 a k 2
二、填空题 4.(2011·山东高考文科·T15)已知双曲线

x2 y 2 x 2 y2 ? ? 1( a > 0 , b > 0) ? =1 有相同的焦点, 和椭圆 a 2 b2 16 9
.

且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为

【思路点拨】先求椭圆焦点,即双曲线的焦点,再由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出 b,然后写 出双曲线的方程. 【精讲精析】由题意知双曲线的焦点为(- 7 ,0) , ( 7 ,0) ,即 c= 7 ,又因为双曲线的离心率为

e?

x2 y2 c 2 7 2 ? ? ? 1. ,所以 a=2,故 b =3,所以双曲线的方程为 a 4 4 3 x2 y2 ? ?1 4 3

【答案】

5.(2011·北京高考理科·T14)曲线 C 是平面内与两个定点 F1 (?1, 0) 和 F2 (1, 0) 的距离的积等于常数

a 2 (a ? 1) 的点的轨迹.给出下列三个结论:
-2-

①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则 ?F1 PF2 的面积不大于 其中所有正确的结论的序号是 .

1 2 a . 2

【思路点拨】写出曲线 C 的方程,再逐个验证三个结论. 【精讲精析】设 P(x,y)为曲线 C 上任意一点,则由 | PF1 | ? | PF2 |? a ,得
2
2 2 2 2 2 2 C: ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? y ? a ,把(0,0)代入方程可得 1 ? a ,与 a ? 1 矛盾,故①不正确;

当 M(x,y)在曲线 C 上时,点 M 关于原点的对称点 M '(? x, ? y) ,也满足方程,故曲线 C 关于原点对称,故 ②正确; S?F1PF2 ? 【答案】②③ 三、解答题 6. (2011·安徽高考理科·T21)若 ? ? 0 ,点 A 的坐标为(1,1) ,点 B 在抛物线 y ? x 上运动,点 Q 满
2

1 1 1 | PF1 || PF2 | sin ?F1PF2 ? a 2 sin ?F1PF ? a 2 ,故③正确. 2 2 2

足 BQ ? ? QA ,经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M,点 P 满足 QM ? ? MP ,求点 P 的轨迹方程.

??? ?

??? ?

【思路点拨】设出P点坐标,通过Q,B等中间量建立方程,消去中间量,求出点P的轨迹方程. 【精讲精析】由 QM ? ? MP 知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上,故可设
2 P(x,y),Q(x, y0 ),M(x,x ),则 x ? y0 ? ? ( y ? x ). 即
2 2

y0 ? (1 ? ? ) x 2 ? ?y. ??? ? ??? ?



再设 B( x1 , y1 ), 由 BQ ? ? QA ,即 ( x ? x1 , y0 ? y1 ) ? ? (1 ? x,1 ? y0 ), 解得

? x1 ? (1 ? ? )x ? ?, ? ? y1 ? (1 ? ?)y 0 ? ?.
将①式代入②式,消去 y 0 ,得



-3-

? x1 ? (1 ? ? )x ? ?, ? 2 2 ? y1 ? (1 ? ? ) x ? ? (1 ? ? )y ? ?.
2
2 2



又点 B 在抛物线 y ? x 上,所以 y1 ? x1 ,再将③式代入 y1 ? x1 ,得

(1 ? ? ) 2 x 2 ? ? (1 ? ? ) y ? ? ? ((1 ? ? ) x ? ? ) 2 . (1 ? ? ) 2 x 2 ? ? (1 ? ? ) y ? ? ? (1 ? ? ) 2 x 2 ? 2? (1 ? ? ) x ? ?2 . 2? (1 ? ? ) x ? ? (1 ? ? ) y ? ? (1 ? ? ) ? 0.
因为 ? ? 0 ,两边同时除以 ? (1 ? ? ), 得

2 x ? y ? 1 ? 0.
故所求点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? 1 . 7. (2011·新课标全国高考理科·T20)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB / / OA , MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值. 【思路点拨】第(1)问,求 M 点的轨迹,可设 M 点坐标为 ( x, y ) ,然后利用条件 MB / / OA 得到点 B 的坐标,最后将条件 MA ? AB ? MB ? BA 转化为坐标关系,得到 x, y 满足的关系式,化简整理即得 C 的方 程; 第(2)问,设出点 P 的坐标,利用导数求出切线 l 的斜率,表示出 l 的方程,再利用点到直线的距离公式 求得 O 点到 l 距离的函数,然后利用函数的知识求出最值即可. 【精讲精析】(1)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再由题意可知( MA + MB )? AB =0, 即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.

uuu r

uur

uuu r uu u r

uuu r uu r

????

??? ?

???? ??? ?

???? ??? ?

uuu r

uuu r

uu u r

uuu r uuu r

uu u r

1 2 x -2. 4 1 2 1 ' 1 (2)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= x -2 上一点,因为 y = x,所以 l 的斜率为 x 0 , 4 2 2 1 2 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x0 ? 0 . 2
所以曲线 C 的方程式为 y= 则 O 点到 l 的距离 d ?
2 | 2 y0 ? x0 |

x ?4
2 0

.又 y0 ?

1 2 x0 ? 2 ,所以 4

-4-

1 2 x0 ? 4 1 4 2 d?2 ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 x0 ?4 2 x0 ?4
当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. 8.(2011·山东高考理科·T22) 已知直线 l 与椭圆 C: O 为坐标原点. (1)证明 x1 +x2 和 y1 +y2 均为定值; (2)设线段 PQ 的中点为 M,求 OM ? PQ 的最大值;
2 2 2 2

2

x2 y 2 6 ,Q(x2,y2)两不同点,且△OPQ 的面积 S ?OPQ ? ,其中 ? ? 1 交于 P(x1,y1) 2 3 2

(3)椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ? 存在,请说明理由.

6 ? 若存在,判断△DEG 的形状;若不 2

【思路点拨】本题重点考查学生的计算能力,相比较去年的圆锥曲线题目,今年的题目难度要大一些,是 一道较好的选拔优秀学生的题目.(1)分斜率存在和不存在两种情况讨论.(2)利用第一问的结论,再应 用基本不等式容易得出结论.(3)利用反证法,假设存在这样的点,经推理得出矛盾,从而证明原结论成 立. 【精讲精析】 (1)当直线 l 的斜率不存在时, P, Q 两点关于 x 轴对称,则 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 ,由 P ? x1 , y1 ?

在椭圆上, 则

x12 y12 6 6 , y1 ? 1 .于是 x12 ? x2 2 ? 3 ,y12 ? y2 2 ? 2 . ? ? 1, 而 S?OPQ ? x1 y1 ? , 则 x1 ? 2 2 3 2

x2 y 2 ? ? 1 可得 2 x 2 ? 3(kx ? m)2 ? 6 ,即 当直线 l 的斜率存在,设直线 l 为 y ? kx ? m ,代入 3 2
2 2 (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kmx ? 3m2 ? 6 ? 0 , 36k 2 m2 ? 4(2 ? 3k 2 )(3m2 ? 6) ? 0 , 由 ? ? 0 得, 化简得 3k ? 2 ? m ,

x1 ? x2 ? ?

6km 3m2 ? 6 , x x ? . 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
2 6 3k 2 ? 2 ? m2 , 2 ? 3k 2

PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2

0到l的距离d ?

m 1? k 2

, S?POQ ?

1 1 2 6 3k 2 ? 2 ? m2 6 ? d ? PQ ? m ? , 2 2 2 2 ? 3k 2

-5-

整理得 3k 2 ? 2 ? 2m2 ,满足 ? ? 0 ,

x12 ? x2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ? (?

6km 2 3(m2 ? 2) ) ? 2 ? ? 3, 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

2 2 2 y12 ? y2 2 ? (3 ? x12 ) ? (3 ? x2 2 ) ? 4 ? ( x12 ? x2 2 ) ? 2 , 3 3 3
综上可知 x1 ? x2 ? 3 , y1 ? y2 ? 2 .
2 2 2 2

(2)当直线 l 的斜率不存在时,由(1)知 OM ?PQ ? x1 ?PQ ? 当直线 l 的斜率存在时,由(1)知

6 ? 2 ? 6; 2

x1 ? x2 3k , ?? 2 2m

y1 ? y2 x ?x 3k 2 1 ? k( 1 2 ) ? m ? ? ?m? , 2 2 2m m OM ? (
2

x1 ? x2 2 y ? y2 2 9 k 2 1 1 1 ) ?( 1 ) ? ? 2 ? (3 ? 2 ) , 2 2 2 4m m 2 m
24(3k 2 ? 2 ? m 2 ) 2(2m 2 ? 1) 1 ? ? 2(2 ? 2 ) , 2 2 2 (2 ? 3k ) m m

PQ ? (1 ? k 2 )

2

OM

1 1 25 1 1 )(2 ? 2 ) ≤ ,当且仅当 3 ? 2 ? 2 ? 2 ,即 m ? ? 2 时等号成立,综上可知 2 m m 4 m m 5 OM ? PQ 的最大值为 . 2
2

PQ ? (3 ?

2

(3)假设椭圆上存在三点 D, E , G ,使得 S?ODE ? S?ODG ? S ?OEG ? 由(1)知 xD ? xE ? 3, xE ? xG ? 3, xG ? xD ? 3 ,
2 2 2 2 2 2

6 , 2

yD 2 ? yE 2 ? 2, yE 2 ? yG 2 ? 2, yG 2 ? yD 2 ? 2 .
解得 xD ? xE ? xG ?
2 2 2

3 2 2 2 , yD ? yE ? yG ? 1 , 2
6 中选取, yD , yE , yG 只能从 ?1 中选取, 2 6 , ?1) 中选取三个不同点,而这三点的两两连线必有一个过原点,这与 2 6 相矛盾, 2

因此 xD , xE , xG 只能从 ?

因此 D, E , G 只能从 ( ?

S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?

-6-

故椭圆上不存在三点 D, E , G ,使得 S?ODE ? S?ODG ? S ?OEG ? 9.(2011·山东高考文科·T22) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

6 . 2

x2 ? y 2 ? 1 .如图所示,斜率为 k (k>0) 且不过原点的直线 l 交椭 3

圆 C 于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 E ,射线 OE 交椭圆 C 于点 G ,交直线 x ? ?3 于点 D(?3, m) . (Ⅰ)求 m2 ? k 2 的最小值; (Ⅱ)若 OG ? OD ? OE , (i)求证:直线 l 过定点; (ii)试问点 B , G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时 ?ABG 的外接圆方程;若不能,请说明理由.
2

【思路点拨】本题重点考查学生的计算能力,相比较去年的圆锥曲线题目,今年的题目难度要大一些,是 一道较好的选拔优秀学生的题目.(I)设直线 l : y ? kx ? n(n ? 0) ,联立方程,再由韦达定理得出中点 E

k OD , 的坐标,由三点共线,可知 kOE ? K 解得 m ? OD

1 ,由基本不等式得出最小值.(II) (i)注意先求出 k k

和 n 的关系,再由交点直线系方程得出 l 过定点. (ii)可先假设对称,然后通过运算验证这样的圆是否 存在. 【精讲精析】 (Ⅰ)由题意:设直线 l : y ? kx ? n(n ? 0) ,

? y=kx ? n ? 2 2 2 由 ? x2 消 y 得: (1 ? 3k ) x ? 6knx ? 3n ? 3 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?3
? ? 36k 2 n2 ? 4(1 ? 3k 2 )× 3(n2 ? 1) ? 12(3k 2 ? 1 ? n2 ) ? 0 ,
设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,AB 的中点 E ( x0 , y0 ) ,则由韦达定理得:

x1 ? x2 =

?6kn ?3kn ?3kn n ,即 x0 ? , y0 ? kx0 ? n ? , ?k ? n ? 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k

-7-

所以中点 E 的坐标为 (

?3kn n , ), 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

因为 O,E,D 三点在同一直线上,

K , 所以 kOE ? k 即? OD OD
解得 m ?

1 m ?? , 3k 3

1 , k
1 ? k 2 ? 2 ,当且仅当 k ? 1 时取等号, 2 k

所以 m2 ? k 2 =

即 m2 ? k 2 的最小值为 2. (Ⅱ) (i)证明:由题意知:n>0,因为直线 OD 的方程为 y ? ?

m x, 3

所以由

得交点 G 的纵坐标为 yG ?

m2 , m2 ? 3

又因为 yE ?

m2 n n 2 OE OG ? OD y ? m , , 且 ? ,所以 , ? m? D 2 2 m ?3 1 ? 3k 2 1 ? 3k

又由(Ⅰ)知: m ? 即有 l : y ? k ( x ? 1) ,

1 ,所以解得 k ? n ,所以直线 l 的方程为 l : y ? kx ? k , k

令 x ? ?1 得 y=0,与实数 k 无关, 所以直线 l 过定点(-1,0).

? ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上, (ii)假设点 B , G 关于 x 轴对称,则有△
又在线段 AB 的中垂线上, 由(i)知点 G (

?3 m ?3
2

,

m m ?3
2

) ,所以点 B (

?3 m ?3
2

,

?m m2 ? 3

),

?m
又因为直线 l 过定点(-1,0),所以直线 l 的斜率为

m2 ? 3 ? k , ?3 ?1 m2 ? 3

又因为 m ?

1 2 2 ,所以解得 m ? 1 或 m ? 6 , k
2 2 2

又因为 3 ? m ? 0 ,所以 m ? 6 舍去,即 m ? 1 , 此时 k=1,m=1,E( ? ,

3 1 3 1 ) , G (? , ) . 4 4 2 2
-8-

AB 的中垂线为 2x+2y+1=0, 圆心坐标为 ( ?

5 1 1 5 ,圆的方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . , 0) ,圆半径为 2 2 2 4

? ABG 的外接圆的方程为: ( x ? ) 2 ? y 2 ? 综上所述, 点 B , G 关于 x 轴对称,此时△

1 2

5 . 4

10.(2011·辽宁高考理科·T20)如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上, 椭圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四点按纵 坐标从大到小依次为 A,B,C,D. (I)设 e ?

1 ,求 BC 与 AD 的比值; 2

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由.

【思路点拨】 (I)先利用离心率相同设出 C1 , C 2 的方程和直线 l 的方程 x ? t ( t ? a ) ,再求出 A, B 的坐标, 然后计算 BC 与 AD 的长度就可求出比值; (II) 先考虑直线过原点的情况, 再考虑直线不过原点的情况, 此时利用斜率相等(即 k BO = k AN )建立等式关系,再考虑 t ? a 的因素,可得到关于 e 的不等式,求解 说明即可. 【精讲精析】(Ⅰ)因为 C1 , C 2 的离心率相同,故依题意可设

C1 :

x2 y2 b2 y 2 x2 C ? ? 1 ? 2 ? 1, , : ( a ? b ? 0) , 2 b a2 a4 a

设直线 l : x ? t ( t ? a ) ,分别与 C1 , C 2 的方程联立,求得

A(t ,

a b 2 2 a 2 ? t 2 ), B(t, a ? t ). b a
-9-

当e ?

3 1 时, b ? a ,分别用 y A , y B 表示 A,B 的纵坐标,可知 2 2
2 yB 2 yA ? b2 3 ? . a2 4

BC : AD =

(Ⅱ) t ? 0 时, l 不符合题意. t ? 0 时, BO ∥ AN 当且仅当 BO 的斜率

b a a2 ? t 2 a2 ? t 2 a b k BO 与 AN 的斜率 k AN 相等,即 , ? t t?a
ab2 解得 t ? ? 2 a ? b2 1 ? e2 ? ? 2 ?a , e 1 ? e2 2 ? e ? 1, ? 1 ,解得 2 2 e

因为 t ? a ,又 0 ? e ? 1 ,所以

所以当 0 ? e ?

2 2 ? e ? 1 时,存在直线 l , 时,不存在直线 l ,使得 BO ∥ AN ;当 2 2

使得 BO ∥ AN . 11. (2011·湖南高考理科·T21)

x2 y2 3 , x 轴被曲线 C 2 : y ? x 2 -b 截得的线段长等 如图所示,椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的离心率为 2 a b
于 C1 的长半轴长. (Ⅰ)求 C1 , C 2 的方程; (Ⅱ)设 C 2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C 2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交 于点 D,E. (i)证明:MD ? ME ; (ii)记 ?MAB, ?MDE 的面积分别为 S1,S
2

.问:是否存在直线 l,使得

S1 17 ? ?请说明理由. S 2 32

- 10 -

【思路点拨】本题以椭圆和抛物线为载体,考查两曲线的基本知识.题中第一问通过求曲线的方程考查两 曲线的基本知识点的关系.第二问通过证明考查逻辑思维能力和探索参数的存在.解决本题需要较强的综 合运用知识的能力.考查了数形结合思想、等价转化思想和方程思想. 【精讲精析】 (I)由题意知 e ?

c 3 ? ,从而 a ? 2b ,又 2 b ? a ,解得 a ? 2, b ? 1 . a 2

故 C1 , C2 的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1, y ? x 2 ? 1 . 4

(II) (i)由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? kx . 由?

? y ? kx,
2 ? y ? x ? 1,

得 x ? kx ? 1 ? 0 ,
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 . 又 A,B 在直线上,∴y1=kx1,y2=kx2, 又点 M 的坐标为 (0, ?1) ,所以

kMA ? kMB ?

y1 ? 1 y2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ?k 2 ? k 2 ? 1 ? ? ? ? ? ?1, x1 x2 x1 x2 x1 x2 ?1

故 MA ? MB ,即 MD ? ME . (ii) 设直线 MA 的斜率为 k1 , 则直线的方程为 y ? k1 x ? 1 , 由? 则点 A 的坐标为 ( k1 , k1 ? 1) ,点 M 的坐标为(0,-1).
2

? y ? k1 x ? 1,
2 ? y ? x ? 1,

解得 ?

? x ? k1 , ? x ? 0, 或? 2 ? y ? ?1, ? y ? k1 ? 1,

又直线 MB 的斜率为 ?

1 1 1 ,同理可得点 B 的坐标为 (? , 2 ? 1) . k1 k1 k1

- 11 -

于是 S1 ?

1 1 1 1 1 ? k12 | MA | ? | MB |? 1 ? k12 ? | k1 | ? 1 ? 2 ? | ? |? . 2 2 k1 k1 2 | k1 |
得 (1 ? 4k1 ) x ? 8k1 x ? 0 ,
2 2

由?

? y ? k1 x ? 1,
2 2 ? x ? 4 y ? 4 ? 0,

8k1 ? x? , ? 1 ? 4k12 ? x ? 0, 8k1 4k12 ? 1 ? , ); 解得 ? 或? 则点 D 的坐标为 ( 2 1 ? 4k12 1 ? 4k12 ? y ? ?1, ? y ? 4k1 ? 1 , ? 1 ? 4k12 ?
又直线 ME 的斜率为 ?

?8k1 4 ? k12 1 , ), ,同理可得点 E 的坐标 ( 4 ? k12 4 ? k12 k1

于是 S 2 ?

32(1 ? k12 )? | k1 | 1 | MD | ? | ME |? . 2 (1 ? 4k12 )(4 ? k12 )

因此

S1 1 4 ? (4k12 ? 2 ? 17) . S2 64 k1 1 4 17 1 2 2 (4k12 ? 2 ? 17) ? ,解得 k1 ? 4 或 k1 ? . 64 k1 32 4

由题意知,

1 k12 1 3 ? k1 ? ,所以 k ? ? . 又由点 A, B 的坐标可知, k ? 1 k1 2 k1 ? k1 k12 ?
故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为 y ?

3 3 x和 y ? ? x. 2 2

12. (2011·湖南高考文科 T21)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l 1,l2 ,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A,B,l2 与轨迹 C 相交于 点 D,E,求 AD · EB 的最小值. 【思路点拨】本题考查求曲线的方程,考查利用代数方法研究几何问题的基本方法,考查数形结合思想. 考查运算能力,考查分析问题、解决问题的能力. 【精讲精析】
2 2 (I)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意知 ( x ? 1) ? y ? | x |? 1.

???? ??? ?

化简得 y ? 2 x ? 2 | x |,
2

- 12 -

当 x ? 0时, y ? 4 x;当x ? 0时,y=0.
2

, y ? 4 x( x ? 0)和y=0(x ? 0). 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为
2

(II)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k ,则 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) .



得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0.
2 2 2 2

∴ ? ? 16 ? 16k ? 0, 即k ? R
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是

x1 ? x2 ? 2 ?

4 , x1 x2 ? 1 . k2 1 . k
2

因为 l1 ? l2 ,所以 l 2 的斜率为 ? 设

则同理可得 x3 ? x4 ? 2 ? 4k , x3 x4 ? 1 ,

当且仅当 k ?
2

???? ??? ? 1 时,即 k ? ?1 时, AD ? EB 取最小值 16. 2 k

13. (2011·陕西高考理科·T17) 如图,设 P 是圆 x ? y ? 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上投影,
2 2

M 为 PD 上一点,且 | MD |?

4 | PD | . 5
4 的直线被 C 所截线段的长度. 5

(Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为

- 13 -

【思路点拨】 (Ⅰ)动点 M 通过点 P 与已知圆相联系,所以把点 P 的坐标用点 M 的坐标表示,然后代入已 知圆的方程即可; (Ⅱ)直线方程和椭圆方程组成方程组,可以求解,也可以利用根与系数的关系,结合 两点的距离公式计算. 【精讲精析】 (Ⅰ)设点 M 的坐标是 ( x, y ) ,点 P 的坐标是 ( x p , y p ) , 因为点 D 是 P 在 x 轴上投影, M 为 PD 上一点,且 | MD |?
2 2

4 5 | PD | ,所以 x p ? x ,且 y p ? y , 4 5

2 2 ∵P 在圆 x ? y ? 25 上,∴ x ? ( y ) ? 25 ,整理得

5 4

x2 y2 ? ?1, 25 16

x2 y2 即 C 的方程是 ? ?1. 25 16
(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为

4 4 的直线方程是 y ? ( x ? 3) , 5 5

设此直线与 C 的交点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 将直线方程 y ?

x2 y2 4 ? 1 得: ( x ? 3) 代入 C 的方程 ? 25 16 5

x 2 ( x ? 3) 2 3 ? 41 3 ? 41 ? ? 1 ,化简得 x 2 ? 3x ? 8 ? 0 ,∴ x1 ? , x2 ? , 2 2 25 25
所以线段 AB 的长度是 | AB |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ?

16 )( x1 ? x2 ) 2 25

?

41 41 41 ? 41 ? ,即所截线段的长度是 . 25 5 5

关闭 Word 文档返回原板块。

- 14 -


推荐相关:

2011年人教大纲版高考题库考点28 圆锥曲线的综合问题

2012年高考全国卷(新课标...1/2 相关文档推荐 ...2011年人教大纲版高考题库考点28 圆锥曲线的综合问题...(1)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值...


2012年人教大纲版高考题库考点25 圆锥曲线的综合问题

温馨提示: 此题库为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观 看比例,关闭 Word 文档返回原板块。 考点 25 圆锥曲线的综合问题一、填空题 1. (2012?...


2011年高考题库考点24 新课标选修部分内容

2012年高考新课标理科数学... 2012年高考全国卷(新课标版... 2011年高考题库考点1 古代... 2012年高考题库考点1 古代... 2012年高考题库考点2 古代... ...


2012年新课标版高考题库考点25 数列求和及综合应用

2012年新课标版高考题库考点25 数列求和及综合应用_...26 ? 42 ? …+234 = 15 ? ?10 ? 234 ? 2...S1 ? T1 ,可建立关于 a1 的方程,即可求 2 2 ...


...考点精析:曲线与方程、圆锥曲线的综合应用(新课标地...

2012高考数学热点考点精析:曲线与方程圆锥曲线的综合应用(新课标地区) 隐藏>> 曲线与方程曲线与方程圆锥曲线的综合应用一、选择题 1.(2011·山东高考理科...


2017届(理)人教版A版 圆锥曲线的综合应用 检测卷 无答...

2017届(理)人教A 圆锥曲线的综合应用 检测卷 ...A 组 考点能力演练 1.如图,已知抛物线 C:y2=2...高考题型专练 x2 y2 2 1.(2015· 高考全国卷...


2011年人教大纲版高考题库考点38 随机事件的概率、互斥...

2012年高考新课标理科数... 2012年高考全国卷(新课标...1/2 相关文档推荐 ...2011年人教大纲版高考题库考点38 随机事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互...


2012年新课标版高考题库考点36 直线、平面垂直的判定及...

2012年新课标版高考题库考点36 直线、平面垂直的判定...建立关于正三棱锥底面正三角形边长 a 的方程,求 ...42 ? 22 ? 2 5 AO 2 ? A1O 2 ? AA12 5 ...


2013年新课标版高考题库考点26选修1

2013年新课标版高考题库考点26选修1 2013高考历史考点汇编2013高考历史考点汇编隐藏>> 《选修1—历史上重大改革回眸》部分 1.(2013 年福建高考 41 题 A)[选修 ...


考点40 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

考点40 曲线与方程圆锥曲线的综合应用_数学_高中...此题库为 Word 版,请按住 Ctr l, 滑动鼠标滚轴,...选择题 1.(2015 ·新课标全国卷Ⅰ文科·T5) 已知...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com