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江苏省2015年高三开学检测数学试题


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江苏省 2015 年高三开学检测 数学试卷
学校: 班级:

2015.9
姓名:

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题—第 14 题)、解答题(第 15 题—第 20 题)两部分.本

试 卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答 题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其它位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫 米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损. 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在答题卡的相应位置. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 2? , B ? ??1,0,1,2,3? ,则 ?U A ? B ? 2.已知复数 z 满足 ?1 ? i ? ? z ? ?i ,则 z 的模为
1 1 ? ? 2 ,则 a ? 3.已知 log 2 a log 3 a

?

?






98 210
8 9


337 ?9



4.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中 一个数字被污损,则乙的平均成绩超过甲的概率为 5.若双曲线 x2 ? .

第 4 题图

y2 ? 1 的焦点到渐近线的距离为 2 2 ,则实数 k 的值是 k



6.如图所示的“双塔”形立体建筑,已知 P ? ABD 和 Q ? CBD 是两个高相等的正三棱锥, 四点 A, B, C , D 在同一平面内.要使塔尖 P, Q 之间的距离为 50 m,则底边 AB 的长为 m.

P

Q

D A
C

I←2 S←0 While I<m S←S+I I←I+3 End While Print S End (第 7 题图)

B
第 6 题图

最领先的一对一个性化教育品牌 7.下面求 2 ? 5 ? 8 ? 11 ? ? ? 2012 的值的伪代码中,正整数 m 的最大值为 8.向量 a ? (cos10? ,sin10? ), b ? (cos70? ,sin 70? ) , a ? 2b = . .

9.对于函数 y ? f ( x) ,若存在区间 [a, b] ,当 x ? [a,b] 时的值域为 [ka, kb] (k ? 0) ,则称 y ? f ( x) 为 k 倍值 函数.若 f ( x) ? ln x ? x 是 k 倍值函数,则实数 k 的取值范围是 10.函数 y ? 1 ?

sin x ( x ? R ) 的最大值与最小值之和为 x ? x2 ? 1
4

11. 已知半椭圆

y 2 x2 曲线 C 交 x ? ? 1? y ? 0, a ? b ? 0? 和半圆 x2 ? y 2 ? b2 ? y ? 0? 组成的曲线 C 如图所示. a 2 b2
6 3 ,? ) 时, 3 3

轴于点 A, B ,交 y 轴于点 G , H ,点 M 是半圆上异于 A, B 的任意一点,当点 M 位于点 (
?AGM 的面积最大,则半椭圆的方程为



y
G

D E

A

O

B
? M

x
A B

H 第 11 题图

C 第 12 题图

12.已知 | AB |? 3 ,C 是线段 AB 上异于 A,B 的一点, ?ADC , ?BCE 均为等边三角形,则 ?CDE 的外 接圆的半径的最小值是 .

?2 x ? y ? 0 ? 13 .已知实数 x 、y 满足 ? x ? y ? 5 ? 0 ,若不等式 a( x2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 恒成立,则实数 a 的最小值 ?y ? 4 ? 0 ?
是 .

14 .设等比数列 ?an ? 满足公比 q ? N*, an ? N * ,且 ?an ? 中的任意两项之积也是该数列中的一项,若

a1 ? 281 ,则 q 的所有可能取值的集合为



二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分14分) 已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ?, 且 sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 . 2 2 2 13 (1)求 cos? 的值; (2)证明: sin ? ? 5 . 13

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16. (本题满分 14 分) 如图,正方形 ABCD 所在的平面与三角形 CDE 所在的平面交于 CD , AE ? 平面 CDE ,且

AB ? 2AE .
(1)求证: AB // 平面 CDE ; (2)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE ;
C

B A

E D (第 16 题图)

最领先的一对一个性化教育品牌 17. (本小题满分 14 分) 某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第 x 个
?1,1 ? x ? 20 ? x ? N *? , ? 月的利润函数 f ? x ? ? ? 1 (单位:万元) .为了获得更多的利润,企业将每月获得的 ? x, 21 ? x ? 60 ? x ? N *? ?10

利 润 再 投 入 到 次 月 的 经 营 中 . 记 第 x 个 月 的 利 润 率 为 g ? x? ?
g ? 3? ? f ? 3?

第x个月的利润 ,例如 第x个月的资金总和

81 ? f ?1? ? f ? 2 ?



(1)求 g ?10 ? ; (2)求第 x 个月的当月利润率; (3)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润率.

最领先的一对一个性化教育品牌 18. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 顶 点 为 A , 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 且 圆 C : a 2 b2 x2 ? y2 ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 过 A, F2 两点.
已知椭圆 (1)求椭圆标准的方程; 2π (2)设直线 PF2 的倾斜角为α,直线 PF1 的倾斜角为β,当β-α= 时, 3 证明:点 P 在一定圆上; (3)设椭圆的上顶点为 Q,在满足条件(2)的情形下证明: PQ ? PF1 + PF2 .

最领先的一对一个性化教育品牌 19. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? t ? Sn ? an ? 1? ( t 为常数,且 t ? 0, t ? 1 ) . (1)求 ?an ? 的通项公式;
2 (2)设 bn ? an ? Sn ? an ,若数列 ?bn ? 为等比数列,求 t 的值;

(3)在满足条件(2)的情形下,设 cn ? 4an ? 1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,若不等式
12k ? 2n ? 7 对任意的 n ? N * 恒成立,求实数 k 的取值范围. 4 ? n ? Tn

最领先的一对一个性化教育品牌 20. (本小题满分 16 分) 己知函数 f ( x) ? (mx ? n)e? x ( m, n ? R , e 是自然对数的底) . (1)若函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? ey ? 3 ? 0 ,试确定函数 f ( x) 单调区间; 1 (2)① 当 n ? ?1 , m ? R 时,若对于任意 x ?[ , 2] ,都有 f ( x)≥ x 恒成立,求实数 m 的最小值; 2 ② 当 m ? n ? 1 时,设函数 g ( x) ? xf ( x) ? tf ?( x) ? e? x (t ? R) ,是否存在实数 a, b, c ? [0,1] , 使得 g (a) ? g (b) ? g (c)? 若存在,求出 t 的取值范围;若不存在,说明理由.

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数学试卷附加题
21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内 做答,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤. B. (选修 4-2:矩阵与变换) 设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换. (1)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量; (2)求逆矩阵 M
?1

以及椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程. 4 9

C.(选修 4-4:参数方程) 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴.已知点 P 的直角坐标为 (1,-5),点 M 的极坐标为(4,

π
2

),若直线 l 过点 P,且倾斜角为

? ,圆 C 以 3

M 为圆心、4 为半径. (1)求直线 l 关于 t 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系.

最领先的一对一个性化教育品牌 22.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,通项公式为 an ?

n ?1 ? S2 n , 1 , f ( n) ? ? , n?2 n ?S2 n ? Sn?1 ,

(1)计算 f (1), f (2), f (3) 的值; (2)比较 f ( n) 与 1 的大小,并用数学归纳法证明你的结论.

23.如图所示,某城市有南北街道和东西街道各 n ? 1 条,一邮递员从该城市西北角的邮局 A 出发,送信 到东南角 B 地,要求所走路程最短. (1)求该邮递员途径 C 地的概率 f ( n) ; (2)求证: 2 ? ?2 f (n)?
2 n?1

( n ? N * ). ?3 ,

A

?

?C ?B

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数学参考答案
1. ??1,0,1? 【解析】由 ?U A ? ?x | x ? 2? ,得 ?U A ? B ? ??1,0,1? .
2 2 【解析】因为 z ? z ,所以两边同时取模可得 z ? . 2 2 1 1 ? ? log a 2 ? log a 3 ? log a 6 ? 2 ,知 a 2 ? 6 ,因为 a ? 0 ,所以 a ? 6 . 3. 6 【解析】由 log 2 a log 3 a

?

?

2.

4. 为

1 【解析】由图示可知,甲的平均成绩为 90,若要符合题意,被污损的数字只能是 9,故所求概率 10

1 . 10

5. 8 【解析】显然, k ? 0 ,双曲线的渐近线方程为 y ? ? k x ,焦点坐标是 ? k ? 1, 0 , 由距离公式,得 k ? 8 . 6.50 3 【解析】由正三棱锥的概念知,顶点 P, Q 在底面的射影分别是正三角形 ABD 和正三角形 BCD 的 中心, 因为高相等, 所以塔尖 P, Q 之间的距离即为两个正三角形中心间的距离, 由平面几何易知, 底边 AB 的长为 50 3 . 7. 2015【解析】由伪代码知,这是当型循环结构的算法,由于 m 是正整数,所以最大值为 2015. 8. 3 9.∵ f ?( x) ?
?ln a ? a ? ka, 1 ? 1 ? 0 ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, ∴ ? x ?ln b ? b ? kb,

?

?

即 a , b 是方程 ln x ? x ? kx 的两个不等的正实数根,问题等价于方程 k ? 1 ? 设 g ( x) ?

ln x 有两个不等的正根. x

ln x 1 1 ,易得 0 ? k ? 1 ? ,∴ (1,1 ? ) . x e e

10.2【解析】 g ( x ) ? 11.

sin x 是奇函数,奇函数的最大值与最小值之和为 0, x ? x2 ? 1
4

6 3 6 3 y2 ? x2 ? 1? y ? 0? 【解析】由点 ( , ? ) 在半圆上,所以 b ? 1 ,而当点 M 位于点 ( , ? ) 3 3 3 3 2

时, ?AGM 的面积最大可知, OM ? AG ,即 kOM ? k AG ? ?1 , a ? 2 ,所以半椭圆的方程为

y2 ? x2 ? 1? y ? 0? . 2
12.设 AC ? m, CB ? n, 则 m ? n ? 3 ,在 ?CDE 中,由余弦定理, 知 DE ? CD ? CE ? 2CD ? CE cos ?DCE
2 2 2

? m2 ? n2 ? mn ? (m ? n)2 ? 3mn ? 9 ? 3mn
又 mn ? (

3 m?n 2 9 3 ) ? , 当且仅当 m ? n ? 时,取“=” ,所以 DE ? , 2 2 4 2

最领先的一对一个性化教育品牌 又 ?CDE 的外接圆的半径 R ?

DE DE 3 . ? ? 2sin ?DCE 2 3

13. ?281 , 227 , 29 , 23 , 2? 【解析】由题意, an ? 281 q n ?1 ,设该数列中的任意两项为 am , al ,它们的积为 a p ,
81

则 am ? al ? a p ,即 281 q m?1 ? 281 ql ?1 ? 281 q p ?1 ,? q, m, l , p ? N * ,? q ? 2 p ? m ?l ?1 ,故 p ? m ? l ? 1 必是 81 的正约 数,即 p ? m ? l ? 1 的可能取值为 1,3,9,27,81,即
81 p ? m?l ?1

的可能取值为 1,3,9,27,81,所以

q 的所有可能取值的集合为 ?281 , 227 , 29 , 23 , 2? .
2 x 2 ? y 2 ? 2 xy x ? y? 9 ? 2 14. 【解析】则 a ? 2 . ? ? 1? 2 2 2 x y 5 x ?y x ?y ? y x

?

?



y 1 ? 5 17 ? ? t (表斜率) ,则 t ? ? 2 , 4? ,则 t ? ? ? , ? , x t ?2 4?

? ? ? 9 9 2 ? 9 ? ? ,所以 a ? . 即 amin ? . 故 ?1 ? x y? 5 5 5 ? ? ? ? y x ?max ?
15.解:解: (1)将 tan ? ? 1 代入 tan ? ?
2 2

2 tan ? 2 得 tan ? ? 4 (4 分) 3 2 ? 1 ? tan 2

? sin ? ? 4 , ? 所以 ? cos ? 3 又 ? ? 0,π , 2 2 2 ? ?sin ? ? cos ? ? 1,

? ?

解得 cos ? ? 3 . (6 分) 5 (2)易得 π ? ? ? ? ? 3π ,又 sin(? ? ? ) ? 5 , 2 2 13 所以 cos ?? ? ? ? ? ? 12 , (8 分) 13 由(1)可得 sin ? ? 4 , (10 分) 5

5 3 12 4 63 5 (14 分) 所以 sin ? ? sin ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 13 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 65 ? 13 .

? ?

16. 证明: (1)正方形 ABCD 中, AB // CD , 又 AB ? 平面 CDE, CD ? 平面 CDE, 所以 AB // 平面 CDE. (6 分) (2)因为 AE ? 平面CDE ,

最领先的一对一个性化教育品牌 且 CD ? 平面CDE , 所以 AE ? CD , (8 分) CD ? AD, 又 正方形ABCD中, 且 AE ? AD ? A ,
AE、AD ? 平面ADE ,

所以 CD ? 平面ADE , (12 分) 又 CD ? 平面ABCD , 所以 平面ABCD ? 平面ADE . (14 分) 17.解: (1)依题意得 f ?1? ? f ? 2? ? f ? 3? ? ? ? f ? 9? ? 1 ,
? g ?10 ? ? f ?10 ? ? 1 . 90

81 ? f ?1? ? f ? 2 ? ? ? ? f ? 9 ?

----------------------------------4 分

(2)当 x ? 1 时, g ?1? ?

1 . 81

当 1 ? x ? 20 时, f ?1? ? f ? 2? ? ? ? f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1 ,则
g ? x? ? f ? x? ? 1 , 80 ? x

81 ? f ?1? ? f ? 2 ? ? ? ? f ? x ? 1?

而 x ? 1 也符合上式,故当 1 ? x ? 20 时, g ? x ? ? 当 21 ? x ? 60 时, g ? x ? ?

1 . 80 ? x
f ? x?

81 ? f ?1? ? f ? 2 ? ? ? ? f ? 20 ? ? f ? 21? ? ? ? f ? x ? 1?

1 x 10 ? ? 81 ? 20 ? f ? 21? ? ? ? f ? x ? 1?

1 x 2x 10 , ? 2 x ? 21?? x ? 20 ? x ? x ? 1600 ? 101 ? 20

? 1 ,1 ? x ? 20 ? ? 80 ? x 所以,第 x 个月的当月利润率为 g ? x ? ? ? .--------------------------10 分 2x ? , 21 ? x ? 60 ? x 2 ? x ? 1600 ?

(3)当 1 ? x ? 20 时, g ? x ? ? 当 21 ? x ? 60 时, g ? x ? ?

1 1 是减函数,此时 g ? x ? 的最大值为 g ?1? ? . 80 ? x 81

2x 2 2 ? ? , 1600 x ? x ? 1600 x ? 79 x ?1 x
2

当且仅当 x ?

2 1600 ,即 x ? 40 ? N * 时, g ? x ? 有最大值为 . 79 x
----------------------------------13 分

?

2 2 1 ? ,? 当 x ? 40 时, g ? x ? 有最大值为 , 79 79 81

即该企业经销此产品期间,第 40 个月的当月利润率最大,其当月利润率为

2 .-------14 分 79

18.解: (1)圆 x2 ? y 2 ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 与 x 轴交点坐标为 A(?2 3,0) , F2 ( 3,0) ,

最领先的一对一个性化教育品牌 故 a ? 2 3, c ? 3 ,所以 b ? 3 ,∴椭圆方程是:

x y ? ?1. 12 9

2

2

(2)设点 P(x,y) ,因为 F1 (- 3,0) , F2 ( 3,0) , 设点 P(x,y) ,则 k PF1 =tanβ=

y

x+ 3

, k PF2 =tanα=

y x- 3



2π 因为β-α= ,所以 tan(β-α)=- 3. 3 tanβ-tanα -2 3y 因为 tan(β-α)= = 2 2 , 1+tanαtanβ x +y -3 -2 3y 2 2 =- 3.化简得 x +y -2y=3. x2+y2-3 2 2 所以点 P 在定圆 x +y -2y=3 上. 2 2 2 2 2 2 2 2 (3)∵PQ =x +(y-3) =x +y -6y+9,因为 x +y =3+2y,所以 PQ =12-4y. 所以 又 PF1 =(x+ 3) +y =2y+6+2 3x,PF2 =(x- 3) +y =2y+6-2 3x, 2 2 2 2 ∴2P F1×P F2=2 4(y+3) -12x =4 (y+3) -3x , 2 2 2 因为 3x =9-3y +6y,所以 2 P F1×P F2=4 4y , 2π 2π 2 2 ∵β=α+ > ,又点 P 在定圆 x +y -2y=3 上,∴y<0, 3 3 所以 2 P F1×P F2=-8y, 2 2 2 2 从而(P F1+P F2) =PF1 +2 P F1×P F2+PF2 =4y+12-8y=12-4y=PQ . 所以 PQ=PF1+PF2.
2 2 2 2 2 2

19.解: (1)当 n ? 1 时, S1 ? t ? S1 ? a1 ? 1? ,得 a1 ? 1 . 分

-----------------------------------1

当 n ? 2 时,由 Sn ? t ? Sn ? an ? 1? ,即 ?1 ? t ? Sn ? ?tan ? t ,① 得, ?1 ? t ? Sn?1 ? ?tan?1 ? t ,② ① ? ②,得 ?1 ? t ? an ? ?tan ? tan?1 ,即 an ? tan ?1 ,?
??an ? 是等比数列, 且公比是 t ,? an ? t n .
an ? t ? n ? 2? , an ?1

-----------------------------------5

分 (2)由(1)知, bn ? ? t
n 2

?

?

t ?1 ? t n ? 1? t

? t n ,即 bn ?

t 2n ? t n?1 ? 2t 2n?1 , ----------------------7 分 1? t

2 ? b1 ? b3 , 若数列 ?bn ? 为等比数列,则有 b2

而 b1 ? 2t 2 , b2 ? t 3 ? 2t ? 1? , b3 ? t 4 2t 2 ? t ? 1 ,
3 2 4 2 故? ?t ? 2t ? 1? ? ? ? ? 2t ? ? t ? 2t ? t ? 1? ,解得 t ? 2

?

?

1 , 2

再将 t ?

1 1 代入 bn ,得 bn ? ( )n , 2 2

最领先的一对一个性化教育品牌 由
b n ?1 1 ? ,知 ?bn ? 为等比数列, bn 2

?t ?


1 . 2 1 1 1 ,知 an ? ( )n ,? cn ? 4( )n ? 1 , 2 2 2
? ? ? ?n? 4?n? 4 , 2n

-----------------------------------10

(3)由 t ?

1? 1 ?1 ? n 2 2 ? Tn ? 4 ? ? 1 1? 2

由不等式 分 设 dn ?

12k 2n ? 7 ? 2n ? 7 恒成立, 得 3k ? 恒成立, -----------------------------------12 4 ? n ? Tn 2n

2n ? 7 2n ? 5 2n ? 7 ?2n ? 9 ,由 dn?1 ? dn ? n?1 ? , ? 2n 2 2n 2n?1
-----------------------------------14

当 n ? 4 时,dn?1 ? dn , ? 当 n ? 4 时,dn?1 ? dn , 分 而 d4 ?

1 3 , d5 ? ,? d4 ? d5 , 16 32 3 1 . ,? k ? 32 32
-----------------------------------

?3k ?
16 分

20. (1)由题意 f ?( x) ?

me x ? (mx ? n)e x ?mx ? (m ? n) ? , (e x ) 2 ex ∵ f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? ey ? 3 ? 0 ,

2 1 m ? n 2 ?n 1 ∴ f (1) ? , f ?(1) ? ? ,即 ? , ? ? ,解得 m ? 1, n ? 1 . e e e e e e x ?1 x ∴ f ( x) ? x , f ?( x) ? ? x , e e 当 x ? 0, f ?( x) ? 0 , x ? 0, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,在 (??,0) 单调递增. mx ? 1 1 (2)①由 n ? ?1, m ? R , x ≥ x ,即 m≥e x ? , e x 1 1 1 对于任意 x ?[ , 2] ,都有 f ( x)≥ x 恒成立,等价于 m≥e x ? 对于任意 x ?[ , 2] 恒成立. 2 x 2 1 1 记 ? ( x) ? e x ? , ? ?( x) ? e x ? 2 , x x 1 2 1 1 1 设 h( x) ? e x ? 2 ,∵ h?( x) ? e x ? 3 ? 0 对 x ?[ , 2] 恒成立,∴ h( x) ? e x ? 2 在 [ , 2] 单调递增. x x 2 x 2 1 1 1 1 而 h( ) ? e ? 4 ? 0, h(2) ? e2 ? ? 0 ,∴ ? ?( x) ? e x ? 2 在 [ , 2] 上有唯一零点 x0 , 2 4 x 2 1 1 ∴ x ? ( , x0 ) , ? ?( x) ? 0 , x ? ( x0 , 2) , ? ?( x) ? 0 ,∴ ? ( x) 在 ( , x0 ) 单调递减,在 ( x0 , 2) 上单调递增, 2 2 1 ∴ ? ( x) 的最大值是 ? ( ) 和 ? (2) 中的较大的一个, 2

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? m≥ e ? 2, 1 ? 1 1 ?m≥? ( ), ? 2 2 ∴? 即 2 ? 1 ∴ m≥e ? ,∴m 的最小值为 e ? . 2 2 2 ? m≥ e ? , ? ?m≥? (2), ? 2 ②假设存在 a、b、c ?[0,1] ,使得 g (a) ? g (b) ? g (c) ,则问题等价于 2( g ( x))min ? ( g ( x))max .

x 2 ? (1 ? t ) x ? 1 ?( x ? t )( x ? 1) ,∴ g '( x) ? . x ex e ①当 t ≥1 时, g ?( x)≤0 , g ( x) 在 [0,1] 上单调递减, 3?t e ? 1 ,得 t ? 3 ? ? 1 . ∴ 2 g (1) ? g (0) ,即 2 ? e 2 ②当 t ≤ 0 时, g ?( x)≥0 , g ( x) 在 [0,1] 上单调递增, 3?t ∴ 2 g (0) ? g (1) ,即 2 ? ,得 t ? 3 ? 2e ? 0 . e ③当 0 ? t ? 1 时,在 x ? [0, t ) 上, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 [0, t ) 上单调递减,在 x ? (t ,1] 上, g '( x) ? 0 , t ?1 3?t }. (*) g ( x) 在 (t ,1] 上单调递增,∴ 2 g (t ) ? max{g (0), g (1)} ,即 2 ? t ? max{1, e e 3?t 3 t ?1 t ?1 4 ? ,不等式(*)无解. 由(1)知 f (t ) ? t 在 t ?[0,1] 上单调递减,故 2 ? t ≥ ,而 e e e e e e 综上所述,存在 t ? ( ??,3 ? 2e) U (3 ? , ??) ,使得命题成立. 2 Q g ( x) ?
B. (1)由条件得矩阵 M ? ?

?2 ?0

0? , 3? ?
? 0? ?, 1? 3? ?

?1 ?2 ?1 ? ? 0 ? ?1 它的特征值为 2 和 3 ,对应的特征向量为 ? ? 及 ? ? ; (2) M ? ? ?0 ? 0 ? ?1 ? ? ?
椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程为 x2 ? y 2 ? 1. 4 9

1 ? x ?1? t ? 2 ? C 解: (1)直线 l 的参数方程为 ? t, ? y ? ?5 ? 3 ? ? 2 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? .

(2)因为 M(4,

π
2

)对应的直角坐标为(0,4) ,

直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 , ∴圆心到直线 l 的距离 d ? 所以直线 l 与圆 C 相离.
| 0 ? 4 ?5 ? 3 | 3 ?1 ? 9? 3 ?5, 2

22 解: (1)由已知 f (1) ? S2 ? 1 ?

1 3 ? , 2 2 1 1 1 13 f (2) ? S4 ? S1 ? ? ? ? , 2 3 4 12

最领先的一对一个性化教育品牌

1 1 1 1 19 ; …………………………3 分 f (3) ? S6 ? S2 ? ? ? ? ? 3 4 5 6 20 (2)由(Ⅰ)知 f (1) ? 1, f (2) ? 1 ;下面用数学归纳法证明: 当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . …………………………………………4 分 (1)由(Ⅰ)当 n ? 3 时, f (n) ? 1 ;………………………………………5 分 (2)假设 n ? k (k ? 3) 时, f (n) ? 1 ,即 f (k ) ? 1 1 1 ? ??? ? 1 ,那么 k k ?1 2k 1 1 1 1 1 f (k ? 1) ? ? ??? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2
1 1 1 ? 1 1 1 ?1 ?? ? ? ??? ? ? ?? 2k ? 2k ? 1 2 k ? 2 k ? k k ?1 k ? 2
1 ? ? 1 1 ? ? 1 ?1? ? ? ? ??? ? 2 k ? 1 2 k 2 k ? 2 2 k? ? ? ? ?1? 2k ? (2k ? 1) 2k ? (2k ? 2) ? 2k (2k ? 1) 2k (2k ? 2) 1 1 ? ? 1, 2k (2k ? 1) k (2k ? 2)

?1?

所以当 n ? k ? 1 时, f (n) ? 1 也成立. ………………………………………8 分 由(1)和(2)知,当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . ……………………………………9 分 所以当 n ? 1 ,和 n ? 2 时, f (n) ? 1 ;当 n ? 3 时, f (n) ? 1 .…………………10 分
n ?1 23.解: (1)邮递员从该城市西北角的邮局 A 到达东南角 B 地,要求所走路程最短共有 C2 n ? 2 种不同的走

n 法,其中途径 C 地的走法有 2C 2 n 种走法,

所以邮递员途径 C 地的概率 f (n) ?

n 2C 2 n n ?1 C2 n?2

(2n)! ?(n ? 1)!? n ?1 ;………3 分 ?2 ? ? 2 (n!) (2n ? 2)! 2n ? 1
2
2 n ?1

1 ? 2(n ? 1) (2 n ?1) ?1 1 2 n ?1 ? ? ?1 ? (2)由 2 f (n) ? ,得 ? 2 f (n)? ? ?1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 2 n ?1 ? 2n ? 1 ?
要证 n ? N * 时, 2 ? ?2 f (n)?
2 n?1



?3 ,
2 n ?1

1 ? ? 只要证 n ? N * 时, 2 ? ?1 ? ? ? 2n ? 1 ?

?3,

………………………4 分

因为 n ? N * 时, (2n ? 1) ? N * ,且 2 n ? 1 ? 3 ,

? 1? 所以只要证 n ? N ,且 n ? 3 时, 2 ? ?1 ? ? ? 3 . ? n?
*

n

………………………5 分

最领先的一对一个性化教育品牌 由于 n ? 3 时

? 1? 0 1 1 2 1 0 1 1 ?1 ? ? ? C n ? C n ? C n 2 ? ? ? C n ? C n ? 2 ,且 n n n ? n? ? 1? 0 1 1 2 1 3 1 n 1 ?1 ? ? ? C n ? C n ? C n 2 ? C n 3 ? ? ? C n n , n n n n ? n?
n

n

………………………6 分

? 2?

n(n ? 1) 1 n(n ? 1)(n ? 2) 1 n(n ? 1)?2 ?1 1 ? 2? ? 3 ??? ? n, 2! n 3! n 3! n 1 n n ? 1 1 n n ? 1 (n ? 2) 1 n n ?1 2 1 ? 2? ? ? 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? , 2! n n 3! n n n n! n n n n
1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 2 ? ? ? ?? , 2! 3! n! 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n( n ? 1)

? 2?

1? 1 ? 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 .………………9 分 n ? 2? ? 2 3? ? 3 4? ? n ?1 n ?
所以 2 ? ? g (n)? ? 3 成立,所以 2 ? ?2 f (n)?
n 2 n?1

?3 .

………………………10 分


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