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湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学一模试卷(理科)


湖南省长沙市长郡中学等十三校联考 2015 届高考数学一模试卷 (理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)设复数 e =cosθ+isinθ,则复数 e A. B.


的虚部为() C. i D. i

2. (5 分)已知 p、q 是简单命题,则“p∧q 是真命题”是

“≦p 是假命题”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)已知 α,β 是两个不同平面,m,n 是两条不同直线,则下列命题不正确的是() A.α∥β,m⊥α,则 m⊥β B. m∥n,m⊥α,则 n⊥α C. n∥α,n⊥β,则 α⊥β D.m∥β,m⊥n,则 n⊥β 4. (5 分)函数 A. k ∈Z 的单调增区间是() B. D.(2kπ+π,2kπ+2π)k∈Z k∈ Z

C. (2kπ,π+2kπ)k∈Z

5. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 s 的值为()

A.16

B. 8

C. 4

D.2

6. (5 分)已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的各侧面图形中,是直角三角形的 有()

A.0 个

B. 1 个

C. 2 个

D.3 个

7. (5 分)已知两不共线向量 =(cosα,sinα) , =(cosβ,sinβ) ,则下列说法不正确的是() A.| |=| |=1 B. ( + )⊥( ﹣ ) C. 与 的夹角等于 α﹣β D. 与 在 + 方向上的投影相等 8. (5 分)设等比数列{an}的各项均为正数,公比为 q,前 n 项和为 Sn.若对?n∈N ,有 S2n <3Sn,则 q 的取值范围是() A. (0,1] B. (0,2) C. ∪ D. 上的零点. 18. (12 分)由于雾霾日趋严重,政府号召市民乘公交出行,但公交车的数量太多会造成资源 的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交公司在某站台的 60 名候车乘客中进行随 机抽样,共抽取 10 人进行调查反馈,所选乘客情况如表所示: 组别 候车时间(单位:min) 人数 一 ∴复数 e 的虚部为 .
*

故选:B. 点评: 本题考查了复数的基本概念,考查了三角函数的求值,是基础题. 2. (5 分)已知 p、q 是简单命题,则“p∧q 是真命题”是“≦p 是假命题”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 命题的否定;复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 规律型. 分析: 由 p∧q 为真命题, 知 p 和 q 或者同时都是真命题, 由?p 是假命题, 知 p 是真命题. 由 此可知“p∧q 是真命题”是“≦p 是假命题”的充分不必要条件. 解答: 解:∵p∧q 为真命题, ∴p 和 q 或者同时都是真命题, 由?p 是假命题,知 p 是真命题. ∴“p∧q 是真命题”推出“≦p 是假命题”, 反之不能推出. 则“p∧q 是真命题”是“≦p 是假命题”的充分而不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查复合命题的真假判断,解题时要认真审题,仔细求解. 3. (5 分)已知 α,β 是两个不同平面,m,n 是两条不同直线,则下列命题不正确的是() A.α∥β,m⊥α,则 m⊥β B. m∥n,m⊥α,则 n⊥α C. n∥α,n⊥β,则 α⊥β D.m∥β,m⊥n,则 n⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 分析: A、用线面垂直的性质定理判断;B、用线面垂直的性质定理判断;C、用面面垂直 的判定定理证明 D、通过空间几何体模型观察. 解答: 解:A、由一条直线垂直平行平面中的一个,则垂直于另一个正确; B、由平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面得正确; C、过 n 作平面 γ,γ∩α=m,∵n∥α∴n∥m,又因为 n⊥β,∴m⊥β,又因为 m?α,∴α⊥β 正确; D、m∥β,m⊥n,则 n⊥β,或 n?β,n∥β 不正确. 故选 D 点评: 本题主要考查线线,线面,面面平行关系及垂直关系的转化.

4. (5 分)函数 A. k ∈Z

的单调增区间是() B. D.(2kπ+π,2kπ+2π)k∈Z k∈ Z

C. (2kπ,π+2kπ)k∈Z

考点: 余弦函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式、二倍角公式化简函数的表达式,然后求出函数的单调增区间,即可 得到选项. 解答: 解:函数 数 故选 A = 的单调增区间是 cos2x,因为 y=cosx 的单调减区间为:k∈Z,函 k∈Z.

点评: 本题是基础题,考查三角函数的化简求值,函数的单调性,注意正确应用基本函数 的单调性是解题的关键,考查计算能力. 5. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 s 的值为()

A.16

B. 8

C. 4

D.2

考点: 程序框图. 专题: 计算题. 分析: 已知 b=8,判断循环条件,i<8,计算循环中 s,i,k,当 x≥8 时满足判断框的条件, 退出循环,输出结果 s 即可. 解答: 解:开始条件 i=2,k=1,s=1,i<8,开始循环, s=1×(1×2)=2,i=2+2=4,k=1+1=2,i<8,继续循环, s= ×(2×4)=4,i=6,k=3,i<8,继续循环; s= ×(4×6)=8,i=8,k=4,8≥8,循环停止,输出 s=8; 故选 B: 点评: 本题考查循环结构的应用,注意循环的结果的计算,考查计算能力. 6. (5 分)已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的各侧面图形中,是直角三角形的 有()

A.0 个

B. 1 个

C. 2 个

D.3 个

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 本题由三视图可知原几何体是一个四棱锥,由线面垂直的判定,可证 AB⊥AP,故 △ PAB 为直角三角形,同理,△ PCD 也为直角三角形,故可得答案. 解答: 解:由三视图可知原几何体是一个四棱锥, 并且顶点 P 在下底面的射影点为正方形边 AD 的中点 O, 所以 PO⊥底面 ABCD,可得 PO⊥AB,又 AB⊥AD,AB∩PO=O, 由线面垂直的判定可得 AB⊥平面 PAD,可证 AB⊥AP,故△ PAB 为直角三角形, ∵CD∥AB,∴CD⊥平面 PAD,CD⊥PD,即△ PCD 也为直角三角形. 故左右侧面均为直角三角形,而前后侧面 PBC 与 PAD 均为非直角的等腰三角形. 所以侧面中直角三角形个数为 2 个, 故选 C

点评: 本题为三视图的还原问题,只要作出原几何体,理清其中的线面关系即得的答案, 属于基础题.

7. (5 分)已知两不共线向量 =(cosα,sinα) , =(cosβ,sinβ) ,则下列说法不正确的是() A.| |=| |=1 B. ( + )⊥( ﹣ ) C. 与 的夹角等于 α﹣β

D. 与 在 + 方向上的投影相等

考点: 平面向量数量积的运算;向量的模;数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由模长公式可得 = =1,故 A 正确;由数量积为 0 可得向量垂直,故 B 正确;

由夹角公式可得向量夹角的余弦值,但角的范围不一定,故 C 错误;而 D 由投影相等可与模 长相等等价,结合 A 可知正确,故可得答案. 解答: 解:由模长公式可得 即 ∵( = ,故 A 正确; )?( )=| | ﹣| | =0,∴(
2 2

=

=1,

=

=1,

)⊥(

) ,故 B 正确;

由夹角公式可得 .

当 α﹣β∈时,<

>=α﹣β;当 α﹣β?时,<

>≠α﹣β,故 C 不正确;

由投影相等可得 D 正确. 故选 C 点评: 本题考查向量的数量积的运算,涉及向量的模长和投影及夹角,属中档题.

,故

8. (5 分)设等比数列{an}的各项均为正数,公比为 q,前 n 项和为 Sn.若对?n∈N ,有 S2n <3Sn,则 q 的取值范围是() A. (0,1] B. (0,2) C. ′ 2 2 ∴只需圆 C : (x﹣4) +y =4 与直线 y=kx+2 有公共点即可. 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx+2 的距离为 d, 则 d= ≤2,即 3k ≤﹣4k,
2

*

∴﹣ ≤k≤0. ∴k 的最小值是 .

故选 A. 2 2 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,将条件转化为“(x﹣4) +y =4 与直线 y=kx+2 有公 共点”是关键,考查学生灵活解决问题的能力,是中档题.

10. (5 分)已知函数 y=f(x)为定义在 R 上的奇函数,且 x>0 时,f(x)=lg(x ﹣ax+10) , 若函数 y=f(x)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是() A. (﹣∞,﹣2 ]∪ D . 所以:a 的取值范围为: 故选:D 点评: 本题考查的知识要点:函数的恒成立问题,基本不等式的应用,及相关的运算问题. 二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 25 分) 11. (4 分)已知曲线 C: (θ 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ+3=0(以 .

2

直角坐标原点 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系) ,则 C 被 l 截得弦长为 2

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 把曲线 C 的参数方程化为普通方程, 直线 l 的极坐标方程化为普通方程, 两方程联立, 求得弦长|AB|的端点坐标,即得|AB|的大小. 解答: 解:把曲线 C 的参数方程化为普通方程,得 2 2 (x﹣2) +(y+2) =4…①; 把直线 l 的极坐标方程化为普通方程,得 y+3=0…②; 由①、②解得 x1=2+ ,x2=2﹣ , ∴弦长|AB|=|x1﹣x2|=|(2+ )﹣(2﹣ )|=2 . 故答案为:2 . 点评: 本题考查了参数方程与极坐标的应用问题,解题时应先把参数方程与极坐标化为普 通方程,再来解答,是基础题. 12. (4 分)如图,已知在△ ABC 中,∠B=90°,O 是 AB 上一点,以 O 为圆心,OB 为半径的 圆与 AB 交于点 E,与 AC 切于点 D,AD=2,AE=1,则 BC 的长为 3.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;立体几何. 分析: 连 OD,根据切线的性质得到 OD⊥AC,在 Rt△ ADO 中,设 OD=R,AD=2,AE=1, 利用勾股定理可计算出 r= ,再利用勾股定理,即可求出 BC 的长. 解答: 解:连接 OD、DE、DB,设⊙O 半径为 r, ∵CD 为⊙O 切线,∴∠ODA=90°, ∵BE 为⊙O 直径,∴∠BDE=90°, ∴∠ADE=∠BDO,

∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB, ∵∠DAE=∠BAD, ∴△ADE∽△ABD, ∴ ,

∵AD=2,AE=1, ∴ ∴r= , ∵∠B=90°,∴CB 为⊙O 切线, ∴CB +AB =AC , 2 2 2 ∴CB +4 =(2+CB) , ∴CB=3. 故答案为:3.
2 2 2



点评: 本题考查了切线的性质:圆心与切点的连线垂直切线;过圆心垂直于切线的直线必 过切点,考查了勾股定理以及三角形相似的判定与性质. 13. (4 分)若 A,B,C 为△ ABC 的三个内角,则

的最小值为



考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题. 分析: 先根据 A+B+C=π 和基本不等式求出 的最小值. 解答: 解:A+B+C=π,且 , 因此 当且仅当 故答案为: . , ,即 A=2(B+C)时等号成立. 的最小值, 进而可得到

点评: 本题主要考查基本不等式的用法,应用基本不等式时一定要注意“一正、二定、三相 等”. 14. (4 分) |x ﹣1|dx=2.
2

考点: 定积分. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 先根据定积分的几何意义,将原式化成 (1﹣x )dx+
2

(x ﹣1)dx,再利用

2

定积分的运算法则,找出被积函数的原函数,进行计算即可. 解答: 解:原式= =(x﹣ x ) = =2.
3 3

(1﹣x )dx+

2

(x ﹣1)dx

2

+( x ﹣x)

故答案为:2.

点评: 本题主要考查定积分的基本运算,解题关键是找出被积函数的原函数,利用区间去 绝对值符号也是注意点,属于基础题.

15. (4 分)已知双曲线

=1(b>0,a>0)的两条渐近线为 l1,l2,过右焦点 F 作垂直

l1 的直线交 l1,l2 于 A,B 两点,若|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,则双曲线的离心率为



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定渐近线的夹角范围,求出离心率的范围,再用勾股定理得出直角三角形的 2 个 直角边的长度比,联想到渐近线的夹角,求出渐近线的斜率,进而求出离心率. 解答: 解:双曲线 =1(b>a>0)的两条渐近线方程分别为

y=± x, 不妨设 , 同向,则渐近线的倾斜角为(0, ) ,

∴渐近线斜率 k′<1, ∴ =e ﹣1<1,
2 2

∴1<e <2, 若|OA|,|AB|,|OB|成等差数列, 则|OA|+|OB|=2|AB|, ∵|AB| =(|OB|﹣|OA|) (|OB|+|OA|)=(|OB|﹣|OA|)2|AB|, ∴|AB|=2(|OB|﹣|OA|) , ∵|OA|+|OB|=2|AB|, ∴|OA|= |AB|, ∴ = ,
2

而在直角三角形 OAB 中,注意到三角形 OAF 也为直角三角形,即 tan∠AOB= 而由对称性可知:OA 的斜率为 k=tan ∠AOB, ∴ = ,∴2k +3k﹣2=0,∴k= (k=﹣2 舍去) ;
2

∴ = ,
2 2



= ,即 c = a ,

∴e= =

. . = 联想到对应的是渐近

故答案为:

点评: 本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质, 由 线的夹角的正切值,是解题的关键.

16. (5 分)若

,z=x+2y,则 z 的取值范围是



考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;不等式的解法及应用.

分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图所示的阴影部分.将直线 l:z=x+2y 进 行平移并加以观察,可得当直线 ly 经过原点时,z 达到最小值 0;当直线 l 与余弦曲线相切于 点 A 时,z 达到最大值,用导数求切线的方法算出 A 的坐标并代入目标函数,即可得到 z 的 最大值.由此即可得到实数 z 的取值范围. 解答: 解:作出可行域如图所示,可得直线 l:z=x+2y 与 y 轴交于点 观察图形,可得直线 l:z=x+2y 经过原点时,z 达到最小值 0 直线 l:z=x+2y 与曲线 ∵由 得 , , = . . 相切于点 A 时,z 达到最大值. .

∴代入函数表达式,可得 由此可得 zmax=

综上所述,可得 z 的取值范围为 故答案为:

点评: 本题给出约束条件,求目标函数 z=x+2y 的取值范围.着重考查了简单线性规划和运 用导数求函数图象的切线的知识,属于中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 17. (12 分)已知向量 =(cos ,﹣1) , =( (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)求函数 f(x)在 x∈上的零点. 考点: 正弦函数的单调性;函数的零点;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得函数的解析式,再根据 正弦函数的增区间,求出 f(x)的单调递增区间. (2)由 f(x)=0 求得 sin(x﹣ )= ,可得 x﹣ =2kπ+ ,或 x﹣ =2kπ+ ,由此求 sin ,cos
2

) ,设函数 f(x)= ? .

得 x 的值,从而得到函数 f(x)在 x∈上的零点.

解答: 解: (1)函数 f(x)= ? = ﹣ , 令 2kπ﹣ ≤x﹣ ≤2kπ+

sin cos ﹣

=

sinx﹣

=sin(x﹣



,求得 2kπ﹣

≤ x﹣

≤2kπ+

,k∈z,

可得函数的增区间为,k∈z. (2)由 f(x)=sin(x﹣ ∴x﹣ =2kπ+ ,或 x﹣ )﹣ =0,求得 sin(x﹣ =2kπ+ ,即 x=2kπ+ )= , 或 x=2kπ+π,

∴函数 f(x)在 x∈上的零点为

和 π.

点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换、正弦函数的增区间、函数的 零点,属于中档题. 18. (12 分)由于雾霾日趋严重,政府号召市民乘公交出行,但公交车的数量太多会造成资源 的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交公司在某站台的 60 名候车乘客中进行随 机抽样,共抽取 10 人进行调查反馈,所选乘客情况如表所示: 组别 候车时间(单位:min) 人数 一 ②当 k 为偶数时,同理可得集合{x|dk<x<dk+1,x∈Z}的元素个数为 .

综上,当 k 为奇数时,集合{x|dk<x<dk+1,x∈Z}的元素个数为



当 k 为偶数时,集合{x|dk<x<dk+1,x∈Z}的元素个数为



点评: 本题是等差数列和等比数列的综合题,考查了等差关系与等比关系的确定,训练了 二项式定理的应用,是中档题. 21. (13 分)已知点 D(0,﹣2) ,过点 D 作抛物线 C1:x =2py(p>0)的切线 l,切点 A 在 第二象限,如图 (Ⅰ)求切点 A 的纵坐标; (Ⅱ)若离心率为 的椭圆 恰好经过切点 A,设切线 l 交椭圆的另
2

一点为 B,记切线 l,OA,OB 的斜率分别为 k,k1,k2,若 k1+2k2=4k,求椭圆方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)设切点 A(x0,y0) ,且 ,由切线 l 的斜率为 ,得 l 的方程为

,再由点 D(0,﹣2)在 l 上,能求出点 A 的纵坐标. (Ⅱ)由得 ,切线斜率 ,设 B(x1,y1) ,切线方程为 y=kx﹣2,由
2

,得 a =4b ,所以椭圆方程为

2

2

,b =p+4,由

,由此能求出椭圆方程.

解答: 解: (Ⅰ)设切点 A(x0,y0) ,且



由切线 l 的斜率为

,得 l 的方程为

,又点 D(0,﹣2)在 l 上,



,即点 A 的纵坐标 y0=2.…(5 分) ,切线斜率
2

(Ⅱ)由(Ⅰ) 得


2

设 B(x1,y1) ,切线方程为 y=kx﹣2,由

,得 a =4b ,…(7 分)
2

所以椭圆方程为

,且过

,∴b =p+4…(9 分)



,∴

,…(11

分)

=



,b =p+4 代入得:p=32,所以 b =36,a =144,

2

2

2

椭圆方程为

.…(15 分)

点评: 本题考查切点的纵坐标和椭圆方程的求法,解题时要认真审题,注意椭圆标准方程, 简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理 论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想. 22. (13 分)已知函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率 为 3. (1)求实数 a 的值; (2)若 k∈Z,且 k< 对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导数,利用函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处 的切线斜率为 3,可得 f′(e)=3,从而可求实数 a 的值; (2)构造 g(x)= = ,求导函数,令 h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1) ,确定 h(x) 在(1,

=0 在(1,+∞)上存在唯一实根 x0,且满足 x0∈(3,4) ,进而可得 g(x)=

x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,求出最小值,即可得出结论. 解答: 解: (1)求导数可得 f′(x)=a+lnx+1 ∵函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3 ∴f′(e)=3,∴a+lne+1=3,∴a=1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) (2)由(1)知,f(x)=x+xlnx,

令 g(x)=

=

,则 g′(x)=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) 令 h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1) ,则 h′(x)= >0,

所以函数 h(x)在(1,+∞)上单调递增.…(7 分) 因为 h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣2ln2>0, 所以方程 h(x)=0 在(1,+∞)上存在唯一实根 x0,且满足 x0∈(3,4) . 当 1<x<x0 时,h(x)<0,即 g'(x)<0, 当 x>x0 时,h(x)>0,即 g'(x)>0,…(9 分) 所以函数 g(x)= 所以 min=g(x0)=x0, 因为 k< 对任意 x>1 恒成立, 在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.

所以 k<x0∈(3,4) , 所以 k 的最大值为 3. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性与最值,解题 时构造函数是关键.


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