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浙江省效实中学2013-2014学年高一上学期期末数学试卷(4-11班) Word版含答案


宁波效实中学

二〇一三学年度 高一数学期末考试 第 一 学 期

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分. 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.函数 f ( x) ? 1 ? x ? l

g( x ? 2) 的定义域为

A. (?2,1)

B. [?2,1)

C. (?2,1]

D. ?? 2, 1?

2.下列各组函数中表示同一函数的是 A. f ( x) ? x 与 g ( x ) ? ( x ) C. f ( x) ? ln e 与 g ( x) ? e
x
2

2

B. f ( x) ?| x | 与 g ( x ) ? D. f ( x ) ?

3

x3

ln x

x2 ?1 与 g ( x) ? x ? 1( x ? 1) x ?1

3.函数 y ? log 2 ( x ? 2 x ? 3) 的单调递增区间是 A. (??, ?3)

B. (??, ?1)

C. (?1, ??)

D. (1, ??)

4.函数 y ? lg( x ? 1) 的图象为

5.设 x 0 是函数 f ( x) ? ln x ? x ? 4 的零点,则 x 0 所在的区间为 A. (0,1) 6.已知函数 f ? x ? ? ? A. 7 B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

2 ? ? x ? 1 ? x ? 2? ,则 f ?1? ? f ? 3? ? ? ? f ( x ? 3) ? x ? 2 ?

B. 12
1

C. 18

D. 27

7. 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 f ( 1 ? x )? f ( 1 ? x, ) 且 对 任 意 的 x1 , x2 ? 1( x1 ? x2 ) , 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ? 0 ,设 a ? f ( ? ), b ? f (2), c ? f (3) ,则 a, b, c 的大小关系为 x1 ? x2 2
A. c ? b ? a

B. b ? a ? c
x

C. b ? c ? a

D. a ? b ? c

? a (x ? 1) ? 8.若函数 f ( x ) ? ? 是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围为 a ?(4 ? ) x ? 2 (x ≤ 1) ? 2
A. (1, ??) B. (1,8) C. (4,8) D. [4,8)

9. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0, ??) 单 调 递 减 . 若 实 数 a 满 足

f (log2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) ,则 a 的取值范围是
2

A. [2, ??)
2

B. ( ??, ] ? [2, ??)

1 2

C. ( , 2]

1 2

D. (0, ] ? [2, ??)

1 2

10.已知函数 f ( x) ? 2 x ? (4 ? m) x ? 4 ? m, g ( x) ? mx ,若对于任一实数 x , f ( x) 与 g ( x) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是 A. [?4, 4] B. (?4, 4) C. (??, 4) D. (??, ?4)

第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 11. ( ) ? 4 ? ( ?2)

1 2

?1

?3

1 ? 1 ? ( )0 ? 9 2 ? 4

▲ ▲

. . ▲ . ▲ .

12. 若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f ( x) ?

13. 幂函数 y ? f ( x ) 的图象经过点 (?2, ? ) ,则满足 f ( x) ? 27 的 x 的值是
? 3 ? 10 ? 2 14. 已知 a ? log2 3 , b ? log3 , c ? ? ? ,那么将这三个数从大到小 排列为 .... ? 9? 4 1

1 8

15. 某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 400 元,若每批生产 x 件,则平均

仓储时间为

x 天,且每件产品每天的仓储费用为 2 元,为使平均到每件产品的生产准备 8
▲ .
2

费用与仓储费用之和最小,则每批应生产产品为

16. 若函数 f ( x ) = x - (m + 2) x + m + 5 在区间 (2, 4) 内有且只有一个零点,则实数 m 的
2

取值范围是




2

17. 已 知 函 数 f ( x ) ? 2 x ? 2 ? x, g ( x ) ? x ? 2mx ? 5m ? 2 (m ? R ) , 对 于 任 意 的

x1 ? [? 2 , 2 ] , 总 存 在 x2 ? [ ? 2, 2 ] , 使 得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. 已知函数 f ( x ) ? 3 ,其反函数为 y ? g ( x ) .
x

(1)求 g (4) ? g (8) ? g ( (2)解不等式 g (

32 ) 的值; 9

x ) ? f (0) . 1? x

19. 已知函数 f ( x ) ?

1 ,把 f ( x ) 的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位,得到 x

y ? g ( x ) 的图象.
(1)求 g ( x ) 的解析式; (2)写出 g ( x ) 的单调区间,并证明 g ( x ) 的单调性(用函数单调性 的定义证明).

3

20.已知函数 f ( x ) ? a ?

2x (a ? R ) 是定义在 R 上的奇函数. 2x ? 1
2

(1)求实数 a 的值; (2)解关于 x 的不等式 f ( x ? tx ) ? f (2 x ? 2t )(其中t ? R) .

21.已知函数 f ( x ) ? log 2 x 与函数 y ? g ( x ) 的图象关于 x ? 1 对称. (1)求 g ( x ) 的解析式,并求其定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? log 2 ( x ? 2ax ? 2a ? 4)( a ? R) 恒成立,求实数 a 的
2

取值范围.

22.已知函数 f ( x ) ? ? 个零点 x1 , x2 , x3 .

?kx ? k ? 4, x ? 1
2 ? x ? ( k ? 2) x ? k ? 5, x ? 1

且 y ? f ( x ) 在 x ? (?1,5) 内有三 (k ? R) ,

(1)求实数 k 的取值范围; (2)求 x1 ? x2 ? x3 的取值范围.
2 2 2

4

23.(附加题)已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? 1 ? 1(a ? R ) ,求 f ( x ) 的最小值.
2

宁波效实中学

二〇一三学年度 高一数学期末考试答案 第 一 学 期

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分. 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D C C B A D D C
第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 11.

19 ; 6

12. f ( x ) ? x ? 4 x ? 3 ;
2

13.

1 ; 3

14. a ? c ? b ;

15. 40 ;

16.

13 1 ? m ? 5 或 m ? 4 ; 17. [ ,1] . 3 9

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

32 32 ) ? log3 4 ? log3 8 ? log3 ? 2; 9 9 x x 3 (2) log3 ( ) ? 1,?0 ? ? 3,? 0 ? x ? .ks5u 1? x 1? x 4
18. 解: (1) g ( x ) ? log3 x , g (4) ? g (8) ? g (
5

19.(1) g ( x ) ?

1 x ; ?1 ? x ?1 x ?1

(2) g ( x ) 在区间 ( ??,1),(1, ??) 上单调递减, 证明:①在 (1, ??) 上任取 x1 ? x2 ,

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?

x1 x x ( x ? 1) ? x2 ( x1 ? 1) x2 ? x1 , ? 2 ? 1 2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

当 x1 ? x2 ? 1 时, x2 ? x1 ? 0 , ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 ,?

x2 ? x1 ? 0, ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , g ( x ) 在区间 (1, ??) 上单调递减.
②在 (??,1) 上任取 x1 ? x2 ,同理可得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , g ( x ) 在区间

(??,1) 上单调递减.
20.解: (1)因为 f ( x ) ? a ?

2x (a ? R ) 是定义在 R 上的奇函数, 2x ? 1

所以 f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 在 R 上恒成立.

? f ( x) ? f (? x) ? a ?

2x 2? x 2x 1 ? a ? ? 2 a ? ? x ? 2a ? 1 ? 0 , x ?x x 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

1 ?a ? ? . 2
(2)? f ( x ) ? ?
2

1 2x 1 1 2 ? x ? ? x 在 R 上单调递增,? x ? tx ? 2 x ? 2t , 2 2 ?1 2 2 ?1

即 x ? (t ? 2) x ? 2t ? 0 ,?( x ? t )( x ? 2) ? 0 ,ks5u ①当 t ? 2 时, x ? t或x ? 2 ;②当 t ? 2 时, x ? 2或x ? t ;③当 t ? 2 时, x ? 2 . 21.解: (1) g ( x ) ? f (2 ? x ) ? log 2 (2 ? x ) ,定义域为 ( ??, 2) ; ( 2 ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? log 2 x ? log 2 (2 ? x ) ? log 2 x (2 ? x ) ? log 2 ( x ? 2ax ? 2a ? 4) 恒成
2

立,
6

? x(2 ? x ) ? x 2 ? 2ax ? 2a ? 4 在 x ? (0,2) 上恒成立,
即 x ? (a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 在 x ? (0,2) 上恒成立,令 h( x ) ? x ? (a ? 1) x ? a ? 2
2 2

?a ?1 ?0 ?a ? ?1 ? ?? ,??2 ? a ? ?1 ; ①? 2 a ? ? 2 ? ? ? h (0) ? a ? 2 ? 0

a ?1 ? 0? ?2 ? ? ? ? ?1 ? a ? 3 2 ②? ,? ? ,??1 ? a ? 3 ; ? ?1 ? 2 2 ? x ? 1 ? 2 2 ? h ( a ? 1) ? 0 ? ? 2
?a ?1 ?2 ?a ? 3 ? ?? ,? 3 ? a ? 4 ; ③? 2 a?4 ? ? ?h(2) ? 4 ? a ? 0
综上: ?2 ? a ? 4 .

?k ? 0 ? ?k ? 2 , 22.解: (1)根据题意 ? k ?4 ?1 ? ?1 ? k ?
? ? ? ( k ? 2) 2 ? 4( k ? 5) ? 0 ? ? k ? 4或k ? ?4 k ?2 ? ?5 ?1 ? ? ? ?0 ? k ? 8 ?4 ? k ? 5 , 又? 2 ? f (1) ? 0 ?k ? 5 ? ? f (5) ? 0 ? ?
综上 4 ? k ? 5 .

k ?4 , x2 ? x3 ? k ? 2, x2 ? x3 ? k ? 5 , k k ?4 2 ? x12 ? x2 2 ? x32 ? x12 ? ( x2 ? x3 )2 ? 2 x2 x3 ? ( ) ? (k ? 2)2 ? 2(k ? 5) k 16 8 4 4 ? k 2 ? 2 ? 2k ? ? 5 ? (k ? )2 ? 2(k ? ) ? 3 , k k k k 4 21 726 2 2 2 令 t ? k ? ? (3, ) ,? x1 ? x2 ? x3 ? (18, ). k 5 25
(2)不妨令 x1 ? 23.(附加题)

7

2 ? ? x ? ax ? a ? 1, x ? 1 解: f ( x ) ? x ? a x ? 1 ? 1 ? ? 2 , ? ? x ? ax ? a ? 1, x ? 1 2

① a ? 0 时(i)

a ? 1 即 a ? 2 时, f ( x )min ? f (1) ? 2 ; 2
a a2 a ? 1 即 0 ? a ? 2 时, f ( x ) min ? f ( ) ? ? ? a ? 1 ; 2 4 2 a a2 a a2 a ? 1 即 a ? ?2 时, f ( ) ? ? ? a ? 1, f ( ? ) ? ? ? a ? 1 2 4 2 4 2 a a2 f ( x ) min ? f ( ) ? ? ? a ? 1 ; 2 4

(ii)

② a ? 0 时(i) ?

(ii) ?

a a2 a ? 1 即 ?2 ? a ? 0 时, f ( x ) min ? f ( ) ? ? ? a ? 1 ; 2 4 2

③ a ? 0 时, f ( x ) ? x ? 1 , f ( x ) min ? 1
2

综上: f ( x ) min

? a2 ? ? ? a ? 1, a ? 2 ?? 4 . ? ? 2, a ? 2

8


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