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河北省石家庄市第二中学2015届高三下学期5月冲刺卷(三)数学试题


2015 高三冲刺卷(3) 一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.复数

i3 ( i 为虚数单位)的虚部是( 2i ? 1
B. i
2 2

) C. ? i

A.

1 5

>
1 5

1 5

D. ?

1 5


2.“ a ? 1 ”是“函数 y ? cos ax ? sin ax 的最小正周期为 ? ”的( A.必要不充分条件 C.充要条件 3.二项式 ( ax ? A. 3 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

a 3 6 ) 的展开式的第二项的系数为 ? 3 ,则 ? x2 dx 的值为( ?2 6



B.

7 3

C. 3 或

7 3

D. 3 或 ?

10 3

4. 已知 a ? 0, b ? 0 函数 f ? x ? ? x2 ? ? ab ? a ? 4b? x ? ab 是偶函数,则 f ? x ? 的图象与 y 轴 交点纵坐标的最小值为( A. 16 B. 8 ) C.4 D. 2 2

5. ?ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 , OA ? AB ,则 CA ? CB 的值是 ( A.2 ) B.3 C.4 D.5

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ??? ?

6.已知数列 ?a n ?的通项为 an ? log( n?1) (n ? 2) (n ? N * ) ,我们把使乘积 a1 ? a2 ? a3 ??? an 为整数 的 n 叫做“优数”,则在 ? 0,2015? 内的所有“优数”的和为( A.1024 B. 2012 C.2026 D. 2036 ) )

7. 若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是( A. 2 13? ? 6 C. 6 ? (2 13 ? 2)? B. 2? ? 6 D. 6 ? ( 13 ? 2)?

8. 将 3 个不相同的黑球和 3 个相同白球自左向右排成一排,如果满 足:从任何一个位置(含这个位置)开始向右数,数到最末一个球,黑球的个数大于或等于白 球的个数,就称这种排列为“有效排列”,则出现有效排列的概率为 ( A.
1 2

)

B.

1 4

C.

1 5

D.

1 10

? x ? 3 y ? 1 ? 0, ??? ? ??? ? ? 9.已知 O 为坐标原点, A, B 两点的坐标均满足不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0, 设 OA 与 OB 的夹角 ? x ? 1 ? 0, ?
为 ? ,则 tan ? 的最大值为 ( A. ) C.

1 2

B.

4 7

3 4

D.

9 4

10. 双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 F2 恰为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,设双曲线 C 与该抛 物线的一个交点为 A , 若 ?AF1 F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形 , 则双曲线 C 的离心率为 ( ) A. 2 B. 1 ? 2 C. 1 ? 3 D. 2 ? 3 )

11.已知函数 f ? x ? =cos x sin 2x ,下列结论中正确的个数是(

① f ? x ? 既是奇函数,又是周期函数 ,② y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? ③ f ? x ? 的最大值为 A. 1

?
2

对称,

4 3 ? ? ?? ④ y ? f ? x ? 在 ? ? , ? 上是增函数. 9 , ? 6 6?
B.2 C.3 D. 4

12. 已 知 函 数 f ( x) ? ln

ex e 2e 2012e )+f ( )+ ? +f ( )=503(a ? b) , 则 ,若 f( e?x 2013 2013 2013
) C.9 D.12

a 2 ? b 2 的最小值为(
A.6 B.8

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.某程序框图如图所示,运行后输出 S 的值是 ________. 14.某班 2 名同学准备报名参加浙江大学、复旦大学和上海交大的自主招 生考试,要求每人最多选报两所学校,且至少报一所学校,则不同的报名 结果有______种. 15. 已知 ?ABC 面积 S 和三边 a , b, c 满足:S ? a ? ? b ? c ? ,b ? c ? 6 ,
2 2

则 ?ABC 面积 S 的最大值为____________ .
2 ? ? x ? 3tx ? 18, x ? 3 * 16. 已 知 函 数 f ? x ? ? ? , 记 an ? f ? n ? n ? N , 若 数 列 ?an ? 满 足 ? ?? t ? 13? x ? 3, x ? 3

?

?

an > an + 1 ,则实数 t 的取值范围是______________.

三、解答题 (本大题共 6 题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. (本题满分 12 分)已知数列 {an }的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且 nan ?1 ? 2 S n ( n ? N * ),数 列 {bn }满足 b1 ?

1 1 , b2 ? ,对任意 n ? N * ,都有 bn ?12 ? bn ? bn ? 2 . 2 4

(1)求数列 {an }、 {bn }的通项公式; (2) 令 Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn , 若对任意的 n ? N * , 不等式 ? nTn ? 2bn S n ? 2 ? ? n ? 3bn ? 恒 成立,试求实数 λ 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)某中学教职工春季竞走比赛在校田径场隆重举行,为了解高三年级 男、女两组教师的比赛用时情况,体育组教师从两组教师的比赛成绩中,分别各抽取 9 名教 师的成绩(单位:分钟) ,制作成下面的茎叶图,但是女子组的数据中有一个数字模糊,无法 确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以 a 表示,规定:比赛用时不超过 19 分钟时,成 绩为优秀. (1)若男、女两组比赛用时的平均值相同,求 a 的值; (2)求女子组的平均用时高于男子组平均用时的概率; (3)当 a ? 3 时,利用简单随机抽样的方法,分别在茎叶图两组成绩为“非优秀”的数据中 各抽取一个做代表,设抽取的两个数据中用时超过 22 (分钟)的个数为 X ,求 X 的分布列和 数学期望.

男子组

女子组

3

9 6 5 8 1 5 0 3

1 2

8 6

6 5 9 9 3 1

a
1 BC ? a ,E 2

19. (本题满分 12 分)已知四边形 ABCD 满足 AD / / BC , BA ? AD ? DC ?

是 BC 的中点,将 VBAE 沿 AE 翻折成 ?B1 AE ,使面 B1AE ^ 面 A ECD , F 为 B1 D 的中点. (1)证明: B1 E / / 面 ACF ; (2)求面 ADB1 与面 ECB 1 所成锐二面角的 余弦值.
A D A B1 F D

B

E

C

E

C

20. (本题 12 分)已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 (2 , 0) ,且椭圆 C 的离心率 a 2 b2



1 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 若动点 P 在直线 x ? ?1 上, 过 P 作直线交椭圆 C 于 M , 且 P 为线段 MN 中点, N 两点, 再过 P 作直线 l ? MN .则直线 l 是否恒过定点,如果是求出该定点的坐标,不是请说明理由。

21.(本题满分 12 分)设 k > 0 ,函数 f ( x ) = (1) 讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2) 当 函 数
f (x )

1 2 x + x + k ln | x - 1 | . 2

有 两 个 极 值 点 , 且 0< q< p
0.

时 , 证 明 :

(2k - 1) sin q + (1 - k ) sin[(1 - k )q] >

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的一条切线,切点为 B ,
ADE , CFD , CGE 都是⊙ O 的割线, AC ? AB .
2 (Ⅰ)证明: AD ? AE ? AC ;

C G F
O

A D

(Ⅱ)证明: FG // AC .
E

B

23. (4-4 极坐标参数方程) (本小题满分 10 分) 己知抛物线 y ? x 2 ? m 的顶点 M 到直线 l : ? (1)求 m ; (2)若直线 l 与抛物线相交于 A, B 两点,与 y 轴交于点,求 S?MAN ? S?MBN 的值.

? ?x ? t (t 为参数)的距离为 1 ? ? y ? 1 ? 3t

24. (4-5 不等式选讲) (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x ) ? x ? 1 ?

1 | x ?3| 2

(1)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (2)若不等式 f ( x ) ? a ( x ? ) 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

1 2

参考答案 一、选择题 题目 答案 1 A 2 B 3 B 4 A 5 B 6 C 7 D 8 B 9 C 10 B 11 D 12 B

二、填空题:13, ? 三、解答题

1 36 14,36 15. 2 17

16. ? , 4 ?

?5 ?3

? ?

17. (1)∵ nan?1 ? 2Sn ,∴ (n ? 1)an ? 2Sn ?1 ( n ? 2 ),两式相减得, nan?1 ? (n ? 1)an ? 2an , ∴ nan ?1 ? (n ? 1)an ,即 ∴ an ? a1 ?
a 2 an ?1 n ? 1 ? ( n ? 2 ),又因为 a1 ? 1 , a2 ? 2 ,从而 2 ? 2 ? a1 1 an n

a a2 a3 2 3 n ? ?? ? n ? 1? ? ? ? ? ? ? n ( n ? 2 ), a1 a2 an ?1 1 2 n ?1

故数列 {an } 的通项公式 an ? n ( n ? N* ).
2 在数列 {bn } 中,由 bn ?1 ? bn ? bn ? 2 ,知数列 {bn } 是等比数列,首项、公比均为

1 , 2

?1? ∴数列 {bn } 的通项公式 bn ? ? ? .??????????6 分 ?2?

n

(2)∴ Tn ?

1 1 1 1 ? 2 ? ( )2 ? ? ? (n ? 1) ? ( )n?1 ? n ? ( )n ① 2 2 2 2

1 1 1 1 1 ∴ Tn ? ( )2 ? 2 ? ( )3 ? ? ? (n ? 1)( )n ? n( )n?1 ② 2 2 2 2 2 n?2 1 1 1 1 1 1 由①?②,得 Tn ? ? ( )2 ? ( )3 ? ? ? ( )n ] ? n ? ( )n?1 ? 1 ? n?1 , 2 2 2 2 2 2 2
∴ Tn ? 2 ?

n?2 , 2n n ? 2 n(n ? 1) 3 )? ? 2(? n ? n ) , n n 2 2 2

不等式 ? nTn ? 2bn Sn ? 2(? n ? 3bn ) 即为 ? n(2 ?

即 (1 ? ? )n2 ? (1 ? 2? )n ? 6 ? 0 ( n ? N* )恒成立. 方法一、设 f (n) ? (1 ? ? )n2 ? (1 ? 2? )n ? 6 ( n ? N* ) , 当 ? ? 1 时, f (n) ? ?n ? 6 ? 0 恒成立,则 ? ? 1 不满足条件; 当 ? ? 1 时,由二次函数性质知不恒成立;

4 当 ? ? 1 时, f (1) ? ?3? ? 4 ? 0 恒成立,则 ? ? ? 满足条件.??????????12 分 3

4? ? 综上所述,实数 λ 的取值范围是 ? ??, ? ? . 3? ?

方法二、也即 ? ? 令 f (n) ?

n2 ? n ? 6 ( n ? N* )恒成立, 2 n ? 2n

n?6 1 1 n2 ? n ? 6 ?1? 2 ?1? .则 f (n) ? 1 ? 2 , 2 24 n ? 2 n n ? 2 n n ? 2n (n ? 6) ? ? 10 n?6 n?6

由 n ? 6 ? 7 , (n ? 6) ?

24 4 ∴ f (n) 单调递增∴ f (n) ? f ?1? ? ? ? 10 单调递增且大于 0, n?6 3

4? ? ∴实数 λ 的取值范围是 ? ??, ? ? . ??????????12 分 3? ?

18.解: (1)依题意,得

1 1 (18 ? 15 ? 16+19 ? 13 ? 21 ? 25 ? 20 ? 23) ? (18 ? 16 ? 15+19 ? 19 ? 13 ? 26 9 9 ?21 ? 20 ? a) ,解得 a ? 3 .????3 分
(2)设“女子组的平均用时超过男子组平均用时”为事件 A,依题意 a=0,1,2,?9,共有 10 种可能,由(1)可知,当 a=3 时男女两组平均用时相同,所以当 a=4,?9,时女子组的平均用 时超过男子组平均用时,共有 6 种可能,所以女子组的平均用时超过男子组平均用时的概率 为 P ? A? ?

6 3 ? ?????..7 分 10 5

(3)成绩为“非优秀”即为用时超过 19(分钟) ,男子组平均用时超过 19(分钟)的有 4 个, 超过 22(分钟)的有 2 个,女子组平均用时超过 19(分钟)的有 3 个,超过 22(分钟)的有 2 个,所以 X 的所有可能值为 0,1,2,则

P ? X ? 0?

1 1 1 1 1 1 1 1 C2 C1 1 C2 C1 ? C2 C2 1 C2 C2 1 , , ? P X ? 1 ? P X ? 2 ? ????10 分 ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 C3C4 6 C3C4 2 C3C4 3

所以 X 的分布列为: X P 0 1 2

1 6

1 2

1 3

所以 X 的数学期望 EX ? 0 ?

1 1 1 7 ? 1 ? ? 2 ? ? ????.12 分 6 2 3 6

19、解:(1)连结 ED 交 AC 于 O,连结 OF,因为 AECD 为菱形,OE=OD 所以 FO∥B1E, 所以 B1 E / / 面ACF 。---------6 分 (2)连结 MD, 则∠AMD= 90 0 , 分别以 ME,MD,MB1 为 x,y,z 轴建系,则 E ( ,0,0) , C (a ,

a 2

3 a ,0) 2 a 3a 1 , EB 1 ? (? ,0, ) , 2 2

a 3 3 A (? ,0,0) , D (0, a ,0) , B 1 (0,0, a) , 所 以 2 2 2
a 3a a 3a AD ? ( , ,0) , AB 1 ? ( ,0, ) , 设 面 2 2 2 2

ECB1 的 法 向 量 为 u ? (x , y , z ) ,

?a 3 ay ? 0 ? x ? ?2 2 , ? a 3 ? ? x ? az ? 0 ? 2 ? 2
令 x=1, u ? (1,?

3 3 , ) ,同理面 ADB1 的法向量为 3 3

3 3 v ? (1,? ,? ) , 所以 cos ? u ,v ?? 3 3

1? 1?

1 1 ? 3 3

1 1 1 1 ? ? 1? ? 3 3 3 3

?

3 , 5

故面 ADB1与面ECB1 所成锐二面角的余弦值为 20.解: (1)因为点 (2 , 0) 在椭圆 C 上,所以 因为椭圆 C 的离心率为 解得 b 2 ? 3 ,

3 .--------12 分 5
------1分

4 0 ? 2 ? 1 , 所以 a 2 ? 4 , 2 a b

c 1 a 2 ? b2 1 1 ,所以 ? ,即 ? ,------- 2 分 2 a 2 a2 4
x2 y 2 ? ? 1. 4 3
------4分

所以椭圆 C 的方程为

(2)设 P (?1 , y0 ) , y0 ? (?

3 3 ,), 2 2

① 当 直 线 MN 的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 MN 的 方 程 为 y ? y0 ? k ( x ? 1) , M ( x1 , y1 ) ,

N ( x2 , y2 ) ,
由?

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 , 2 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? (8ky0 ? 8k 2 ) x ? (4 y0 ? 8ky0 ? 4k 2 ? 12) ? 0 , y ? y ? k ( x ? 1) , 0 ?
x1 ? x2 8ky0 ? 8k 2 8ky0 ? 8k 2 MN , 因为 为 中点, 所以 , 即 P = ? 1 ? = ? 2. 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
------8分

所以 x1 +x2 ? ? 所以 k MN ?

3 ( y0 ? 0) , 4 y0

因为直线 l ? MN ,所以 kl ? ? 即y??

4 y0 4y ,所以直线 l 的方程为 y ? y0 ? ? 0 ( x ? 1) , 3 3

4 y0 1 1 ( x ? ) ,显然直线 l 恒过定点 (? , 0) . ------- 10 分 3 4 4

②当直线 MN 的斜率不存在时,直线 MN 的方程为 x ? ?1 ,此时直线 l 为 x 轴,也过点

1 (? , 0) . 4

综上所述直线 l 恒过定点 (? 21.

1 , 0) .------- 12 分 4

22 解: (Ⅰ)由切割线定理知 AB ? AD ? AE ,又 AC ? AB ,得 AC ? AD ? AE ? ? ? ? ? ? 4 分
2
2

(Ⅱ)由 AC ? AD ? AE 得 ?CDA ∽ ?ACE ,所以 ?ACD ? ?CEA
2

又四边形 GEDF 四点共圆,所以 ?CFG ? ?CED 故 ?CFG ? ?ACF ,所以 FG // AC ???????10 分

23.解: (1)M ? 0, m ? ,直线 l 的一般方程 3x ? y ? 1 ? 0 ,M 到直线 l 的距离为

?m ? 1 ?1, 2

解得 m ? ?1 或 3.???????4 分

1 ? x? t ? 2 ? (2) 直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,故 m ? ?1 ,将直线 l 的参数方程 ? 代入抛 ? y ? 1? 3 t ? ? 2
物 线

y ? x2 ? 1





t2 ? 2

t? ? 3

故8

0

t1 ? t2 ? 2 3 , S?MAN ? S?MBN =
24 解:

1 t1 ? t2 ? 3 ??????????10 分 2

5 ? 3 ? 2 x? 2 ? 1 ?1 (1) 函数 f ( x) ? ? x ? 2 ?2 5 ? 3 ?? 2 x ? 2 ?

x?3
1 1<x ? 3 ,方程 f ( x) ? 2 的根为 x1 ? , x2 ? 3 3

x ?1
1 或x ? 3} ??????????5 分 3

由函数 f ( x ) 的图像知 f ( x) ? 2 的解集为 {x | x ?

(2)设 g ( x ) ? a ( x ? ) , g ( x) 表示过点 ( ?

1 2

1 1 , 0) ,斜率为 a 的直线, f ( x ) ? a ( x ? ) 的解 2 2

集非空即 y ? f ( x) 的图像在 g ( x) 图像下方有图像,或与 g ( x) 图像有交点,由图像可知

3 4 a ? ? 或a ? ??????????10 分 2 7


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