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期末复习答案(理科)


高二上期末考试复习参考答案(理科) 高二上期末考试复习提纲
必修 5 一、解三角形 一、选择题 DBB 二、填空题(4) 30 ; (5) (1,2) ; (6)

14 . 5

三、解答题: (7)等腰三角形. (8)解:由余弦定理得:BC2=AB2+AC2 一 2AB· AC· cos∠ A 即 49=AB2+9+3AB,得

AB=-8(舍去)或 AB=5. 以 BC 为 x 轴,BC 垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系. 由椭圆定义知 2a=AB+AC=8,2c=BC=7.

15 x2 y 2 ? ?1. .故椭圆方程为 4 16 15 4 4 3 (9)解 (Ⅰ )因为 cos B ? ,所以 sin B ? . 5 5 5 a b 1 ? 因为 a ? , b ? 2 ,由正弦定理 可得 sin A ? . 3 sin A sin B 2 o 因为 a ? b ,所以 A 是锐角,所以 A ? 30 . 1 3 ac ,所以当 ac 最大时, ?ABC 的面积最大. (Ⅱ )因为 ?ABC 的面积 S ? ac sin B ? 2 10 8 2 2 因为 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,所以 4 ? a ? c ? ac . 5 8 2 2 因为 a ? c ? 2ac ,所以 2ac ? ac ? 4 , 5 所以 ac ? 10 , (当 a ? c ? 10 时等号成立) ,所以 ?ABC 面积的最大值为 3 .
知 a ? 16, b ? a ? c ?
2 2 2 2

二、数列 一、选择题 CDB 二、填空题(4) ?4 ; (5)3; (6)

13 ,1 . 16

1 (7)解(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ n(n-1)d, 2

7?6 ? d ,解得 d ? 1 . 2 ∴an ? ?2 ? (n ? 1) ?1,∴ 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? 3 .
∵ S7=7,∴7 ? 7 ? (?2) ?

n?5 Sn 1 1 (2) =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1) ? , n 2 2 2 Sn+1 Sn 1 1 ?S ? ∵ - = ,∴ 数列 ? n ? 是等差数列,其首项为-2,公差为 , n 2 2 n+1 ?n?

∴ Tn=n× (-2)+

nn- 1 1 2 9 2 × 2=4n -4n.

(8)解: (1)因为 a2

? a1q ? 4 , a1 ? a1q ? a1q 2 ? 14 ,解得 q ? 2 或 q ?
1

1 , 2

而 q ? 1 ,故 q (2) bn

? 2 , a1 ? 2 , a n ? 2 n ;

n ?1 n

? an ? log 2 an ? n ? 2n 1? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? ( n ? 1) ? 2 ? n ? 2
2 3 n

S n ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ??? ? (n ? 1) ? 2 n?1 ? n ? 2 n 2Sn ?
① -② 得: ? S n



? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? n ? 2
2 3 n
n ?1

n ?1

? 2(2 ? 1) ? n ? 2 n ?1

整理得 S n ? (n ? 1)2

? 2.

(9)解 (1)设等比数列{an}的公比为 q,则 a3=a1· q2=2q2,a4=a1· q3=2q3. ∵ a1,a3+1,a4 成等差数列,∴ a1+a4=2(a3+1),即 2+2q3=2(2q2+1), - 2 整理得 2q (q-2)=0,∵ q≠0,∴ q=2,∴ an=2× 2n 1=2n(n∈ N*). nn+ (2)∵ bn=log2an=log22n=n,∴ Sn=b1+b2+…+bn=1+2+…+n= . 2

Tn ?

1 1 ? ? S1 S2

?

1 2 2 ? ? ? S n 1? 2 2 ? 3

?

2 n(n ? 1)

1 1 1 ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3
一、选择题 DCD

1 1 2n ?( ? )] ? . n n ?1 n ?1
三、不等式

二、填空题(4) ?4 ? m ? 0 ; (5) ? , 1?

?1 ? ?2 ?

(6) 3? ; ?1,

9 .. 2
( 7?, , ? 所) 以 p :

三、解答题: 1 , 0 得 x ?( ? ? (7) 解 : 解 不 等 式 x 2 ? 4 x ? 2 ? , ? 3) x ? (??, ?3) (7, ??) . 由 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,可得 p,q 一真一假.

? x ? [?3, 7], ? x ? (2,7] . x ? (2,10]. ? ? x ? (??, ?3) (7, ??), 当 p 真 q 假时, ? ? x ? (??, ?3) (10, ??). x ? ( ?? , 2] (10, ?? ). ? 综上,? x ? (??, ?3) (2,7] (10, ??) .
当 p 假 q 真时, ? (8)解(1)略; (2)当 x=0,y=6 时 z 取最小值-6;当 x=8,y=-1 时 z 取最大值 17; (3)当 x=8,y=2 时, z ? x ? y 取得最大值为 68.
2 2

920 920 920 ? ? , 1600 3 ? 2 1600 83 3 ? (v ? ) v 1600 920 ? 11.1(千辆/小时) . 当且仅当 v ? ,即 v=40 时,上式等号成立,所以 ymax ? v 83 920v (2)由条件得 2 >10,整理得 v2—89v+1600<0,解得 25<v<64,所以,当 v=40 v ? 3v ? 1600
(9)解(1)依题意得, y ? 千米/小时时,车流量最大,最大车流量约为 11.1 千辆/小时.当汽车的平均速度大于 25 千米/小时且小于 64 千米/小'时时,则在该时段内车流量超过 10 千辆/小时. 选修 2-1 一、常用逻辑用语 一、选择题 CBC

2

二、填空题(4) ?x ? 0 , x 2 ? 0 ; (5)必要不充分; (6)① ⑤ . 三、解答题: (7)解:由题意 p: ? 2 ? x ? 3 ? 2 ∴ 1 ? x ? 5. ∴?p : x ? 1或x ? 5 ……. (5 分) q: m ? 1 ? x ? m ? 1 . ∴?q : x ? m ? 1或x ? m ? 1 . 又∵?p 是 ?q 充分而不必要条件∴?

∴2 ? m ? 4 . (8)解:∵ ¬P 与 P∧ Q 同时为假命题,∴ P 是真命题,Q 是假命题.由命题 P:方程 x2+(m-3) x+1=0 无实根是真命题,得△ =(m-3)2-4<0,解得 1<m<5; 命题 Q:方程 x ?
2

?m ? 1 ? 1 且等号不同时成立 ?m ? 1 ? 5

y2 ? 1 是焦点在 y 轴上的椭圆是假命题,得 m-1≤1,解得 m≤2.综上 m ?1

所述,m 的取值范围是{m|1<m≤2}. x2 y2 (9)解:若 p 真,即方程 ? ? 1表示双曲线, a?6 a?7 则 ? a ? 6?? a ? 7 ? ? 0 ,??6 ? a ? 7 . 若 q 真,即圆 x2 ? ? y ? 1? ? 9 与圆 ? x ? a ? ? ? y ? 1? ? 16 相交,
2

2

2

则 1 ? a2 ? 4 ? 7,??3 5 ? a ? 3 5 . 若“ ? p 且 q ”为真命题,则 p 假 q 真,

? ?a ? ?6或a ? 7 ,即 ?3 5 ? a ? ?6 , ?? ? ??3 5 ? a ? 3 5 ? 符合条件的实数 a 的取值范围是 ?3 5 ? a ? ?6 . 二、圆锥曲线 一、选择题 DDB
二、填空题(4)双曲线的左支、

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( x ? 4) ; ? ? 1; (5) 16 20 9 5

x2 y 2 3 y 2 4 x2 ? ? 1. ? ? 1或 (6) 25 25 8 6
三、解答题:

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1, 或 ? ? 1. 16 20 16 20 3 y 2 x2 ? 1 ;② y0 ? ? . (8)解 ① ? 2 45 9 2 (9)解: (1)由题意可设抛物线 C1 的方程为 y ? 2 px .
(7)解

2 2 6 ) 代入方程 y 2 ? 2 px ,得 p ? 2 .因此,抛物线 C1 的方程为 y 2 ? 4x . 3 3 于是焦点 F (1, 0) . (2)抛物线 C1 的准线方程为 y ? ?1 ,所以, F1 (?1,0) .
把M( ,

1 7 5 2 因此, a ? . ? ? 3 3 3 3 8 x2 y 2 2 2 2 ? ?1. 又因为 c ? 1 ,所以 b ? c ? a ? .于是,双曲线 C2 的方程 为 1 8 9 9 9
而双曲线 C2 的另一个焦点为 F (1, 0) ,于是 2a ? MF1 ? MF ?
3

因此,双曲线 C2 的离心率 e ? 3 . 三、空间向量及其运算 一、选择题 DDA 二、填空题(4)9; (5) ( , ? 三、解答题: (7)解: | AC? |2 ? ( AB ? AD ? AA?)2

1 3

2 2 15 , ); (6) . 3 3 16

?| AB |2 ? | AD |2 ? | AA? |2 ?2 AB ? AD ? 2 AB ? AA? ? 2 AD ? AA? ? 42 ? 32 ? 52 ? 2 ? 4 ? 3 ? cos90 ? 2 ? 4 ? 5 ? cos60 ? 2 ? 3 ? 5 ? cos60 ? 16 ? 9 ? 25 ? 0 ? 20 ? 15 ? 85 ,所以, | AC? |? 85 .
(8)解:⑴ AB ? (?2, ?1,3), AC ? (1, ?3, 2),? cos ?BAC ? ∴ ∠ BAC=60° ,? S ?| AB || AC | sin 60 ? 7 3 ⑵ 设 a =(x,y,z) ,则 a ? AB ? ?2x ? y ? 3z ? 0,

AB ? AC 1 ? | AB || AC | 2

a ? AC ? x ? 3y ? 2z ? 0,| a |? 3 ? x2 ? y2 ? z 2 ? 3 解得 x=y=z=1 或 x=y=z=-1,∴a =(1,1,1)或 a =(-1,-1,-1) 。 (9)解 60

高二理科期末复习综合试卷

4

5

6

20.

7

高二期末模拟试题(理)答案
1.B 2.C 5.D 6.A 7.C 3.B【解析】 试题分析: 用立体几何方法。 作 BC 中点 D,连 AD, B1 D,易得 AD 垂直于 BC,AD 垂直于平面 BC C1 B1 , B1 D 为 B1 A 在平面 BC C1 B1 上的射影,易证 B1 D 垂直 于 B C1 ,所以 B1 A 垂直于 B C1 ,A B1 与 C1 B 所成角为 90 度,故选 B。 4.B【解析】 试题分析:显然 MN ? ON ? OM ?

1 2 (OB ? OC ) ? OA ,故选 B. 2 3

图 8.C【解析】 2 试题分析:因为点 M(2,4)在抛物线 y =8x 上,所以应考虑两种情况, 一是过点 M 与抛物线相切的直线;二是过点 M 平行于轴的直线,共有两条,故选 C。 9.D【解析】

a2 25 试题分析: a =25, b =9,所以 c =16,c=4,准线方程为 x ? ? =± , 4 c 25 25 两准线之间距离是 ,所以 P 到右准线的距离是 -4.5=8,故选 D。 2 2
2 2 2

10.D【解析】 试题分析:因为椭圆

x2 y2 x2 y2 和 双 曲 线 ? ? 1 ? ?1 有公共焦点,而在椭圆中 3m2 5n2 2m2 3n2 c 2 ? 3m2 ? 5n 2 , 在 双 曲 线 中 c12 ? 2m2 ? 3n2 , 所 以 3m2 ? 5n2 ? 2m2 ? 3n2 , 所 以

m2 ? 8n 2 ,从而双曲线渐近线方程为 y ? ?
11. an=2n

3n2 3 x ,即 y ? ? x ,故选 D。 2 4 2m
2 2

12.3,2【解析】试题分析:利用数形结合思想。 x ? y 表示椭圆上的点到原点距离的平 方,最大值为 a =3,最小值为 b =2. 13.存在 x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3 【解析】 主要考查全称量词和全称命题的概念、 存在量词和特称命题的概念以及两种命题的 否定命题的写法与判断。 14.①③【解析】主要考查命题的四种形式及其相互关系。 解: “若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题是: “若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”是 真命题; “全等三角形的面积相等”的否命题是: “若三角形不全等,则三角形面积不相等” 是假命题,结合选项选 C。 15.[-1,5]【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。 解 由题意知,Q={x|1<x<3},Q? P, ∴?
2 2

?a ? 4 ? 1 ? ? ,解得-1≤a≤5. a ? 4 ? 3 ? ?

∴实数 a 的取值范围是[-1,5]. 16.若 p 则 q 形式:若一个整数的末位数是 0,则它可以被 5 整除。 逆命题:若一个整数可以被 5 整除,则它的末位数是 0。 否命题:若一个整数的末位数不是 0,则它不能被 5 整除。 逆否命题:若一个整数不能被 5 整除,则它的末位数不是 0。 17. 解: (1) cos C ? cos ?? ? ? A ? B ?? ? ? cos ? A ? B ? ? ?

1 2

? C=120°┄┄┄5 分

8

(2)由题设: ?

?a ? b ? 2 3 ? ? ? ab ? 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120?
? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3
2

? ?

2

? 2 ? 10

┄┄13 分

? AB ? 10
2 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分

18 . (1) (x-3) +(y-2) =16;(2) y=±2 2 (x-1). 【 解 析 】 (1) 由 直 线 过 点 (1,0), 斜 率 为 1, 所 以 直 线 l 的 方 程 为 y=x -1, 再 与 抛 物 线 联 立 借 助 韦 达 定 理 求 出 AB 的 中 点 坐 标 ,即 圆 心 坐 标 ,再 根 据 焦 点 弦 公 式 |AB|=x 1 +x 2 +p, 求 出 半 径 , 写 出 圆 心 方 程 . 2 (2) 直线 l 的方程为 y=k(x-1)与抛物线方程联立消去 x 后得 ky -4y-4k=0,从而可得

y1 ? y2 ?
2

4 , y1 y2 ? ?4, 再根据 FA =2 BF ,得 y1=-2y2,从而可解得 k 的值. k

(1)由题意可知,F(1,0).∵直线 l 的斜率为 1,∴直线 l 的方程为 y=x-1,

y ?4 x { 联立 y ? x ?1 ,消去 y 得 x -6x+1=0
2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

则 x1+x2=6,y1+y2=x1+x2-2=4,∴所求圆的圆心坐标为(3,2), 半径 r=
y2 ?4 x

x1 ? x2 2 2 +1=4,所以圆的方程为(x-3) +(y-2) =16 2
2

(2)由题意可知直线 l 的斜率必存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x-1). 由 { y ? k ( x ?1) 得 ky -4y-4k=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),
4 y1 ? y2 ? ① k 则 y1 y2 ??4,② 由 FA =2 BF ,得(x1-1,y1)=2(1-x2,-y2)

{

∴y1=-2y2③ 由①②③得 k =8,k=±2 2 ∴直线 l 的方程为 y=±2 2 (x-1). 19.解:以 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直 z
2

角坐标系 D ? xyz ,则 E (0,0, ) ,

1 2

D1 A1 E B1

C1

1 1 3 F ( , , 0), C (0,1, 0), B1 (1,1,1), C1 (0,1,1), G(0, , 0) , 2 2 4 1 1 1 EF ? ( , , ? ), B1C ? (?1, 0, ?1) 2 2 2 1 1 ? EF ? B1C ? ? ? 0 ? ? 0 2 2 则EF ? B1C,即EF ? B1C ;
(2)由(1)知 C1G ? (0, ?

H

D F A x

G B

C

y

1 1 17 , ?1) ? C1G ? 02 ? (? )2 ? 12 ? , 4 4 4


1 1 3 EF ? ( )2 ? ( )2 ? 12 ? 2 2 2 EF ? C1G 1 1 1 1 3 51 EF ? C1G ? ? 0 ? ? ? (? ) ? (?1) ? ? cos EF , C1G ? ? 2 2 4 2 8 EF ? C1G 17
故 EF 与 C1G 所成角的余弦值为

51 17
9

(0, , ), 又 F ( , (3)因为 H 为 C1G 的中点,? H

7 1 8 2

1 1 , 0) 2 2

1 7 1 1 41 41 ,即 FH ? ? FH ? (0 ? )2 ? ( ? )2 ? ( ? 0)2 ? 8 2 8 2 2 8 c 1 20 . (Ⅰ)椭圆的离心率 e ? ? . (Ⅱ)直线和椭圆相交. a 2
【 解 析 】 (I)求出左、右焦点分别为 F1、F2,上顶点为 A 的坐标,通过 | BF 1 |?| F 1F 2 |, 且 AB⊥AF2,推出 a,b,c 的关系,结合 a =b +c ,即可求椭圆 C 的离心率; (II)利用(I)求出过 A、B、F2 三点的圆的圆心与半径,利用圆与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相 切圆心到直线的距离等于半径,求出 a,b,即可求椭圆 C 的方程. (Ⅰ)由题意知 F1 (?c,0) , F2 (c,0) , A(0, b) .
2 2 2 因为 AB ? AF2 ,所以在 Rt?ABF 2 中, BF 2 ? AB ? AF 2 . ??2 分
2 2 2

又因为 F1 为 BF2 的中点,所以 (4c) 2 ? ( 9c 2 ? b 2 ) 2 ? a 2 ,
2 2 2 又 a ? b ? c ,所以 a ? 2c .故椭圆的离心率 e ?

??4 分 ??6 分

c 1 ? . a 2

1 a 3 a ,于是 F2 ( ,0) , B ( ? a,0) , 2 2 2 1 Rt?ABF2 的外接圆圆心为 F1 ( ? a ,0) ,半径 r ? a . ??8 分 2 1 ? a?3 2 ? a ,解得 a ? 2 ,所以 c ? 1 , b ? 3 . 所以 2 x2 y 2 ? ? 1 . ??11 分 所以椭圆的标准方程为: 4 3 ? x2 y2 ?1 ? ? 2 由? 4 得:13x ? 24x ? 0 ,可得 ? ? 0 ,所以直线和椭圆相交??13 分 3 ?x ? 3 y ? 3 ? 0 ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 c ?

高二理科期末复习综合试卷
参考答案:
题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 D 5 C 6 B 7 B 8 D 9 B 10 C

11.

7;

12.

1 4

?2, (n ? 1) an ? ? ? 2n ? 1, (n ? 1)
15. ? 39

14.最小值:4;最大值:8;

1 16、 ( , 0) 8

三.解答题:
17. 解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,因为 an ? a1 ? (n ? 1)d , ??????2 分

10

由 a10 ? 30, a20 ? 50 ,得方程组 ?

? a1 ? 9d ? 30 ????????????4 分 ?a1 ? 19d ? 50

解得 a1 ? 12, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 10 ?????????????????6 分

n(n ? 1) d , ????????????????????8 分 2 n(n ? 1) ? 2 ? 242 由 Sn ? 242 得方程 12n ? ?????????????10 分 2 解得 n ? 11 或 n ? ?22 (舍去) 所以 n ? 11 ?????????????????????????????12 分 18.解:(Ⅰ)不等式可化为 x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 因 ? ? 16 ? 20 ? 0, 方程 x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 有两个实数根,即 x1 ? 5, x2 ? ?1 ???4 分
(Ⅱ)因为 S n ? na1 ? 所以原不等式的解集是 {x x ? ?1或x ? 5}????????????????6 分

1 ? 0 ,不等式成立,∴ m ? 0 (Ⅱ)当 m ? 0时,
当 m ? 0 时,则有 ?

?????????????8 分

∴ m 的取值范围 m 0 ? m ? 4?

?

m?0 ?m ? 0 ? 即? 2 ? ? ? 0 ?? ? (?m) ? 4m ? 0

? 0 ? m ? 4 ????11 分

??????????????????12 分

19. 解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? . ???????????????2 分 BC CD ? 由正弦定理得 . ???6 分 sin ?BDC sin ?CBD CD sin ?BDC s ? sin ? ? 所以 BC ? ???9 分 sin ?CBD sin(? ? ? ) s ? tan? sin ? 在 Rt△ ABC 中, AB ? BC tan?ACB ? ?11 分 sin(? ? ? ) s ? tan? sin ? 答:塔高 AB 为 .?????????12 分 sin(? ? ? )
20.解:设椭圆的方程为
2 x2 y x2 y2 ? ? 1 ,双曲线得方程为 ? 2 ? 1 ,?3 分 2 a12 b12 a2 b2 c c 半焦距 c= 13 ??5 分 由已知得:a1-a2=4??7 分 : ? 3 : 7 ??9 分 a1 a 2

解得:a1=7,a2=3 11 分 2 2 所以:b1 =36,b2 =4,??.13 分

x2 y2 x2 y2 ? ?1 , ? ? 1 ?..15 分 所以两条曲线的方程分别为: 49 36 9 4 21.(Ⅰ)证明: an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ), ?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列. ?????????3 分
即 an ? 2n ?1(n ? N * ). ???????????????????????6 分 (Ⅱ) bn ?

? an ? 1 ? 2n.
n ? an ? 1? ? n2n ?1 . 2 S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?2 ? n ? 2n?1

11

2S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n
两式相减,得

S n ? n ? 2n ? 1? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1????14 分
22.如图,建立空间直角坐标系 O—xyz. (1)依题意得 B(0,1,0) 、N(1,0,1)…….2 分 ∴ | BN |=

(1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 3 …..4 分

(2)依题意得 A1(1,0,2) 、B(0,1,0) 、 C(0,0,0) 、B1(0,1,2)…..6 分

CB1 =3, ∴BA1 ={-1,-1,2}, CB1 ={0,1,2,}, BA1 ·
| BA1 |=



6 ,| CB1 |= 5 ……8 分

BA1 ? CB1 1 ? 30 ……10 分 | BA1 | ? | CB1 | 10 1 1 (3)证明:依题意,得 C1(0,0,2) 、M( , ,2) , 2 2 1 1 A1 B ={-1,1,2}, C1 M ={ , ,0}……..12 分 2 2 1 1 C1 M =- ? +0=0,∴A1 B ⊥C1 M ,∴A1B⊥C1M…..15 分 ∴ A1 B · 2 2
∴ cos< BA1 , CB1 >=

宝安区 2012-2013 学年上学期高二年级期末测试题
理 科 数 学
命题 张松柏 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、不等式 x ? x 的解集是( B ).
2

A . (0,1)

B. (??,0) ? (1,??) C ). B. ?

C. [1,??)

D. [0,1]

2. sin 15? ? cos 15? ? (

A.

1 2

1 4

C.

1 4

D. 4

3.下列四个命题中,正确的命题个数为( A ). ①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;②两条直线可以确定一个平面; ③若 M ∈ ? , M ∈ ? , ? ∩ ? = l ,则 M ∈ l ;④空间中,相交于同一点的三条直线在同一 平面内. A .1

B. 2

C. 3

D. 4

? e x?2 , x ? 0 4.已知函数 f ( x) ? ? ,则使得 f ( x) ? 1 成立的所有 x 的值为( D ). ?| x ? 1 |, x ? 0
A. ? 2 B. 0,2 C. 0,?2 D. 0,?2

12

5、在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? c ? ac ? b ,则角 B 的大
2 2 2

小为( D ) .

A.

2? 3

B.

? 4

C.

? 6

D.

? 3

6、等差数列 an 中,记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a . 9 ? 等于( C ) A.14 B.12 C.24 D.16

? ?

a b 7.若实数 a , b 满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是( A ).

A .6

B. 2

C. 3

D. 4

8.不同的直线 m 和 n ,不同的平面 ? , ? , ? ,下列条件中哪个是 ? // ? 的充分不必要条件 ( C ) A. ? ? ? ? n , ? ? ? ? m , n // m C. n // m , n ? ? , m ? ? B. ? ? ? , ? ? ?

D. n // ? , m // ? , n // m

9.圆 C 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 关于直线 y =x +2 对称,则圆 C 的方程是( A ).

A . ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1
C. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2

B. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 D. ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1 ).

2 2 10.若实数 x, y 满足 x ? y ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值是 ( A

A.

2 3 3

B. ?

2 3 3

C.

3 3

D. ?

3 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 11.已知一组命题: p : 3 ? 4, q : 3 ? 4 ,利用逻辑连接词“或”构造的新命题是真命题还 是假命题 真 (填“真”或者“假” ) 12 、 已 知 数 列 { an } 中 a1 ? 1 且 an ?1 ?

an ( n? N ) ,, 则 数 列 的 通 项 公 式 为 an ? 1

an ?

1 n

.
2

13 若 关 于 x 的 不 等 式 mx ? mx ? m ? 1 ? 0 的 解 集 为 ? , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 m?0 . 14、 投资生产 A 产品时,每生产 100t 需要资金 200 万元,需场地 200 m ,可以获利润 300 万元;投资生产 B 产品时,每生产 100m 需要资金 300 万元,需场地 100 m ,可以获利润 200 万元。现单位可以使用资金 1400 万元,场地 900 m ,请你用你所掌握的数学知识进行
2 2 2

13

投资组合,使得单位获得最大利润,可能获得的最大利润为

1475

万元.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。

x2 y2 ? ? 1. 9 ? k k ?1 6 (1)求 k 的取值范围; (2)若椭圆 C 的离心率 e ? ,求 k 的值. 7
15. (本题 12 分)已知椭圆 C 的方程为 解(1)1<k<5 或 5<k<9; ( 6 分) (2)当焦点在 x 轴上时,k=2 当焦点在 y 轴上时,k=8 (12 分)

16. (本题 12 分)如图, BC ? 2 ,原点 O 是 BC 的中点,点 A 的坐标为 ( 点 D 在平面 yOz 上,且 ?BDC ? 90? , ?DCB ? 30? . (1)求向量 OD 的坐标 (2)求向量 AD和BC 的夹角的大小. 解(1)由 ?BDC ? 90? , ?DCB ? 30? ,在平面 yOz 上,过点 D 作 y 轴的垂线,垂足为 E,得 DO ? OB ? OC ? 1 ,
D

3 1 , ,0) , z 2 2

y B O A C

? ? 1 3? 1 3? ? (6 分) x ? ,即 OD 的坐标为 ? 0,? , 0 , ? , 易得 D? ? ? ? ? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 1 3? ? , A( 3 , 1 ,0) , B?0,?1,0?, C?0,1,0? 0 , ? , 2)? D? ? 2 2 ? 2 2 ? ? ? 3 3? AD ? BC ?, ? AD ? ? ? , ? 1 , BC ? ?0, 2, 0? , ? cos? ? ? ? 2 ? 2 ? AD ? BC ?

?2 3 3 ?1? 4 4

??

10 5

(12 分)

17. (本题 14 分)在锐角 ?ABC 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 所对的边,且满足

3a ? 2b sin A ? 0 .
(1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 5 ,且 a ? c , b ? 解: (1)因为 3a ? 2b sin A ? 0 , 所以 3 sin A ? 2sin B sin A ? 0 , 因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 又 B 为锐角, 则 B ? ( 3 分)

7 ,求 AB ? AC 的值.

?
3

3 . (4 分) 2
(7 分)

.

(2)由(1)可知, B ?

?
3

.因为 b ?

7,

2 2 根据余弦定理,得 7 ? a ? c ? 2ac cos

?
3

, (9 分)整理,得 (a ? c) ? 3ac ? 7 .
2

由已知 a ? c ? 5 ,则 ac ? 6 . 又 a ? c ,可得 a ? 3 , c ? 2 .

(12 分)

14

于是 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 7 ? 4 ? 9 7 , ? ? 2bc 14 4 7
7 ?1. 14

y B A D C P O x

所以 AB AC ? AB AC cos A ? cb cos A ? 2 ? 7 ? 18 . (
2 2

(14)分





14











x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0)和圆C2:x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 2 a b 2 都过点 P(-1,0) ,且椭圆 C1 离心率为 ,过点 P 作斜 2 率为 k1 , k 2 的直线分别交椭圆 C1、圆 C2 于点 A、B、C、D (如图) , k1 ? 2k2 . C1 :
(1)求椭圆 C1 和圆 C2 的方程; (2)求证:直线 BC 恒过定点. 解(1) C2 : x2 ? y 2 ? 1

C1 : x2 ? 2 y2 ? 1;
(2) ?

(4 分)

? x2 ? 2 y 2 ? 1 2k1 2 ? (1 ? 2k12 ) x 2 ? 4k1 x ? 2k12 ? 1 ? 0, A(?1 ? , ) 2 1 ? 2k1 1 ? 2k12 ? y ? k1 ( x ? 1)
(6 分)
2

?x ? y ? 1 2k1 2 ? (1 ? k12 ) x 2 ? 2k1 x ? k12 ? 1 ? 0, B (?1 ? , ) ? 2 1 ? k1 1 ? k12 ? y ? k1 ( x ? 1)
2

(8 分)

2k 2 2k 2 2 2 (10 分) , ), D(?1 ? , ), 2 2 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? k2 1 ? k2 1 1 ,直线 BC 的方程为 y ? ? kBC ? ? ( x ? 1) ,恒过定点(1,0) (14 分) 2k 2 2k 2 19. (本题 14 分)设数列 {an } 是首项为 0 的递增数列, (n ? N*) ,
同理可得: C (?1 ?

1 f n ( x) ? sin ( x ? an ) , x ?[an , an?1 ] 满足:对于任意的 b ?[0,1), f n ( x) ? b 总有两个不 n 同的根. (Ⅰ)试写出 y ? f1 ( x) ,并求出 a2 ; (Ⅱ)求 an?1 ? an ,并求出 {an } 的通项公式;
(Ⅲ)设 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? (?1) n?1 an ,求 Sn . 19.解(Ⅰ)∵ a1 ? 0 ,当 n ? 1 时, f1 ( x) ?| sin(x ? a1 ) |?| sin x | , x ? [0, a2 ] , 又∵对任意的 b ? [0,1) , f1 ( x) ? b 总有两个不同的根,∴ a 2 ? ? ∴ f1 ( x) ? sin x, x ? [0, ? ] , a 2 ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ), f 2 ( x) ?| sin (4 分)

1 1 x ( x ? a 2 ) |?| sin ( x ? ? ) |?| cos |, x ? [? , a3 ] 2 2 2 ∵对任意的 b ? [0,1) , f1 ( x) ? b 总有两个不同的根, ∴ a3 ? 3? 1 1 1 f 3 ( x) ?| sin ( x ? a3 ) |?| sin ( x ? 3? ) |?| sin ? |, x ? [3? , a 4 ] 3 3 3 ∵对任意的 b ? [0,1) , f1 ( x) ? b 总有两个不同的根, ∴ a4 ? 6?
15

由此可得 an?1 ? an ? n? ,

an ?

n(n ? 1)? 2

(9 分)

(14 分) 20. (本题 14 分) 已知圆 O 的半径为 1, PA、 PB 为该圆的两条切线, A、 B 为两切点, 求 PA ? PB 的最小值. 20.解法 1 如图所示:设 PA=PB= x ( x ? 0) ,∠APO= ? ,则 A 1 2 ∠APB= 2? ,PO= 1 ? x , sin ? ? , (4 分) = PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2? = 2 2 4 2 4 2 x ( x ? 1) x ? x x ?x = 2 ,令 PA ? PB ? y ,则 y ? 2 , 2 x ?1 x ?1 x ?1 2 (8 分)即 x4 ? (1 ? y) x2 ? y ? 0 ,由 x 是实数,所以 故 ( PA ? PB)min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ?

1 ? x2 x2 (1 ? 2sin 2 ? )

O

P

B

? ? [?(1 ? y)]2 ? 4 ?1? (? y) ? 0 , y 2 ? 6 y ? 1 ? 0 ,解得 y ? ?3 ? 2 2 或 y ? ?3 ? 2 2 .

2 ? 1 .(14 分)
2

?? ? PA ? PB ? ? PA?? PB ? cos ? ? ?1/ tan ? cos ? 解法 2:设 ?APB ? ? ,0 ? ? ? ? , 2? ?

? ?? ?? ? 1 ? sin 2 ??1 ? 2sin 2 ? ? 2 ?? 2? 2? 2 ? ?1 ? 2sin 2 ? ? ? ? 换 元 : x?s i n ? ? ? ? ? ? 2 2? sin 2 sin 2 2 2
cos 2

?

? , x0?

, 1

PA ? PB ?

?1 ? x ??1 ? 2 x ? ? 2 x ? 1 ? 3 ? 2
x x
2 2

2 ?3

解法 3:建系:园的方程为 x ? y ? 1设 A( x1 , y1 ), B( x1 , ? y1 ), P( x0 ,0) ,
2 PA ? PB ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? ? x1 ? x0 , ? y1 ? ? x12 ? 2x1x0 ? x0 ? y12

2 2 2 PA ? PB ? x12 ? 2 x1 x0 ? x0 ? y12 ? x12 ? 2 ? x0 ? ?1 ? x12 ? ? 2 x12 ? x0 ?3? 2 2 ?3

AO ? PA ? ? x1, y1 ? ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? 0 ? x12 ? x1x0 ? y12 ? 0 ? x1x0 ? 1

16


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