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江苏省泰兴市第三高级中学2013届高三下学期期初调研考试数学试题


泰兴市第三高级中学 2013 届高三第二学期期初调研考试 数学试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.答案写在答卷纸上. ) 1. 若全集 U ? R , 集合 A ? x x ? 1 ? 0 ,B ? x x ? 3 ? 0 , 则集合 (CU A) ? B =

?

?

?



?



. ▲

2. 已知复数 z ? (a 2 ? 4) ? 3i , a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ z 为纯 虚数”的 _____ 条件. (填写 “充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个)

3.如图 1,是青年歌手大奖赛上 9 位评委给某位选手打分的茎叶图,去掉一个最高分和一个 最低分后,所剩数据的平均数为___ ▲ ____.

图1
? ?

4.已知 a ? (1,2) , b ? (?2, log2 m) ,若 a? b ? a b ,则正数 m 的值等于 5.如图 2 所示的算法流程图中,若 f ( x) ? 2 x , g ( x) ? x 2 , 则 h(3) 的值等于
开始 输入x 是 f(x)>g(x) 否

? ?

? ?









h(x)=f(x)

h(x)=g(x)

输出h(x) 结束

图2
2 6.已知正六棱锥 P ? ABCDEF 的底面边长为 1 cm ,侧面积为 3 cm ,则该棱锥

的体积为



cm3 .
?

7. 投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m , n ,设 a ? (m, n) ,则满足 a ? 5

?

1

的概率为





8.已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0) 的图像关于直线 x ? 数 f (x) 的一个零点,则 ? 的最小值为 ▲ .

?
3

对称,且

? 为函 12

9.设圆 C : x2 ? y 2 ? 4 的一条切线与 x 轴、 y 轴分别交于点 A, B ,则 AB 的最小值为 ▲ .
2

10.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos 的前 10 项的和 为 ▲ .

n? n? ) ? an ? sin 2 ,则该数列 2 2

11、已知 F 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF 与圆 a 2 b2

x2 ? y 2 ?

1 2 b 4
? ?

相切于点 Q ,且 PQ ? QF ,则椭圆 C 的离心率为 12、如图 3 都是由边长为 1 的正方体叠成的图形





图3 例如第(1)个图形的表面积为 6 个平方单位,第(2)个图形的表面积为 18 个平方单位, 第(3)个图形 的表面积是 36 个平方单位. 依此规律, 则第 n 个图形的表面积是_____▲_____个平方单位. 13.如图,一块曲线部分是抛物线形的钢板,其底边长为 2 ,高为 1 ,将此钢板切割成等腰 梯形的形状,记 CD ? 2 x ,梯形面积为 S .则 S 的最大值是 ▲ .

14.设 x, y 是正实数,且 x ? y ? 1 ,则

x2 y2 的最小值是 ? x ? 2 y ?1



二、解答题(本大题共6小题,满分90分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

2

15、(本题满分 14 分)已知 △ ABC 的面积为 1 ,且满足 0 ? AB ? AC ? 2 ,设 AB 和 AC 的 夹角为 ? . (I)求 ? 的取值范围; (II)求函数 f (? ) ? 2sin 2 ?

?

?

?

?

? ?π ? ? ? ? ? cos(2? ? ) 的最大值及取得最大值时的 ? 值. 6 ?4 ?

16、(本题满分 14 分)如图,已知直四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 ,底面 ABCD 为菱形,

?DAB ? 120 ? , E

为线段 CC1 的中点, F 为线段 BD1 的中点. (Ⅰ)求证: EF ∥平面 ABCD ; (Ⅱ)当

D1 D 的比值为多少时, DF ? 平面 D1EB ,并说明理由. AD
C1

D1

A1

B1
E

F

D A

C
B

17、(本题满分 15 分)一化工厂因排污趋向严重,2011 年 1 月决定着手整治。经调研,该厂 第一个月的污 染度为 60 ,整治后前四个月的污染度如下表; 月数 污染度 1 60 2 31 3 13 4 0 ?? ??

3

污染度为 0 后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治 后第一个月开

20 ( x ? 4) 2 ( x ? 1) , 3 h( x) ? 30 log2 x ? 2 ( x ? 1) ,其中 x 表示月数, f ( x)、g ( x)、h( x) 分别表示污染度. (参考数据: lg 2 ? 0.3010 lg 3 ? 0.4771) ,
始工厂的污染模式: f ( x) ? 20 x ? 4 ( x ? 1) , g ( x) ? (Ⅰ)问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由; (Ⅱ)如果环保部门要求该厂每月的排污度均不能超过 60,若以比较合理的模拟函数预测, 该厂最晚在何 时开始进行再次整治?

18.(本题满分 15 分)已知双曲线 E : 圆 C 的圆心,

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,左准线 l 与 x 轴的交点是 24 12

圆 C 恰好经过坐标原点 O ,设 G 是圆 C 上任意一点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 FG 与直线 l 交于点 T ,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截 得的弦长; GF 1 ? ?若存在,求出 (Ⅲ)在平面上是否存在定点 P ,使得对圆 C 上任意的点 G 有 GP 2 点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

19.(本题满分 16 分)已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?
4

ln x ,其中 e 是自然常数, x

a ? R.

(Ⅰ)当 a ? 1 时, 研究 f ( x ) 的单调性与极值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证: f ( x ) ? g ( x ) ?

1 ; 2

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3 ,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明 理由.

20. (本题满分 16 分)设数列 ?an ? 的各项都为正数, 其前 n 项和为 S n , 已知对任意 n ? N * ,

2 Sn 是 a n ? 2
和 an 的等比中项. (Ⅰ)证明:数列 ?an ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)证明:

1 1 1 1 ? ? ??? ?1; 2 S1 S2 Sn
2 an 恒成立, 试问: 这样的正整数 m 2

} (Ⅲ)设集合 M ? {m m ? 2k , k ? Z ,且 1000? k ? 1500 ,若存在 m ∈ M ,使对满
足 n ? m 的一切正整数 n , 不等式 2S n ? 4200 ? 共有多少个?

5

泰兴市第三高级中学 2013 届高三第二学期期初调研考试 数学试题参考答案及评分标准
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 请直接将答案填在题中的横线上) 1、 ?? 1,3? 2、 充分不必要 3、 87 4、

1 16

5、

9

6、

3 4
2

7、

13 36
32 27
14、

8、

2

9、 4

10、

77

11、

5 3

12、 3n ? 3n

13、

1 4

二、解答题(本大题共6小题,满分90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.解: (Ⅰ)设 △ ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 则由

1 bc sin ? ? 1 , 0 ? bc cos ? ? 2 , …………………………………2 分 2
…………………………………4 分 …………………………………6 分

可得 tan ? ? 1 ,

?π π ? ?? ? (0, ? ) ∴? ? ? , ? . ?4 2 ?
(Ⅱ) f (? ) ? ? ?1 ? cos ?

? ?

3 1 ?π ?? ? 2? ?? ? ( cos 2? ? sin 2? ) ……………8 分 2 2 ?2 ??

? 1 ? sin 2? ?

? 3 1 cos 2? ? sin 2? ? 3 sin(2? ? ) ? 1 .…………10 分 6 2 2

π π ? π 5π ? ?π π ? ∵? ? ? , ? , 2? ? ? ? , ? ,∴ 当 ? ? 时, ………………12 分 3 6 ?3 6 ? ?4 2 ?
有 f (? )max ? 3 ? 1. . ………………………………14 分

16. (Ⅰ)证明:连接 A, C1 ,由题意可知点 F 为 AC1 的中点.? 因为点 E 为 CC1 的中点.

? 在 ?ACC1 中, EF ? AC .……………………………………………………………2分
又? EF ? 面 ABCD , AC ? 面ABCD ,? EF ?面ABCD .……………………6分

6

(Ⅱ)当

D1 D ? 3 时, DF ? 平面D1EB . ………………………………………7分 AD

? 四边形 ABCD 为菱形,且 ?DAB ? 120? ,? BD ? 3 AD .
? 四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 为直四棱柱,? 四边形 DBB1D1 为矩形.
又 DD1 ? 3AD ,? BD ? DD1 ,

? 四边形 DBB1D1 为正方形,? DF ? D1B

……………………10 分

在直四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, DD1 ? 底面ABCD , AC ? 面ABCD ,? AC ? DD1 1

? 四边形 ABCD 为菱形, AC ? BD .
BD DD1 ? 面DBB1 D1, , ? 面DBB1 D1, ? DD1 ? D ,? AC ? 面DBB1D1 . BD DF ? 面DBB1D1 ,? AC ? DF ,又 EF ? AC ,? EF ? DF .…………………13 分 ? EF ? 面D1EB, D1B ? 面D1EB, EF ? D1B ? F ,? DF ? 平面D1EB .…………14 分
17. (Ⅰ) ? f (2) ? 40, g (2) ? 26.7, h(2) ? 30 …………3 分 …………6 分 …………7 分 ………12 分

f (3) ? 20, g (3) ? 6.7, h(3) ? 12.5
由此可得 h( x) 更接近实际值,所以用 h( x) 模拟比较合理. (Ⅱ)因 h( x) ? 30 log 2 x ? 2 在 x ? 4 上是增函数,又因为 h(16) ? 60

这说明第一次整治后有 16 个月的污染度不超过 60, 故应在 2012 年 5 月起开始再次整治.……………………………………………………14 分 18.解: (Ⅰ)由双曲线 E:

x2 y 2 ? ? 1 ,得 l : x ? ?4 , C (?4, 0) , F (?6, 0) .……2 分 24 12
……………………4 分

又圆 C 过原点,所以圆 C 的方程为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 16 .
2 2

(Ⅱ)由题意,设 G(?5, yG ) ,代入 ( x ? 4) ? y ? 16 ,得 yG ? ? 15 ,…………5 分 所以 FG 的斜率为 k ? ? 15 , FG 的方程为 y ? ? 15( x ? 6) .………………6 分 所以 C (?4, 0) 到 FG 的距离为 d ?

15 , 2
2

……………………………………7 分 ……………………………9 分

直线 FG 被圆 C 截得的弦长为 2 16 ? ( 15 ) ? 7 2 (Ⅲ)设 P(s,t),G(x0,y0),则由

2 | GF | 1 ( x0 ? 6) 2 ? y0 1 ? ,得 2 2 2 | GP | 2 ( x0 ? s ) ? ( y0 ? t )

整理得 3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144-s2-t2=0.
7



………………11 分

又 G(x0,y0)在圆 C:(x+4)2+y2=16 上,所以 x02+y02+8x0=0 ② ②代入①,得(2s+24)x0+2ty0+144-s2-t2=0. ……………………………………13 分 又由 G(x0,y0)为圆 C 上任意一点可知, ?2t ? 0
?2 s ? 24 ? 0 ? ?144 ? s 2 ? t 2 ? 0 ?

…………………………14 分

解得:s= -12, t=0. …………………………………………………………………15 分 所以在平面上存在一定点 P,其坐标为(-12,0) ……………………………16 分 . 19.解: (Ⅰ)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x

……1 分

∴当 0 ? x ? 1 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减 当 1 ? x ? e 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增 …………3 分 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 ……4 分 (Ⅱ)? f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值为 1, ∴ f ( x) ? 0 , f ( x)min ? 1……5 分

1 ? ln x 1 ln x 1 ? ? , h / ( x) ? , …………6 分 x2 2 x 2 当 0 ? x ? e 时, h ?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增 ………7 分 1 1 1 1 ∴ h( x) max ? h(e) ? ? ? ? ? 1 ?| f ( x) | min ………9 分 e 2 2 2 1 ∴在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ? ……………………………10 分 2 (Ⅲ)假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3, 1 ax ? 1 f / ( x) ? a ? ? x x / ① 当 a ? 0 时, x ? ?0, e?,所以 f ( x) ? 0 , 所以 f (x) 在 (0, e] 上单调递减, 4 f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? (舍去) , e 所以,此时 f (x) 无最小值. ……12 分 1 1 1 ②当 0 ? ? e 时, f (x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a 1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. ……14 分 a 1 / ③ 当 ? e 时, x ? ?0, e?,所以 f ( x) ? 0 , a
令 h( x ) ? g ( x ) ? 所以 f (x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? 所以,此时 f (x) 无最小值.

4 (舍去) , e ……15 分

2 综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3 .……16 分

2 20.解: (Ⅰ)由已知, 4S n ? an ? 2an ,且 an ? 0 . …………………………………1 分
2 当 n ? 1 时, 4a1 ? a1 ? 2a1 ,解得 a1 ? 2 .

…………………………………2 分

8

2 当 n ? 2 时,有 4S n?1 ? an?1 ? 2an?1 . 2 2 2 2 于是 4S n ? 4S n?1 ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 . 2 2 于是 an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 2(an ? an?1 ) .

因为 an ? an?1 ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 2(n ? 2) . 故数列 ?an ? 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,且 an ? 2n .……………………4 分 (Ⅱ)因为 an ? 2n ,则

1 1 1 1 , ? ? ? S n n(n ? 1) n n ? 1

…………………………5 分

1 1 1 1 1 1 所以 1 ? 1 ? ? ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ?1? ? 1 .……7 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 S1 S 2 Sn
因为 1 ?

1 1 随着 n 的增大而增大,所以当 n ? 1 时取最小值 . 2 n ?1
………………10 分

故原不等式成立. (Ⅲ)由 2S n ? 4200 ?
2 n

a ,得 2n(n ? 1) ? 4200? 2n 2 ,所以 n ? 2100 . … 12 分 2

由题设, M ? { 2000, 2002 ,…, 2008 , 2010 , 2012 ,…, 2998 } . 因为 m ∈M,所以 m ? 2100 , 2102 ,…, 2998 均满足条件.………………14 分 且这些数组成首项为 2100 ,公差为 2 的等差数列. 设这个等差数列共有 k 项,则 2100? 2(k ? 1) ? 2998,解得 k ? 450 . 故集合 M 中满足条件的正整数 m 共有 450 个. …………………16 分

9


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