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2012年天体运动计算题


2012 年天体运动计算题
19. 【2012?河北期末】 “嫦娥一号”正在探测月球,若把月球和地球都视为质量均匀的 (1) 球体,已知月球和地球的半径之比 r1/r2=1/3.6,月球表面和地球表面的重力加速度之 比 g1/g2=1/6,根据以上数据及生活常识,试估算:分别绕月球和地球运行的的同步卫星 的轨道半径之比 R1:R2(结果可以保留根号) (2)若取月球半径

r1=1.7×10 km, ,月球表面处重力加速度 g1=1.6m/s ,设想今后开发 月球的需要而设法使月球表面覆盖一层一定厚度的大气层, 使月球表面附近的大气压也等于 p0=1.0×10 Pa,且大气层厚度比月球半径小得多,试估算应给月球表面添加的大气层的总 质量 M。 (保留两位有效数字)
5 3 2

20. 【2012?安徽模拟】 “嫦娥一号”探月卫星与稍早日本的“月亮女神号”探月卫星不同, “嫦娥一号”卫星是在绕月极地轨道上运动的,加上月球的自转,因而“嫦娥一号”卫星能 探测到整个月球的表面。12 月 11 日“嫦娥 一号”卫星 CCD 相机已对月球背面进行成像 探测,并获取了月球背面部分区域的影像 图。卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距 月球表面高为 H,绕行的周期为 TM;月球绕地公转的周期为 TE,半径为 R0 ,球半径为 RE , 月球半径为 RM 。

(1)若忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响,试求月球与地球质量之比; (2)当绕月极地轨道的平面与月球绕地公转的轨道平面垂直,也与地心到月心的连线 垂直(如图) 。此时探月卫星向地球发送所拍摄的照片,此照片由探月卫星传送到地球最少 需要多长时间?(已知光速为 c。 )

21.【2012?湖北百校联考】宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统,四星系统离 其他恒星较远,通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在 两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上,均围绕
-1-

正方形对角线的交点做匀速圆周运动,其运动周期为

;另一种形式是有三颗星位于边长

为 a 的等边三角形的三个项点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,其运动周期为 ,而第四颗星刚好位于三角形的中心不动.试求两种形式下,星体运动的周期之比

T1 . T2

22.【2012?甘肃模拟】地球上空有人造地球同步通讯卫星,它们向地球发射微波。但无论 同步卫星数目增到多少个,地球表面上两极附近总有一部分面积不能直接收到它们发射来 的微波,设想再发射一颗极地卫星,将这些面积覆盖起来,问这颗极地卫星绕地球运动的 周期至少有多大?已知地球半径为 R0,地球表面的重力加速度为 g,地球自转周期为 T。

23. 【2012?辽宁模拟】作为我国对月球实施无人探测的第二阶段任务, “嫦娥二号”卫星预 计在 2011 年前发射, 登月器也将指日登陆月球。 质量为 m 的登月器与航天飞机连接在一 起,随航天飞机绕月球做半径为 3R( R 为月球半径)的圆周运动。当它们运行到轨道的 A 点时,登月器被弹离,航天飞机速度变大,登月器速度变小且仍沿原方向运动,随后 登月器沿椭圆登上月球表面的 B 点,在月球表面逗留一段时间后,经快速起动仍沿原椭 圆轨道回到分离点 A 并立即与航天飞机实现对接。 已知月球表面的重力加速度为 g′。开 ( 普勒第三定律内容:所有的行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都 相等)试求: (1)登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是多少? (2) 若登月器被弹射后, 航天飞机的椭圆轨道长轴为 8R, 则为保证登月器能顺利返回 A 点, 登月器可以在月球表面逗留的时间是多少?

-2-

参考答案
19.【答案】 (2) (1)

M ? 2.3?1018 kg

【解析】 (1)设月球质量为 M1,地球质量为 M2,则质量为 m 的物体分别在月球和地球表面时的重力与 万有引力相等,有:

G

M 1m ? mg1 r12

G

M 2m ? mg 2 r2 2

4 M 1 ? ?1 ? r13 3 又由于

4 M 2 ? ? 2 ? r23 3

月球自转周天 T1=30 天,地球自转周期 T2=1 天,由万有引力提供向心力,有:

? 2? M m G 12 ? m? ?T R1 ? 1

? ? R1 ? ?

2

? 2? ? M m G 22 ? m? ? T ? R2 ? R2 ? 2 ?

2

R1 3 ? 12 R2 解得:

(2)月球表面大气压强产生的向上的压力与大气层的重力使大气层平衡,则:

Mg1 ? p0 4? r12
p0 4? r12 1.0 ?105 ? 4 ? 3.14 ? (1.7 ?106 )2 M? ? kg ? 2.3 ?1018 kg g1 1.6 解得:
20.【答案】 (1)

M月 M地

?T ?? E ?T ? M

? ? RM ? H ? ?? ? ? R 0 ? ?
2

2

? ? ? ?

3

L ? RE t? 0 ? C (2)

2 R0 ? ?RM ? H ? ? RE

C
? 2? ? ? man ? m ? ? r ? T ?
2

【解析】 (1)由牛顿第二定律得 F 向

万有引力定律公式为: F引

?G

Mm r2

月球绕地公转时由万有引力提供向心力,故 G

M 月M 地
2 R0

? 2? ? M 月? ?T ? E
2

? ? R0 ? ?

2

同理,探月卫星绕月运动时有: G

?RM

M 月M 卫

? H?

2

? 2? ? M卫? ?T ? M

? ? ?RM ? H ? ? ?

解得:

M月 M地

?T ?? E ?T ? M

? ? RM ? H ? ?? ? ? R 0 ? ?

2

? ? ? ?

3

-3-

(2)设探月极地轨道上卫星到地心的距离为 L0,则卫星到地面的最短距离为 L0 由几何知识得: L0
2 2 ? R0 ? ?RM ? H ? 2

? RE

L0 ? RE 故将照片发回地面的时间 t ? ? C
21.【答案】

2 R0 ? ?RM ? H ? ? RE 2

C

T1 (4- 2)(3- 3) = T2 4
a O


【解析】对三绕一模式,三颗绕行星轨道半径均为 a ,所受 合力等于向心力,因此有

a r

O

2?G

m2 m2 4? 2 cos30?+G 2 =m 2 a a T1 ( 3a)2


2(3 - 3)? a3 解得 T = Gm
2 1

对正方形模式,四星的轨道半径均为

2 a ,同理有 2
③ 图4

m2 m2 4? 2 2 2 ? G 2 cos 45?+G =m 2 a a T2 2 ( 2a)2
4(4 - 2)? 2 a3 解得 T = 7Gm
2 2





T1 (4- 2)(3- 3) = T2 4

22.【答案】 T ?

?

? ? ? ? r ?3 T ?? 3 r ? ? ? ?

R0 ? gR0 2T 2 ? ? 4? 2 ? ?3 ? ? R0 2 ? ?
2

?2 ? ? ? ? T ? ? ? ?

3

【解析】以 m、M 分别表示同步卫星和地球的质量,r 表示同步卫星到地心的距离,T 表示地球的自 转周期,则有

G

mM 2? ? mr ( ) 2 2 T r

-4-

G

mM ? mg 2 R0

r sin ? ? R0
对于极地卫星,轨道半径为 r ? ,周期为 T ?

r ? cos? ? R0
有G

mM 2? ? mr ?( ) 2 2 T? r?



T? ?

? ? ? 3 ? r? T ?? r3 ? ? ? ?
? 6?

R0 ? gR0 T ? ? 4? 2 ?
2 2

? ? ? R0 2 ? ?

2 3

? ? ? ? ? T ? ? ? ?
R g月
(其中,n=1、2、3、??)

3 2

23.【答案】 (1) T

3R g月

; (2) t

? 4? (4n ? 2 )

【解析】 (1)设登月器和航天飞机在半径 3R 的轨道上运行时的周期为 T,因其绕月球作圆周运动,所 以应用牛顿第二定律有

Mm 2? 2 G ? m( ) ? 3R ????????① 2 (R 3) T
在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力,即

G

Mm 0 ? m 0 g月 ????????????② R2

联立①②解得 T

? 6?

3R g月

???????③

(2)设登月器在小椭圆轨道运行的周期是 T1,航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是 T2。 对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有

T2 T2 ? 1 3 (3R) 3 (2R)

???????????④

T2 T2 ? 2 3 (3R) 3 (4R)

??????????⑤

为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接,登月器可以在月球表面逗留的时间 t 应满足 t=nT2—T1 (其中,n=1、2、3、??)?⑥

联立③④⑤⑥得

t ? 4? (4n ? 2 )

R g月

(其中,n=1、2、3、??

-5-


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