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2014届高三数学辅导精讲精练92


2014 届高三数学辅导精讲精练 92
?x= t, 1.与参数方程为? (t 为参数)等价的普通方程 ?y=2 1-t y2 A.x + 4 =1
2

(

)

y2 B.x + 4 =1(0≤x≤1)
2

y2 C.x + 4 =1(0≤y≤2)
2<

br />
y2 D.x + 4 =1(0≤x≤1,0≤y≤2)
2

答案 解析

D
2 y2 2 2 y x =t, 4 =1-t=1-x ,x + 4 =1,而 t≥0,0≤1-t≤1,得 0≤y≤2. 2

?x=1+cos2θ, 2.若曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数),则曲线 C 上的点的 2 ?y=sin θ 轨迹是 A.直线 x+2y-2=0 B.以(2,0)为端点的射线 C.圆(x-1)2+y2=1 D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段 答案 解析 D 将曲线的参数方程化为普通方程得 x+2y-2=0(0≤x≤2,0≤y≤1). ( )

?x=-2+t, 3.直线? (t 为参数)被圆(x-3)2+(y+1)2=25 所截得的弦长为 ?y=1-t ( A. 98 C. 82 答案 C 1 B.404 D. 93+4 3 )

解析

?x=-2+ 2t× 22, ? ?x=-2+t, ? ?? ?y=1-t ?y=1- 2t× 22. ?

?x=-2+t, 把直线? 代入(x-3)2+(y+1)2=25, ?y=1-t, 得(-5+t)2+(2-t)2=25,t2-7t+2=0. |t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2= 41, 弦长为 2|t1-t2|= 82. ?x=1+cosθ, 4.圆 C:? (θ 为参数)的普通方程为____________,设 O 为坐 ?y=sinθ 标原点,点 M(x0,y0)在 C 上运动,点 P(x,y)是线段 OM 的中点,则点 P 的轨迹 方程为____________. 答案 (x-1)2+y2=1 1 1 (x-2)2+y2=4

解析

?x-1=cosθ, ∵? ?y=sinθ,

∴(x-1)2+y2=cos2θ+sin2θ=1. ∴普通方程为(x-1)2+y2=1. M 点 的 坐 标 可 以 设 为 M(1 + cosθ , sinθ) , 则 P( ?2x-1=cosθ, ? ?2y=sinθ. ∴(2x-1)2+(2y)2=cos2θ+sin2θ=1. 1 1 ∴点 P 的轨迹方程为(x- )2+y2= . 2 4 ?x=1+tsinα, 5.已知直线 l 的参数方程是? (t 为参数),其中实数 α 的范围 ?y=-2+tcosα π 是(0,2),则直线 l 的倾斜角是________. 答案 π 2-α 1+cosθ sinθ , 2 ),即 2

解析

首先要根据 α 的范围把直线的参数方程化为标准参数方程, 根据标准

式结合 α 的范围得出直线的倾斜角.

?x=1+tcos?π-α?, ? 2 直线 l 的参数方程可以化为? π ?y=-2+tsin?2-α? ?
π 程可知直线的倾斜角是2-α.

(t 为参数),所以根据方

2 ?x=8t , 6.已知抛物线 C 的参数方程为? (t 为参数).若斜率为 1 的直线经 ?y=8t

过抛物线 C 的焦点,且与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,则 r=________. 答案 解析 2
2 ?x=8t , 由抛物线参数方程? 消去 t,得 y2=8x,焦点坐标为(2,0). ?y=8t

∴直线 l 的方程为 y=x-2. 又∵直线 l 与圆(x-4)2+y2=r2 相切, ∴r= |4-2| = 2. 1+1

7.直角坐标系 xOy,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设 ?x=3+cosθ, 点 A,B 分别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,则|AB| ?y=4+sinθ 的最小值为________. 答案 解析 3 ?x=3+cosθ, 由 C1:? 消参得(x-3)2+(y-4)2=1; ?y=4+sinθ

由 C2:ρ=1 得 x2+y2=1,两圆圆心距为 5,两圆半径都为 1.故|AB|≥3,最 小值为 3. ?x=cosα, 8.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? ?y=1+sinα (α 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C2 的方程为 ρ(cosθ-sinθ)+1=0,则 C1

与 C2 的交点个数为________. 答案 解析 2 ?x=cosα, 曲线 C1 的参数方程为? ?y=1+sinα,

化为普通方程 x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),r=1. 曲线 C2 的方程为 ρ(cosθ-sinθ)+1=0 化为普通方程 x-y+1=0,则圆心在 曲线 C2 上,直线与圆相交,故 C1 与 C2 的交点个数为 2. ?x=1+ 2×cos θ, 9.圆 C:? (θ 为参数)的半径为______,若圆 C 与直线 ?y=2+ 2sin θ x-y+m=0 相切,则 m=______. 答案 解析 2 -1 或 3

由题意知,圆 C 的普通方程为(x-1)2+(y-2)2=2,其半径 r= 2.若 |1-2+m| = 2,得|m-1|=2,故 m=-1 或 1+1

圆 C 与直线 x-y+m=0 相切,则 3.

?x=1+4t, ? 5 10.求直线? 3 ? ?y=-1-5t
________. 答案 7 5

π (t 为参数)被曲线 ρ= 2cos(θ+4)所截的弦长为

解析

?x=1+4t, ? 5 将方程? 3 ?y=-1-5t, ?

π ρ= 2cos(θ+4)分别化为普通方程 3x+4y+

1 1 2 1 1=0,x2+y2-x+y=0,圆心 C(2,-2),半径为 2 ,圆心到直线的距离 d=10, 弦长=2 r2-d2=2 1 1 7 2-100=5.

2 ?x=3sin θ, 11.将参数方程? (θ 为参数)化为普通方程,并指出它表示的曲 ?y=4cos2θ

线.

解析

x y=4cos2θ=4-8sin2θ,由 x=3sin2θ,得 sin2θ=3.

8 ∴y=4-3x,即 8x+3y-12=0. ∵x=3sin2θ∈[0,3], ∴所求普通方程为 8x+3y-12=0(x∈[0,3]),它表示一条线段. ?x=2cosθ, 12.已知圆锥曲线? (θ 是参数)和定点 A(0, 3),F1、F2 是圆锥 ?y= 3sinθ 曲线的左、右焦点. (1)求经过点 F1 垂直于直线 AF2 的直线 l 的参数方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AF2 的极 坐标方程. 解析 ?x=2cosθ, x2 y2 (1)圆锥曲线? 化为普通方程是 4 + 3 =1, 所以 F1(-1,0), ?y= 3sinθ 0- 3 =- 3,于是经过点 F1 垂直于直线 AF2 的 1-0

F2(1,0),则直线 AF2 的斜率 k= 直线 l 的斜率 k′=

3 ,直线 l 的倾斜角是 30° ,所以直线 l 的参数方程是 3

, ?x=-1+tcos30° ? (t 为参数), ?y=0+tsin30°

?x= 23t-1 ? 即? 1 ?y=2t ?
(2)方法一

(t 为参数).

直线 AF2 的斜率 k=

0- 3 =- 3,倾斜角是 120° P(ρ,θ)是 .设 1-0

直线 AF2 上任一点, ρ 则根据正弦定理得sin60° = 即 ρsin(120° -θ)=sin60° , 即 ρsinθ+ 3ρcosθ= 3. 方法二 直线 AF2 的直角坐标方程是 y=- 3(x-1), 1 , sin?120° -θ?

?x=ρcosθ, 将? 代入得直线 AF2 的极坐标方程 ?y=ρsinθ ρsinθ=- 3ρcosθ+ 3,即 ρsinθ+ 3ρcosθ= 3. 13.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合,且两个坐标系的单位长度相同,已知直线 l 的参数方程为 ?x=-1+tcosα, ? (t 为参数),曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. ?y=1+tsinα (1)若直线 l 的斜率为-1,求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标; (2)若直线 l 与曲线 C 的相交弦长为 2 3,求直线 l 的参数方程. 解析 (1)直线 l 的普通方程为 y-1=-(x+1), ① ②

即 y=-x. 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-4x=0. ①代入②,得 2x2-4x=0,解得 x=0 或 x=2. 7π ∴A(0,0),B(2,-2),极坐标为 A(0,0),B(2 2, 4 ). (2)由题意可得圆心 C(2,0)到相交弦的距离为 22-? 3?3=1.

设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y-1=k(x+1),即 y=kx+k+1. ∴ |2k+k+1| 3 =1,∴k=0 或 k=-4. 2 k +1

?x=-1+t, ∴l:? ?y=1

?x=-1-4t, ? 5 (t 为参数)或? 3 ?y=1+5t ?

(t 为参数).

π 14.(2013· 衡中模拟)在极坐标系中,已知点 A( 2,0)到直线 l:ρsin(θ-4) =m(m>0)的距离为 3. (1)求实数 m 值; (2)设 P 是直线 l 上的动点,Q 在线段 OP 上,且满足|OP||OQ|=1,求点 Q 轨迹方程,并指出轨迹是什么图形. 解析 (1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系.则点 A

的直角坐标为( 2,0),直线 l 的直角坐标方程为 x-y+ 2m=0.

| 2+ 2m| 由点 A 到直线 l 的距离为 d= =1+m=3, 2 ∴m=2. π (2)由(1)得直线 l 的方程为 ρsin(θ-4)=2, 1 ? ?ρ0= , ?ρρ0=1, ρ 设 P(ρ0,θ0),Q(ρ,θ),则? ?? ?θ=θ0 ?θ0=θ. ? π 因为点 P(ρ0,θ0)在直线 l 上,所以 ρ0sin(θ0-4)=2.





1 π 1 π 将①代入②得ρsin(θ-4)=2,则点 Q 轨迹方程为 ρ=2sin(θ-4).化为直角 坐标方程为(x+ 22 2 1 ) +(y- )2= . 8 8 16

1 3π 1 则点 Q 的轨迹是以(4, 4 )为圆心,4为半径的圆. 15.(2013· 百校联盟调研卷)已知圆 ρ=2,直线 l:ρcosθ=4,过极点作射线 交圆于 A 点,交直线 l 于 B 点,直线 l 与极轴的交点为 N.

(1)求 AB 中点 M 的轨迹的极坐标方程; (2)判断△OMN 能否为等边三角形,并说明理由. 解析 (1)设 M(ρ,θ),A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),

则 θ=θ1=θ2,且 2ρ=ρ1+ρ2. 由于 ρ1=2,那么 ρ2=2(ρ-1). 而 B(ρ2,θ2)在直线 l:ρcosθ=4 上,则 ρ2cosθ2=4, 2 则 2(ρ-1)cosθ=4,则 ρ=cosθ+1. 2 所以 AB 中点 M 的轨迹的极坐标方程为 ρ=cosθ+1. (2)若△OMN 为等边三角形,则∠NOM=60° . 2 那么此时|OM|=cos60° +1=5,而|ON|=4,知|OM|≠|ON|.

那么△OMN 不可能为等边三角形. π 16.(2013· 石家庄模拟)已知直线 l:ρsin(θ-4)=4 和圆 C: π ρ=2k· cos(θ+4)(k≠0),若直线 l 上的点到圆 C 上的点的最小距离等于 2. (1)求圆心 C 的直角坐标; (2)求 k 值. 解析 π π π ρsin(θ-4)=4 化为 ρ(sinθcos4-cosθsin4)=4,

∴x-y+4 2=0 即 l 方程. 又将⊙C 方程化为 x2+y2- 2kx+ 2ky=0, 2 2 即(x- 2 k)2+(y+ 2 k)2=k2. 2 2 | 2 k+ 2 k+4 2| ∴ =|k|+2. 2 即|k+4|=|k|+2. 两边平方,得 8k=4|k|-12. k>0 时,4k=-12,k=-3(舍); k<0 时,12k=-12,k=-1. 综上 k 值为-1.


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