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2014届高三人教A版数学一轮复习精练 4.8 正弦定理、余弦定理应用举例 Word版含解析]


双基限时练
巩固双基,提升能力 一、选择题 1.在△ABC 中,角 A,B 均为锐角,且 cosA>sinB,则△ABC 的形状是( ) B.锐角三角形 D.等腰三角形
? ?

A.直角三角形 C.钝角三角形

?π ? π π 解析:cosA=sin?2-A?>sinB,2-A,B 都是锐角,则2-A>B,

>
π π A+B<2,C>2. 答案:C 2.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等 于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° ,灯塔 B 在观察站 C 的南 偏东 40° ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )

A.a km C. 2a km

B. 3a km D.2a km

解析:利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120° ,在△ACB 中,

? 1? 由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos120° =2a2-2a2×?-2?= ? ?

3a2,∴AB= 3a. 答案:B 3.(2013· 永州月考)张晓华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度 沿着正北方向的公路行驶, 在点 A 处望见电视塔 S 在电动车的北偏东 30° 方向上,15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75° 方 向上,则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是( A.2 2 km C.3 3 km B.3 2 km D.2 3 km )

15 解析:如图,由条件知 AB=24×60=6,在△ABS 中,∠BAS= 30° ,AB=6,∠ABS=180° -75° =105° ,所以∠ASB=45° .由正弦定 BS AB AB 理知sin30° =sin45° ,所以 BS=sin45° sin30° =3 2.

答案:B 4.(2013· 日照段考)轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时离开海港 C,两 艘轮船航行方向的夹角为 120° ,轮船 A 的航行速度是 25 海里/小时, 轮船 B 的航行速度是 15 海里/小时, 下午 2 时两船之间的距离是( A.35 海里 B.35 2海里 )

C.35 3海里

D.70 海里

解析:设轮船 A、B 航行到下午 2 时时所在的位置分别是 E、F, 则依题意有 CE=25×2=50,CF=15×2=30,且∠ECF=120° , EF= CE2+CF2-2CE· CFcos120° = 502+302-2×50×30cos120° =70. 答案:D 5.(2013· 济南调研)为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30° ,测得塔基 B 的俯角为 45° ,那么塔 AB 的高度是( A.20?1+
? ?

) B.20?1+
? ?

3? ? m 3?

3? ? m 2?

C.20(1+ 3) m

D.30 m

解析:如图所示,由已知可知,四边形 CBMD 为正方形,CB= 20 m,所以 BM=20 m.又在 Rt△AMD 中,

DM=20 m,∠ADM=30° , 20 ∴AM=DMtan30° = 3 3(m).
? 20 3? ∴AB=AM+MB= 3 3+20=20?1+ ?(m). 3? ?

答案:A 6.(2013· 滁州调研)线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60° ,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始多少 h 后,两车的距离最小( 69 A.43 70 C.43 B.1 D.2 )

解析:如图所示,设 t h 后,汽车由 A 行驶到 D,摩托车由 B 行 驶到 E,则 AD=80t,BE=50t.因为 AB=200,所以 BD=200-80t, 问题就是求 DE 最小时 t 的值.

由余弦定理,得 DE2=BD2+BE2-2BD· BEcos60° =(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)· 50t =12 900t2-42 000t+40 000. 70 当 t=43时,DE 最小. 答案:C 二、填空题 7.在直径为 30 m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射 向地面的光呈圆形, 且其轴截面顶角为 120° , 若要光源恰好照整个广

场,则光源的高度为__________m. 15 解析:轴截面如图,则光源高度 h=tan60° =5 3(m).

答案:5 3 π 8. 在△ABC 中, BC=1, B=3, 当△ABC 的面积等于 3时, tanC =__________. 1 解析:S△ABC=2acsinB= 3,∴c=4. 由余弦定理:b2=a2+c2-2accosB=13, a2+b2-c2 1 12 ∴cosC= 2ab =- ,sinC= , 13 13 ∴tanC=- 12=-2 3. 答案:-2 3 9.据新华社报道,2011 年 8 月,飓风“艾琳”在美国东海岸登 陆.飓风中心最大风力达到 12 级以上,大风、降雨给灾区带来严重 的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被大风吹断后,折成与 地面成 45° 角,树干也倾斜为地面成 75° 角,树干底部与树尖着地处 相距 20 米,则折断点与树干底部的距离是______米. 解析:如图,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为 A, 则∠ABO=45° ,

∠AOB=75° ,∴∠OAB=60° . AO 20 20 6 由正弦定理知,sin45° =sin60° ,∴AO= 3 (米). 20 6 答案: 3 三、解答题 10.(2013· 台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正 好处于坡度 15° 的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后 一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 和 30° ,第一排和最后一排的距 离为 10 6米(如图所示), 旗杆底部与第一排在一个水平面上. 若国歌 长度约为 50 秒,升旗手应以多大的速度匀速升旗?

解析:在△BCD 中,∠BDC=45° ,∠CBD=30° ,CD=10 6, CDsin45° 由正弦定理,得 BC= sin30° =20 3.

3 在 Rt△ABC 中,AB=BCsin60° =20 3× 2 =30(米),所以升旗 AB 30 速度 v= t =50=0.6(米/秒). 11.如图,A、B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两 个观测点,现位于 A 点北偏东 45° ,B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮 船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

解析:由题意,知 AB=5(3+ 3)海里,∠DBA=90° -60° =30° , ∠DAB=90° -45° =45° , ∴∠ADB=180° -(45° +30° )=105° . 在△DAB 中,由正弦定理,得 于是 DB= DB AB = , sin∠DAB sin∠ADB

AB· sin∠DAB 5?3+ 3?· sin45° = sin105° sin∠ADB 5?3+ 3?· sin45° sin45° cos60° +cos45° sin60° 5 3? 3+1? =10 3(海里). 3+1 2

= =

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30° +(90° -60° )=60° , BC=20 3(海里), 在△DBC 中,由余弦定理,得 CD2=BD2+BC2-2BD· BC· cos∠DBC 1 =300+1 200-2×10 3×20 3×2 =900. 30 得 CD=30(海里),故需要的时间 t=30=1(小时), 即救援船到达 D 点需要 1 小时. 12.(2012· 石家庄检测)某城市有一块不规则的绿地如图所示,城 建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设 计的底座形状分别为△ABC、 △ABD, 经测量 AD=BD=14, BC=10, AC=16,∠C=∠D.

(1)求 AB 的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素, 小李、小王谁的设计建造费用最低?请说明理由. 解析: (1) 在△ ABC 中,由余弦定理,得 AB2 = AC2 + BC2 - 2AC· BCcosC=162+102-2×16×10cosC,① 在△ABD 中,由余弦定理及∠C=∠D,整理得 AB2=AD2+BD2

-2AD· BDcosD=142+142-2×142cosC.② 由①②得: 142+142-2×142cosC=162+102-2×16×10×cosC, 1 整理得 cosC=2. ∵∠C 为三角形的内角,∴C=60° , 又∠C=∠D,AD=BD, ∴ABD 是等边三角形, 故 AB=14,即 A、B 两点的距离为 14. (2)小李的设计使建造费用最低. 理由如下: 1 S△ABD=2AD· BDsinD, 1 S△ABC=2AC· BCsinC. ∵AD· BD>AC· BC,且 sinD=sinC, ∴S△ABD>S△ABC. 由已知建造费用与用地面积成正比, 故选择小李的设计使建造费 用最低.


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