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2016届高考数学复习 第八章 第二节 空间几何体的表面积和体积课件 理


第二节 空间几何体的表面积和体积

考点梳理

考纲速览

命题解密
主要考查柱、

热点预测
计算几何体的

锥、台、球的体积 表面积和体积仍将 了解球、 和表面积,考查的 是高考的热点,以 1. 几 何 体 棱柱、棱锥、 变化是由原来的简 三视图、柱、锥与

的表面积. 台 的 表 面 积 单公式套用渐渐变 球的接切问题为命 2. 几 何 体 和 体 积 的 计 为与三视图及柱、 题背景,突出空间 的体积. 算公式(不要 锥与球的接切问题 几何体的线面位置 求记忆公式). 相 结 合 , 难 度 有 所 关系的命题 . 在备考

增大.

中应予以重视.

知识点一 空间几何体的侧面积和表面积

1.简单几何体的侧面展开图的形状
名称 侧面展开图形状 侧面展开图

圆柱

矩形

名称

侧面展开图形状

侧面展开图

圆锥

扇形

名称

侧面展开图形状

侧面展开图

圆台

扇环

直棱柱

矩形

正n棱锥

n个全等的等腰三角形

正n棱台

n个全等的等腰梯形

2.多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是侧面 展开图的面积,表面积是侧面积与底面积的和.

3.旋转体的侧面积和表面积 ①若圆柱的底面半径为 r,母线长为 l,则 S 侧=2π rl,S 表=2π r2+2π rl= 2πr(r+l) . ②若圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,则 S 侧=π rl,S 表=π r2+π rl= πr(r+l). ③若圆台的上下底面半径分别为 r′,r,则 S 侧= π(r′+r)l ,
2 2 S 表= πr′ +πr +π(r′+r)l . 2 4 π R ④若球的半径为 R,则它的表面积 S= .

知识点二 知识空间几何体的体积
几何体名称 棱(圆)柱 棱(圆)锥 体积 V=Sh(S 为底面面积,h 为高) 1 V= Sh(S 为底面面积,h 为高) 3 1 V= h(S+ SS′+S′)(S′,S 为上、下 3 底面面积,h 为高) 球 4 V= π R3,(R 为球半径) 3

棱(圆)台

【名师助学】
1.本部分知识可以归纳为: 1 (1)四个公式:①柱体:V 柱=Sh,②锥体 V 锥= Sh,③台体 V 台 3 1 4 = h(S+ SS′+ S′),④球体 V 球= πR3. 3 3 (2)一个关系:柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

可见柱体、锥体的体积公式是台体体积公式的特例.

2.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接 .解题时要 认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数 量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正 方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正 方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球

的直径.

方法1 几何体的表面积

(1) 以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的
三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位 置关系及数量关系. (2) 多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积应注 意重合部分的处理.

(3) 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个
曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之 和.

【例1】 一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,其中有一个 高为x cm的内接圆柱. (1) 求圆锥的侧面积;

(2)当x为何值时,圆柱侧面积最大?并求出最大值.



(1)母线长 l= 62+ 22=2 10(cm).

∴侧面积 S=π rl=4 10π (cm2). (2)如图所示, 在轴截面图中设圆柱底面半径为 r, r 6- x 1 则 = ,∴ r= (6- x). 2 6 3 2 ∴ S 圆柱侧= (6- x)xπ (0<x<6) 3
? 2? ?( 6- x)+ x?2 ≤ ? ? π = 6π . 3? 2 ?

这时 6- x= x,即 x=3. 故 x= 3 cm 时,圆柱侧面积最大,最大值为 6π cm2.

[点评]

解(1)的关键是画出几何体的轴截面;解 (2)的关键是

用x表示圆柱的底面半径,利用基本不等式求最值.

方法2 几何体的体积 求几何体体积的类型及思路 (1) 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体,则可直接利用公式 进行求解. (2) 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等 积转换法和割补法进行求解 . 其中,等积转换法多用来求锥体的 体积.

(3) 若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何
体的直观图,然后根据条件求解.

【例2】 如图所示是某几何体的三视图,则该几何体的体积 为( )

9 A. π +12 2

9 B. π +18 2

C.9π +42

D.36π +18

[解题指导](1)已知:几何体的三个视图及正(主)视图中各段长度.

(2)分析:①由正(主)视图与侧(左)视图知,几何体为四棱柱上面
放一球,②由俯视图知,四棱柱为正四棱柱,③由已知数量关系 知,球的直径为3,正四棱柱高为2,底面边长为3.

解析

3 由三视图可以得到几何体的上面是一个半径的 的球, 下面 2

是一个底面边长为 3,高为 2 的正四棱柱 . 4 4 33 9 3 球的体积为 V1= πR = π( ) = π, 3 3 2 2 正四棱柱的体积为 V2=3×3×2=18, 9 所以该几何体的体积为 π+18,故选 B. 2
答案 B

[点评]

解决本题的关键是将三视图还原为几何体.利用三视图中

的线段长度求出几何体的体积.

方法3 几何体中展开问题 (1)有关折叠问题,一定要分清折叠前后两图形 (折前的平面图形 和折叠后的空间图形 )各元素间的位置和数量关系,哪些变,哪 些不变. (2) 研究几何体表面上两点的最短距离问题,常选择恰当的母线 或棱展开,转化为平面上两点间的最短距离问题.

【例 3】 如图,在直棱柱 ABCA′B′C′中,底面 是边长为 3 的等边三角形, AA′= 4, M 为 AA′ 的中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经 过棱 CC′到 M 的最短路线长为 29,设这条最短 路线与 CC′的交点为 N,求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 与 NC 的长; (3)三棱锥 CMNP 的体积 . [解题指导 ](1)侧面展开图从哪里剪开展平; (2)MN+ NP 最短在展开 图上呈现怎样的形式; (3)三棱锥以谁做底好 .



(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别

为 4 和 9 的矩形, 故对角线长为 42+ 92= 97. (2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB′展开,如右图, 设 PC= x,则 MP2= MA2+ (AC+ x)2. ∵ MP= 29, MA= 2, AC= 3, ∴ x= 2,即 PC= 2. PC NC 又 NC∥ AM,故 = , PA AM 2 NC 4 即 = .∴ NC= . 5 2 5

1 1 4 4 (3)S△ PCN= × CP×CN= × 2× = . 2 2 5 5 在三棱锥 MPCN 中, M 到面 PCN 的距离, 3 3 3 即 h= × 3= . 2 2 1 1 3 3 4 2 3 ∴ VC× = . MNP= VM? PCN= · h·S△PCN= × 3 3 2 5 5

[点评]

(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是 “

展开”,即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上,将 问题转化为平面上的最值问题. (2)如果已知的空间几何体是多面体,则根据问题的具体情况可 以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开,把 不在一个平面上的问题转化到一个平面上.

如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开,把曲面上的问题转化为平
面上的问题. (3)本题的易错点是,不知道从哪条侧棱剪开展平,不能正确地 画出侧面展开图,缺乏空间图形向平面图形的转化意识.


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