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广东省六校2013届高三5月高考模拟考试数学理试题 Word版含答案


2013 届高三六校高考模拟考试

理科数学试题
本试卷共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题(本大题共8小题,每题5分,满分40分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.满足 i3 ? z ? 1 ? 3i 的复数 z 的共轭复数是( .... A. ?3 ? i 2.已知函数 f ( x) ?

B. ?3 ? i C. 3 ? i ) D. 3 ? i

1 的定义域为 M , g ( x) ? ln(1 ? x) 的定义域为 N ,则 1? x
B. ?x | x ? 1? C. ?x | ?1 ? x ? 1? D. ?

M ?N ?(



A. ?x | x ? ?1?

3. 如图给出的是计算 1 ? 填入( )

1 1 1 ? ?? ? 的值的一个程序框图, 图中空白执行框内应 3 5 2013

A. i ? i ? 1 C. i ? i ? 2

B. i ? i ? 1 D. i ? i ? 2

开 始

?2 x ? y ≤ 40, ? ?? x ? 2 y ≤ 30, 4.若变量 x, y 满足 ? 则 x ≥ 0, ? ? y ≥ 0, ? z ? ? x ? 3 y 的最大值是( )
A.90 C.50 B.80 D.40

i=1, S=0
否 输出 S 结 束

i ? 2013
是 S=S+

1 i

5.记等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ?

1 , 2
第 4 题图

S2 ? 2 ,则 S4 ? (
A.2 C.16

) B.6 D.20

6. 已知直线 l1 : y ? 4x , l2 : y ? ?4x ,过 M ( , 2) 的直线 l 与 l1 , l2 分别交于 A, B , 若 M 是线段 AB 的中点,则 | AB | 等于( A.12 B. 145 ) C. 146 D. 147

3 2

7.已知某四棱锥的三视图,如右图。则此四棱锥的体积为( A.3 B.4 C.5

) D.6

8.设 x ? 0 , ? 0 ,定义 x ? y ? y 于( )

x x2 ? y 2

,则 ?? x ? y ? +2 ? x ? y ? ? y ? x ? ? max 等 ?
2

?

1? 5 A. 2 2? 3 C. 2

3? 2 B. 2 1? 3 D. 2

2 2 4 2
侧视图

二、填空题(本大题共7小题,分为 必做题和选做题两部分.每小题5分,满 分30分) (一)必做题(第 9 至 13 题为必做 题,每道试题考生都必须作答)

正视图

2 2
俯视图

9.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校 学生中随机抽取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在 三年级抽取的学生人数为 一年级 女生 男生 373 377 . 二年级 三年级

x
370

y

z
.

?2e x ?1 , ? 2, x ? 10.若 f ( x) ? ? 则 f ( f (2)) 的值为 2 x ?log 3 ( x ? 1) , ? 2. ?

11.曲线 y ? x3 ? ax ? 3 在点(1, m )处的切线方程为 y ? 2 x ? n ,则

a?

. a , n 为常数) ( m , 12.已知 f ( x) ? 2sin(

?
3

x ? ? ) (| ? |?


?
2

) ,若 x ? 1 是

它一条对称轴,则 ? ?

??? ??? ? ? AB ? 2 AD=AC=4 AE=4 ,则 BE ? CD ?

13.如右图,等边△ ABC 中,



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)曲线 ?

A? ?2 ,? 与 B ? 2 ,? 的距离之和为 0 0

? x ? 4 cos ? ? ( ? 为参数)上一点 P 到点 ? y ? 2 3 sin ? ?


15. (几何证明选讲选做题) 如右图, Rt △ ABC 中, 在 斜边 AB ? 12 , 直角边 AC ? 6 , 如果以 C 为圆心的圆与 AB 相切于 D ,则⊙ C 的半径长为 . 三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , ? R . x 2 2 (1)求函数 f ( x ) 的最小值和最小正周期;
(2)设△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若

sin B ? 2sin A ,求 a , b 的值。

17. (本小题满分 12 分)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为 可入肺颗粒物。我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克 /立方米以下空气质量为一级; 35 微克/立方米 ~ 75 微克/立方米之间空气质量为二级; 在 在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 某试点城市环保局从该市市区 2011 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 15 天 的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) (1)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽 出三天,求恰有一天空气质量达到一级的概率; (2)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示 抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ? 的分布列; (3) 以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气 质量情况,则一年(按 360 天计算)中平均有多少天的 空气质量达到一级或二级。 E 18. (本小题满分 14 分)在如图所示的几何 体中, ?ABC 是边长为 2 的正三角形,

AE ? 1, ? 平面 ABC, BCD ? 平面 ABC, AE 平面
BD=CD,且 BD ? CD . (1)若 AE=2,求证:AC∥平面 BDE; (2) 若二面角 A—DE—B 为 60°. AE 的长。 求 19. (本小题满分 14 分)数列{ an }的前 n 项 和为 S n , S n ? an ? ? C

D A B

1 2 3 n ? n ? 1 , (n ? N *) . 2 2

(1)设 bn ? an ? n ,证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (2)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ;

(3)若 cn ? ?

n 2013 2 ci ? ci ? 1 ?1? .求不超过 P 的最大整数的值。 ? an , P ? ? 2 ? ci ? ci i ?1 ?2?

20. (本小题满分 14 分)如图所示:已知过抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 的直线 l 与抛物线 相交于 A,B 两点。 (1)求证:以 AF 为直径的圆与 x 轴相切; (2)设抛物线 x 2 ? 4 y 在 A,B 两点处的切线的交点 为 M,若点 M 的横坐标为 2,求△ABM 的外接圆方程; (3)设过抛物线 x 2 ? 4 y 焦点 F 的直线 l 与椭圆

3 y 2 3x 2 ? ? 1 的交点为 C、D,是否存在直线 l 使得 4 2 AF ? CF ? BF ? DF ,若存在,求出直线 l 的方程,若
不存在,请说明理由。

21. (本小题满分14分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? k ? (1)求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间;

x ?1 x ?1

(2)当 x ? 1 时,函数 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)设正实数 a1 , a2 ,?, an 满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 .求证:

? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 2n 2 . ln ?1 ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? ? ? ln ?1 ? 2 ? ? ? a1 ? ? a2 ? ? an ? n ? 2

2013 届高三六校高考模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 C 5 D 6 B 7 B 8 A

1. 【解析】 z ?

1 ? 3i ? ?1 ? 3i ? i = 3 + i .故选 D. i3

2. 【解析】 M ? x x ? 1 , N ? x x ? ?1 .故选 C. 3. 【解析】因为分母为 1,3,5,7,9,…,2013,所以应填入 i ? i ? 2 .故选 D. 4. 【解析】画出可行域(如图) ,在 B(10, 20) 点取最大值 zmax ? ?10 ? 3 ? 20 ? 50 .答 案: C.

?

?

?

?

1 (1 ? q 2 ) 2 ? 2 ? 1? q ? 3 ? q ? 3 , 5. 【解析】 S 2 ? 1? q 1 1 (1 ? q 4 ) (1 ? q 2 ) 2 2 S4 ? ? ? (1 ? q 2 ) ? 2 ? 10 ? 20 .故 1? q 1? q
选D . 6 . 【 解 析 】 设

A( x1 , x1 ) 4



? x1 ? x2 ? ? ? 2 B( x2 , 4 x2 ) ? ? ? ? 4 x1 ? 4 x2 ? ? 2

3 , 2

? x1 ? 2, 8) ? ,所以 A(2 , 、 B(1 , 4) . ?? x2 ? 1, ? ? 2,

2 2 所以 AB = (2 ? 1) ? [8 ? ( ?4)] ? 1 ? 144 ? 145 .故选 B.

7. 【解析】如图,四棱锥 A ? BCDE .

1 V ? ? 6 ? 2 ? 4 .故选 B. 3 y 8. 【解析】设终边过点 ( x , ) 的角 ? (不妨
设 ? ? (0 , ) )则

D

C

?

E

B

cos 2? ? 2 sin? cos? ?

1 ? cos 2? A ? sin2? 2 1 1 1 1 1 其中 ? 是终边过 (1 , ) 的角 (不 ? sin2? ? cos 2? ? ? 1 ? ( )2 sin(2? ? ? ) ? , 2 2 2 2 2

2

妨设 ? ? (0 , ) ) .

?

2

当? ? ? ?

?
2

时,有 ?? x ? y ? +2 ? x ? y ?
2

?

? y ? x ? ? max ? ?

1? 5 .故选 A. 2

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) 9.16,10.2,11. ? 1 ,12.

? ,13. ?3 ,14. 8 ,15. 3 3 , 6

9. 【解析】依题意我们知道二年级的女生有 380 人,那么三年级的学生的人数应该是 500 ,即总体中各个年级的人数比例为 3 : 3 : 2 ,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人 数为 64 ?

2 ? 16 .答案: 16 . 8 1?1 10. 【解析】 f ( f (2)) ? f (1) ? 2 ? e ? 2 .答案: 2 .
11. 【解析】

y? ? 3 x 2 ? a ? 2 ? 3 ? 12 ? a ? a ? ?1 .答案: ? 1 . ? ? k 12. 【解析】由已知得 x ? ? ? k? ? , ? Z ,由 3 2

x ? 1 代入得 ? ? k? ?
又 | ? |?

?
6

,?Z , k

?
2

6 ??? ??? ??? ? ? ? ??? 1 ???? ? 13. 【解析】 BE ? BA ? AE ? ? AB ? AC , 4 ??? ??? ??? ? ? ? ???? 1 ??? ? CD ? CA ? AD ? ? AC ? AB 2 ??? ??? ? ? ??? 1 ???? ? ???? 1 ??? ? BE ?CD ? ( ? AB ? AC )?( ? AC ? AB ) 4 2 ??? ???? 1 ??? 2 1 ???? 2 9 ? ? 9 1 1 ? AB?AC ? AB ? AC ? ? 4 ? 4 cos ?A ? ? 42 ? ? 42 ? 9 ? 8 ? 4 ? ?3 . 8 2 4 8 2 4 答案: ?3 .
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. 【解析】曲线 ?

,所以 ? ?

?

.答案:

? . 6

? x ? 4cos ? ? 表示的椭圆标准方程为 ? y ? 2 3 sin ? ?

x2 y 2 ? ? 1 ,可知点 A ? ?2,0? , B ? 2,0? 为椭圆的焦点,故 16 12 PA ? PB ? 2a ? 8 .答案: 8 .

D 15. 【解析】 C , 则 ?B ? ?DCA ? 30 , Rt ?ADC 中, 连 在 CD ? AC sin ?DAC ,
0

CD ? 6 ?

3 ? 3 3 .答案: 3 3 . 2

三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,…3 分 2 2 2 6 2? ? ? ;…………6 分 则 f ( x ) 的最小值是 ? 2 , 最小正周期是 T ? 2 ? ? (2) f (C ) ? sin(2C ? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ) ? 1 ? 0 ,…………7 分 6 6 ? ? 11? 0 ? C ? ? , 0 ? 2C ? 2? ,所以 ? ? 2C ? ? , 6 6 6 ? ? ? 所以 2C ? ? , C ? ,…………9 分 6 2 3 因为 sin B ? 2sin A ,所以由正弦定理得 b ? 2a ,……①…………10 分 ? 2 2 2 2 2 2 由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos ,即 c ? a ? b ? ab ? 3 ……②………11 分 3 由①②解得: a ? 1 , b ? 2 .…………12 分
16. 【解析】 (1) f ( x ) ? 17. 【解析】 (1)记“从 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气 质量达到一级”为事件 A , P( A) ?
1 2 C5 ? C10 45 ? . ……………………4 分 3 C15 91 ? ? (2) 依据条件, 服从超几何分布: 其中 N ? 15, M ? 5, n ? 3 , 的可能值为 0,1, 2,3 ,

其分布列为: P ?? ? k ? ?

k 3 C5 C10?k ? k ? 0,1,2,3? ……………………7 分 3 C15

?
P

0

1

2

3

24 91

45 91

20 91

2 91
……………………7 分

(3)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P ? 一年中空气质量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B (360, )

10 2 ? ,10 分 15 3

2 3

2 ? 240 ,?一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级。12 分 3 18. 【解析】 (1)分别取 BC,BA,BE 的中点 M , N, P ,连接 1 DM ,MN,NP,DP ,则 MN ∥ AC , NP ∥ AE ,且 NP = AE ? 1 , 2 因为 BD ? CD , BC ? 2 , M 为 BC 的中点, 所以 DM ? BC , DM ? 1 , 又 因 为 平 面 BCD ⊥ 平 面 E ABC , DM ? 平 面 所 以 ABC .……………3 分 又 AE ? 平面 ABC , P 所以 DM ∥ AE ,……5 分 D 所 以 DM ∥ NP , 且 D M? N, 因 此 四 边 形 D MN P P ? E? ? 360 ?
为平行四边形, 所 以 MN ∥ DP , 所 以 AC ∥ DP ,又 AC ? 平面 BDE , DP ? 平面 BDE , 所以 AC ∥平面 BDE .…7 分 (或者建立空间直角坐标系, 求出平面 BDE 的法向量 n1 ,计算 A

C

M E

N

B

??? ? n1 ? AC ? 0 即证)

(2)解法一: 过 M 作 MH 垂直 ED 的延长 线于 H ,连接 BH . 因为 BC ? AM , BC ? DM , BC ? 所 以 平 面 D M , ED ? 平面 DMAE A E 则有 BC ? ED . ED ? 所 以 平 面 BMH , BH ? 平面 BMH , 所以 ED ? BH . 所 以 ?MHB 为 二 面 角

D

H

A

C

M

B

A ? ED ? B 的平面角, 即 ?MHB =60? . ……10 分
在 Rt ?BMH 中, BM =1 ,则 MH = 在 Rt ?MHD 中, DH =

1 2 , BH = . 3 3

6 . 3 h2 ? 3 ?
2 2

设 AE ? h ? 1 ,则 DE ? h2 ? 3 ,所以 HE ?
2 2 2

6 ,又 BE ? 3
2

? h ? 1?

2

? 22

6? ? 2 ? ? 2 在 Rt ?BHE 中, BE ? BH ? NE ,即 ? h ? 1? ? 2 = ? ? ?? h ?3 ? 3 ? , ? ? ? 3? ? ? 解得 h ? 6 ,所以 AE ? 6 ? 1. ………………14 分
解法二: 由(1)知 DM ? 平面 ABC , AM ? MB , 建立如图所示的空间直角坐标系 M ? xyz . 设 AE ? h ,则 M ? 0 ,,? , B ?1,,? , 0 0 0 0

2

0 h D ? 0 ,,? A 0 , 3 , , E 0 , 3 , , 0 1 ??? ? ??? ? h BD ? ? ?1, ,? , BE ? ?1, 3 , . 0 1 ?? ? 设平面 BDE 的法向量 n1 ? ( x , y , z) ??? ?? ? ? ? BD ? n1 ? 0 , ?? x ? z ? 0 , ? ? 则 ? ??? ?? 所以 ? ? ? ?? x ? 3 y ? zh ? 0. ? BE ? n1 ? 0 , ? ?

?

? ? ?

?

?

z

E

y D A

令 x ? 1 , 所以 n1 ? (1 , ……………………11 分

?? ?

1? h , 1) , 3

又平面 ADE 的法向量 n2 ? (1, 0 ,0) , ?? ?? ? ? C ?? ?? ? ? n1 ? n2 1 ? 所以 cos ? n1 , n2 ?? ??? ?? ?

?? ?

n1 ? n2

12 ? 12 ?

?1 ? h ?
3

2

?

M(o) 1 , 2

B

x

解得 h ? 6 ? 1 , 即 AE ? 6 ? 1.……………………14 分

3 n ?1, 2 1 所以 ① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ? ,………………………………1 分 2 1 3 ② 当 n ≥ 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ,……………………2 分 2 2 所以 2an ? an ?1 ? ?n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 , 1 1 所以 bn ? bn ?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? ,……………………4 分 2 2
19. 【解析】(1) 因为 an ? S n ? ? n 2 ? 所以数列 ?bn ? 是首项为

1 2

1 1 ?1? ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ? ? .……………5 分 2 2 ?2?

n

(2)由 (1)得 nbn ? 所以 ① Tn ?

1 2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? .......... ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n ?1 n ② 2Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? .......... ? n ? 2 ? n ?1 ,……………7 分 2 2 2 2 2 1 1 1 n ②-①得: Tn ? 1 ? ? 2 ? ...... ? n ?1 ? n ,……………8 分 2 2 2 2 n ?1? 1? ? ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ? 2 .………………10 分 Tn ? 1 2n 2n 1? 2 n ?1? ? c n ? n ………………11 分 (3)由(1)知 a n ? ? ? ? n ?2?

n . 2n

?

cn 2 ? cn ? 1 n(n ? 1) ? 1 1 1 1 , ………13 分 ? ?1? ?1? ? 2 n(n ? 1) n(n ? 1) n n ?1 cn ? cn
2013

ci 2 ? ci ? 1 ? c2 ?c i ?1 i i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) ? 2014 ? 1 2 2 3 3 4 2013 2014 2014 故不超过 P 的最大整数为 2013 .……………………………………………14 分
所以 P ? 20. 【解析】 (1)解法一(几何法)设线段 AF 中点为 O1 ,过 O1 作 O1O2 垂直于 x 轴, 垂足为 O2 ,则

P | AF | 2 ? | AA1 | ?1 ? | AA1 | ? | OF | ,…………… 2 分 r? ? 2 2 2 2 | AA1 | ? | OF | 又∵ | O1O2 |? , …………… 3 分 2 ∴ r ?| O1O2 | ∴以线段 AF 为直径的圆与 x 轴相切。……………4 分 解法二(代数法)设 A( x1 , y1 ) ,线段 AF 中点为 O1 ,过 O1 作 O1O2 垂直于 x 轴, | AA1 | ?
垂足为 O2 ,则 | AF |? ∴r ?

x1 ? ( y1 ? 1) 2 ? 4 y1 ? ( y1 ? 1) 2 ? y1 ? 1 ,
2

y1 ? 1 . ……………2 分 2

又∵点 O1 为线段 AF 的中点,∴ | O1O2 |?

y A ? yF y ?1 ? 1 ,……………3 分 2 2

∴ r ?| O1O2 | , ∴以线段 AF 为直径的圆与 x 轴相切。……………4 分 (2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 由?

? y ? kx ? 1 ?x ? 4 y
2

? x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,

∴?

? x1 ? x 2 ? 4k .……………5 分 ? x1 x 2 ? ?4
2

x2 x ? y? ? , 4 2 x1 x 2 x1 x 2 ? 4 ? K MA ? K MB ? ? ? ? ? ?1, ? MA ? MB ……………6 分 2 2 4 4 ? ?MAB为Rt? ,故 ?MAB 的外接圆圆心为线段 AB 的中点。
由 x ? 4y ? y ?

? xP ? xM ? 2, ?

x1 ? x2 ? 2 ? 2k ? 2, k ? 1 .……7 分 ? 2 y ?y (kx ? 1) ? (kx2 ? 1) x1 ? x2 ? 2 4k ? 2 ? yP ? 1 2 ? 1 ? ? ? 3 ? 圆心P(2,3) 8 分 2 2 2 2 又? r ?| MP |?| 3 ? (?1) |? 4 ,

设线段 AB 中点为点 P,易证⊙P 与抛物线的准线相切,切点为点 M ,

?所求?MAB的外接圆的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 16 .……………9 分 : | AF | | DF | | AF | | DF | | ? ? ? ? ? ,10 分 (3)? AF | ? | CF |?| BF | ? | DF | , ,设 | BF | | CF | | BF | | CF |
则 AF ? ? FB  且DF ? ? FC ,设 C ( x3 , y3 ),D ( x4 , y 4 ) ,则

?(? x1 ,1 ? y1 ) ? ? ( x 2 , y 2 ? 1) ? ?(? x 4 ,1 ? y 4 ) ? ? ( x3 , y3 ? 1)
将 x1 ? ??x2 代入 ?

?? x1 ? ?x2 ? x1 ? ??x2 ……………11 分 ?? 即? ?? x4 ? ?x3 ? x4 ? ??x3

? x1 ? x 2 ? 4k ? 1 可得: ? 2 . ①……………12 分 2 (? ? 1) 4k ? x1 x 2 ? ?4

2k ? ? y ? kx ? 1 ? x3 ? x4 ? ? k 2 ? 2 ? ? ? (3k 2 ? 6) x 2 ? 6kx ? 1 ? 0 ? ? 由 ? 4 y 2 2x2 , ? ?1 ? ? x x ? ?1 3 ? 3 ? 3 4 3k 2 ? 6 ? ? 3k 2 ? 6 联立 x4 ? ??x3 可得 ,②……………13 分 ? (? ? 1) 2 36k 2

1 3k 2 ? 6 2 ? ? 联立①②可得 ,解得 k ? 1   k ? ?1 . 2 2 4k 36k ? 存在符合题意的直线且 所求直线方程为: y ? ? x ? 1 。 ……………14 分 x ?1 21. 【解析】 (1) F ( x) ? ln x ? k ? x ?1 2 1 2 x ? 2(1 ? k ) x ? 1 ,…… 1分 F ( x) ? ? k ? ? 2 x ( x ? 1) x( x ? 1)2 2 2 2 由 x ? 2(1 ? k ) x ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4(1 ? k ) ? 4 ? 4(k ? 2k ) , ①当 ? ? 0 即 k ? ?0, 2? 时, F ?( x) ? 0 恒成立,则 F ( x) 在 (0, ??) 单调递增;…2 分 ②当 k ? 0 时, F ?( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立,则 F ( x) 在 (0, ??) 单调递增; …3 分
③ 当

k?2









x2 ? 2 ( ?1 k

x? )

的 1 两 0正 ?





k ? 1 ? k 2 ? 2k , k ? 1 ? k 2 ? 2k
则 F ( x) 在 (0, k ? 1 ? k 2 ? 2k ) 单调递增, (k ? 1 ? k 2 ? 2k , k ? 1 ? k 2 ? 2k ) 单调递

减, (k ? 1 ? k 2 ? 2k , ??) 单调递增. 综上,当 k ? 2 时,只有单调递增区间; 当 k ? 2 时,单调递增区间为 (0, k ? 1 ? k 2 ? 2k ) , (k ? 1 ? k 2 ? 2k , ??) ; 单调递减区间为 (k ? 1 ? k 2 ? 2k , k ? 1 ? k 2 ? 2k ) . …… 5 分 (2)即 x ? 1 时, F ( x) ? 0 恒成立. 当 k ? 2 时, F ( x) 在 (0, ??) 单调递增, ∴当 x ? 1 时, F ( x) ? F (1) ? 0 满足条件. …7 分 当 k ? 2 时, F ( x) 在 (k ? 1 ? k 2 ? 2k , k ? 1 ? k 2 ? 2k ) 单调递减, 则 F ( x) 在 (1, k ? 1 ? k 2 ? 2k ) 单调递减, 此时 F ( x) ? F (1) ? 0 不满足条件, 故实数 k 的取值范围为 ? ?? ,? . 2 (3)由(2)知, ln x ? 2 ? …… 9 分

令 x ? 1?

1 ,则 an 2

x ?1 在 (1, ??) 恒成立, x ?1 1 an 2 1 2 2 , …… 10 分 ln(1 ? 2 ) ? 2 ? ? ? 2 1 an 2 ? 2 2an ? 1 2an ? 1 an

1 1 1 …… 11 分 ? ??? ). 2a1 ? 1 2a2 ? 1 2an ? 1 i ?1 i 1 1 1 又( ? ??? ) ?(2a1 ? 1) ? (2a2 ? 1) ? ? ? (2an ? 1)? ? n2 , 2a1 ? 1 2a2 ? 1 2an ? 1


? ln(1 ? a

n

1

2

) ? 2(

1 1 1 2n 2 ∴ 2( ? ??? )? 2a1 ? 1 2a2 ? 1 2an ? 1 n ? 2




……13 分 ……14 分

? ln(1 ? a
i ?1

n

1
i

)? 2

2n2 . n?2

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