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二项式和杨辉三角


1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
一、复习引入: 1.二项式定理及其特例:
0 n 1 n r n ?r r n n (1) (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? ) , 1 r r (2) (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn . r n ?

r r 2.二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn a b

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3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 r 的限制;求有理项时要 注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课: 1 二项式系数表(杨辉三角)
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(a ? b)n 展开式的二项式系数,当 n 依次取1, 2,3 ?时,二项式系数
表,表中每行两端都是1 ,除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数 的和 2.二项式系数的性质:
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0 1 2 n r , Cn , Cn ,?,Cn . Cn 可以看成以 (a ? b)n 展开式的二项式系数是 Cn

r 为自变量的函数 f (r )
定义域是 {0,1, 2,? , n} ,例当 n ? 6 时,其图象是 7 个孤立的点(如图) (1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵
m n?m ) . Cn ? Cn

直线 r ?

n 是图象的对称轴. 2

n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? k ? 1) k ?1 n ? k ? 1 ? Cn ? , k! k n ? k ?1 n ? k ?1 n ?1 k k ?1 ?1? k ? ∴ Cn 相对于 Cn 的增减情况由 决定, , k k 2 n ?1 当k ? 时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取 2
k (2)增减性与最大值.∵ Cn ?

得最大值;
n n ?1 n ?1

当 n 是偶数时,中间一项 Cn2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项 Cn 2 , Cn 2 取得最大 值. (3)各二项式系数和:
1 r r ∵ (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn ,

0 1 2 r n 令 x ? 1 ,则 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? ?? Cn

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三、讲解范例: 例 1.在 (a ? b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
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0 n 1 n r n ?r r n n 证明:在展开式 (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? ) 中,令 0 1 2 3 n , a ? 1, b ? ? 1,则 (1 ?1)n ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? (?1)n Cn 0 2 1 3 即 0 ? (Cn ? Cn ? ?) ? (Cn ? Cn ? ?) , 0 2 1 3 ∴ Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ?,

即在 (a ? b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
0 2 1 3 说明:由性质(3)及例 1 知 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? 2n?1 .

例 2.已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a7 x7 ,求: (1) a1 ? a2 ? ? ? a7 ; (2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ; (3) | a0 | ? | a1 | ??? | a7 | .

解: (1)当 x ? 1 时, (1 ? 2 x)7 ? (1 ? 2)7 ? ?1,展开式右边为

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7
∴ a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 , 当 x ? 0 时, a0 ? 1 ,∴ a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 ? 1 ? ?2 , (2)令 x ? 1 , a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 ① ②

令 x ? ?1 , a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 37

① ? ② 得: 2(a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? ?1 ? 37 ,∴ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ? (3)由展开式知: a1 , a3 , a5 , a7 均为负, a0 , a2 , a4 , a8 均为正, ∴由(2)中①+② 得: 2(a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? ?1 ? 37 , ∴ a0 ? a2 ? a4 ? a6 ?

1 ? 37 . 2

?1 ? 37 , 2

∴ | a0 | ? | a1 | ??? | a7 |? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7

? (a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? 37
2 10 3

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例 3.求(1+x)+(1+x) +?+(1+x) 展开式中 x 的系数 解: (1 ? x) ? (1 ? x) ? ? ( 1 ? x) ?
2 10

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(1 ? x)[1 ? (1 ? x)10 ] 1 ? (1 ? x)

=

( x ? 1)11 ? ( x ? 1) , x
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7 ∴原式中 x3 实为这分子中的 x 4 ,则所求系数为 C11

例 4.在(x +3x+2) 的展开式中,求 x 的系数 解:∵ (x 2 ? 3x ? 2) 5 ? (x ? 1) 5 (x ? 2) 5

2

5

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∴在(x+1) 展开式中,常数项为 1,含 x 的项为 C1 5 ? 5x ,
5

4 在(2+x) 展开式中,常数项为 2 =32,含 x 的项为 C1 5 2 x ? 80x
5 5

∴展开式中含 x 的项为 1 ? (80x ) ? 5x (32) ? 240x , ∴此展开式中 x 的系数为 240 例 5.已知 ( x ? 开式的常数项
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2 n ) 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为 14;3,求展 x2
2 4 2

解:依题意 Cn : Cn ? 14 : 3 ? 3Cn ? 14Cn
4

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! ? n=10 设第 r+1 项为常数项,又 Tr ?1 ? C ( x )
r 10 10 ? r

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2 r (? 2 ) r ? (?2) r C10 x x

10 ?5 r 2



10 ? 5r ? 0 ? r ? 2, 2
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2 ? T2?1 ? C10 (?2) 2 ? 180. 此所求常数项为 180
2 3 n

例 6. 设 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ? ? ?1 ? x ? ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn , 当 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 254 时,求 n 的值 解:令 x ? 1 得:
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2(2n ? 1) ? 254 , a0 ? a1 ? a2 ??? an ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 ?1
2 3 n

∴ 2 ? 128, n ? 7 ,
n

点评:对于 f ( x) ? a0 ( x ? a)n ? a1 ( x ? a)n?1 ? ?? an ,令 x ? a ? 1, 即 x ? a ? 1 可得各 项系数的和 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an 的值;令 x ? a ? ?1, 即 x ? a ? 1 ,可得奇数项系数和与偶 数项和的关系
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1 2 3 n 例 7.求证: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1 . 1 2 3 n 证(法一)倒序相加:设 S ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn n n?1 n ?2 2 1 又∵ S ? nCn ? (n ?1)Cn ? (n ? 2)Cn ? ?? 2Cn ? Cn r n ?r 0 n 1 n?1 ∵ Cn ,∴ Cn ? Cn ? Cn , Cn ? Cn ,? ,
0 1 2 n 由①+②得: 2 S ? n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ,

① ②

?

?

∴S ?

1 1 2 3 n ? n ? 2n ? n ? 2n ?1 ,即 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1 . 2

(法二) :左边各组合数的通项为
r ? r? rCn

n! n ? (n ? 1)! r ?1 ? ? nCn ?1 , r !(n ? r )! (r ? 1)!(n ? r )!

1 2 3 n 0 1 2 n ?1 n ?1 ∴ Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ?1 ? n ? 2 .

?

?

例 8.在 (2 x ? 3 y)10 的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤ x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和.
r 分析 : 因为二项式系数特指组合数 C n , 故在① , ③中只需求组合数的和 , 而与二项式

2 x ? 3 y 中的系数无关.
解:设 (2x ? 3 y)10 ? a0 x10 ? a1 x 9 y ? a2 x 8 y 2 ? ? ? a10 y10 (*), 各项系数和即为 a 0 ? a1 ? ? ? a10 ,奇数项系数和为 a0 ? a2 ? ? ? a10 ,偶数项系数和为

a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的 奇 次 项 系 数 和 为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的 偶 次 项 系 数 和 a0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a10 .
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.

0 1 10 ①二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 210 .

②令 x ? y ? 1 ,各项系数和为 (2 ? 3)10 ? (?1)10 ? 1 .
0 2 10 ③奇数项的二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 29 , 1 3 9 偶数项的二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 29 .

④设 (2x ? 3 y)10 ? a0 x10 ? a1 x 9 y ? a2 x 8 y 2 ? ? ? a10 y10 , 令 x ? y ? 1 ,得到 a0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a10 ? 1 ?(1), 令 x ? 1 , y ? ?1 (或 x ? ?1 , y ? 1 )得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? 510 ?(2) (1)+(2)得 2(a0 ? a2 ? ? ? a10 ) ? 1 ? 510 , ∴奇数项的系数和为 1 ? 5 ;
10

2

(1)-(2)得 2(a1 ? a3 ? ? ? a9 ) ? 1 ? 510 , ∴偶数项的系数和为 1 ? 5 .
10

2

⑤ x 的奇次项系数和为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 ? 1 ? 5 ;
10

2

10 x 的偶次项系数和为 a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a10 ? 1 ? 5 .

2

点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系 数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一. 例 9 .已知 (3 x ? x 2 ) 2n 的展开式的系数和比 (3x ? 1) n 的展开式的系数和大 992, 求
1 (2 x ? ) 2n 的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项. x

解:由题意 2 2n ? 2 n ? 992 ,解得 n ? 5 .
10 ① (2 x ? ) 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,

1 x

5 即 T6 ? T5?1 ? C10 ? (2x) 5 ? (? ) 5 ? ?8064 .

1 x

②设第 r ? 1项的系数的绝对值最大,
r r 则 Tr ?1 ? C10 ? (2x)10?r ? (? ) r ? (?1) r ? C10 ? 210?r ? x10?2r
r 10 ? r r ?1 r r ?1 ? ? ? C10 ? 210 ? r ?1 ?11 ? r ? 2r ?C10 ? 2 ?C10 ? 2C10 ∴? r ,得 ? r ,即 ? 10 ? r r ?1 10 ? r ?1 r ?1 ? ? ? C10 ? 2 ?2(r ? 1) ? 10 ? r ?C10 ? 2 ?2C10 ? C10

1 x

∴ 8 ? r ? 11 ,∴ r ? 3 ,故系数的绝对值最大的是第 4 项
3 3
2 2 n

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例 10.已知: ( x 3 ? 3x ) 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大 992 . (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项 解:令 x ? 1 ,则展开式中各项系数和为 (1 ? 3)n ? 22 n , 又展开式中二项式系数和为 2 , ∴ 22 n ? 2n ? 992 , n ? 5 . (1)∵ n ? 5 ,展开式共 6 项,二项式系数最大的项为第三、四两项,
2 2 22 2 3 ∴ T3 ? C5 ( x 3 )3 (3x 2 )2 ? 90 x6 , T4 ? C5 ( x 3 )2 (3x 2 )3 ? 270 x 3 ,
n
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(2)设展开式中第 r ? 1 项系数最大,则 Tr ?1 ? C ( x )
r 5

2 3 5? r

(3x ) ? 3 C x
2 r r r 5

10? 4 r 3



∴?

r r r ?1 r ?1 ? 7 9 ?3 C5 ? 3 C5 ? ? r ? ,∴ r ? 4 , r r r ?1 r ?1 2 2 ? ?3 C5 ? 3 C5

2

26

4 即展开式中第 5 项系数最大, T5 ? C5 ( x 3 )(3x2 )4 ? 405x 3 .

1 n?1 2 n ?2 n?1 例 11.已知 S n ? 2 n ? Cn 2 ? Cn 2 ? ? ? Cn ? 2 ? 1(n ? N ? ) ,

求证:当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1能被 64 整除

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分析:由二项式定理的逆用化简 S n ,再把 S n ? 4n ? 1 变形,化为含有因数 64 的多项 式
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1 n?1 2 n ?2 n?1 ∵ Sn ? 2n ? Cn 2 ? Cn 2 ? ?? Cn ? 2 ?1 ? (2 ?1)n ? 3n ,
n * ∴ S n ? 4n ? 1 ? 3 ? 4n ? 1 ,∵ n 为偶数,∴设 n ? 2k ( k ? N ) ,

k 2k ∴ S n ? 4n ? 1 ? 3 ? 8k ? 1 ? (8 ? 1) ? 8k ?1
1 k ?1 ? Ck0 8k ? Ck 8 ? ?? Ckk ?18 ? 1 ? 8k ?1 0 k 1 k ?1 ? (Ck 8 ? C8 8 ??? Ck2 )82 ( ? ) ,

当 k = 1 时, Sn ? 4n ? 1 ? 0 显然能被 64 整除, 当 k ? 2 时, ( ? )式能被 64 整除, 所以,当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1能被 64 整除 三、课堂练习:
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1.

?

x ?1

? ? x ?1? 展开式中 x 的系数为
4 5
4

,各项系数之和为



1 2 n n 2.多项式 f ( x) ? Cn ( n ? 6 )的展开式 (x ? 1) ? Cn (x ? 1)2 ? Cn3 (x ? 1)3 ? ?? Cn (x ? 1)

中, x 6 的系数为
2 3.若二项式 (3 x ?

1 n ) ( n ? N ? )的展开式中含有常数项,则 n 的最小值为( ) 3 2x

A.4 B.5 C.6 D.8 4. 某企业欲实现在今后 10 年内年产值翻一番的目标, 那么该企业年产值的年平均增长率最 低应 ( ) A.低于 5% B.在 5%~6%之间 C.在 6%~8%之间 D.在 8%以上 5.在 (1 ? x) n 的展开式中,奇数项之和为 p ,偶数项之和为 q ,则 (1 ? x2 )n 等于( ) A.0 B. pq C. p2 ? q2 D. p2 ? q2

6.求和:

n ?1 1 ? a 0 1 ? a 2 1 1 ? a3 2 1 ? a 4 3 n 1? a n Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ?1? Cn . 1? a 1? a 1? a 1? a 1? a
?

7.求证:当 n ? N 且 n ? 2 时, 3 ? 2
n
10

n?1

? n ? 2? .
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8.求 ? 2 ? x ? 的展开式中系数最大的项 答案:1. 45, 0 3. B 7. (略) 4. C 2. 5. D

0 .提示: f ? x ? ? x ?1? n ? 6?
n

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6. ? a ?1 ? a ?

n ?1

8. T3?1 ? 15360 x3

1. (2007 年江苏卷)若对于任意实数 x ,有 x3 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ? a3 ( x ? 2)3 , 则 a2 的值为(B) A. 3 B. 6
n

C. 9

D. 12

2? ? 2. (2007 年湖北卷)如果 ? 3x 2 ? ? x3 ? ?
为 A.3 【答案】 :B. B.5
?

的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值

C.6

D.10
(2 r nr ? )3 ? r n r 3? C (2 )n ?

Cn r 3 x ( ) 2nr ( 【分析】 : Tr ?1 ?

?)

r

2 r nr r ? C 3 n( 2 ) r?? nr x x3

? x

2 5 ?



2n ? 5r ? 0 , n ?

5r ( r ? 2, 4,? ) 。n ? 5. nm i 2
n

3 ? ? 3. (2007 年江西卷)已知 ? x ? 3 ? 展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和 x? ?
之比为 64 ,则 n 等于( C ) A. 4 B. 5
n

C. 6

D. 7

1? ? 4. (2007 年全国卷 I) ? x 2 ? ? 的展开式中,常数项为 15 ,则 n ? ( D ) x? ?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8

5. (2007 年全国卷Ⅱ) (1 ? 2 x 2 ) ? x ?
6

? ?

1? ? 的展开式中常数项为 x?

?42 . (用数字作答)

5 1 ? ? 2 6. (2007 年天津卷)若 ? x 2 ? ? 的二项展开式中 x 的系数为 2 ,则 a ? 2 (用数字 ax ? ?
作答) . 7. (2007 年重庆卷) 若 (x ? A10 B.20

1 n ) 展开式的二项式系数之和为 64, 则展开式的常数项为 ( B ) x
C.30 D.120 7 .

8. (2007 年安徽卷) 若(2x3+

1 x

)a 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于

9. (2007 年湖南卷)将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图 1 所示的 0-1 三角 数表.从上往下数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行, ?, 第 n 次全行的数都为 1 的是第 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 ?? ??????????????? 图1

2n ? 1

行; 第 61 行中 1 的个数是

32




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