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15-16年高一奥数辅导之集合与函数(教师版)


高一奥数辅导之集合与函数
以一道初中求面积为例,介绍一下奥数:

1

集合部分
1、已知元素为实数的集合 A 满足条件:若 a∈A,则 乘积为( ) B.1 C.0 , D.±1 ,那么集合 A 中所有元素的

A.﹣1

选 B 解:由题意知,若 a∈A,则

/>令 a=

,代入

=

=

;令 a=

代入

=

=



令 a=

,代入

=

=a,

A={a,





,},则所有元素的乘积为 1,故选 B.

2、设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k﹣1?A 且 k+1?A,那么 k 是 A 的一 个“孤立元” ,给定 A={1,2,3,4,5},则 A 的所有子集中,只有一个“孤立元”的集合 共有( ) B.11 个 C.12 个 D.13 个

A. 10 个

选 D 解:“孤立元”是 1 的集合:{1};{1,3,4};{1,4,5};{1,3,4,5}; “孤立元”是 2 的集合:{2};{2,4,5};“孤立元”是 3 的集合:{3}; “孤立元”是 4 的集合:{4};{1,2,4}; “孤立元”是 5 的集合:{5};{1,2,5};{2,3,5};{1,2,3,5}. 3、集合 S={1,2,3,4,5,6},A 是 S 的一个子集,当 x∈A 时,若 x﹣1?A,x+1?A,则 称 x 为 A 的一个“孤立元素” ,那么 S 中无“孤立元素”的 4 元子集的个数是( A. 5 B.6 C.7 D.8 ).

选 B 解:S={1,2,3,4,5,6},其中不含“孤立元”的集合 4 个元素必须是: {1,2,3,6},{1,3,4,6},{1,4,5,6},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5} 共 6 个,那么 S 中无“孤立元素”的 4 个元素的子集 A 的个数是 6 个. 4、用 C(A)表示非空集合 A 中的元素个数,定义 A*B= ,若 A={1,2},B={x||x +ax+1|=1},
2

且 A*B=1,由 a 的所有可能值构成的集合是 S,那么 C(S)等于( ) A.4 B.3 C. 2 D.1 选 B 解:|x2+ax+1|=1?x2+ax+1=1 或 x2+ax+1=﹣1, 即 x +ax=0
2



或 x +ax+2=0
2

2

②,

∵A={1,2},且 A*B=1, ∴集合 B 要么是单元素集合,要么是三元素集合, 1°集合 B 是单元素集合,则方程①有两相等实根,②无实数根, ∴a=0; 2°集合 B 是三元素集合,则 方程①有两不相等实根,②有两个相等且异于①的实数根, 即 ,解得 a=±2 ,

综上所述 a=0 或 a=±2

,∴C(S)=3.

5、 (2011?广东.8)设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果?a,b∈S 有 ab∈S,则称 S 关于数的 乘法是封闭的,若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且?a,b,c∈T, 有 abc∈T;?x,y,z∈V,有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是( A.T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 )

B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的

C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的 选 A. 分析:本题从正面解比较困难,可运用排除法进行作答. 解:若 T 为奇数集,V 为偶数集,满足题意,则 T 与 V 关于乘法都是封闭的,排除 B、C; 若 T 为负整数集,V 为非负整数集,也满足题意,则只有 V 关于乘法是封闭的,排除 D; 从而可得 T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的,A 正确 6、 已知集合 , 且 2∈A, 3?A, 则实数 a 的取值范围是 .

解:∵

,且 2∈A,3?A,



,解得:



2 7、 (全国联赛)设 A ? x ? 2 ? x ? 4?, B ? x x ? ax ? 4 ? 0?,若 B ? A ,则实数 a 的取值范

?

?

围为

.

?0,3?

3

8、 (希望杯高一赛题)已知关于 x 的不等式 在 M 中,则实数 a 的取值范围为

ax ? 5 ? 0 的解集为 M ,若 2 及-1 恰有一个不 x2 ? a
.

? 5? ?- ?, - 5? ? ?1, ? ? ?4, ? ? ?. ? 2?

7、设集合 M={1,2,3,4,5,6},S1,S2,?,Sk 都是 M 的含两个元素的子集,且满足: 对 任 意 的 Si={ai , bi} , Sj={aj , bj} ( i ≠ j , i 、 j ∈ {1 , 2 , 3 , ? , k} ) ,都有 (min{x,y}表示两个数 x,y 中的较小者) ,则 k 的最大 值是 .

4

11 解:含 2 个元素的子集有 15 个,但{1,2}、{2,4}、{3,6}只能取一个; {1,3}、{2,6}只能取一个;{2,3}、{4,6}只能取一个, 故满足条件的两个元素的集合有 11 个. 8、已知集合 A={a1,a2,?,an,n∈N*且 n>2},令 TA={x|x=ai+aj},ai∈A,aj∈A, 1≤i≤j≤n,card(TA)表示集合 TA 中元素的个数. ①若 A={2,4,8,16},则 card(TA)= ; .

②若 ai+1﹣ai=c( 1≤i≤n﹣1,c 为非零常数) ,则 card(TA)= ① 10;②2n﹣3. 解:①若 A={2,4,8,16},

则 TA={6,10,18,12,20,24,4,8,16,32}, ∴card(TA)=10; ②若 ai+1﹣ai=c( 1≤i≤n﹣1,c 为非零常数) ,说明数列 a1,a2,…,an,构成等差数列, 取特殊的等差数列进行计算, 取 A={1,2,3,…,n},则 TA={3,4,5,…,2n﹣1}, 由于(2n﹣1)﹣3+1=2n﹣3, ∴TA 中共 2n﹣3 个元素, 利用类比推理可得 若 ai+1﹣ai=c( 1≤i≤n﹣1,c 为非零常数) ,则 card(TA)=2n﹣3. 9、设 f ?x? ? x 2 ? px ? q, 集合 A ? x f ?x? ? x? , B ? x f ? f ?x?? ? x?, 若 A ? ?? 1,3?, 则B ? .

?

?

??1,3,?

3, 3

?

10、 已知二次函数 f ?x ? ? x ? ax, 且 x f ?x? ? 0, x ? R? ? x f ? f ?x?? ? 0, x ? R? ? ?, 求实
2

?

?

数 a 的取值范围.

5

函数部分
一、选择题 1、已知函数 f ( x ) 是定义在区间[-2,2]上的偶函数,当 x ? [0, 2] 时, f ( x ) 是 减函数,如果不等式 f (1 ? m) ? f (m) 成立,则实数 m 的取值范围( A. [ ?1, ) )

1 2

B. 1,2

C. (??, 0)

D. (??,1)

选A 2、若直角坐标平面内 A、B 两点满足: ①点 A、B 都在函数 f(x)的图象上; ②点 A、B 关于原点对称,则称点(A,B)是函数 f(x)的一个“姊妹点对”.

? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? 点对(A,B)与(B,A)可看作是同一个“姊妹点对”,已知函数 f ? x ? ? ? , 2 ,x ? 0 x ? ? e
则 f(x)的“姊妹点对”有( A.0 个 [答案] C [解析] 由姊妹点对的定义知,若(A,B)为 f(x)的一个姊妹点对,则 A、B 分别在 f1(x) 2 2 =x2+2x(x<0)与 f2(x)= x(x≥0)的图象上, 设 A(x0, y0), 则 y0=x2 B(-x0, -y0), ∴ -x0 0+2x0, e e 1 2 1 1 2 x =-x2 0-2x0,∴ex0=- x0-x0=- (x0+1) + ,在同一坐标系中作出函数 y=e (x<0)与 y 2 2 2 1 1 =- (x+1)2+ (x<0)的图象知,两图象有且仅有两个交点,故 f(x)的姊妹点对有 2 个. 2 2
6

) D.3 个

B.1 个 C.2 个

3、定义一种运算 a ?b ? ?

?a, a ? b 2 , 令 f ( x) ? (3 ? 2x ? x ) ? x ? t ( t 为 常 数 ) , 且 b , a ? b ?
( )

x ? ?? 3,3?,则使函数 f ( x) 的最大值为 3 的 t 的集合是
A. ?3,?3? 选C B. ?? 1,5? C. ?3,?1?

D. ?? 3,?1,3,5?

4.设函数 f

? x ? 的定义域为 D,如果 ?x ? D,?y ? D ,使得 f ? x ? ? x ? 为“Ω 函数”.

? ?f

? y?

成立,则称函数 f
x

给出下列四个函数:① y ? x ? 1 ;

② y ? 2 ;③ y ? (A)1 个 选 C. 5、设函数 f ( x) ?

1 ;④ f ( x) ? ln x , 则其中“Ω 函数”共有( x ?1
(B)2 个 (C)3 个 (D)4 个



2x ( x ? R) ,区间 A ? ?m , n? (m ? n) , 集合 B ? ? y y ? f ( x), x ? A? , 1? x
). C. 3 个 D.4 个 B. 2 个

则使 A ? B 成立的实数对 ? m , n ? 有 ( A. 1 个 选 C.

6、已知 ? , ? 分别满足 ? ?1g? A. 2 2015 .

? 2015, ? ?10? ? 2015 ,则 ? ? ? 等于
C. 2 4030 . D.4030.

B.2015.

7

7 、 定 义 域 为 R 的 函 数 f ? x ? 满 足 f ? x ? 2? ? 2 f ? x ? , 当 x ? ?0 , ?2 时 ,

? x2 ? x , ? x? ? 0 , 1 ? t 1 ? 3 x? f ? x? ? ? ,若 x ?? ?4, ?2? 时, f ? x ? ? ? 恒成立,则实数 t 的取 2 1 ? ? 4 2t ?? ? ? , x ? ? 1 ,? 2 ? ?2? ?
值范围是( ). B. ??2,0? ? ?1, ??? C. ? ?2,1? D. ? ??, ?2? ? ? 0,1? A. ? ?2,0? ? ? 0,1? 选 D. 8、定义在[1,+∞)上的函数 f(x)满足: (1)f(2x)=2f(x) ; (2)当 2≤x≤4

时,f(x)=1-|x-3|,则集合 A={x|f(x)=f(61)}中的最小元素是( A、13
选 B.



B、12
x 2
n?2

C、11 ∈[2,4],

D、9

解:当 2n-1≤x≤2n(n∈N*)时,

∵函数 f(x)满足:①f(2x)=2f(x) ; ②当 x∈[2,4]时,f(x)=1-|x-3|, x x ∴n≥2 时,f(x)=2n-1× f( n ? 2 )=2n-1× [1-| n ? 2 -3|] 2 2 x 由函数解析式知,当 n ? 2 -3=0 时,函数取得极大值 2n-1, 2 ∴极大值点坐标为(3× 2n-2,2n-1) ∴f(x)在[2,4],[4,8],[8,16]…上的最大值依次为 1,2,4…,即最大值构 成一个以 2 为公比的等比数列, 61 61 61 61 3 ∵f(61)=2f( )=4f( )=8f( )=16f( )=16× =3, 2 4 8 16 16 ∴f(x)=3 时 x 的最小值是 12.

8

二、填空题
9、 (浙江赛题)设 f ?x ?在?0,1? 上有定义,要使函数 f ?x ? a ? ? f ?x ? a ? 有定义, 则实数 a 的取值范围为 .

10、 (希望杯高一赛题) 若函数 f 的 x 的取值范围是

?x ? ? log a ?a
注意定义域

2x

则使 f ?x ? ? 0 ? 4a x ? 4 , 0 ? a ? 1, .

?

. 如果改为 a ? 1 时,x 的取值范围是

?log a 3,log a 2? ? ?log a 2,0?

11、 (湖南赛题)设 f ?x ?为R ? R, 且对任意实数 x 有
9

f x 2 ? x ? 2 f x 2 ? 3x ? 2 ? 9x 2 ? 15x ,则 f ?50? ?

?

?

?

?

.

三、解答题
1 ? mx 是奇函数 (a ? 0, a ? 1) 。 x ?1 (1)求 m 的值; (2)判断 f(x) 在区间 (1,??) 上的单调性并加以证明; (3)当 x ? (r, a ? 2) 时,是否存在实数 a与r ,使得 f ( x) 的值域是 (1,??) ? 若存在,求出 a与r 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)m=-1

1、已知函数 f ( x) ? log a

(2)由(1) , f ( x) ? log a x ? 1 (a ? 0, a ? 1).
x ?1

任取 x1 ? x2 ? (1,??),设x1 ? x2 , 令t ( x) ? x ? 1 , 则t ( x1 ) ? x1 ? 1 , t ( x2 ) ? x2 ? 1 ,
x ?1 x1 ? 1 x2 ? 1

x1 ? 1 x2 ? 1 2( x2 ? x1 ) . ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, x2 ? x1 ? 0, ? x1 ? 1, x2 ? 1, x1 ? x2 , x ? 1 x2 ? 1 . ? t ( x1 ) ? t ( x 2 ),即 1 ? x1 ? 1 x 2 ? 1 ? t ( x1 ) ? t ( x2 ) ?

?当a ? 1时, loga

x1 ? 1 x ?1 ? loga 2 , f ( x)在(1,??) 上是减函数; x1 ? 1 x2 ? 1 当 0<a<1 时, f ( x)在(1,??) 上是增函数.
x ?1

( 2 ) 当 a>1 时 , 要 使 f ( x) 的 值 域 是 (1,??) , 则 l o agx ? 1 ? 1 ,
x ?1 (1 ? a ) x ? a ? 1 ? ? a, 即 ?0 x ?1 x ?1

a ?1 a ?1 ? 0 ① 而 a>1,∴上式化为 x ?1 x ?1 2 ? log a (1 ? ), ∴当 x>1 时, f ( x) ? 0 .当 x ? ?1时, f ( x) ? 0 . 又 f ( x) ? log a x ?1 x ?1 因而,欲使 f ( x) 的值域是 (1,??) ,必须 x ? 1 , a ?1 所以对不等式①,当且仅当 1 ? x ? 时成立. a ?1 x?
10

?r ? 1 ? a ?1 ? ? ?a ? 2 ? ,解之, 得r ? 1, a ? 2 ? 3 . a ?1 ? ? ?a ? 1
同理,当 0<a<1 时,不存在实数 a与r ,使得 f ( x) 的值域是 (1,??) . 综上所述, r ? 1, a ? 2 ? 3 .

? 1 ? 1 ? , x ? 0; 2.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数.若当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ?0, x ? 0. ? (1)求 f ( x) 在 (??, 0) 上的解析式.
(2)请你作出函数 f ( x) 的大致图像. (3)若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同实数解,求 b, c 满足的条件.

[解](1)当 x ? (??,0) 时, f ( x) ? f (? x) ? 1 ? (2) f ( x) 的大致图像如下:.
4

1 1 ? 1? . ?x x

3

2

1

-4

-2

2

4

6

-1

(3)由(2) ,对于方程 f ( x) ? a ,当 a ? 0 时,方程有 3 个根;当 0 ? a ? 1 时,方 程有 4 个根,当 a ? 1 时,方程有 2 个根;当 a ? 0 时,方程无解.?15 分
2 所以,要使关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同实数解,关于 f ( x) 的方程

f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有一个在区间 (0,1) 的正实数根和一个等于零的根。
所以 c ? 0, f ( x) ? ?b ? (0,1) ,即 ?1 ? b ? 0, c ? 0 .

3、定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3,且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数; (2)若 f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.
x x x

解答:(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)---- ①令 y=-x,代入①式,
11

得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0),令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0), 即 f(0)=0.即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,∴f(x)是奇函数. (2)解:f(3)=log 2 3>0,即 f(3)>f(0),又 f(x)在 R 上是单调函数, 所以 f(x)在 R 上是增函数,又由(1)f(x)是奇函数. f(k · 3 x ) < -f(3 x -9 x -2)=f(-3 x +9 x +2) , 3 2 x -(1+k)·3 x +2>0 对任意 x∈R 成立. 令 t=3 x >0,即 t 2 -(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立.
令f (t ) ? t 2 ? (1 ? k )t ? 2, 其对称轴x ? 当 1? k 2

k · 3 x < -3 x +9 x +2 ,

1? k ? 0 即 k ? ?1 时,f (0) ? 2 ? 0, 符合题意; 2 1+k 当 ? 0时, 2 ?1 ? k ?0 ? 对任意t ? 0, f (t ) ? 0恒成立 ? ? 2 2 ? ? ? ? (1 ? k ) ? 8 ? 0 解得-1 ? k ? ?1 ? 2 2

故当 k ? ?1 ? 2 2时,f (k ? 3x ) ? f (3x ? 93 ? 2) ? 0 对任意 x∈R 恒成立.
4、定义 ?0, ? ?? 上的函数 f ?x ? 满足条件: f ?xy? ? f ?x ? f ? y ? 对所有的正实数 x, y 成立, 且 f ?2? ? 4 ,当 x ? 1 时有f ?x? ? 1 成立. (1)求 f ?1? 及 f ?8? 的值; (2)证明:函数 f ? x ? 在 ?0, ? ?? 上为增函数;

(3)解关于 x 的不等式: 16 f ?

? 1 ? ? ? f ?x ? 3?. ? 2x ? 1 ?

12

5、 对于函数 f ? x ? ,若在定义域内存在实数 x ,满足
2

则称为“局部奇函数” f ? ? x? ? ? f? ? x,

(I)已知二次函数 f ? x ? ? ax ? 2x ? 4a ? a ? R ? ,试判断 f ? x ? 是否为“局部奇函数”, 并说明理由;
13

(II)若 f ? x ? ? 2x ? m 是定义在区间 ??1,1? 上的“局部奇函数”,求实数 m 的取 值范围; (III)若 f ? x ? ? 4x ? m ? 2x?1 ? m2 ? 3 为定义域为 R 上的“局部奇函数”,求实数 m 的取值 范围. (1)由题意得: f (? x) ? f ( x) ? 2ax2 ? 8a ? 2a( x ? 2)( x ? 2) 当 x ? 2 或 x ? ?2 时, f (? x) ? f ( x) ? 0 成立, 所以 f ? x ? 是“局部奇函数 (2)由题意得: f (? x) ? f ( x) ? 2x ? 2? x ? 2m ? 0 ——(3 分)

? x ?? ?1,1? ,? 2x ? 2? x ? 2m ? 0 在 ? ?1,1? 有解。
所以 m ? ?
x

1 x 2 ? 2? x ? x ? ? ?1 , 1? ? 2

令 t ? 2 ? ? , 2? 则 m ? ? ? t ? ? 2? t ? ?2 ? 设 g (t ) ? t ? , g (t ) 在 ?

?1

?

1?

1?

1 t

?1 ? , 1? 单调递减,在 ?1 ,2? 单调递增, ?2 ?
——(3 分)

? 5? ? 5 ? ? g (t ) ? ? 2 , ? ,? m ? ?? , ? 1? ? 2? ? 4 ?
(3) .有定义得:? f (? x) ? f ( x) ? 0

?4x ? 4? x ? 2m(2x ? 2? x ) ? 2m2 ? 6 ? 0
即 (2 ? 2 ) ? 2m(2 ? 2 ) ? 2m ? 8 ? 0 有解。
x x 2 ?x 2 ?x

设 p ? 2 ? 2 ??2 , ???
x ?x
2 2 所以方程等价于 p ? 2mp ? 2m ? 8 ? 0 在 p ? 2 时有解。

设 h(t ) ? p ? 2mp ? 2m ? 8 ,对称轴 p ? m
2 2 2 2 ① 若 m ? 2 ,则 ? ? 4m ? 4(2m ? 8) ? 0 ,即 m ? 8 ,??2 2 ? m ? 2 2 ,
2

此时 2 ? m ? 2 2 ② 若 m ? 2 时,

14

?m ? 2 ?m ? 2 ? ? ③ 则 ? g (2) ? 0 ,即 ?1 ? 3 ? m ? 1 ? 3 ?? ? 0 ? ? ??2 2 ? m ? 2 2
此时 1 ? 3 ? m ? 2 综上得: 1 ? 3 ? m ? 2 2 ——(4 分)

课后练习: 1、 已知 时,有

f ( x) 是定义在 ?? 1,1? 上的奇函数, 且 f (1) ? 1 , 若 m, n ? ?? 1,1?, m ? n ? 0

f ( m) ? f ( n) ?0 m?n

(1)证明

f ( x) 在 ?? 1,1? 上是增函数;
2

(2)解不等式 f ( x ? 1) ? f (3 ? 3 x) ? 0
2

(3)若 f ( x) ? t ? 2at ? 1 对 ?x ? ?? 1,1?, a ? ?? 1,1? 恒成立,求实数 t 的取值范围.

2、已知函数 f(x)=ax2+|x-a|( a ? R ) (1)当 a=0 时,写出 f(x)的单调区间;
15

(2)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (3)试讨论关于 x 的方程 f(x)=x3 的解的个数。 解: (1)当 a=0 时, f ( x) ? x ,递增区间为: ?0, ??? ,递减区间为: ? ??,0?
2 ? ? x ? x ? 1( x ≥ 1) (2)当 a=1 时, f ( x) ? x ? x ? 1 ? ? 2 ? ? x ? x ? 1( x ? 1) 2

当 x≥1 时, f ( x)min ? 1;当 x ? 1 时, f ( x) min ? (3)因为 x ? a ? x3 ? ax2 ≥ 0, 所以 x ≥ a 所以, x ? a ? x3 ? ax 2 ,得 ( x ? 1)( x ? 1)( x ? a) ? 0 ①当 ?1 ≤ a ? 1 时,2 解;

3 3 ,所以 f ( x) min ? 4 4

② a ≥ 1 时,1 解; ③ a ? ?1 时,3 解.

3、已知函数 f ? x ? ? 2 ?

p , ? p ? 0且为常数? x

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 在 ?1 ; , 4? 上的最大值(用常数 p 表示) (Ⅱ)若 p ? 1 ,是否存在实数 m 使得函数 f ? x ? 的定义域为 ? a, b? ,值域为 ? ma, mb? ,如 果存在求出 m 的取值范围,如果不存在说明理由.

16

(Ⅱ)若 p ? 1 函数 f ( x ) ?| 2 ?

1 | x

, ma ? 由a ? b

m b m( a? b ) ? 0 , m? 又 0 ma ? 0, 所以 a ? 0 知

?1 ? 2 ? mb ? 1 ?a 当 0 ? a ? b ? 时,由题意得 ? 得 2 ? 1 ? 2 ? ma ? ?b
1 1 1 1 1 ? ? m(a ? b), ? mb 带入得 ? 2 ? , a 无解. a a a b a

4、已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

1 ? x2 1 ? x2 . ? a 1 ? x2 1 ? x2

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的最小值; (2)当 a ? 1 时,判断 f ( x ) 的单调性,并说明理由;

17

(3)求实数 a 的范围,使得对于区间 ? ? 以 f (r )、f ( s)、f (t ) 为边长的三角形.

? 2 5 2 5? , ? 上的任意三个实数 r、s、t ,都存在 5 ? ? 5

18

19


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